OFFICI~3.PDF toán học

GẶP GỠ TOÁN HỌC 2014 Tiêu Thụ Bài Giảng Ngày 1 Phương trình, hệ phương trình Bài 1.1: Giải phương trình x x2 − + x = (1.1.1) Lời giải: Điều kiện: x > ∨ x < −1 Phương trình (1.1.1) tương đương với  x  x2 − + 1 = Suy x > 0, kết hợp điều kiện, ta x > Đến ta có hai hướng sau: • Dùng ẩn phụ: Ta viết (1.1.1) lại sau x2 x2 − x4 x2 − Đặt t = x2 x −1 x2 + x2 + · +2· x2 − x2 x2 − = 4, − = (1.1.2) Ta có (1.1.2) tương đương với t + 2t − = Giải phương trình ta t = −1 ± (loại) • Sử dụng bất đẳng thức: Ta có x +x> x −1 x x −1 Nên phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho khơng có nghiệm + x2 − x Nhận xét: Bạn đọc thử sức với hai toán tổng quát sau đây: x n xn − a2 x + x = k, + x = k (x ± a)2 Bài 1.2: Giải phương trình 8x − 36x + 26x − 15 = 30x − 15 (1.2.1) Lời giải: Phương trình (1.2.1) tương đương với (2x − 3)3 + (2x − 3) = 30x − 15 + Đặt u = 2x − 3, v = 3 30x − 15 30x − 15, ta u3 + u = v + v, hay (u − v)(u2 + uv + v + 1) = Suy u = v, (vì u2 + uv + v + = u + 12 v + 34 v + > 0, với số thực u, v) Vậy ta 2x − = 30x − 15, tương đương 2x − 9x + 6x − = 0, (x + 1)3 = 5(x − 1)3 , x +1= hay x = 3 5+1 5−1 (x − 1) , Vậy phương trình có nghiệm x = 3 5+1 5−1 Bài 1.3: Cho số thực a > Giải phương trình x= Điều kiện: x a+ a+ a+ a + x −a Dễ dàng nhận thấy x= Lời giải 1: Đặt y = a+ a+ a+ a + x > a + x, đó, ta có hệ  x =  y= Khơng tính tổng quát, giả sử x y= a+ a+ a+ a+ y a+ a+x y Suy a+x a+ a + y = x, (1.3.1) suy tiếp x = y, hay x = a+ a + x Đặt z = x= a+z z= a+x a + x, ta có hệ Tương tự x = z = a + x, hay x − x − a = Kết hợp (1.3.1), ta nghiệm phương trình x = 1+ 21+4a Lời giải 2: Nếu x > x= a+ a+ Tương tự, x > Do đó, x = a + x, a+ a+x < a+ a+ a+x < a+ a+x < a + x a + x dẫn đến vơ lý a + x, hay x − x − a = 0, từ suy nghiệm x = 1+ 1+4a Nhận xét: Một cách tống quát, phương trình x= a+ a + ··· + a + x, n thức có nghiệm x = 1+ 1+4a 2 Thuật toán Bài 2.1: Chọn n + số phân biệt từ số tới 2n Chứng minh tồn số (a, b, c) n + số thoả c = a + b Gợi ý: Xếp n + số theo thứ tự tăng dần: x < x < · · · < x n+2 Xét hiệu x n+2 − x , x n+2 − x , , x n+2 − x n+1 Dễ thấy hiệu phân biệt cho ta n + số khác nhau, với việc chọn n + số ban đầu, dựa theo nguyên lí Dirichlet ta có điều phải chứng minh (lưu ý thêm trường hợp x n+2 − x i = x i ) Bài 2.2: Tìm nghiệm nguyên phương trình a2 + b2 + c = 2abc Gợi ý: Đầu tiên ta chứng minh a, b, c chia hết cho Thật a, b, c số lẻ vế trái số lẻ cịn vế phải chẵn, vơ lí Như ba số a, b, c có số chia hết cho 2, suy vế phải chia hết cho Từ dễ dàng chứng minh hai số lại chia hết cho Đặt a = 2a0 , b = 2b0 , c = 2c0 , ta a0 + b0 + c0 = 4a0 b0 c0 Tương tự ta có dc a0 , b0 , c0 chia hết cho Dùng ý tưởng lùi vơ hạn ta có điều phải chứng minh Bài 2.3: Với số nguyên dương n ta phát hành đồng xu có mệnh giá 1n Cho sưu tập gồm hữu hạn đồng xu (các đồng xu không thiết có mệnh giá khác nhau) mà tổng mệnh giá chúng không vượt 25 Chứng minh phân chia sưu tập thành khơng nhóm cho tổng mệnh giá đồng xu nhóm khơng vượt q Lời giải: Gọi đồng xu nhỏ có trọng lượng m, đồng xu cịn lại ta chia làm ba phần, phần có trọng lượng lớn − m bé Từ gọi tổng trọng lượng tất đồng xu a, ta có 3(1 − m) + m < a suy m > 14 , nên m thuộc 1, 21 , , Tới ta chia làm hai trường hợp: • Có đồng xu có mệnh giá 12 • Tất đồng xu có mệnh giá 13 Cả hai trường hợp dễ dàng chia nhóm suy tồn cách chia đồng xu thành ba nhóm cho nhóm có tổng trọng lượng ko