Phương pháp ghép trục trong bài toán hàm hợp

KÊNH PPT TIVI PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP Tổng hợp: Thủy Đinh Ngọc I NGUYÊN TẮC GHÉP TRỤC XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM HỢP g  f  u  x   Bước 1: Tìm tập xác định hàm g  f  u  x   , giả sử ta tập xác định D   a1 ; a    a ; a     a n 1 ; a n  Ở a1   ; a n   Bước 2: Xét biến thiên u  u  x  hàm y  f ( x ) (B2 làm gộp bước đơn giản) Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét tương quan  x ; u  u  x   u; g  f (u ) Bảng thường có dịng dạng Cụ thể thành phần BBT sau Dòng 1: Xác định điểm kỳ dị hàm u  u  x  , xếp điểm theo thứ tăng dần từ trái qua phải, giả sử sau: a1  a   a n 1  a n (xem ý 1)  Dòng 2: Điền giá trị ui  u   với i  1, , n  Trên khoảng  ui ; ui 1  , i  1, n  cần bổ xung điểm kỳ dị b1 ; b2 ; ; bk của hàm y  f ( x ) Trên khoảng  ui ; ui 1  , i  1, n  cần xếp điểm ui ; bk theo thứ tự chẳng hạn: ui  b1  b2   bk  ui 1 ui  b1  b2   bk  ui 1 (xem ý 2) Dòng 3: Xét chiều biến thiên hàm g  f  u  x   dựa vào BBT hàm y  f ( x ) cách hốn đổi: u đóng vai trị x ; f  u  đóng vai trị f  x  Sau hoàn thiện BBT hàm hợp g  f  u  x   ta thấy hình dạng đồ thị hàm Bước 4: Dùng BBT hàm hợp g  f  u  x   giải yêu cầu đặt toán kết luận Chú ý 1: Các điểm kỳ dị u  u ( x ) gồm: Điểm biên tập xác định D , điểm cực trị u  u  x  - Nếu xét hàm u  u  x  dịng điểm kỳ dị cịn có nghiệm pt u  x   (là hoành độ giao điểm u  u ( x ) với trục Ox ) Nếu xét hàm u  u  x  dịng điểm kỳ dị cịn có số (là hoành độ giao điểm u  u ( x ) với trục Oy ) Chú ý 2: Có thể dùng thêm mũi tên để thể chiều biến thiên u  u  x  Điểm kỳ dị y  f ( x ) gồm: Các điểm f ( x ) f ( x ) không xác định; điểm cực trị hàm số y  f ( x ) - Nếu xét hàm g  f  u  x   dịng điểm kỳ dị cịn có nghiệm pt f  x   (là hoành độ giao điểm u  u ( x ) với trục Ox ) Nếu xét hàm g  f  u  x   dịng điểm kỳ dị cịn có số (là hoành độ giao điểm y  f ( x ) với trục Oy ) II ĐỀ MINH HỌA CỦA BỘ GIÁO DỤC Câu 45-MH-BGD-L1: Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau: Số nghiệm thuộc đoạn   ; 2  phương trình f  sin x    A B C Lời giải D Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống Đặt t  sin x Do x    ; 2  nên t   1;1 Khi ta có phương trình f  t     f  t    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f  t    t  b   0;1 có nghiệm t  a   1;0 Trường hợp 1: t  a   1;0  Ứng với giá trị t   1;0 phương trình có nghiệm   x1  x2     x3  x4  2 Trường hợp 2: t  b   0;1 Ứng với giá trị t   0;1 phương trình có nghiệm  x5  x6   Hiển nhiên nghiệm trường hợp khác Vậy phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn   ;2  Cách 2: Phương pháp ghép trục   x     Đặt t  sinx   1;1 x    ; 2  ; t'   cosx    x  ;    x  3  Ta có f  sinx     f  sinx    Do tổng số nghiệm phương trình cho Câu 46-MH-BGD-L1: Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm số g  x   f  x  x  A B C D 11 Lời giải Chọn C Cách 1: Tự luận truyền thống Từ đồ thị ta có bảng biến