TD2014~3.PDF toán học

Trường đơng Tốn học - VTH 10/12/2014 ĐỀ THI Ngày thi thứ hai Thời gian: 180 phút Bài (7 điểm) Cho 𝑓 đa thức bậc ≥ với hệ số nguyên 𝑓 ′ (0) = Gọi (𝑎𝑛 ) dãy cho 𝑎1 = 𝑓 (0) 𝑎𝑛+1 = 𝑓 (𝑎𝑛 ) với 𝑛 ≥ Giả sử 𝑎𝑛 ̸= với 𝑛 Chứng minh với số nguyên tố 𝑝, tồn mơt số ngun dương 𝑒𝑝 với tính chất sau: với 𝑛, 𝑝 𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑝 | 𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑝 +1 𝑎𝑛 Bài (7 điểm) Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 nhọn nội tiếp đường tròn (𝑂) Gọi 𝐼 trung điểm 𝐵𝐶 𝐻 trực tâm ∆𝐴𝐵𝐶 Cho 𝐵𝐻, 𝐶𝐻 cắt 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 𝐸, 𝐹 ; tia 𝐼𝐻 cắt đường tròn (𝑂) 𝑇 Trên đường thẳng 𝐸𝐹 lấy điểm 𝐷 cho 𝐷𝐻 song song với 𝐵𝐶 a Chứng minh 𝐷𝑇 tiếp xúc với đường tròn (𝐻𝐸𝐹 ) b Gọi 𝑀, 𝑁 giao điểm đường thẳng 𝐸𝐹 với đường tròn (𝐼𝐵𝑇 ), (𝐼𝐶𝑇 ) (điểm 𝑀 khác phía 𝐸 𝐹 , điểm 𝑁 khác phía 𝐹 𝐸) Gọi 𝑃 giao điểm 𝐴𝑀 với đường tròn (0) Chứng minh 𝐵𝑀 , 𝐶𝑁 𝑇 𝑃 đồng quy Bài (6 điểm) Chứng minh với số nguyên dương 𝑛, đa thức 𝑛 ∑︁ 2𝑘(𝑛−𝑘) 𝑥𝑘 𝑘=0 có 𝑛 nghiệm thực