CHONDO~1.PDF toán học

Đề chọn đội VMO 2016 Người tổng hợp: Nguyễn Trung Tuân Ngày tháng năm 2016 Tóm tắt nội dung Tài liệu chứa đề chọn đội VMO 2016 tỉnh Mục lục Hà Nội Thành phố Hồ Chí Minh 2.1 Ngày thứ 2.2 Ngày thứ hai 5 Quảng Ninh 3.1 Ngày thứ 3.2 Ngày thứ hai 6 Bình Thuận Hà Tĩnh 5.1 Ngày thứ 5.2 Ngày thứ hai 9 Quảng Ngãi 11 6.1 Ngày thứ 11 6.2 Ngày thứ hai 11 Hải 7.1 7.2 7.3 Phòng Vòng Vòng - Ngày thứ Vòng - Ngày thứ hai 13 13 13 14 Thanh Hóa 15 8.1 Vòng 15 8.2 Vòng 15 Kiên Giang 17 9.1 Ngày thứ 17 9.2 Ngày thứ hai 17 10 Đà Nẵng 18 10.1 Ngày thứ 18 10.2 Ngày thứ hai 19 11 Hải Dương 20 12 Ninh Bình 21 13 Phú Thọ 22 13.1 Ngày thứ 22 13.2 Ngày thứ hai 22 14 Nam Định 23 14.1 Ngày thứ 23 14.2 Ngày thứ hai 23 15 Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh 25 15.1 Ngày thứ 25 15.2 Ngày thứ hai 25 16 Đại học Vinh 27 16.1 Ngày thứ 27 16.2 Ngày thứ hai 28 17 Chuyên Khoa học tự nhiên 17.1 Vòng - Ngày thứ 17.2 Vòng - Ngày thứ hai 17.3 Vòng - Ngày thứ 17.4 Vòng - Ngày thứ hai 29 29 29 30 30 18 Chuyên Sư phạm 31 18.1 Ngày thứ 31 18.2 Ngày thứ hai 31 19 Đoạn cuối 33 Hà Nội Bài Tìm tất cặp số nguyên dương (x, y) cho x2 y + xy + 8x xy + 4y số nguyên Bài Cho dãy số (un ) xác định u1 = 0, u2 = 1, un+2 = un + un+1 + ∀n ≥ Chứng minh u2017 (u2017 + 1) chia hết cho 2017 Bài Với a, b, c ∈ [0; 2] thỏa mãn a + b + c = , tìm giá trị nhỏ biểu thức √ √ √ ab + a + bc + b + ca + c Bài Cho (c) đường trịn tâm O đường kính AB Gọi C điểm (c) khác A B cho AOC > 90◦ Trên đoạn thẳng OC ta lấy điểm K khác O C Gọi (c1 ) đường trịn tâm K bán kính KC AD, AE tiếp tuyến (D, E tiếp điểm) Chứng minh ba đường thẳng AC, BK DE qua điểm Bài Cho k số nguyên dương Tìm số nguyên dương m nhỏ thỏa mãn điều kiện: Tồn 2k + số nguyên dương phân biệt có tổng lớn m m tổng k số 2k + số khơng vượt q 2.1 Thành phố Hồ Chí Minh Ngày thứ Bài Chứng minh phương trình 3x3 − 24x2 + 60x − 47 = có ba nghiệm thực ba nghiệm độ dài cạnh tam giác có góc lớn 120◦ Bài Xét x, y, z ∈ [0; 1] thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ 1 + + xy + yz + zx + Bài Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Gọi K điểm đoạn AH Trên tia KB lấy điểm M cho CA = CM , tia KC lấy điểm N cho BA = BN Giả sử CM BN cắt I Chứng minh IM = IN Bài Cho hàm số f : N → N thỏa mãn f (2) = 5, f (2016) = 2015, f (n) = f (f (n − 1)) ∀n ≥ Tính f (0), f (1) f (2015) biết f (2015) số lẻ 2.2 Ngày thứ hai Bài Cho dãy (an ) xác định a1 = 1, a2 = an+1 = Chứng minh a2015 + a2n ∀n ≥ an−1 + (5an + 1)2 a2016 ∈ Z Bài Cho tam giác ABC nội tiếp (O) với 60◦ < A < 90◦ Gọi B1 điểm đối xứng với B qua AC, C1 điểm đối xứng với C qua AB, O1 điểm đối xứng với O qua BC Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB1 C1 nằm O1 A Bài Tìm tất cặp số nguyên dương (a; b) cho a3 + b b3 + a lũy thừa Bài Cần loại khỏi {1, 2, · · · , 2015} phần tử để phần tử cịn lại có tính chất: khơng phần tử tích hai phần tử khác? 3.1 Quảng Ninh Ngày thứ Bài Giả sử a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức b3 c3 a3 + + b2 + c2 + a2 + Bài Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn f (f (x) + 3y) = 12x + f (f (y) − x) ∀x, y ∈ R Bài Cho số nguyên n > số nguyên tố p cho p − chia hết cho n n3 +n+2 chia hết cho p Chứng minh 4p−7 số phương Bài Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), H chân đường cao tam giác ABC kẻ từ A.P điểm thay đổi nằm ABC nằm đường phân giác qua A Đường tròn đường kính AP cắt (O) điểm thứ hai G.L hình chiếu vng góc P lên AH a) Chứng minh đường thẳng GL qua điểm cố định P thay đổi b) Chứng minh GL qua trung điểm HP P tâm nội tiếp ABC 3.2 Ngày thứ hai Bài Cho k số nguyên dương dãy số (un ) xác định u1 = 3, un+1 = un + 4n + ∀n ≥ √ √ √ un + u4n + · · · + u4k n Tính giới hạn lim √ √ √ n→+∞ un + u2n + · · · + u2k n Bài Tìm tất đa thức P với hệ số thực thỏa mãn (x − 1)P (x + 1) − (x + 1)P (x − 1) = 4P (x) Bài Cho tam giác ABC nhọn không cân Gọi AA1 , BB1 đường cao tam giác Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác A1 B1 C N (khác C) Gọi M trung điểm AB, K giao điểm CN AB CM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CA1 B1 điểm thứ hai P , cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai Q a) Chứng minh KP qua trực tâm ABC; b) Chứng minh M P = M Q Bài Có n học sinh tham gia thi học sinh giỏi Toán học sinh giải tốn Hai học sinh có toán mà hai giải được, tốn giải k học sinh Tìm tất số nguyên dương n k thỏa mãn yêu cầu toán Bình Thuận Bài Giải hệ phương trình x3 y + 72x3 = x2 y + 2x2 y − 8x = −2 Bài Cho x, y, z > thoả mãn xy + yz + zx + xyz = Chứng minh x y z + + ≥ x + y + z ≥ xy + yz + zx y z x Bài Cho tam giác ABC có AB + BC = 3AC, đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC, CA D, E, F Trên cạnh AC lấy M cho AM = CF Gọi N, P giao điểm M B đường tròn (I) với N nằm B P Đường thẳng CN cắt đường thẳng DE K Chứng minh đường tròn qua ba điểm I, K, N tiếp xúc với đường tròn (I) Bài Trong hội nghị có 155 đại biểu, ban tổ chức nhận thấy có 2015 cặp đại biểu quen biết Chứng minh tồn đại biểu A, B, C, D cho A B, B C, C D, D A quen biết 5.1 Hà Tĩnh Ngày thứ Bài Cho dãy số (xn ) xác định x1 = xn+1 = + ∀n ≥ Tìm xn an số thực dương a cho dãy (yn ) xác định yn = ∀n ≥ có x1 x2 · · · xn giới hạn hữu hạn khác Bài Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân nội tiếp đường trịn (O) có đường cao AH tâm đường trịn nội tiếp I Gọi M điểm cung nhỏ BC D điểm đối xứng với A qua O Đường thẳng M D cắt đường thẳng BC, AH P, Q 1) Chứng minh tam giác IP Q vuông; 2) Đường thẳng DI cắt (O) điểm thứ hai E Hai đường thẳng AE, BC cắt F Chứng minh AB + AC = 2BC I trọng tâm tam giác AP F Bài Tìm tất đa thức P với hệ số thực thỏa mãn P (x) − 3P (x) = P (x3 ) − 3P (−x) Bài Tìm tất số nguyên dương n thỏa mãn: tồn cách chia hình vng có độ dài cạnh n thành hình chữ nhật cho độ dài cạnh hình chữ nhật số 1, 2, · · · , 10 5.2 Ngày thứ hai Bài