thiên hàm số y  f  x  sau Ta có g  x   f  x  x   g   x    x  x  f   x  x  x    x  2 3 x  x  Cho g   x       x  x  a; a    f x  x      x  x  b;  b    x  x  c; c  x  Xét hàm số h  x   x3  3x  h  x   3x2  x Cho h  x      x  2 Bảng biến thiên Ta có đồ thị hàm h  x   x3  3x sau Từ đồ thị ta thấy: Đường thẳng y  a cắt đồ thị hàm số y  h  x  điểm Đường thẳng y  b cắt đồ thị hàm số y  h  x  điểm Đường thẳng y  c cắt đồ thị hàm số y  h  x  điểm Như phương trình g   x   có tất nghiệm đơn phân biệt Vậy hàm số g  x   f  x  x  có cực trị Cách 2: Phương pháp ghép trục  x  2 Xét hàm số u  x  x ta có u '  x  x    x  Gọi a, b, c điểm cục trị hàm số y  f  x  a   b   c Và ta có f  a   f  c   ; f  b   Suy g  x   f  x  x  có điểm cực trị Câu 46-MH-BGD-L2: Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau  5  Số nghiệm thuộc đoạn  0;  phương trình f  sin x     A B C D Lời giải Chọn C Cách 1: Tự luận truyền thống  5  Đặt t  sin x , x  0;   t   1;1   Khi phương trình f  sin x   trở thành f  t   1, t   1;1 Đây phương trình hồnh độ giao điểm hàm số y  f  t  đường thẳng y  t  a   1;  Dựa vào bảng biến thiên, ta có f  t      t  b   0;1 Trường hợp 1: t  a   1;0  Ứng với giá trị t   1;0  phương trình sin x  t có nghiệm x1, x2 thỏa mãn   x1  x2  2 Trường hợp 2: t  b   0;1 Ứng với giá trị t   0;1 phương trình có nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa mãn 5 ; Hiển nhiên nghiệm trường hợp khác  5  Vậy phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn 0;     x3  x4   ; 2  x5  Cách 2: Phương pháp ghép trục  5  Đặt t  sin x , x  0;   t   1;1   Khi phương trình f  sin x   trở thành f  t   1, t   1;1 Do tổng số nghiệm phương trình cho III PHÁT TRIỂN CÂU 45 – 46 Câu 1: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị cho hình vẽ bên Hỏi phương trình f  x3  3x 1   có tất nghiệm thực phân biệt? A B C D 11 Lời giải Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống - Dựa vào đồ thị hàm số f  x  , ta có: f f  x  x  1     f    x  x   b  b  1     x3  3x  1    x3  3x   c  1  c  3  3    x3  3x  1    x3  3x   d  d  3     x  x   a  a  d  1 Dựa vào đồ thị hàm số y  x3  3x  (hình vẽ đây) Ta suy ra: Phương trình (1), (2), (4) phương trình có nghiệm, phương trình (3) có nghiệm nghiệm phân biệt Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u  x3  x  Ta có u   x   x  ; u   x    x   BBT hàm số u  x  : x u' u  +  1 + + +  f u   3 Phương trình f x  3x    trở thành: f  u       f  u   Từ đồ thị hàm số y  f  x  từ bảng biến thiên hàm số u  x   x  x  ta có bảng sau   biến thiên hàm hợp f  x  x  1  f (u ) sau: Từ bảng ta thấy phương trình f  u   có nghiệm phương trình f  u   có nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm Câu 2: Cho hàm số f  x  liên tục  có bảng biến thiên hình bên Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f  cos x     m  f  cos x   m  10  có    nghiệm phân biệt thuộc đoạn   ;     A B C Lời giải Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống Ta