Hồ Chí Minh
15.1 Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho A là tập tất cả các số nguyên dương không vượt quá 2016 và nguyên tố cùng nhau với 2016. Hỏi có bao nhiêu sốa ∈A mà tồn tại b ∈Z sao cho a+ 2016b là số chính phương.
Bài 2. Cho a, b, c và d là các số thực thỏa mãn
a2 ≤1, a2+b2 ≤5, a2+b2+c2 ≤14, a2 +b2+c2+d2 ≤30. Chứng minh rằng 1) a+b+c+d≤10; 2) ad+bc≤10. Bài 3. Tìm tất cả các hàm số f :R→R thỏa mãn f(x−2f(y)) = 5f(x)−4x−2f(y) ∀x, y ∈R.
Bài 4. Cho đường tròn k với dây BC không phải đường kính. I là trung điểm của BC, điểm A di động trên cung lớn BC. Gọi I1 là đường tròn qua
I tiếp xúc với AB tại B.I2 là đường tròn qua I tiếp xúc vớiAC tại C. Các đường tròn I1, I2 cắt nhau tại D khácI.
a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AID đi qua một điểm cố định khác I.
b) Gọi K là trung điểm của AD. E là tâm đường tròn qua K tiếp xúc với
AB tại A, F là tâm đường tròn qua K tiếp xúc với AC tại A. Chứng minh
[
EAF không đổi.
15.2 Ngày thứ hai
Bài 1. Dãy số (xn) được xác định bởixn = 1
ncos 1 n ∀n ∈N∗. Tìm giới hạn limx1+x3+x5+· · ·+x2n−1 x2+x4+x6+· · ·+x2n . Bài 2.Tìmb để tồn tạiasao cho hệ
(
(x−1)2+ (y+ 1)2 =b
Bài 3. Cho số nguyên dương n > 1 và X = {1,2, ..., n}. A1, A2, ..., Am
và B1, B2, ..., Bm là hai dãy các tập con khác rỗng của X thỏa mãn điều kiện: Với mọi i và j thuộc {1,2, ..., m}, Ai∩Bj =∅ nếu và chỉ nếu i=j. a) Chứng minh rằng với mỗi hoán vị(x1, x2, ..., xn)của X, có không quá một cặp (Ai;Bi) với i∈ {1,2, ..., m} sao cho nếu xk∈Ai vàxl ∈Bi thì k < l. b) Gọi ai, bi lần lượt là số phần tử của các tập Ai;Bi. Chứng minh rằng
Pm i=1
1
Caiai+bi ≤1.
Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Đường tròn (I) qua B và
C lần lượt cắt BA, CA tại E, F.
a) Giả sử các tia BF, CE cắt nhau tại D và T là tâm (AEF). Chứng minh
OT||ID;
b) TrênBF, CE lần lượt lấy các điểmG, H sao choAG⊥CEvàAH ⊥BF. Các đường tròn (ABF),(ACE)cắt BC tại các điểmM, N ( khác B và C ) và cắtEF tạiP, Q( khácE vàF ). Gọi K là giao điểmM P vàN Q. Chứng minh DK ⊥GH.