Tổng ôn tập TN THPT 2020 môn toán phương trình bất phương trình GTLN GTNN mũ và logarit

TÀI LIỆU TỔNG ƠN TẬP TNTHPT 2020 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - MIN MAX LOGARIT Vấn đề 10 A PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BPT MŨ -LOGARIT Thường sử dụng phương pháp sau: Phương pháp đưa số 1/ Phương trình – Bất phương trình mũ Phương trình mũ + Nếu a  0, a  a    a f x g x   f x   g x  a  + Nếu a chứa ẩn a    a    a  1 f  x  g x    f x gx  f  x  g x  f x gx f x g x + a    b    log a a    log a b    f x   log a b.g x  (logarit hóa) Bất phương trình mũ f x g x + Nếu a  a    a    f x   g x  (cùng chiều) + Nếu  a  a    a f x + Nếu a chứa ẩn a    a f x g x   f x   g x  (ngược chiều) g x   a  1  f x   g x     2/ Phương trình logarit – Bất phương trình logarit Phương trình logarit + Nếu a  0, a  : log a x  b  x  a b 1 + Nếu a  0, a  : loga f x   loga g x   f x   g x  2 + Nếu a  0, a  : loga f x   g x   f x   a g x (mũ hóa) 3  Bất phương trình logarit + Nếu a  log a f x   log a g x   f x   g x  (cùng chiều) + Nếu  a  log a f x   log a g x   f x   g x  (ngược chiều) log B   a  1B  1   a + Nếu a chứa ẩn  loga A   A  1B  1    loga B  Các bước giải phương trình & bất phương trình mũ – logarit Bước Đặt điều kiện (điều kiện đại số  điều kiện loga), ta cần ý:    log  0a 1  loga b    a   b0    loga   ĐK f x    f x    ĐK   f x   mũ lẻ mũ chẵn ĐK   f x   Bước Dùng công thức biến đổi đưa trên, giải Bước So với điều kiện kết luận nghiệm Phương pháp đặt ẩn phụ I/ Đặt ẩn phụ cho phương trình mũ      đặt t  a  , t   Loại P a  f x  Loại .a 2.f x  f x PP f  x   a.b  λ.b 2.f x PP  Chia hai vế cho b   2.f x  f x  a      t  , đặt    (chia  b  cho số lớn nhỏ nhất) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 t    PP  Loại a    b    c với a.b    đặt t  a  b  f x  Loại .a f x f x f x f x a f x.a gx f x     ua  g x   PP  f x    đặt   a  .a  b    g x    va     a gx II/ Đặt ẩn phụ cho phương trình logarit PP  Loại P loga f x     đặt t  loga f x   Loại Sử dụng công thức a log c  clog a để đặt t  a log x  t  xlog a  Lưu ý Trên số dạng thường gặp phương trình mũ loga, cịn bất phương trình ta làm tương tự lưu ý chiều biến thiên Về phương diện tổng quát, ta tìm mối liên hệ biến để đặt ẩn phụ, đưa phương trình (bất phương trình) đại số hệ phương trình đại số mà biết cách giải Từ đó, tìm nghiệm Ngồi ra, cịn số trường hợp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Nghĩa sau đặt ẩn phụ t cịn x Ta giải phương trình theo t với x xem số cách lập biệt thức ∆ đưa tích số b b b b Phương pháp hàm số I/ Cơ sở lý thuyết vận dụng sở lý thuyết để tìm hướng giải Thơng thường ta vận dụng nội dung định lý (và kết quả) sau:  Nếu hàm số y  f x đơn điệu chiều D phương trình f x  không nghiệm D  Để vận dụng định lý này, ta cần nhẩm nghiệm x  x o phương trình, rõ hàm đơn điệu chiều D (luôn đồng biến nghịch biến D) kết luận x  xo nghiệm  Hàm số f t đơn điệu chiều khoảng a; b tồn u; v  a; b f u  f v  u  v "  Để áp dụng định lý này, ta cần xây dựng hàm đặc trưng f t  Hàm số y  f t xác định liên tục D: Nếu f t đồng biến D u, v  D f u  f v  u  v Nếu f t nghịch biến D u, v  D f u  f v  u  v  Để vận dụng nội dung định lí giải bất phương trình, người đề thường cho hai hình thức có hai hướng xử lí thường gặp sau: Nếu đề yêu cầu giải f x  : Nhẩm nghiệm f x  miền xác định D, chẳng hạn x  x o Xét hàm số y  f x D rõ đơn điệu tăng chiều (đơn điệu giảm chiều) Khi đó: f x   f  x  f x o   x  x o hàm số đơn điệu tăng D x  xo hàm số đơn điệu giảm D Nếu đề yêu cầu giải f x  mà không nhẩm nghiệm x  x o f x  cần biến đổi f  x    f  g x   f  h x  với việc xây dựng hàm đặc trưng y  f  t , hàm f t     đồng biến (nghịch biến) Khi f g x   f h x   g x   f  x  hay g x   f x        Ta làm tương tự đề cho f x  0, f x  f x  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  Nếu hàm số y  f  x có đạo hàm f ' x liên tục thỏa mãn f ' x  có nghiệm D phương trình f x  không nghiệm D II/ Một số loại toán thường gặp sử dụng đơn điệu hàm  Loại loga f x    g x   f x    g x  1 Tìm tập xác định D Biến đổi 1  loga f x  loga g x  .g x  .f x  loga f x  .f x  loga g x  .g  x  f f  x   f  g x      Xét hàm số đặc trưng f t  .t  loga t miền D hàm số đơn điệu chiều D f f x   f g x   f x   g x       Loại loga f x   log b g x  2 Nếu a  b 2  f x  g x : dạng toán quen thuộc PP  Dùng phương pháp đoán nghiệm chứng minh nghiệm Nếu a  1b  1   PP   Đặt ẩn phụ kết hợp mũ hóa phương trình Nếu a  1b  1    f  x   a t biến đổi phương trình dạng:  g x  bt      Tìm tập xác định D đặt loga f x  logb g x  t   f  t  At  Bt  giải phương pháp đoán nghiệm chứng minh nghiệm tìm x biết t  Dạng toán:  loga f  x    log b g  x  ta làm tương tự cách đặt  loga f x   logb g x  γ.t với γ bội số chung nhỏ    Loại logf x g x   loga b 3 Đặt điều kiện: f x   g x  Sử dụng công thức đổi số 3  logb f  x  logb g  x   loga b  logb f x  loga b logb g  x  logb f x  loga g x (đây loại 2)  Loại a x   p loga λx     qx  r 4 PP    Đặt ẩn phụ loga λx     y để đưa hệ phương trình đối xứng loại II hay gần đối xứng sử dụng phương pháp hàm để tìm x  y Phương trình dạng log a f  x, y   log b g  x, y   f  x, y   a t Phương pháp: đặt t  log a f  x, y   log b g  x, y  chuyển hệ  đánh giá chặn giá t  g  x, y   b trị t Từ chọn giá trị nguyên x thích hợp thử lại xem với giá trị nguyên x chọn hệ phương trình có nghiệm t miền chặn hay không? Kiến thức để đánh giá chặn giá trị t : + Điều kiện có nghiệm phương trình bậc + Bất đẳng thức Cauchy, BCS… + Tính chất biến thiên hàm số Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu Cho x , y số thực dương thỏa mãn log x  log y  log  x  y  Giá trị A Câu B 3 C log   2 x y D log  x  x 1    x  x x ; x x  x log Biết  hai nghiệm phương trình 2 2   x   a  b với a , b số nguyên dương Giá trị P  a  b A P  14 B P  13 C P  15 D P  16 x a  y1b  z1 Câu Biết a  log 30 10 , b  log 30 150 log 2000 15000  với x1 ; y1; z1 ; x2 ; y ; z số x2 a  y2b  z2 x nguyên, tính S  x2 A S  B S  C S  D S  log x y  log y x Câu Cho số thực dương x, y khác thỏa mãn  log x  x  y   log y  x  y   Giá trị x  xy  y A B C D Câu Cho số thực dương a , b thỏa mãn log a  log b  log a  log b  100 log a , x1  x2  log b , log a , log b số nguyên dương Tính P  ab A 10164 Câu Câu C 10 200 D 10144 mb  nac Cho log  a; log  b; log  c Biết log 24 175  Tính A  m  2n  p  4q pc  q A 27 B 25 C 23 D 29  log12 x  log12 y Cho x , y số thực lớn thoả mãn x  y  xy Tính M  log12  x  y  A M  Câu Cho B 10100 B M    f  x   a ln x  x   b sin x  C M  với a , b   Biết D M  f log log e  Tính f log ln10 B 10 C D x -x 6+3(3 +3 ) a a = với phân số tối giản Tính P  a.b Câu Cho x + 9-x = 14 x+1 1-x b 2-3 -3 b A P  10 B P  45 C P  10 D P  45  3 Câu 10 Biết phương trình 27 x  271x 16 3x  x    có nghiệm x  a, x  log b   b x  log c với a  , b  c  Tỉ số thuộc khoảng sau đây? c    3 5  A (3; ) B  ;  C 1;  D  ;3  2      a Câu 11 Cho hai số thực dương a, b thỏa log a  log b  log9  a  b  Tính b A Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 1 1  1  A B C D 2 2 Câu 12 Gọi a nghiệm phương trình 4.2 log x  6log x  18.32 log x  Khẳng định sau đánh giá a ? B a  102 A  a  10   C a  a   D a  100 Câu 13 Tổng nghiệm phương trình sau x 1  log  x    A B C D 10 x x Câu 14 Bất phương trình   x     x  1  có tập nghiệm S   a; b    c;   Tính tổng a  b  c ? A B sin x Câu 15 Phương trình cos x 3 A 1284 sin x  4.3 C D có nghiệm thuộc  2017; 2017 B 4034 C 1285 D 4035 Câu 16 Cho số thực dương x, y thỏa mãn log x  log9 y  log  x  y  Tính tỉ số A x  y B x  y 1 C x  y 1 log x  Câu 17 Số nghiệm phương trình    x là: A B C 3 x 33 x 4 x 4 x Câu 18 Phương trình 3    10 có tổng nghiệm là? A B C x Câu 19 Tìm tập nghiệm S bất phương trình 3x    3x  A  ;0    log3 2;   B  0;log   1 C  0;    2;   2  D x ? y x  y D D D  0;   Câu 20 Cho x , y số thực dương thỏa mãn log 25 x x y x a  b  log15 y  log9  , với a , y 2 b số nguyên dương, tính a  b A a  b  14 B a  b  C a  b  21 D a  b  34 1009 Câu 21 Biết phương trình log 1  x   2018log x có nghiệm x0 Khẳng định đúng? 1 A 31008  x0  31006 B x0  31009 1 C  x0  31008 D 31007  x0  Câu 22 Phương trình log  cot x   log  cos x  có nghiệm khoảng  0; 2018  ? A 2018 nghiệm B 1008 nghiệm C 2017 nghiệm D 1009 nghiệm * Câu 23 Cho dãy số  un  thỏa mãn log3  2u5  63  2log  un  8n  8 , n   Đặt un S2n 148  u2 n Sn 75 A 18 B 17 C 16 D 19 2 Câu 24 Số nghiệm phương trình log x  x  log x  x  S n  u1  u2   un Tìm số nguyên dương lớn n thỏa mãn   A B C Câu 25 Tìm giá trị gần tổng nghiệm bất phương trình sau: D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489     22 22  log x   13      24 x  x  27 x  x3  1997 x  2016    log x 3 log 22 x log 22 x   3   A 12,3 B 12 C 12,1 D 12,  log 100 x Câu 26 Tìm tích tất nghiệm phương trình 4.3 A 100 B 10   10  351 14 x có dạng đoạn S   a; b Giá trị C Câu 27 Tập nghiệm bất phương trình 2.7 x   7.2 x  b  2a thuộc khoảng đây? B  4;  A 3; 10   9.4log 10 x   13.61 log x C D   Câu 28 Tập nghiệm bất phương trình  x     x    x  Câu 29 Bất phương trình x A  x 1 1   2x  x 1 D S   3;   có tập nghiệm S   a; b Khi a  b B D 10 C  x   Câu 30 Tập nghiệm bất phương trình  21   21 A S   2;1  C S   0;1 B S  1;   A S   ;0  49 D  ;  9   7; 10 B S   1;1  x  x log2 C S  1;5 D S  1;   Câu 31 Có cặp số nguyên  x ; y  thỏa mãn  x  2020 log 3 x  3  x  y  y ? A 2019 B C 2020 D Câu 32 Có cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn log x2  y  x  y    ? A B C 10 D Câu 33 Có giá trị nguyên tham số m cho tồn cặp số thực  x, y  thỏa mãn x2  y  18 x  y  m  log  y  2m   log3  x  m  ? A B C D  x2  x     x   3x 3x   Câu 34 Biết x1, x2 ( x1  x2 ) hai nghiệm phương trình log3  x1  x2  a  b , với a, b hai số nguyên dương Tính a  b A a  b  B a  b  12 C a  b  D a  b  14 Câu 35 Có cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn  x  2020 log  x    x  y   y ? A 10 B 11 C 2020 D Câu 36 Có số nguyên x cho tồn số thực y thỏa mãn log  x  y   log  x  y  A B Vô số C D Câu 37 Có cặp số nguyên  x ; y  thoả mãn  x  2020  x  ln  x  1   x   y  e y ? A B C D Câu 38 Có số nguyên x cho tồn số thực y thỏa mãn log3 ( x  y)  log  x  y  ? A B C D Vô số Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  x; y  Câu 39 Có cặp số nguyên dương thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:  x  10 log 10 x  20 x  20   10 y  y  x  x  ? A Câu 40 Có bao y C B  x 2 nhiêu y   5x số nguyên  x 1   x  1 ? y  10 cho D tồn số nguyên x thỏa mãn A 10 C B D Vô số Câu 41 Có cặp số nguyên dương  x ; y  thoả mãn  x  2020 y  y  x  log  x  y 1  A 2021 Câu 42 Có B 10 số  C 2020 x nguyên  2log  x  y   log   log x cho tồn D 11 số thực y thỏa  y  1 B D  1  x Câu 43 Có cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn  y  2020 log3    y 1 ? y   A 2019 B 11 C 2020 D  4x2  4x   Câu 44 Biết x1 , x2 hai nghiệm phương trình log    4x 1  6x x   A mãn C x a  b với a , b hai số nguyên dương Tính a  b A a  b  13 B a  b  11 C a  b  16 D a  b  14  x x 1   log3   Câu 45 Biết phương trình log5  có nghiệm dạng x  a  b x  2 x a, b số nguyên Tính 2a  b A B C D x Câu 46 Số nghiệm thực phương trình  3log  x  1  x  A B C D x x    x 1 x Câu 47 Tính tổng S tất nghiệm phương trình ln     5.3  30 x  10  x    A S  B S  C S  1 D S  x1  x2    x  80  2.3x 1  x  80  ln 3x A B C D B BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ  Dạng Tìm m để f t; m  có nghiệm (hoặc có k nghiệm) D? Câu 48 Số nghiệm phương trình ln — Bước Tách m khỏi biến số đưa dạng f t  A m — Bước Khảo sát biến thiên hàm số f t D — Bước Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A m để đường thẳng y  A m nằm ngang cắt đồ thị hàm số y  f  t — Bước Kết luận giá trị cần tìm Am để phương trình f t  A m có nghiệm (hoặc có k nghiệm)  Lưu ý D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 — Nếu hàm số y  f t có giá trị lớn giá trị nhỏ D giá trị A m cần tìm m thỏa mãn: f t  A m  max f t tD tD — Nếu toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta cần dựa vào bảng biến thiên để xác định cho đường thẳng y  A m nằm ngang cắt đồ thị hàm số y  f  t k điểm phân biệt  Dạng Tìm m để bất phương trình f t; m  f t; m  có nghiệm miền D? — Bước Tách tham số m khỏi biến số t đưa dạng A m  f t A m  f t — Bước Khảo sát biến thiên hàm số f t D — Bước Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị tham số m để bất phương trình có nghiệm: + A m  f t có nghiệm D  A m  max f t tD + A m  f t có nghiệm D  A m  f t tD  Lưu ý — Bất phương trình A m  f t nghiệm t  D  A m  f