có f  cos x     m  f  cos x   m  10  D t  Đặt t  f  cos x  ta phương trình t    m  t  2m  10    t  m     x cos x      +) Với t   f  cos x      x    ;        cos x  x  +) Với t  m   f  cos x   m  (1)    Để phương trình ban đầu có nghiệm phân biệt thuộc đoạn   ;   phương trình (1) có        nghiệm đoạn   ;   khác  ;0; 3      Với x    ;    u  cos x   1;1   Nhận xét: 1     Nếu u   ;1  có nghiệm x    ;   2     1    Nếu u  u  1;  có nghiệm x    ;    2   Do u cầu tốn xảy phương trình (1) thỏa f  cos x   m   f  u   m  có nghiệm u   1;   2 Từ bảng biến thiên suy   m     m  Vì m   nên m1; 2;3; 4;5;6 Cách 2: Phương pháp ghép trục    Đặt t  cos x   1;1 x    ;     x  t '   sin x    x   Khi phương trình f  cos x     m  f  cos x   m  10  thành  f t   2 f  t     m  f  t   2m  10     f  t   m  Do phương trình f  t   có nghiệm nên u cầu tốn tương đương với phương trình f  t   m  có nghiệm 4  m     m  Vì m   nên m1; 2;3; 4;5;6 Câu 3:  [CHUYÊN VINH LẦN 1-2020].Cho hàm số y  f x liên tục  có bảng biến thiên hình bên  Xác định số nghiệm phương trình f x  3x A B Chọn C Phương pháp ghép trục Theo ta có bảng biến thiên tổng hợp:   23 ,biết f  4  C 10 Lời giải D 11   Đồ thị hàm số y  f x  3x phần nét liền Câu 4: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f  x  3x   m có nghiệm phân biệt A Chọn A Phương pháp ghép trục B Lời giải C D Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f  x  3x   m có nghiệm phân biệt Câu 5: m 3 m m  m 4, 5, 6, 7, Cho hàm số y  f  x   x  x Số điểm cực trị hàm số g ( x)  f  f  x   1 A B C Lời giải D 11 Chọn B Phương pháp ghép trục y  f  x   x2  x BBT Đặt u  f  x   Ta có u   x   f   x  ; u   x    f   x    x   u  2 BBT hàm số u  x  : Từ hai BBT ta có BBT hàm số g ( x)  f  f  x   1  f  u  Câu 6: Vậy hàm số ban đầu có điểm cực trị [CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG-2020] Cho f ( x) hàm đa thức bậc cho đồ thị hàm số y  f ( x ) hình vẽ Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống Chọn B  f ( x  x)  Ta có phương trình f ( x  x)     f ( x  x )  2 Từ đồ thị hàm số vẽ y  f ( x) ta có  x2  2x   x  1 Xét đoạn  0; 4 ta nghiệm f ( x  x)      x  x  1  x  x  1; x    x2  2x  a  x2  2x  a  2  a  1 với  f ( x  x )  2     b  x  x  b x  x  b     Với phương trình x  x  a  có    a  phương trình vô nghiệm  x  1 b 1 Với phương trình x  x  b    ta có nghiệm x   b    x   b    b   , trường hợp phương trình có nghiệm Kết luận phương trình cho có nghiệm đoạn  0; 4 Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt t  x  x , ta có t '  x  , từ đồ thị hàm số f ( x) cho ta có f (0)  , f (1)  f (1)  f (8)  m  2 Ta có bảng ghép trục sau: Qua bảng ta thấy phương trình f (t )   f ( x  x )  có nghiệm phân biệt Câu 20: [CHUYÊN KHTN HÀ NỘI LẦN 3-2020] Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ   Hàm số y  f x  có điểm cực trị? A B C Lời giải D Chọn A Cách 1: Tự luận truyền thống x   x3   x   1  Ta có y  xf  x   y     x    x 1     x    x   Hay y  có nghiệm