Tìm tất hàm số f : R → R cho f (x4 + f (y)) = y + f (x) ∀x, y ∈ R Bài Cho số hữu tỷ a, b, c thỏa mãn a + b + c ∈ Z (2a − 1)2 + (2b − 1)2 + (2c − 1)2 = Chứng minh tồn số nguyên m, n thỏa mãn gcd(m, n) = m2 abc = n Bài Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Đường tròn (J) tiếp xúc với (O) D đồng thời tiếp xúc với tia đối tia BA, CA E, F DB + cos C = ; DC + cos B b) Giả sử AJ cắt (O) điểm thứ hai T Gọi P, Q điểm di động cung nhỏ AB, AC (O) cho P Q||BC Các đường thẳng AP, BC cắt M Gọi I, N trung điểm đoạn EF, IM Chứng minh giao điểm đường thẳng N T, IQ thuộc đường cố định a) Chứng minh Bài Cho P đa giác lồi có 2016 cạnh Một cách chia P thành đường chéo không cắt bên P gọi cách chia đẹp P a) Chứng minh số đường chéo cần phải nối để chia đẹp P theo cách khác nhau; b) Một tam giác thu từ phép chia đẹp P nói gọi tam giác cạnh đường chéo P Hỏi có tất cách chia đẹp P mà có tam giác biết hai cách chia khác có cặp tam giác khơng trùng 10 - viên bi lấy màu với người chơi ko phải bỏ lại vào hộp viên bi Và chơi dừng lại hộp hết bi viên bi Chứng minh kết cuối chơi ko phụ thuộc vào cách lấy bi người chơi( cho dù người chơi phép nhìn vào hộp) 10.2 Ngày thứ hai Bài Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O, R) ngoại tiếp đtròn (I; r), O = I Một đường tròn ω qua A tiếp xúc với đường thẳng OI I Đường thẳng AO cắt đường tròn ω G Đường thẳng qua I vng góc với BC cắt lại đường trịn ω K Gọi L điểm đối xứng với K qua A 1) Chứng minh AG = 2r 2) Giả sử hai điểm B, C cố định Khi A di chuyển đường trịn (O), chứng minh LI ln qua điểm cố định Bài Cho P (t) đa thức với hệ số thực (của biến số t) thỏa mãn P (1) = P (−1) Chứng minh có đa thức Q(x, y) với hệ số thực (của hai biến số x, y) cho P (t) = Q(t2 − 1, t(t2 − 1)) với giá trị t Bài Cho số tự nhiên n > tập S gồm n điểm nằm đường trịn Tìm số lớn có tam giác nhọn mà ba đỉnh thuộc S 19 11 Hải Dương = y1 + y2 + · · · + yn ∀n ≥ Bài Cho dãy số (yn ) thỏa mãn y1 > yn+1 Chứng minh dãy (yn )/n có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Bài 1) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Một đường tròn tiếp xúc với tia AB, AC E, F đồng thời tiếp xúc với (O) T Các tiếp tuyến A, T (O) cắt K Đường thẳng T E cắt (O) M khác T , đường thẳng T F cắt (O) N khác T Chứng minh K, M, N thẳng hàng 2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) có AC, BD vng góc với H Gọi I, J, K, L hình chiếu H đường thẳng AB, BC, CD, DA Biết IK, JL không qua H Chứng minh giao điểm IK JL nằm OH Bài Cho m số nguyên dương p số nguyên tố lớn m Chứng minh số số nguyên dương n cho đa thức f (x) = mx2 −(m+n−p)x+n có nghiệm hữu tỷ số ước dương m Bài Cho dãy gồm 2016 ô vuông xếp thành hàng Có cách điền số 1, 2, 3, 4, vào vng cho ô vuông điền số hiệu hai số hai ô vuông kề −1? 