Dap an de VMO 7

!" Bài 1: G i d hi u gi a s l n nh t s nh nh t gi a n s th c x1, x2, …, xn (n ≥ 2) Ch ng minh r ng ta có b t ng th c ( n − 1) d ≤ 1≤ i < j ≤ n | xi − x j |≤ n2 d Gi i: x ≤ x ≤ ≤ xn d = xn − x1 Khơng m t tính t ng qt, gi s *) Tr c tiên ta ch ng minh ( n − 1) d ≤ (1) | xi − x j | 1≤ i < j ≤ n +) V i n = (1) hi n nhiên úng +) Gi s (1) úng v i n = k t c ( k − 1) d ≤ | xi − x j | ⇔ ( k − 1)( xk − x1 ) ≤ 1≤ i < j ≤ k 1≤ i < j ≤ k | xi − x j | Ta s ch ng minh (1) úng v i n = k + Th t v y: k ( xk +1 − x1 ) = ( xk +1 − x1 ) + ( k − 1)( xk +1 − xk ) + ( k − 1)( xk − x1 ) ≤ ( xk +1 − x1 ) + k i =1 ( xk +1 − xi ) + V y (1) úng v i n = k + Suy (1) c ch ng minh 1≤ i < j ≤ k | xi − x j | = 1≤i < j ≤ k +1 | xi − x j | ng th c x y nh t n − bi n b ng *) Ti p theo ta ch ng minh 1≤i < j ≤ n n2d | xi − x j |≤ (2) d d = x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn = 2 d (vì n u x1 = a ta tr t t c xi i a + b t ng th c ban Khơng m t tính t ng quát, gi s − u khơng i) Ta có: 1≤i < j ≤ n | xi − x j | = 1≤i < j ≤ n (x j − xi ) = n i =1 n ≤ i =1 ( i − 1) − (n − i) xi = 2i − − n xi ≤ n n i =1 ( 2i − − n )xi 2i − − n i =1 d +) V i n = 2k (3) 1≤i < j ≤ n k | xi − x j | ≤ i =1 ( 2k + − 2i ) − 2k i = k +1 ( 2k + − 2i ) d d n2 d = 2k = 2 (2) úng +) V i n = 2k + (3) 1≤i < j ≤ n | xi − x j | ≤ k +1 i =1 ( 2k + − 2i ) − (2) úng V y (2) c ch ng minh k +1 i=k + f ( xy ) = [ f ( x) ] ng th c x y ch ng h n nh bi n b ng Bài 2: Tìm t t c hàm s liên t c f: y ( 2k + − 2i ) d d ( 2k + 1) d n d = ( 2k + k ) ≤ = 2 4 [ f ( y )] x + + tho mãn i u ki n (v i ∀x, y ∈ + ) → (1) !" Gi i: Gi s t n t i hàm f th a mãn +)T (1) cho x = y = ta c: f (1) = f (1) +)T (1) cho x = y ta Vì f liên t c, f: + f ( x2 ) = f ( x ) c: t f ( x) = g ( x) +) x ln x → f (1) = (v i ∀x ∈ + + g ( x2 ) x ln x (v i ∀x ∈ + = g ( x) x ln x ⇔ g ( x) = g x2 g ( x) = g x + (2) (v i ∀x ∈ + \ {1} ) (v i ∀x ∈ + \ {1} ) (v i ∀x ∈ + \ {1} ) \ {1} ta có: =g x = = g x (do g liên t c V y ) + → ⇔ g ( x2 ) = g ( x ) +) V i ∀x ∈ + ) g liên t c g: +) T (2) suy 2x g ( x) = a + 2k = = lim g x n →+∞ 2n = g lim x n →+∞ 1 nên lim g x = g lim x (v i ∀x ∈ n →+∞ + )( a ∈ + n n n →+∞ 2n = g (1) = a ( a ∈ + ) ) m t h ng s ) Suy f ( x ) = a x ln x (v i ∀x ∈ + ) ( a ∈ + m t h ng s ) Th l i th y úng K t lu n: V y f ( x ) = a x ln x (v i ∀x ∈ + ) ( a ∈ + m t h ng s ) hàm nh t th a mãn Bài 3: Trên ng chéo AC c a t giác n i ti p ABCD l y i m L cho AB = AL Trên tia DC l y i m F cho DB = DF i m E i x ng v i B qua AD Ch ng minh r ng i m F, L E n m m t ng th ng Gi i G i M, N, P l n l t chân ng vng góc h t B xu ng AD, AC, DC Suy M, N, P th ng hàng ( ng th ng Simson) Trên ng th ng MN l y i m K khác phía v i N i v i BE cho ∠BKE = 900 Ta có: ( BK , BE ) ≡ 12 ( MK , ME ) ≡ 12 ( MP, MB ) ≡ 12 ( DP, DB ) ≡ 12 ( DC, DB ) ≡ ( BP, BF ) ≡ 12 ( AC, AB ) ≡ ( BN , BL ) ≡ α ( mod 2π ) BE BL BF = = =k BK BN BP Xét phép v! t quay: VBk QB K → E , N → L, P → F K, N, P th ng hàng → E, L, F th ng hàng ( i u ph i ch ng minh) ∆ BKE ~ ∆ BNL ~ ∆ BPF !" Bài 4: Tìm t t c c p s nguyên d "ng x, y