bội ba, bốn nghiệm đơn     Vậy hàm số y  f x  có điểm cực trị Cách 2: Phương pháp ghép trục Từ đồ thị hàm số y  f   x  ta có bảng biến thiên hàm số y  f  x  sau Đặt u  x  Ta có u   x   x ; u   x    x  BBT hàm số u  x  :   Hàm số y  f x  trở thành hàm số: y  f  u  Từ bảng biến thiên hàm số y  f  x  bảng biến thiên hàm số u  x   x  ta có bảng sau   Từ bảng ta thấy hàm số y  f x  có điểm cực trị Câu 21: [KIM THANH HẢI DƯƠNG 2020] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau Số nghiệm thực phương trình f 1  x    A B C Lời giải Chọn D Cách 1: Tự luận truyền thống Ta có f 1  x     f 1  x    Từ bảng biến thiên ta có 1  x  2 f 1  x     f 1  x      1  x  a   2;    Suy phương trình f 1  x    có nghiệm thực Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u   x Ta có u  x   2 Phương trình f 1  x    trở thành phương trình: f  u    Từ bảng biến thiên hàm số y  f  x  ta có bảng sau Từ bảng biến thiên ta có f  u    có nghiệm thực Suy phương trình f 1  x    có nghiệm thực D Câu 22: [CHUYÊN NGỮ HÀ NÔI 2020] Cho hàm số y  f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm sau Hàm số g  x   f  3x  2 đồng biến khoảng đây? A  2;4 B  1;1 C 1;2 D  0;1 Lời giải Chọn A Cách 1: Tự luận truyền thống g   x   f   3x    0  x   2  x   g   x    f   3x     f   x       3 x   x   4  Chọn đáp án A  2;    ;   3  Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u  x  Ta có u  x   Hàm số g  x   f  3x   trở thành hàm số: y  f  u  Từ bảng xét dấu đạo hàm hàm số y  f  x  ta có bảng sau  2 4  Từ bảng ta thấy   ;   ;    chứa khoảng  2;4 3     Vậy hàm số g  x   f  3x   đồng biến khoảng  2;4 Câu 23: Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau:  7 13  ; Số nghiệm thuộc đoạn   phương trình f  sin x  cos x     4  A B 10 C D Lời giải Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống     sin  x    t1         sin  x    t2  4  Ta có f  sin x  cos x     f  sin  x      1          sin  x    t3  4       sin  x    t4  4    ;   1   2 2;0   0;   2;   3   4 Các phương trình 1  4 vô nghiệm    7 13  ; Xét đồ thị hàm số y  sin  x     4   4  Ta thấy phương trình  2 có nghiệm phân biệt phương trình  3 có nghiệm phân biệt đồng thời số chúng khơng có nghiệm trùng Vậy phương trình cho có 10  7 13  nghiệm phân biệt thuộc đoạn   ;  4  Cách 2: Phương pháp ghép trục    7 13  Đặt t  sin x  cos x  sin  x   x    nên t    2;  ; 4   4   3   5  3 7 11 t   cos  x     x   k  x    ;  ; ; ; 4 4 4    ;  Khi phương trình f  sin x  cos x    thành f  t   1 Ta có Dựa vào bảng biến thiên phương trình cho có 10 nghiệm phân biệt Câu 24: Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hình vẽ   Số điểm cực trị hàm số g  x   f x3  3x A B C Lời giải D 11 Chọn C Cách 1: Tự luận truyền thống Do y  f  x  hàm số bậc bốn nên hàm số liên tục có đạo hàm ln xác định x   x  x1   2; 1  Theo đồ thị hàm số ta có f   x     x  x2   1;   x  x3   0;0,75     Mặt khác g   x   x  x f  x  3x   6x2  6x  nên g   x      f  x  3x    x0   x  1    x  3x  