Dap an de VMO 8

CLB Tốn học ðề số (Hạn chót nộp 24/1/2010) Bài Giải phương trình ( x x = 1+ x +1 ) x −1 Lời giải : ðiều kiện : Phương trình tương đương với ðặt phương trình Mặt khác, theo bất đẳng thức BCS, ta có : nên dấu « = » xảy Vì nên ta nhận nghiệm Vì Bài Tìm tất hàm liên tục f: R+ R+ thoả mãn ñiều kiện  x f ( x) f ( y ) = f ( xy ) + f    y với x, y thuộc R+ Ở ñây R+ tập hợp tất số thực dương Lời giải : ðặt , ta có liên tục và : thành : Nghĩa : Thay Thay , ta ñược ta có xác định sau : Xét Vì Vậy tăng bị chặn nên hội tụ Ta kiểm tra ñược Ta CM quy nạp Thật vậy, Giả sử , ta có Vậy nên Cho , ta có Vậy, ta ñặt Trong (*) ta thay , ta ñược Ta CM quy nạp ðẳng thức ñúng với Giả sử đẳng thức với , ta có Vậy Ta CM quy nạp theo n ðẳng thức ñúng với Giả sử ñẳng thức ñúng với , ta có Vậy Mặt khác Nên hàm chẵn nên ta có Nên dãy số dương mà Mặt khác, thay đổi vai trị ta là hàm số cần tìm ðặc biệt, trường hợp Vậy , ta có Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R Gọi I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC Vẽ đường trịn O1 tiếp xúc với BC D, AC E tiếp xúc với đường trịn (O, R) Chứng minh I trung ñiểm DE Lời giải : Gọi giao ñiểm Xét phép vị tự tâm T, tỉ số ; giao ñiểm TD ( bán kính ) biến Với tiếp tuyến K , ñường thẳng song song với BC Vậy tiếp tuyến từ K song song với BC nên K ñiểm cung BC Gọi , ta có T kẻ tiếp tuyến chung Suy tam giác nằm phân giác góc A Suy và tam giác Ta có tứ giác nội tiếp Vậy ñồng dạng Vậy nên Mặt khác, ta có (do điểm cung BC) nên tam giác đồng dạng nên ta có tam giác Vậy Suy ta giác cân Suy Suy tâm nội tiếp thuộc Vậy U tâm đường trịn nội tiếp tam giác Xét tam giác CDE cân có phân giác, ta suy I trung điểm DE thuộc phân giác góc Vậy tâm nội tiếp I trung ñiểm DE Bài Tìm tất cặp số nguyên tố p, q cho p2 + | 2003q + q2 + | 2003p + Lời giải : Khơng tính tổng qt, ta giả sử Nếu p = từ | 2003q + dễ dàng suy q chẵn, từ q = nghiệm tốn Tiếp theo giả sử p > Khi p lẻ Ta có khơng có dạng Vậy, ta gọi ước nguyên tố lẻ Suy SCP Ta có Gọi TH1: Nếu Ta có nên cấp theo , ta có nên nên , ta có Suy v v , ta suy (Vô lý) Nếu ước nguyên tố lẻ nguyên tố lẻ dạng Trường hợp bị loại hồn tồn , ta dẫn điều vơ lý Ta có nên TH2: Trường hợp bị loại hồn tồn khơng có ước (Vơ lý) Vậy (p, q) = (2, 2) nghiệm tốn Bài Tìm số ngun dương n nhỏ cho a1, a2, …, an n số phân biệt tuỳ ý ñược chọn từ tập hợp X = {1, 2, 3, …, 17} ta ln tìm số nguyên dương k cho phương trình – aj = k có k nghiệm Lời giải : Ta gọi số nguyên số « tốt » a1, a2, …, an n số phân biệt tuỳ ý ñược chọn từ tập hợp X = {1, 2, 3, …, 17} ta tìm số ngun dương k cho phương trình – aj = k có k nghiệm u cầu tốn tương đương với việc tìm số “tốt” nhỏ Ta CM số nguyên ñều số « tốt » Thật vậy, giả sử tồn n thỏa mãn không số tốt, nghĩa nguyên dương, phương trình có k nghiệm Ta gọi Giả sử Ta có Mặt khác : Phương trình Phương trình Nên vơ nghiệm nên có khơng nghiệm nên Suy (Vô lý) Mặt khác khơng phải số tốt tập tập có số mà có k nghiệm nguyên dương, phương trình Vậy số cần tìm ... tâm đường trịn nội tiếp tam giác Xét tam giác CDE cân có phân giác, ta suy I trung ñiểm DE thuộc phân giác góc Vậy tâm nội tiếp I trung ñiểm DE Bài Tìm tất cặp số nguyên tố p, q cho p2 + |... a2, …, an n số phân biệt tuỳ ý ñược chọn từ tập hợp X = {1, 2, 3, …, 17} ta tìm số ngun dương k cho phương trình – aj = k có k nghiệm Lời giải : Ta gọi số nguyên số « tốt » a1, a2, …, an n số... Vẽ đường trịn O1 tiếp xúc với BC D, AC E tiếp xúc với đường trịn (O, R) Chứng minh I trung ñiểm DE Lời giải : Gọi giao ñiểm Xét phép vị tự tâm T, tỉ số ; giao ñiểm TD ( bán kính ) biến Với tiếp