t tD — Bất phương trình A m  f t nghiệm t  D  A m  max f t tD Câu Cho phương trình log 22  x    m   log x  m   ( m tham số thực) Tập hợp tất giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1; 2 B 1; 2 A 1;  Câu Câu C 1;  D  2;     x  Cho phương trình  2log32 x  log 22 x  4log    3x  m  ( m tham số thực) Có tất    giá trị nguyên dương m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt? A 78 B 80 C 81 D 79  Cho phương trình log 22 x  3log x   x  1  m  3x  m  ( m tham số thực) Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên dương m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Tính tổng tất phần tử S A 3238 B 3236 C 3237 D 3239 Câu  Cho phương trình log 32 x  3log x   3x  m.2 x  ( m tham số thực) Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên dương m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Tính tổng tất phần tử S A 741 B 742 C 740 D 703 Câu  Cho phương trình 22lg x lg x  41 lg x  3x  m  ( m tham số thực) Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên dương m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Tổng phần tử nhỏ phần tử lớn S A 3100  B 3100  C 399 D 399  Câu Cho phương trình  3.2 x.log x  12 log x  x   x  m  ( m tham số thực) Có tất giá trị nguyên dương m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt? A 24 B 25 C 23 D 22 Câu Cho phương trình log 22 x  3m log  3x   2m2  2m   ( m tham số thực) Tìm tất số thực m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1;9 A 3  m  B m  C  1 D   m  2 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Câu Cho phương trình log 22 x  (m  3)log x  2m2  3m  ( m tham số thực) Có giá trị 1  nguyên tham số m để phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn  ;32  ?   A B C D Câu Cho phương trình x  (m  5)3x  3m   ( m tham số thực ) Có giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1;2 A B C m  R D Câu 10 Cho phương trình log 22 x  log x  m2  2m  ( m tham số thực) Có giá trị nguyên 1  tham số m để phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn  ;16  ? 8  A B C D Câu 11 Cho phương trình log 22  x   2log x  m   Có giá trị nguyên tham số m để 1  phương trình có nghiệm thuộc đoạn  ;16  ? 2  A 10 B C  Câu 12 Cho phương trình log 22 x  log x  m2  2m  D  log x  ( m tham số thực) Có giá trị nguyên tham số m để phương trình cho có nghiệm phân biệt x  A B  Câu 13 Cho phương trình  2020 x C   m  2 ? D 2020 x  m   ( m tham số thực) Tập hợp tất giá trị m để phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn  0;2 A  2;2021 D  2; 2021 C  2;   B m  R  Câu 14 Cho phương trình log32 x  (m  3)log3 x  2m2  3m   log81 x  ( m tham số thực) Có giá trị nguyên tham số m để phương trình cho có nghiệm phân biệt x  B A ? 27 D C Câu 15 Cho phương trình log22021  2021x    m  2 log2021 x   m ( m tham số thực) Tổng tất giá trị nguyên m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1; 20213  là: A 10 B  Câu 16 Cho phương trình log 22 x  log x  m2  2m C vô số  D 13  log x  ( m tham số thực) Có giá trị nguyên tham số m để phương trình cho có nghiệm phân biệt x  A B C Câu 17 Có giá trị nguyên m để phương trình 91 ? D 1 x   m   31 1 x  2m   có nghiệm thực? A B C D Câu 18 Cho phương trình log a x  log a  x    Số giá trị nguyên a   0; 2020  để phương trình có nghiệm thực A B 2018 C 2019 D 2020 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 19 Cho phương trình log  mx  x   log  14 x 2 phương trình có nghiệm thực phân biệt A B  29 x    , số giá trị nguyên m để C 23 D Câu 20 Phương trình log x  log x   2m   có nghiệm đoạn 1;3  m   a ; b  Khi   giá trị biểu thức T  a.b A B 1 C  D 3 Câu 21 Phương trình log 32 x  log 32 x   2m   có nghiệm đoạn 1;3  m   a ; b  Khi   giá trị biểu thức T  a.b A B C  D 4   5x  m  ( m tham số thực) Có tất giá Câu 22 Cho phương trình 3log3 x  2log3 x 1 trị nguyên dương m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt? A Vô số B 120 C 121 D 124   Câu 23 Cho phương trình log4 x  x   log  x  2   log2 m ( m tham số thực) Có tất giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm? A B C D Vơ số Câu 24 Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực m để phương trình log 