x1   x  x  x2  x  3x  x3 Xét hàm số h  x   x  3x  x0 Ta có h  x   x  x , h  x     , từ ta có BBT y  h  x  sau  x  1 Từ BBT hàm số h  x   x  3x nên ta có h  x   x1 có nghiệm, h  x   x2 có nghiệm, h  x   x3 có ba nghiệm phân biệt nghiệm khác 1 Vì phương trình g   x   có bảy nghiệm phân biệt nghiệm đơn nên hàm số y  g  x  có cực trị Cách 2: Phương pháp ghép trục Gọi a, b, c điểm cực trị hàm số y  f  x  , 2  a  b   c  0,75 x  Đặt t  x3  3x2 ; t '   x  x     x  1   Khi phương trình g  x   f x3  3x  f (t ) Ta có BBT Do phương trình g   x   có bảy nghiệm phân biệt nghiệm đơn nên hàm số y  g  x  có cực trị Câu 25: Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau:  3  Số nghiệm thuộc đoạn   ; 2  phương trình f  cos x      A B C D Lời giải Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống cos x  a    ;  1  cos x  b   1;0  Cách 1: Ta có f  cos x     f  cos x     cos x  c   0;1 cos x  d  1;     Vì cos x 1;1 nên cos x  a   ;  1 cos x  d  1;    vô nghiệm  3  Xét đồ thị hàm số y  cos x   ; 2    Phương trình cos x  b   1;0 có nghiệm phân biệt Phương trình cos x  c   0;1 có nghiệm phân biệt, khơng trùng với nghiệm phương trình cos x  b   1;0  3  Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn   ; 2    Cách 2: PP ghép trục Ta có f  cos x     f  cos x   *  3  Đặt t  cos x, t   1;1 ; t    sin x; t    x  k  ; x    ; 2   x   ; 0;  ; 2    * trở thành f  t    3  Số nghiệm phương trình * đoạn   ; 2  số giao điểm đồ thị hàm số   y  f  t  , t   1;1 đường thẳng y  Ta có bảng biến thiên sau: cắt đồ thị hàm số y  f  t  điểm  3  hay phương trình * có nghiệm phân biệt đoạn   ; 2    Từ bảng biến thiên ta kết đường thẳng y  Câu 26: Cho hàm số bậc bốn y  f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị sau  Số điểm cực đại hàm số y  f x  x   B A C Lời giải D Chọn D Cách 1: Tự luận truyền thống Từ đồ thị y  f   x  ta chọn f   x    x  1 x  1 x  3 Áp dụng công thức y   f  u    u f   u  với u  Ta có y   f    x  1     x 1 x2  2x     x  2x    x2  2x    x2  x    x2  x    Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có điểm cực đại Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u  x  x  u '( x)  ( x  x  2)'  x 1 x  2x  2  x2  x    x  1   y     x  1  2 x2  x    x  1  2  x  x    x  1  x  x   x2  2x    x  1 Ta có BBT hàm số u  u ( x ) , y  f  x  , y  f  u  :  x2  x   Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y  f  x  x   có điểm cực đại Câu 27: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm có đồ thị đường cong hình vẽ y 1 O x Đặt g  x   f  f  x    Số điểm cực trị hàm số g  x  A B C 10 Lời giải D Chọn B Cách PP tự luận truyền thống g   x   f   f  x  f   x  f   f   f  x  f g  x    f   f  x  f   x        f   x      x   x  a , x0 xa   a  3 f  x   có nghiệm đơn phân biệt x1 , x2 , x3 khác a Vì  a  nên f  x   a có nghiệm đơn phân biệt x4 , x5 , x6 khác x1 , x2 , x3 , , a Suy g   x   có nghiệm đơn phân biệt Do hàm số g  x   f  f  x    có điểm cực trị Cách Phương pháp