Câu I. Giải hệ ( (x2+y2)(x+y−3) = 4y−6x (x2+y2)(x−y−5) =−4x−6y.
Câu II. Cho dãy (an) xác định bởia0 = 2;a1 = 4;a2 = 11 và
an= (n+ 6)an−1−3(2n+ 1)an−2+ 9(n−2)an−3(n ≥3).
Chứng minh rằng trong dãy trên tồn tại vô hạn các số an sao choan−1chia hết cho 22015.
Câu III. Cho tam giácABC không cân, nhọn nội tiếp(O)cố định.B, C cố định vàA di chuyển trên(O).I là tâm nội tiếp.AI cắt (O)tại điểm thứ hai
M. F là hình chiếu của I lên AB. IF cắt BC tại S. SM cắt (O) tại T. (a) Chứng minh T I luôn đi qua một điểm cố địnhG khi A di chuyển. (b) Gọi H là trực tâm ABC. Q đối xứng với H quaF. L là hình chiếu của
F lên IC. R đối xứng với I qua L. Chứng minh F L, QR, GI đồng quy.
Câu IV. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng
X xy3z3
(x2+yz)2(y3+z3) ≤ 3
8.
17.2 Vòng 1 - Ngày thứ hai
Câu I.Chứng minh rằng phương trìnhx2015−y2016 = 2115không có nghiệm với x, y ∈Z.
Câu II. Tìm số nguyên dương n ≥ 2015 nhỏ nhất sao cho tồn tại đa thức
P(x)bậcnvới hệ số nguyên, hệ số bậc cao nhất dương và đa thứcQ(x)với hệ số nguyên thỏa mãn điều kiệnxP2(x)−2P(x) = (x3−x)Q2(x)với mọix∈Z.
Câu III. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Các điểm E, F nằm trên CA, AB sao cho EF k BC. M, N tương ứng là chân đường cao kẻ từ
C, B đến DE, DF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AF N cắt đường tròn ngoại tiếp tam giácAEM tại P khácA. Chứng minh rằngAP chia đôi BC.
Câu IV. Trên mặt phẳng cho n điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Mỗi đường thẳng nối hai điểm trong chúng được tô bởi đúng
một trong bốn màu khác nhau. Tìmnnguyên dương lớn nhất sao cho tồn tại cách tô màu mà với 4điểm bất kỳ trong n điểm đã cho thì các đoạn thẳng nối giữa chúng được tô bởi cả bốn màu khác nhau.
17.3 Vòng 2 - Ngày thứ nhất
Bài 1.Cho dãy (an) thỏa mãna0 = 1 vàan+1 = −73(p(a2
n+ 1)3+a3
n)∀n ≥0. Chứng minh (an) hội tụ và tìm lim(an).
Bài 2. Tìm tất cả n nguyên dương sao cho 3n+ 4n+ 5n |60n.
Bài 3. Cho ∆ABC, E, F lần lượt thuộc CA, AB sao cho EF k BC. Tiếp tuyến tại E, F của (AEF) cắt BC tại M, N BE, CF lần lượt cắt F N, EM
tại K, L.
(a) Chứng minh KAB\ =LAC[;
(b) BE cắt CF tại X, EN cắt F M tại Y. Chứng minh XY đi qua điểm cố định khi E, F di chuyển.
Bài 4. Cho x, y, z là 3 số nguyên dương sao cho x +y+z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của P = s x2y 4x+ 5y + s y2z 4y+ 5z + r z2x 4z+ 5x. 17.4 Vòng 2 - Ngày thứ hai Bài 1. Tìm tất cả các hàm f :R→Rthỏa mãn f(x−1)f(y2) =yf(xy)−yf(y)∀x, y ∈R. Bài 2. Cho dãy số (an) thỏa mãn
a0 =a1 = 5
an+1= 7an−an−1+ 44 ∀n≥1. Chứng
minh an là tổng hai số chính phương với mỗi số tự nhiên n.
Bài 3.Cho ∆ABC, đường tròn(K)đi quaB, C cắt đoạnAC, AB tại E, F.
