Đề tuyển sinh lớp 10 môn toán (chuyên) năm 2020 2021 sở GD đt TP HCM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HCM ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1: ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020-2021 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 17/07/2020 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (1,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện Câu 2:  a2 b2 c2  P  + + Tính giá trị biểu thức=  : (a + b + c) b+c c+a a+b (2,5 điểm) a) Giải phương trình Câu 3: a b c + + = 2020 b+c c+a a+b 2x2 + x + + 2x2 − x + = x +  y − xy = x − x + b) Giải hệ phương trình   y = x + x − x + (1,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < BC < CA) nội tiếp đường tròn ( O ) Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt ( O ) A1 Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt ( O ) B1 Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt ( O ) C1 Chứng minh đường thẳng qua A1 , B1 , C1 vng góc với BC , CA, AB đồng quy Câu 4: (2,0 điểm) ( a − b) a + b2 ≥ ab + 2 a + b2 + b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b ≤ a) Cho số thực a, b Chứng minh rằng: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = b − a + Câu 5: 20 + a b (2,0 điểm) Đường tròn ( I ) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC , CA D, E , F Kẻ đường kính EJ đường tròn ( I ) Gọi d đường thẳng qua A song song với BC Đường thẳng JD cắt d , BC L, H a) Chứng minh: E , F , L thẳng hàng b) JA, JF cắt BC M , K Chứng minh: MH = MK Câu 6: (1,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình 3x − y = HẾT Câu 1: Lời giải tham khảo a b c Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện + + = 2020 b+c c+a a+b  a2 b2 c2  P  + + Tính giá trị biểu thức=  : (a + b + c) b+c c+a a+b Hướng dẫn giải  a2 b2 c2  P  = + +  : (a + b + c) b+c c+a a+b   a   b   c  = a  + − 1 + b  + − 1 + c  + − 1   c+a   a+b  a + b + c  b+c a+b+c a+b+c  a+b+c  =  a − a + b −b+c − c  b+c c+a a+b   a+b+c b c     a = ( a + b + c )  + +  − ( a + b + c ) b+c a+c a+b   a+b+c a b c −= 2020 −= 2019 + + b+c a+c a+b (2,5 điểm) = Câu 2: a) Giải phương trình 2x2 + x + + 2x2 − x + = x + 2  y − xy = x − x + b) Giải hệ phương trình   y = x + x − x + Hướng dẫn giải x2 + x + + x2 − x + = x + a Điều kiện x ∈  = x2 + x + > a − b2 a Đặt  ⇒ = x+4 2x2 − x + > b = Khi phương trình trở thành a − b2 a+b = ⇔ 2(a + b) = (a − b)(a + b) ⇔ a − b = (do a + b > 0) Do 2x2 + x + − 2x2 − x + = ⇔ 2x2 + x + = + 2x2 − x + ⇔ 2x2 + x + = + 2x2 − x + + 2x2 − x +  x ≥ −2 ⇔ 2x2 − x + = x + ⇔  2 4(2 x − x + 1) = x + x +  x ≥ −2 x =   x ≥ −2  x = ⇔ ⇔  ⇔ x = x x − = 8   x =     8 Vậy S = 0;   7 b  y − xy = x − x + 1(1)   y = x + x − x + 1(2)  y − x = 3x −  y = x − Từ phương trình (1) ta có ( y − x) = (3 x − 1) ⇔  ⇔  y − x =1 − x  y =1 − x Với = y x − , thay vào (2) ta (4 x − 1) = x + x − x + ⇔ x − x + x = ⇔ x( x − x + 7) = 0⇒ y = −1 x = x =  ⇔ ⇔  x =1 ⇒ y =3  x − 8x + =  x = ⇒ y = 27 Với y = − x , thay vào (2) ta (1 − x) =x3 + x − x + ⇔ x3 + x + x =0 ⇔ x( x + x + 3) =0  x = ⇒ y =1 x = ⇔ ⇔  x =−1 ⇒ y =3  x + 4x + =  x =−3 ⇒ y =7 S Vậy = Câu 3: {(0;1), (0; −1), (1;3), (7; 27), (−1;3), (−3;7)} (1,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < BC < CA) nội tiếp đường tròn ( O ) Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt ( O ) A1 Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt ( O ) B1 Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt ( O ) C1 Chứng minh đường thẳng qua A1 , B1 , C1 vng góc với BC , CA, AB đồng quy Hướng dẫn giải A H B M A1 K O C Gọi H trực tâm tam giác ABC OH cắt đường thẳng qua A1 , vng góc với BC điểm K Gọi M trung điểm AA1 OM ⊥ AA1 Suy OM ⊥ BC Mặt khác, tứ giác AHKA1 hình thang AH  A1 K nên ta có OM đường trung bình, kéo theo O trung điểm HK hay nói cách khác, đường thẳng qua A1 , vng góc với BC qua điểm đối xứng với trực tâm H tam giác ABC qua O Rõ ràng điểm bình đẳng với B, C nên hai đường qua B1 , C1 vng góc với CA, AB qua K Vì nên ta có đường thẳng đề đồng quy K Câu 4: a) b) Câu 5: a) (2,0 điểm) a + b2 ( a − b) a) Cho số thực a, b Chứng minh rằng: ≥ ab + a + b2 + 2 b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b ≤ 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = b − a + + a b Hướng dẫn giải a + b2 ( a − b) Cho số thực a, b Chứng minh rằng: ≥ ab + a + b2 + 2 Ta có: 2 a − b) a − b) a − b) ( ( ( a + b2 ≥ ab + 2 ⇔ ≥ 2 2 a +b +2 a +b +2 21  ⇔ (a − b)  − 2 ≥0  a +b +2 Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b ≤ 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = b − a + + a b 20 20 20 Ta có: −a ≥ b − nên Q = b − a + + ≥ b + b − + + + = 2b − + 3−b b a b 3−b b 20 20 + 7b − 18 = 16 = (3 − b) + + 7b + − 18 ≥ ( − b ) 3−b b 3−b b ⇒ Qmin = 16 20  5 ( − b ) = 3−b Dấu xảy  1⇒a= ⇒b= 7b =  b (2,0 điểm) Đường tròn ( I ) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC , CA D, E , F Kẻ đường kính EJ đường tròn ( I ) Gọi d đường thẳng qua A song song với BC Đường thẳng JD cắt d , BC L, H a) Chứng minh: E , F , L thẳng hàng b) JA, JF cắt BC M , K Chứng minh: MH = MK Hướng dẫn giải Ta có JE đường kính ( I ) nên = 90° tam giác HDE vuông D JDE L A T J Chú ý BD = BE , tiếp tuyến F kẻ từ B đến ( I ) nên BD = BH (tính chất D I trung tuyến ứng với cạnh huyền) Do tam giác BHD cân B H B E M C Vì AL  BH nên hai tam giác ADL BDH đồng dạng, kéo theo ADL cân A hay AL = AD = AE  = FCE  , mà hai tam giác ALF , CEF cân có góc đỉnh Vì AL  CE nên LAF  , kéo theo L, F , E thẳng hàng nên chúng đồng dạng Suy  AFL = CFE K b) Kéo dài JF cắt d T tương tự câu a, ta có T , D, E thẳng hàng Câu 6: AT = AD = AF = AL AL AJ AT Theo định lý Thales với d  BC = = , mà AT = AL nên MH = MK MH JM MK Tìm tất số nguyên dương x, y thỏa mãn 3x − y = Hướng dẫn giải x Ta có = y + = ( y + 1)( y − y + 1) Do đó, tồn số tự nhiên u , v cho 3u  y + =  3v  y − y + = Vì y + > nên 3u > hay u ≥ Rút = y 3u − , thay vào phương trình dưới, ta có (3u − 1) − (3u − 1) + = 3v hay 32u − ⋅ 3u + = 3v ⇔ 32u −1 − 3u + = 3v −1 Vì vế phải nguyên nên ta phải có v − ≥ hay v ≥ Tuy nhiên, v − > 3v −1 chia hết cho 3, vế trái khơng chia hết cho 3, vơ lý Do đó, v = hay y2 − y +1 = ⇔ y2 − y = Giải y = Thay vào đề bài, ta 3x = y + = nên x = Vậy nên tất nghiệm phương trình cho ( x, y ) = (2; 2) HẾT ...Câu 1: Lời giải tham khảo a b c Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện + + = 2020 b+c c+a a+b  a2 b2 c2  P  + + Tính giá trị biểu thức=  : (a + b + c) b+c c+a a+b Hướng... a+b+c b c     a = ( a + b + c )  + +  − ( a + b + c ) b+c a+c a+b   a+b+c a b c −= 2020 −= 2019 + + b+c a+c a+b (2,5 điểm) = Câu 2: a) Giải phương trình 2x2 + x + + 2x2 − x + = x