tho mãn ph "ng trình: 2x(xy – 2y – 3) = (x+y)(3x + y) (1) Gi i ⇔ ( − y ) x + ( y + 3) x + y = (2) (1) Coi (2) ph "ng trình b c #n x (do y ∈ + − y ≠ ) có ∆’ = ( y + 3) − y ( − y ) = ( y + 1)( y + 3) 2 (2) có nghi m ngun d "ng ∆’ ph i s ph "ng y + = ( 2k + 1) ( k ∈ + ) ⇔ y = 2k Khi ó (2) có nghi m d "ng: + 2k ( k ∈ y + + (2k + 1)( y + 3) y + 9k + 12 = k + 2+ 2y −3 2y −3 x ∈ ⇔ y + 9k + 12 y − ⇔ 2k + 11k + 12 4k + 4k − L i có 2k + 11k + 12 < 4k + 4k − ⇔ k > V y nên ta ch$ xét v i k ∈ {1; 2;3; 4;5} x= +) k = +) k = +) k = +) k = +) k = y = x = (th a mãn) y = 12 x = (th a mãn) 32 y = 24 x = ∉ (không th a mãn) 593 y = 40 x = ∉ (không th a mãn) 77 y = 60 x = (th a mãn) + ) !" K t lu n: Ph "ng trình ã cho có nghi m nguyên d "ng ( x; y ) ∈ {( 8; ) ; ( 6;12 ) ; (8;60 )} Bài 5: Cho bàn c x An có qn unomino g m vng, cịn Bình có qn trimino hình ch L 15 qn trimino hình ch I a) Ch ng minh r ng An có th t qn unomino c a vào m t ó c a bàn c Bình khơng th ph ph n cịn l i b ng quân trimino c a b) Bây gi gi s Bình có qn trimino hình ch L 14 quân trimino hình ch I Ch ng minh r ng cho dù An t quân unomino vào ô b t k%, Bình u có th ph ph n l i b ng quân trimino c a Gi i a) Ta ánh s vào c a bàn c (nh hình v ): 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 1 1 1 Umomino Trimino ch L Trimino ch I Ta th y quân trimino ch L ph t ng s ó khơng chia h t cho qn trimino ch I ph t ng s ó chia h t cho N u quân unomino c a An t vào ô u tiên (hình v ), gi s Bình có th ph ph n l i b ng quân trimino c a c ph có t ng s ó s khơng chia h t cho Mà ta l i th y t ng s cịn l i c a b ng là m t s chia h t cho T hai i u mâu thu&n i u gi s sai i u ph i ch ng minh b) Do tính i x ng c a hình vng nên ta có th gi s qn unomino c a An m t ô màu tím (hình v ) t' !" Ta s ch ng minh k t qu m nh h"n là: An có qn unomino g m vng, Bình có quân trimino hình ch L quân trimino hình ch I cho dù An t quân unomino vào b t k% bàn c kích th c x 4, Bình u có th ph ph n l i b ng quân trimino c a Do hình vng có tính màu (hình v ) i x ng nên ta ch$ xét quân unomino c a An t'm t H"n n a ta th y dù An có t quân unomino c a vào m t ba ó Bình u có th t qn trimino ch L c a t o thành hình vng x Các cịn l i ta có th t qn nh hình v Nh n xét: +) ( ý a) ta có th ch$ t t c mà An có th t quân unomino c a vào Bình khơng th ph ph n cịn l i b ng qn trimino c a thu c vi n bàn c thu c tr c i x ng (không ph i ng chéo) +) Ta có th t ng quát cho bàn c (3k + 1) x (3k + 1) ô  ... gi s qn unomino c a An m t màu tím (hình v ) t' !" Ta s ch ng minh k t qu m nh h"n là: An có qn unomino g m vng, Bình có quân trimino hình ch L quân trimino hình ch I cho dù An t quân unomino vào... ) ; ( 6;12 ) ; (8;60 )} Bài 5: Cho bàn c x An có qn unomino g m vng, cịn Bình có quân trimino hình ch L 15 quân trimino hình ch I a) Ch ng minh r ng An có th t qn unomino c a vào m t ó c a bàn... trimino c a Do hình vng có tính ô màu (hình v ) i x ng nên ta ch$ xét quân unomino c a An t'm t H"n n a ta th y dù An có t quân unomino c a vào m t ba ó Bình u có th t quân trimino ch L c a t o thành