M, N đối xứng B, C lần lượt qua E, F. Tiếp tuyến tại A của (AM N) cắt
M N, BC tại P, Q. Chứng minh rằng A là trung điểm củaP Q.
Bài 4. Cho bảng n ×n (n ∈ N∗) và số k 6 n Điền vào các ô trong bảng
n×n các số thực thuộc đoạn [−1; 1] sao cho tổng các số trên mỗi bảng con
k×k bằng0. Tìm giá trị lớn nhất của tổng tất cả các số trên bảng n×n.
18 Chuyên Sư phạm
18.1 Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho dãy (un) thỏa mãn u1 = 1, u2 = 2 và
un+2 =q3
u2
n+1+ 6un ∀n≥1.
Chứng minh dãy trên có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Bài 2. Cho các số thực không âm a, b và c thỏa mãn a2 +b2 +c2 = 1. Chứng minh rằng √ 1−a2+√ 1−b2+√ 1−c2 ≥2 + (√ 6−2)(ab+bc+ca).
Bài 3. Cho tam giácABC không cân, nội tiếp(O). Một đường thẳng dthay đổi vuông góc với AO, các các cạnhAB, AC tại N, P (N 6=P) và cắt đường thẳng BC tại S. CN cắt BP tại T và AT cắt BC tại M. Đường thẳng SA
cắt (O) tại điểm thứ hai L. Đường thẳng đi qua M song song với d, cắt
AB, AC tại X, Y. Chứng minh
1) Đường tròn ngoại tiếp tam giác SXY luôn đi qua một điểm cố định; 2) Đường thẳng T Lluôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4. Trong mỗi ô của một bảng 1× 2015 người ta đặt một đồng xu. Các đồng xu này có hai mặt: đỏ, đen. Giả sử ban đầu số đồng xu có mặt đỏ ngửa lên là số lẻ. Mỗi lần ta bỏ đi một đồng xu có mặt đỏ ngửa lên, đồng thời lật ngược lại các đồng xu bên cạnh. Chứng minh sau hữu hạn lần thực hiện phép bỏ xu, ta có thể bỏ đi tất cả các đồng xu.
18.2 Ngày thứ hai
Bài 1. Tìm tất cả các hàm số f : (0; +∞)→(0; +∞) sao cho
2f(x+y) +f(xy) = 2x+ 2y+xy ∀x, y >0.
Bài 2.GọiSlà tập các số nguyên dương chỉ có ước nguyên tố dạng4k+1 (k ∈
Z).
1) Chứng minh mỗi s ∈S, tồn tại số nguyên a thỏa mãn a2 ≡ −1 (mod s); 2) Một số nguyên dương n được gọi là tốt nếu với mỗi s∈ S, tồn tại các số nguyên dương x, y thỏa mãn
Xác định số nguyên dương bé nhất không phải là tốt.
Bài 3. Tam giác ABC không cân có đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với BC, CA, AB tại D, E, F. Đường thẳng qua D vuông góc với AD theo thứ tự cắt IB, IC tại M, N. F M, EN cắt nhau tại K. Chứng minh
1) ∆AF M = ∆AEN; 2) KIA[ =IDA.[
Bài 4. Trên bảng ghi 2015 số nguyên dương đầu tiên. Ta thực hiện thao tác xóa và ghi số như sau: Mỗi bước xóa hai sốx, y trên bảng mà|x−y| ≥2, và ghi hai số x−1, y+ 1. Hỏi ta có thể thực hiện tối đa bao nhiêu bước?
19 Đoạn cuối
- Tôi cảm ơn các thầy cô và các bạn đồng nghiệp rất nhiều, không có mọi người tôi không thể hoàn thành tài liệu này;
- Các đề ở đây không phải đề chính thức, chúng đều được tôi gõ lại bằng LATEX . Nếu có chỗ nào sai thì do lỗi của tôi;
- Tuyển tập này cũng được đăng ở http://nttuan.org/2015/10/26/topic-703/
Nguyễn Trung Tuân
Email: tuan.nguyentrung@gmail.com Web: http://nttuan.org/