20 12 Ninh Bình Câu Cho trước số tự nhiên n(n ≥ 3); a1 , a2 , , an số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức a2n−1 a22 a2n a21 + + + + na21 + a2 a3 na22 + a3 a4 na2n−1 + an a1 na2n + a1 a2 Câu Cho trước số thực dương α, β Hàm số f : (0; +∞) → (0; +∞) thỏa mãn f (f (x)) + αf (x) = β(α + β)x, ∀x > Tính f (2015) Câu Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) D điểm thuộc cung BC đường trịn (O) khơng chứa A M trung điểm đoạn thẳng BC P điểm nằm đường thẳng DM E, F hai điểm thuộc đoạn thẳng AC, AB cho P E||DC, P F ||DB Các tiếp tuyến E, F đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt T Tiếp tuyến B, C đường tròn O cắt S Gọi Q điểm thuộc đường tròn (O) cho DQ||BC Chứng minh AQ||ST Câu Cho n ≥ 3, n ∈ N, X ⊂ {1; 2; ; n3 }, |X| = 3n2 Chứng minh tìm  số a1 , a2 , , a9 đôi khác thuộc X cho  a1 x + a2 y + a3 z = hệ phương trình a4 x + a5 y + a6 z = có nghiệm nguyên (x0 , y0 , z0 ) thỏa   a7 x + a8 y + z9 z = mãn x0 , y0 , z0 = 21 13 13.1 Phú Thọ Ngày thứ + xn ∀n ≥ 1 − 3xn Chứng minh dãy số (xn ) khơng có giới hạn hữu hạn n → ∞ Bài Cho dãy số thực xn xác định x1 = xn+1 = Bài Tìm tất hàm số f : R → R thoả mãn f (xf (x) + f (y)) = y + f (x) ∀x, y ∈ R Bài Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Từ điểm A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới (O)( B, C tiếp điểm) Gọi E, F trung điểm AB, AC D điểm EF Từ D kẻ tiếp tuyến DP, DQ tới (O)(P, Q tiếp điểm) Giả sử P Q cắt EF M Chứng minh DAM = 90◦ Bài Với số nguyên a, b, c thuộc đoạn [1; 2015], hỏi có tất (a, b, c) cho 9|a3 + b3 + c3 ? 13.2 Ngày thứ hai Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh a4 + b + c + a + b + c + b2 2a 2b 2c + + ≥ 2 +c c +a a + b2 Bài Cho p số nguyên tố lẻ Xét a1 , a2 , · · · , an số nguyên dương phân biệt không vượt p − thỏa mãn p|ak1 + ak2 + · · · + akn ∀k = 1, 2, · · · , p − Giả sử σ hoán vị {a1 , a2 , · · · , an } Chứng minh tồn i, j (i = j) cho p|ai σ(ai ) − aj σ(aj ) Bài Tìm tất số nguyên dương n cho tập {1, 3, · · · , 2n − 1} phân hoạch thành 12 tập mà tổng phần tử tập 22 14 14.1 Nam Định Ngày thứ Bài Giải hệ phương trình 3x3 − 16 = 2(x2 − x + y) 3y − 16 = 2(y − y + x) Bài Dãy số thực dương (un ) thỏa mãn u2016 n+1 = u1 + u2 + · · · + un ∀n ≥ 2015 1) Chứng minh u2015 + ∀n ≥ 1; n+1 < un 2) Chứng minh dãy (un /n) có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Bài Cho tam giác nhọn ABC với AB < AC, D, E, F chân đường cao kẻ từ A, B, C Các đường thẳng EF, BC cắt G Gọi H trực tâm tam giác ABC, K hình chiếu H AG, N trung điểm EF , M trung điểm BC Các đoạn AH, EF cắt L Đường trung trực LD cắt GH P 1) Gọi I giao điểm HG, AM Chứng minh HG⊥AM L, I, D, P nằm đường tròn; 2) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác KGI, DP L tiếp xúc Bài Hàm số f : (0; +∞) → R thỏa mãn đồng thời điều kiện 1) Tồn a > để f (a) = 1; a a f = 2f (xy) ∀x, y > 2) f (x)f (y) + f x y Chứng minh f hàm Bài Cho A = {P1 , P2 , · · · , P2016 } tập điểm phân biệt không gian thỏa mãn: Với ba điểm thuộc A ln tồn hai điểm mà đoạn thẳng nối hai điểm có độ dài bé Chứng minh tồn hai hình