ghép trục Đặt u  f  x  , ta có bảng biến thiên hàm f  u  : Số điểm cực trị hàm số g  x   f  f  x    với số điểm cực trị hàm số f  f  x   tức hàm số f  u  Từ bảng biến thiên f  u  , ta g  x  có cực trị Câu 28: [TÂN TÂY ĐƠ L8] Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên m  10;10  để phương trình f nghiệm? A B C Lời giải   x  x  10   m có D Chọn C Cách 1: Tự luận truyền thống Đặt t  x  x  10  t  Để phương trình f   x  1 9 t 3  x  x  10   m  f   x  x  10  m  có nghiệm đường thẳng y  m  cắt đồ thị y  f  x  điểm có hồnh độ x  Từ đồ thị ta m    m  1 Mà m  10;10  có giá trị m thỏa mãn  Chọn C Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u  x  x  10  u   x  1 9 u 3 x 1 Khi u '( x)  x  x  10 BBT hàm số u  x  : Phương trình f   u '   x  1  x  x  10   m  f   x  x  10  m   f  u   m  Từ đồ thị hàm số y  f  x  từ bảng biến thiên hàm số u  x  x  10 ta có bảng sau biến thiên hàm hợp f   x  x  10  f (u ) sau: Từ BBT: phương trình f  u   m  với u  có nghiệm m    m  1 Mà m  10;10  có giá trị m thỏa mãn Câu 29: Cho hàm số bậc bốn y  f  x  Đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ bên Số điểm cực đại hàm số g  x   f A B Chọn A Cách 1: PP tự luận truyền thống   x  x  C Lời giải D Ta có g   x   x 1 x  2x  2 f   x2  2x  x 1    x  1 x 1  x  x      theo thi f ' x     x  1  Suy g   x     2  f  x  2x    x  2x    x  1      x  2x   Bảng xét dấu   Từ suy hàm số g  x   f   x  x  có điểm cực đại Chọn A Chú ý: Cách xét dấu  hay  g '  x  nhanh ta lấy giá trị x0 thuộc khoảng xét thay vào g   x  Chẳng hạn với khoảng   f   dựa vào đồ thị ta thấy f  Cách 2: Phương pháp ghép trục: x 1   x  1  t  Đặt t  x  x   t   x  2x  Ta có bảng biến thiên: x0    g   0   1; 1   ta chọn    Giải thích: Dựa vào đồ thị khoảng 1;   , f  t  có điểm cực tiểu t  đạo hàm đổi dấu từ (-) sang(+) Tại điểm t  điểm cực đại dựa vào đồ thị hàm số f   t  đổi dấu từ (+) sang (-) Do hàm số cho có cực đại Chọn A Câu 30: [SỞ BN L1] Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ Có  3sin x  cos x  f  2cos x  sin x  giá trị nguyên tham    f  m  4m   1 có nghiệm?  số m để phương trình A B C Lời giải D Vô số Chọn A Cách 1: PP tự luận truyền thống 3sin x cos x    2t  1cos x   t  3sin x  1  4t *  Đặt t  cos x  sin x  Phương trình *  có nghiệm   2t  1   t  3   4t  1   2  t 1 11 Suy  t  Từ đồ thị y  f  x  ta có * y  f  x  đồng biến  0;   * m  4m    m     0;   * t   0;    3sin x  cos x  Nên f   2cos x  sin x     f  m  4m     f  t   f  m  4m    t  m  4m  Phương trình 1 có nghiệm   m  4m    m  4m    3  m  1 Do m  Z  m  3; 2; 1  Chọn A Cách2: pp ghép trục: 3sin x cos x    2t  1cos x   t  3sin x  1  4t *  Đặt t  cos x  sin x  Phương trình *  có nghiệm   2t  1   t  3   4t  1  11t  2t     2  t 1 11 Suy  t  t t  11 1 f t f 1 f 0 y  f  m  4m   Dựa vào đồ thị  0;1 hàm số f  t  luông đồng biến Yêu cầu toán  đường thẳng y  f  m  4m   có điểm chung với đồ thị y  f  t   f    f  m2  4m  4  f 1   m2  4m    3  m  1 Do m  Z  m  3; 2; 1  Chọn A