22 x  log x  m  có nghiệm thuộc khoảng 0 ;1 B 4 ;  A 4 ;   C 4 ;0  Câu 25 Cho phương trình 2020 2 log 32 x  log 22 x  log  x   D 2 ;  3x  m  ( m tham số thực) Có tất giá trị nguyên dương m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt? A 79 B 80 C Vô số D 78 Câu 26 Cho phương trình  2 log 32 x  3log x   x  m.3x  ( m tham số thực) Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên dương m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Tính tổng tất phần tử S A 4950 B 2475 C Vô số D 4949 2 Câu 27 Cho phương trình  m  1 log  x     m   log 2  4m   ( m tham số thực) Có x2 5  tất giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm thuộc  ; 4 2  A B C D Vô số  Câu 28 Cho phương trình log 22 x  3log x   16 x  1  m  x  m  ( m tham số thực) Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên dương m để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt Tổng tất phần tử S A 32637 B 32640 C 255 D 256    Câu 29 Giá trị lớn tham số m cho bất phương trình  log5 x   log5 mx  x  m nghiệm với x thuộc  A B C D Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A Smin   B Smin   C Smin   D Smin   Lời giải Chọn D Theo đề suy ra: xy   Ta có: 3xy  x  y 1  2x  y   xy  1 3xy 1   x  y  32 x  y 1 xy  Xét hàm số: f  t   t.3t ,  t    f   t   3t  t.3t.ln  0, t  Hàm số f  t  đồng biến khoảng  0;   Do đó: 1  f  xy  1  f  x  y   xy   x  y  y  1 2x x 1 Theo đề ta có: x, y   x  Ta có: S  x  y  x  Đạo hàm: S   12  x  1 8x  , x 1 x 1   S    x  12  Từ ta Pmin   Câu 13 Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn  9.3 x 2 y    9x 2 y  y  x2  Giá trị nhỏ biểu x  y  18 x thức P  A B 3 C  D 17 Lời giải Chọn A Ta có  9.3 x   3x 7x 2 2 y 2 y 2 2 y      9x  32( x 2( x 2 2 y  y  x2    3x 2 y 2    32( x  2 y)  y  x  2 2 y ) 2 y ) (*) t t  3t 1 3 Xét hàm số f (t )  t  Ta có f (t )       nghịch biến  7 7   (*)  f x  y   f  2( x  y )   x  y   2( x  y )  x  y   y  x  Từ P  x  x  16 16 16  x    x   P  x x x Dấu "  " xảy x   x  y 1  Câu 14 Cho số dương x, y thỏa mãn log    x  y  Giá trị nhỏ biểu thức  2x  y  A  x  y   x y Trang 66 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 A 31 27 Lời giải B 11 C D 19 Chọn D  x  y 1 0   x  y 1 ĐK:  x  y  x, y   Ta có:  x  y 1  log    3x  y   2x  y    log  x  y  1  1   x  y  1  log5  x  y   x  y  log 5  x  y  1    x  y  1  log  x  y   x  y * Xét hàm số f (t )  log  t   t  0;    , f (t )    0, t   0;    nên hàm số f (t ) t ln đồng biến  0;    *   x  y  1  x  y  3x  y  Mặt khác, ta có A  6x  y   4  9    x     y     x  y   2.6  2.6   19 x y  x  y  9 x  x   x    Dấu “ = ” xảy   y  (thỏa mãn điều kiện)  y  y   3 x  y    Vậy GTNN A 19 y x Câu 15 Cho hai số thực x, y lớn thỏa mãn y x (e x ) e  x y (e y ) e Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  log x xy  log y x A 1 2 Lời giải B 2 C D 1 Chọn C Với x, y  , ta có y y x (e x )e  x y (e y )e   ln y x (e x )e y x   ln  x (e )  y y ex  x ln y  xe y  y ln x  ye x  ln y e y ln x e x    (1) y y x x Xét hàm số g (t )  tet  et   ln t 1;   , có g(t )  tet   0, t  t Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 67 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Hàm số g(t ) đồng biến 1;   nên g (t )  g (1)   0, t  Xét hàm số f (t )  g (t ) ln t et 1;   , có f '(t )   0, t  1, nên f (t ) đồng biến (1; )  t t t Với x, y  (1)  f ( y)  f ( x)  y  x Đặt u  log x y Do y  x  nên u  Ta có P  h(u )  1 u u2   Nhận thấy h '(u )  , nên u 2u h '(u)  u  2, h '(u)   u  2, h '(u)  u  Dẫn tới P  h(u )  h     22 Vậy P  , u  1, đẳng thức xảy u  1 2 , đạt y  x 2 x  Câu 16 Cho hai số thực x , y thỏa mãn  x , y  x , y khơng đồng thời  x y  log     x  1  y  1   Tìm giá trị nhỏ P với P  x  y   xy  A B C D Lời giải Chọn B xy Từ điều kiện đề  0;1  xy   x  y  0;1  xy   xy  xy  log     x  1  y  1    log  x  y    x  y   log   xy     xy    xy  Xét hàm số f  t   log t  t  t   có f   t     t  t.ln  f  t  hàm số đồng biến khoảng  0;   Vậy phương trình  1  x  y   xy  y  Xét hàm số f ( x)  x   1 1 x 1 x  P  2x  1 x 1 x x  2 1 x với x   0; 1 có f ( x)   cho f ( x)    x1  x  2  x  1 f    1; f  1   f ( x)   chọn B 0;1   2x  Câu 17 Xét số thực dương x , y thỏa mãn ln    