cầu S1 , S2 bán kính cho điểm tập A nằm bên S1 S2 14.2 Ngày thứ hai Bài Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn 1 1 + + + = a b c d 23 Chứng minh a3 + b3 + b + c3 + c3 + d3 + d + a3 ≤ 2(a + b + c + d) − Bài Tìm tất P, Q ∈ R[x] cho P (Q(x)) = P (x)Q(x) Bài Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp (O) AD, BE, CF đường cao tam giác Gọi (ω) đường tròn tâm A qua D Hai đường tròn (ω) (O) cắt M, N 1) Chứng minh M N qua trung điểm đoạn DE, DF ; 2) Gọi G giao điểm BC EF ; DP đường kính (ω) Đường thẳng P G cắt (ω) điểm thứ hai Q Chứng minh trung điểm DQ nằm (O) Bài Tìm tất cặp (n, p) số nguyên dương cho p nguyên tố, n ≥ 2p np−1 |(p − 1)n + Bài Cho tập E = {2017, 2018, · · · , 2016 + n} (n > 1) có n phần tử Tìm số nguyên dương n nhỏ thỏa mãn: Với A ⊂ E, tồn a, b, c ∈ A a, b, c ∈ E \ A cho a − b + c = 2015 24 15 15.1 Phổ thơng Năng khiếu, ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh Ngày thứ Bài Cho A tập tất số nguyên dương không vượt 2016 nguyên tố với 2016 Hỏi có số a ∈ A mà tồn b ∈ Z cho a + 2016b số phương Bài Cho a, b, c d số thực thỏa mãn a2 ≤ 1, a2 + b2 ≤ 5, a2 + b2 + c2 ≤ 14, a2 + b2 + c2 + d2 ≤ 30 Chứng minh 1) a + b + c + d ≤ 10; 2) ad + bc ≤ 10 Bài Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn f (x − 2f (y)) = 5f (x) − 4x − 2f (y) ∀x, y ∈ R Bài Cho đường trịn k với dây BC khơng phải đường kính I trung điểm BC, điểm A di động cung lớn BC Gọi I1 đường tròn qua I tiếp xúc với AB B I2 đường tròn qua I tiếp xúc với AC C Các đường tròn I1 , I2 cắt D khác I a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AID qua điểm cố định khác I b) Gọi K trung điểm AD E tâm đường tròn qua K tiếp xúc với AB A, F tâm đường tròn qua K tiếp xúc với AC A Chứng minh EAF không đổi 15.2 Ngày thứ hai Bài Dãy số (xn ) xác định xn = n cos Tìm giới hạn lim n ∀n ∈ N∗ x1 + x3 + x5 + · · · + x2n−1 x2 + x4 + x6 + · · · + x2n Bài Tìm b để tồn a cho hệ (x − 1)2 + (y + 1)2 = b y = x2 + (2a + 1)x + a2 25 có nghiệm Bài Cho số nguyên dương n > X = {1, 2, , n} A1 , A2 , , Am B1 , B2 , , Bm hai dãy tập khác rỗng X thỏa mãn điều kiện: Với i j thuộc {1, 2, , m}, Ai ∩ Bj = ∅ i = j a) Chứng minh với hoán vị (x1 , x2 , , xn ) X, có khơng q cặp (Ai ; Bi ) với i ∈ {1, 2, , m} cho xk ∈ Ai xl ∈ Bi k < l b) Gọi , bi số phần tử tập Ai ; Bi Chứng minh m ≤ i=1 Cai +bi Bài Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Đường tròn (I) qua B C cắt BA, CA E, F a) Giả sử tia BF, CE cắt D T tâm (AEF ) Chứng minh OT ||ID; b) Trên BF, CE lấy điểm G, H cho AG ⊥ CE AH ⊥ BF Các đường tròn (ABF ), (ACE) cắt BC điểm M, N ( khác B C ) cắt EF P, Q ( khác E F ) Gọi K giao điểm M P N Q Chứng minh DK ⊥ GH 26 16 16.1 Đại học Vinh Ngày thứ Bài Cho số a > dãy (xn ) xác định √ xn−1 x1 = x2 = a, xn+1 = xn + ∀n ≥ n3 Chứng minh xn < 2(a + 3) ∀n ≥ Bài Tìm tất hàm f : (0; +∞) → (0; +∞) cho bất đẳng thức (i) f (x + y) ≥ f (x) + 2y; (ii) f (f (x)) ≤ 4x, với số thực dương x, y Bài Cho tam giác ABC điểm X nằm tam giác Gọi H, K theo thứ tự hình chiếu X lên cạnh BC, BA A , C điểm đối xứng X qua BC, BA a) Gọi E = BC ∩ XK, F = AB ∩ XH Chứng minh điểm A , B, C , E, F thuộc đường tròn b) Gọi Y giao điểm thứ hai đường tròn (A BC ) với đường trịn đường HX KX = kính BX Chứng minh KY HY Bài Một lớp học có n học sinh tham gia trị chơi tơ màu bảng vng n × n sau: - Trong phút đầu tiên, n học sinh tô màu n ô không hàng cột; - Trong phút tiếp theo, học sinh tô ô có cạnh chung với ô mà học sinh tô phút liền trước; - Mỗi ô tô lần Hỏi sau n phút bảng vuông tơ kín hay khơng trường hợp: a) n = 30? b) n = 31? 27 16.2 Ngày thứ hai Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = a b c + + Tìm b c a giá trị lớn biểu thức P = a+b+1 b+c+1 c+a+1 + + 2 a + b + b + c + c + a2 + Bài Cho ABCD tứ giác vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp đường tròn Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tứ giác Đường thẳng qua I, song song với AB cắt AD BC H K Chứng minh độ dài HK phần tư chu vi tứ giác ABCD Bài Cho p số nguyên tố Chứng minh tồn số tự nhiên n cho pn có chứa 2015 chữ số liên tiếp 28 17 17.1 Chuyên Khoa học tự nhiên Vòng - Ngày thứ Câu I Giải hệ (x2 + y )(x + y − 3) = 4y − 6x (x2 + y )(x − y − 5) = −4x − 6y Câu II Cho dãy (an ) xác định a0 = 2; a1 = 4; a2 = 11 an = (n + 6)an−1 − 3(2n + 1)an−2 + 9(n − 2)an−3 (n ≥ 3) Chứng minh dãy tồn vô hạn số an cho an − chia hết cho 22015 Câu III Cho tam giác ABC không cân, nhọn nội tiếp (O) cố định B, C cố định A di chuyển (O) I tâm nội tiếp AI cắt (O) điểm thứ hai M F hình chiếu I lên AB IF cắt BC S SM cắt (O) T (a) Chứng minh T I qua điểm cố định G A di chuyển (b) Gọi H trực tâm ABC Q đối xứng với H qua F L hình chiếu F lên IC R đối xứng với I qua L Chứng minh F L, QR, GI đồng quy Câu IV Cho x, y, z số thực dương Chứng minh xy z ≤ 2 3 (x + yz) (y + z ) 17.2 Vòng - Ngày thứ hai Câu I Chứng minh phương trình x2015 − y 2016 = 2115 khơng có nghiệm với x, y ∈ Z Câu II Tìm số nguyên dương n ≥ 2015 nhỏ cho tồn đa thức P (x) bậc n với hệ số nguyên, hệ số bậc cao dương đa thức Q(x) với hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện xP (x)−2P (x) = (x3 −x)Q2 (x) với x ∈ Z Câu III Cho tam giác ABC, đường phân giác AD Các điểm E, F nằm CA, AB cho EF BC M, N tương ứng chân đường cao kẻ từ C, B đến DE, DF Đường tròn ngoại tiếp tam giác AF N cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM P khác A Chứng minh AP chia đôi BC Câu IV Trên mặt phẳng cho n điểm phân biệt cho khơng có ba điểm thẳng hàng Mỗi đường thẳng nối hai điểm chúng tô 29 bốn màu khác Tìm n nguyên dương lớn cho tồn cách tô màu mà với điểm n điểm cho đoạn thẳng nối chúng tơ bốn màu khác 17.3 Vòng - Ngày thứ Bài Cho dãy (an ) thỏa mãn a0 = an+1 = Chứng minh (an ) hội tụ tìm lim(an ) −3 ( (a2n + 1)3 + a3n )∀n ≥ Bài Tìm tất n nguyên dương cho 3n + 4n + 5n | 60n Bài Cho ∆ABC, E, F thuộc CA, AB cho EF BC Tiếp tuyến