3x  y  Tìm giá trị nhỏ Pmin  xy  1 P  x xy A Pmin  B Pmin  C Pmin  D Pmin  16 Lời giải Chọn A Điều kiện  x  Trang 68 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020   2x  Từ giả thiết ln    3x  y   ln   x     x   ln  x  y    x  y   1  xy  Xét hàm số f  t   ln t  t  0;   có f   t     , t  hàm f  t  đơn điệu t Vậy  1   x  x  y  x  y    1 2      x xy x x  y x  x Có P  Đặt g  x   , ta có g  x     suy g   x    x   x  2x x 1  2x  Do g  x   Vậy Pmin   1  0;   2 Bổ sung: đánh giá P  1 2        x xy x x  y x  x x   x Câu 18 Cho hai số thực x, y không âm thỏa mãn x  x  y   log 2 y 1 Giá trị nhỏ biểu x 1 thức P  e2 x 1  x  y  A  Lời giải B D  C Chọn A y 1 2   x  1  log 2  x  1  log  y  1   y  1 x 1 Xét hàm số f  t   t  log t ,  t   ; f   t     0, t  t.ln  x  x  y   log 2  Suy  x  1  y   y   x 1 1 P  e2 x 1  x2  y   e2 x1  4x2   x  1    e2 x 1  x  x  g  x  g   x   2e2 x 1  x  hàm số đồng biến nửa khoảng  0;   nên g   x   có tối đa nghiệm, nhẩm nghiệm x  Vậy P   nên nghiệm 1 x  2 Câu 19 Cho hai số thực dương x , y thay đổi thỏa mãn đẳng thức  xy  1 22 xy 1   x  y  x y Tìm giá trị nhỏ ymin y Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 69 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A ymin  B ymin  C ymin  D ymin  Lời giải Chọn B Ta có  xy  1 22 xy 1   x  y  x y   xy   1 22 xy 1   x  y  x  y 1 1 Xét hàm f  t    t  1 2t với t  Khi f   t   2t   t  1 2t.ln  với t  Từ 1  xy   x  y   y  y  2x2  2x   x  1 x2  2x 1 x    2x2  2x      x  1 Loại x  1 điều kiện t nên f     x, y     x  3 Câu 20 Cho  cho ln 2     x  ln  19 y  xy ( x  y ) Tìm giá trị nhỏ m biểu   x , y  y     thức T  x  x  3y A m  1 B m  C m  Lời giải D m  Chọn C Ta có  ln 2   x  3  x  ln  19 y  xy ( x  y )  ln 2 y  x   2 y  x   ln 3 y   3 y  1   y Xét hàm số f t   ln t   t với t  có f  t    3t  t Vậy 1  y  x  y  x  y  T  x  t   f t  đồng biến 4x Áp dụng bất đẳng thức AM-GM T  x 3x x 3x x 3x           Dấu xảy x  y  4x 4 4x 4 4x 4 Câu 21 Cho x; y số thực dương thỏa mãn điều kiện x4 y  5xy  x    3 x4 y  y  x  4 Tìm xy giá trị nhỏ biểu thức P  x  y A B  C  Lời giải D 1 Chọn B Ta có x4 y  5xy  x    3 x4 y  y  x  4 xy Trang 70 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  x4 y  3 x4 y  x  y  xy1  31xy  xy 11 Xét hàm số f t   5t  3t  t  Vì f  t   5t.ln  3t.ln   0; x   nên hàm số f t  đồng biến  2 Từ 1 2 ta có x  y  xy 13 Dễ thấy x  không thỏa mãn 3 x 1 kết hợp điều kiện y  suy x  x4 x 1 Do P  x  y  x  x4 x 1 Xét hàm số g  x   x  4;  x4 x   5    Ta có g   x  1  x     x   x 4 Với x  , 3  y  g  x – g  x      5 Dựa vào bảng biến thiên ta có Pmin  g  x   4;  Câu 22 Cho x , y số thực dương thỏa mãn x  y  xy  x    3 x  y  y ( x  2) Tìm giá trị nhỏ 3xy biểu thức T  x  y A Tmin   B Tmin   C Tmin   D Tmin   Lời giải Chọn B Theo đề ta có xy  x    3 x  y  y ( x  2) xy 1  x  y  x  y  x  y  xy 1  xy 1  xy  3 Xét f  t   5t  t  t  f   t   5t ln  3 t ln   x 1 x 1 Do y  0, x    x  y  xy   y  0 x2 x2 x2 5x y  x  x2  x   x2 x2  x     2;   x2  4x   T     x     2;    x  2 Bảng biến thiên Chỉnh lại bbt cho em,chỉ xét với x  nhé,kết không thay đổi Ta có: T  x  y  x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 71 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Từ bảng biến thiên ta thấy Tmin   x   Câu 23 Xét số thực dương x, y thỏa mãn log x  3y  xy  y  x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức xy  1 y A x A Amin  14 B Amin   14 C Amin  6 D Amin  Lời giải Chọn D Điều kiện: x  y  log x  3y  xy  y  x   log  x  y   log  xy  1  xy  y  x  xy   log  x  y    x  y   log  xy  1  xy  11 Xét hàm f  t   log t  t , t  f  t     0, t  t.ln Suy hàm số f  t  đồng biến  0;    nên 1  x  y  xy   y  A x x 1 x3 x3  x y x 1 Đặt A  A  x   x  x3  A  x      x  x, y  x 1  x  1 4x  y  2 x  y  2 Câu 24 Cho x, y  thỏa 2019   Tìm giá trị nhỏ P P  y  x  x  2 A 2018 B 2019 Lời giải D C Chọn D Ta có: 2019   x2  y2  4x  y   x  2   2019   x  x  2 x  y  2  4x  y   x  2  2019 2 x 2  x  2  2019 24 x y  2. x  y  2* 2 Trang 72 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  u   x  22 Đặt  u, v  0   v  x  y    Khi đó: *  2019 2u.u  2019 v.v  f u   f v  với f t   2019 t t , (t  0)  f ' t   2019 t ln 2019.t  2019 t  0,  t  Do đó: f u   f v   u  v   x  2  x  y   y  x  2  P  y  x  x  x    x 1   Vậy Pmin   x  Câu 25 Cho số thực dương x , y thỏa mãn log  x  1 y  1  biểu thức P  x  y A Pmin  11 B Pmin  27 y 1    x  1 y  1 Giá trị nhỏ C Pmin  5  D Pmin  3  Lời giải Chọn D y 1 Ta có log  x  1 y  1     x  1 y  1   y  1  log  x  1  log  y  1    x  1 y  1    y  1 log  x  1  log  y  1  x  1   log  x  1  x    log  y  1 y 1  log  x  1  x    9   log y 1 y1 Xét hàm số f  t   log t  t  với t  có f   t     với t  nên hàm số f  t  t ln đồng biến liên tục  0;   Từ suy x   Vậy P  x  y  8y 9 , x  nên y   0;  x 1  y1 y 1 y 1 8y 9  2y  2y     y  1    3  y 1 y 1 y1 Vậy Pmin  3   y  1  y 1 y 1 Câu 26 Xét số thực dương x, y thỏa mãn log 1 y  xy  x  y  Tìm giá trị nhỏ Pmin x  xy P  x y A Pmin  34 B Pmin  34 C Pmin  34 D Pmin  34 Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 73 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 log 1 y  xy  x  y   log 1  y   log  x  xy   xy  x  y  x  xy  log 3 1  y   1  y   log  x  xy    x  3xy    0, t  Suy hàm số đồng biến t ln  0;   Suy  log 3 1  y   1  y   log  x  3xy    x  3xy   1  y   x  3xy Xét hàm f  t   log t  t , t  có f '  t   x 1  y  1  y   4 34  x y  y Vậy Pmin   1 3y 1 3y 3 Câu 27 Xét số thực dương x, y thỏa mãn log lớn Pmax biểu thức P  A x y  x  x  3  y  y  3  xy Tìm giá trị x  y  xy  2 3x  y  x y6 B C Lời giải D Chọn C Ta có: log x y  x  x  3  y  y  3  xy x  y  xy  2  log 3  x  y    x  y   log x  y  xy    x  y  xy  Xét hàm số f  t   log t  t , t  có f   t     0, t  Vậy hàm số f  t  đồng t ln biến liên tục khoảng  0;   Do đó: f   x  y    f  x  y  xy     x  y   x  y  xy  1 Từ 1  xy   x  y    x  y    x  y 1 Ta có x  x  xy  xy  x  y  1  xy     xy   x  y  Đẳng thức xảy Do từ 1 , suy ra:  x  y  1 x 2   x  y   3 x  y   Đặt t  x  y , t  2 x  y 1 x  Suy ra: P  x y6 Ta có: f   t    t  1 2t   3t  36t  135 t  6 2  t  3t  3t  22t    f t  t 6  t  6   t  (nhận) Bảng biến thiên Trang 74 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 t f  t     f t  x  y 1 x  Dựa vào BBT, ta có max P  max f  t   f  3     0;   x  y   y  Câu 28 Xét số thực dương x , y thỏa mãn 2018    x  y Tìm giá trị nhỏ P 2 x  y 1  x  1 P  y  3x A Pmin  B Pmin  C Pmin  D Pmin  Lời giải Chọn B x  y 1 2x  y 2x  y Cách 1: Ta có 2018     x  y  1  log 2018 2  x  1  x  1   x  1   x  y   log 2018  x  y   log 2018  x  1 2   x  1  log 2018  x  1   x  y   log 2018  x  y  Có dạng f  x  1   f  x  y  với f  t   2t  log 2018 t ,  t     Xét hàm số f  t   2t  log 2018 t ,  t   , ta có f   t      t   nên hàm số f  t  t ln 2018 2 đồng biến khoảng  0;    Khi f  x  1   f  x  y    x  1  x  y  y  x2    Ta có P  y  3x   x  1  3x  x  3x  Bảng biến thiên x     P Vậy Pmin  x  Câu 29 Cho số thực dương x, y thỏa mãn log  x  1 y  1  biểu thức P  x  y A Pmin  11 B Pmin  27 y 1    x  1 y  1 Giá trị nhỏ C Pmin  5  D Pmin  3  Lời giải Chọn D Ta có log  x  1 y  1  y 1    x  1 y  1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 75 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   y  1 log3  x  1  log3  y  1    x  1 y  1    y  1 log  x  1  log  y  1  x  1   log  x  1  x    log  y  1 y 1  log  x  1  x    9 (*)   log y 1 y 1 Xét hàm số f  t   log t  t  với t  có f   t     với t  nên hàm số f  t  t ln đồng biến liên tục  0;   9 8 y x 1  , x  nên y   0;8  y 1 y 1 y 1 8 y 9 Vậy P  x  y   y  y 1   y  1    3  y 1 y 1 y 1 Từ (*) suy x   Vậy Pmin  3   y  1   y 1 y 1 Câu 30 Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn log x  x  x  y   log   y   x Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  A  x y 59 B 19 53 Lời giải C D  Chọn B x  Điều kiện:  0  y  Từ giả thiết ta có: log x  x  x  y   log   y   x  log x  x  log  x   y    x   y  (*) Xét hàm số f  t   log t  t với t  , Ta có f '  t     0, t  nên hàm t ln số f  t   log t  t đồng biến khoảng  0;   Do *  f  x   f  x   y    x  x   y   x   y  x  y  ** ( x  ) Áp dụng Bất đẳng thức Cô si cho cặp số dương bất đẳng thức ** , ta có: 3x y  3x   y  P  3x  y     x  y              19 x y 2 x y  x 2 y  x  y   x   3x Đẳng thức xảy    Vậy giá trị nhỏ P 19 y  2 x y 2  y  Trang 76 