E, F (AEF ) cắt BC M, N BE, CF cắt F N, EM K, L (a) Chứng minh KAB = LAC; (b) BE cắt CF X, EN cắt F M Y Chứng minh XY qua điểm cố định E, F di chuyển Bài Cho x, y, z số nguyên dương cho x + y + z = Tìm giá trị lớn P = 17.4 x2 y + 4x + 5y y2z + 4y + 5z z2x 4z + 5x Vòng - Ngày thứ hai Bài Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn f (x − 1)f (y ) = yf (xy) − yf (y) ∀x, y ∈ R a0 = a1 = Chứng an+1 = 7an − an−1 + 44 ∀n ≥ minh an tổng hai số phương với số tự nhiên n Bài Cho dãy số (an ) thỏa mãn Bài Cho ∆ABC, đường tròn (K) qua B, C cắt đoạn AC, AB E, F M, N đối xứng B, C qua E, F Tiếp tuyến A (AM N ) cắt M N, BC P, Q Chứng minh A trung điểm P Q Bài Cho bảng n × n (n ∈ N∗ ) số k n Điền vào bảng n × n số thực thuộc đoạn [−1; 1] cho tổng số bảng k × k Tìm giá trị lớn tổng tất số bảng n × n 30 18 18.1 Chuyên Sư phạm Ngày thứ Bài Cho dãy (un ) thỏa mãn u1 = 1, u2 = un+2 = u2n+1 + 6un ∀n ≥ Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Bài Cho số thực khơng âm a, b c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh √ √ √ √ − a2 + − b2 + − c2 ≥ + ( − 2)(ab + bc + ca) Bài Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp (O) Một đường thẳng d thay đổi vng góc với AO, các cạnh AB, AC N, P (N = P ) cắt đường thẳng BC S CN cắt BP T AT cắt BC M Đường thẳng SA cắt (O) điểm thứ hai L Đường thẳng qua M song song với d, cắt AB, AC X, Y Chứng minh 1) Đường trịn ngoại tiếp tam giác SXY ln qua điểm cố định; 2) Đường thẳng T L qua điểm cố định Bài Trong bảng × 2015 người ta đặt đồng xu Các đồng xu có hai mặt: đỏ, đen Giả sử ban đầu số đồng xu có mặt đỏ ngửa lên số lẻ Mỗi lần ta bỏ đồng xu có mặt đỏ ngửa lên, đồng thời lật ngược lại đồng xu bên cạnh Chứng minh sau hữu hạn lần thực phép bỏ xu, ta bỏ tất đồng xu 18.2 Ngày thứ hai Bài Tìm tất hàm số f : (0; +∞) → (0; +∞) cho 2f (x + y) + f (xy) = 2x + 2y + xy ∀x, y > Bài Gọi S tập số nguyên dương có ước nguyên tố dạng 4k+1 (k ∈ Z) 1) Chứng minh s ∈ S, tồn số nguyên a thỏa mãn a2 ≡ −1 (mod s); 2) Một số nguyên dương n gọi tốt với s ∈ S, tồn số nguyên dương x, y thỏa mãn (x, s) = (y, s) = 1, xn + 65y n + ≡ 31 (mod s) Xác định số nguyên dương bé tốt Bài Tam giác ABC khơng cân có đường trịn nội tiếp tâm I tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F Đường thẳng qua D vng góc với AD theo thứ tự cắt IB, IC M, N F M, EN cắt K Chứng minh 1) ∆AF M = ∆AEN ; 2) KIA = IDA Bài Trên bảng ghi 2015 số nguyên dương Ta thực thao tác xóa ghi số sau: Mỗi bước xóa hai số x, y bảng mà |x − y| ≥ 2, ghi hai số x − 1, y + Hỏi ta thực tối đa bước? 32 19 Đoạn cuối - Tôi cảm ơn thầy cô bạn đồng nghiệp nhiều, khơng có người tơi khơng thể hoàn thành tài liệu này; - Các đề khơng phải đề thức, chúng tơi gõ lại LATEX Nếu có chỗ sai lỗi tơi; - Tuyển tập đăng http://nttuan.org/2015/10/26/topic-703/ Nguyễn Trung Tuân Email: tuan.nguyentrung@gmail.com Web: http://nttuan.org/ Facebook: https://www.facebook.com/nttuan0136 33