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Câu 31 Cho x , y số dương thỏa mãn log x2  y   x  10 xy  y  Gọi M ,m 2 x  10 xy  y giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P  A T  60 B T  94 x  xy  y Tính T  10 M  m xy  y C T  104 D T  50 Lời giải Chọn B log x2  y   x  10 xy  y  2 x  10 xy  y  log  x  y   log  x  10 xy  y   log 2   x  y    x  10 xy  y    log  x  10 y    x  y   log  x  10 xy  y    x  10 xy  y   x2  10 y  x2  10 xy  y2 vi) x x x  x  10 xy  y      10        y  y  y 2 x x  y   y 9 2 x  xy  y P   x xy  y 1 y Đặt t  x , điều kiện:  t  y t  2t   t  4 t2  t   f t  f t   ;   ; f  t     t 1  t  1 t  11 99 ; f    ; f 9  10 99 Nên M  , m  Vậy T  10 M  m  94 10 f  1  Câu 32 Vậy Amin  Cho số thực dương x y thỏa mãn  9.3x 2 y    9x 2 y  y  x2  Tìm giá trị x  y  18 x nhỏ biểu thức P  3 A P  B P  C P   D Hàm số khơng có giá trị nhỏ Lời giải Chọn A Từ giả thiết ta đặt t  x  y , t   Phương trình  9.3x 2 y    9x 2 y .7 y  x2  trở thành   t  49 t t  9.3     t    49   9    49       t t Nhận thấy t  nghiệm phương trình Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 77 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta chứng minh t  nghiệm phương trình t 7  Xét t  :  49    49 nên vế trái phương trình ln dương, nên phương trình vơ 3 nghiệm t t 7  Xét t  : 7t  49    49 nên vế trái phương trình ln âm, nên phương trình vơ nghiệm 3 Vậy t  x  y   y   x x2  x  y  18 x  x  16  thay vào P  x x 16 16 16   x   Dấu đạt x   x  x x x   Câu 33 Cho x, y số thực lớn cho y x e x ey ex  x y  e y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  log x xy  log y x A 1 2 Lời giải B 2 C D 1 Chọn C Cách Ta có: y x y x e e e e y x  e x   x y  e y   ln  y x  e x    ln  x y  e y     x y  x ln y  xe y  y ln x  ye x   x ln x  e ln y  e y    (*) (vì y  e x  ln x có y '  e x   0; x  x nên y  y 1  e  ) Xét hàm số: f  t   ln t  et   tet t f ' t  1; ta có Với hàm số     ln t  et  ln t  et  g  t   ln t  et   tet có g '  t    ln t  et   tet  '   tet  0, t  t Nên g  t   g 1  1  f '  t   0; t   y  f  t  hàm nghịch biến 1;   nên với (*) f  x   f  y   y  x  Khi P  log x xy  log y x  Dấu “=” xảy khi: Vậy: Pmin  1 1 1 1 2  log x y    log x y  2 log x y 2 log x y 1 log x y    log x y    y  x log x y 1 2 Câu 34 Tính giá trị biểu thức P  x  y  xy  biết 1  y  A P  x2  x2 1  log 14   y   y   với x  13 B P  C P  D P  Trang 78 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Lời giải Chọn B Xét x2  Ta có x2 1 x2  x2  log 14   y   y   1 x2 4 x2 1  , dấu xảy x  1 , Mặt khác 14   y   y   14  y   Đặt t  y  ta có  t    y 1 30 Xét hàm số f  t   t  3t  14 Ta tìm GTLN – GTNN hàm   30  56  30 30  số đoạn 0; ; max f  t   f 1  16 f  t   f    min  30  30      0;  0;          Suy log 14   y   y    log 16  ,  x  1  x  1 Từ suy ta có   Thay vào P  t  y   y  1 ,  y  log 11  x  y   y  x  Xét biểu thức 2 P  16 yx  x  y    y  Gọi m , M giá trị nhỏ giá trị lớn P Khi Câu 35 Cho hai số thực x , y thỏa mãn  x  giá trị T   4m  M  bao nhiêu? A 16 B 18 C 17 Lời giải D 19 Chọn A Ta có log 11  x  y   y  x    x  y   log 11   x  y     Đặt t  x  y ,  t  11 Phương trình trở thành: 2t  log 11  t    1 Xét hàm số f  t   2t  log 11  t   khoảng  0;11 Có y    , t   0;11 Do hàm số f  t  ln đồng biến 11  t Dễ thấy 1 có nghiệm t  Do t  nghiệm 1 Suy x   y Khi 1  y  P  16 y  1  y  y    y   y  y  y   1 Xét hàm số g  y   y  y  y  0;  , có  2  1 g   y   12 y  10 y   , y   0;   2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 79 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Do đó, g  y   g    , max g  y   g 1   1  0;     1 0;   Suy m 3 , m 4 Vậy T 4.3 4 16 HẾT Trang 80 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ƠN TẬP TNTHPT 2020 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - MIN MAX LOGARIT Vấn đề 10 A PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BPT MŨ -LOGARIT Thường sử dụng phương... thỏa mãn  x  2020 log  x    x  y   y ? A 10 B 11 C 2020 D Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Lời giải... Vô số Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020  x; y  Câu 39 Có cặp số nguyên dương thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: