SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HCM ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1: ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020-2021 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 17/07/2020 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (1,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện Câu 2: a2 b2 c2 P + + Tính giá trị biểu thức= : (a + b + c) b+c c+a a+b (2,5 điểm) a) Giải phương trình Câu 3: a b c + + = 2020 b+c c+a a+b 2x2 + x + + 2x2 − x + = x + y − xy = x − x + b) Giải hệ phương trình y = x + x − x + (1,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < BC < CA) nội tiếp đường tròn ( O ) Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt ( O ) A1 Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt ( O ) B1 Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt ( O ) C1 Chứng minh đường thẳng qua A1 , B1 , C1 vng góc với BC , CA, AB đồng quy Câu 4: (2,0 điểm) ( a − b) a + b2 ≥ ab + 2 a + b2 + b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b ≤ a) Cho số thực a, b Chứng minh rằng: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = b − a + Câu 5: 20 + a b (2,0 điểm) Đường tròn ( I ) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC , CA D, E , F Kẻ đường kính EJ đường tròn ( I ) Gọi d đường thẳng qua A song song với BC Đường thẳng JD cắt d , BC L, H a) Chứng minh: E , F , L thẳng hàng b) JA, JF cắt BC M , K Chứng minh: MH = MK Câu 6: (1,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình 3x − y = HẾT Câu 1: Lời giải tham khảo a b c Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện + + = 2020 b+c c+a a+b a2 b2 c2 P + + Tính giá trị biểu thức= : (a + b + c) b+c c+a a+b Hướng dẫn giải a2 b2 c2 P = + + : (a + b + c) b+c c+a a+b a b c = a + − 1 + b + − 1 + c + − 1 c+a a+b a + b + c b+c a+b+c a+b+c a+b+c = a − a + b −b+c − c b+c c+a a+b a+b+c b c a = ( a + b + c ) + + − ( a + b + c ) b+c a+c a+b a+b+c a b c −= 2020 −= 2019 + + b+c a+c a+b (2,5 điểm) = Câu 2: a) Giải phương trình 2x2 + x + + 2x2 − x + = x + 2 y − xy = x − x + b) Giải hệ phương trình y = x + x − x + Hướng dẫn giải x2 + x + + x2 − x + = x + a Điều kiện x ∈ = x2 + x + > a − b2 a Đặt ⇒ = x+4 2x2 − x + > b = Khi phương trình trở thành a − b2 a+b = ⇔ 2(a + b) = (a − b)(a + b) ⇔ a − b = (do a + b > 0) Do 2x2 + x + − 2x2 − x + = ⇔ 2x2 + x + = + 2x2 − x + ⇔ 2x2 + x + = + 2x2 − x + + 2x2 − x + x ≥ −2 ⇔ 2x2 − x + = x + ⇔ 2 4(2 x − x + 1) = x + x + x ≥ −2 x = x ≥ −2 x = ⇔ ⇔ ⇔ x = x x − = 8 x = 8 Vậy S = 0; 7 b y − xy = x − x + 1(1) y = x + x − x + 1(2) y − x = 3x − y = x − Từ phương trình (1) ta có ( y − x) = (3 x − 1) ⇔ ⇔ y − x =1 − x y =1 − x Với = y x − , thay vào (2) ta (4 x − 1) = x + x − x + ⇔ x − x + x = ⇔ x( x − x + 7) = 0⇒ y = −1 x = x = ⇔ ⇔ x =1 ⇒ y =3 x − 8x + = x = ⇒ y = 27 Với y = − x , thay vào (2) ta (1 − x) =x3 + x − x + ⇔ x3 + x + x =0 ⇔ x( x + x + 3) =0 x = ⇒ y =1 x = ⇔ ⇔ x =−1 ⇒ y =3 x + 4x + = x =−3 ⇒ y =7 S Vậy = Câu 3: {(0;1), (0; −1), (1;3), (7; 27), (−1;3), (−3;7)} (1,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < BC < CA) nội tiếp đường tròn ( O ) Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt ( O ) A1 Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt ( O ) B1 Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt ( O ) C1 Chứng minh đường thẳng qua A1 , B1 , C1 vng góc với BC , CA, AB đồng quy Hướng dẫn giải A H B M A1 K O C Gọi H trực tâm tam giác ABC OH cắt đường thẳng qua A1 , vng góc với BC điểm K Gọi M trung điểm AA1 OM ⊥ AA1 Suy OM ⊥ BC Mặt khác, tứ giác AHKA1 hình thang AH A1 K nên ta có OM đường trung bình, kéo theo O trung điểm HK hay nói cách khác, đường thẳng qua A1 , vng góc với BC qua điểm đối xứng với trực tâm H tam giác ABC qua O Rõ ràng điểm bình đẳng với B, C nên hai đường qua B1 , C1 vng góc với CA, AB qua K Vì nên ta có đường thẳng đề đồng quy K Câu 4: a) b) Câu 5: a) (2,0 điểm) a + b2 ( a − b) a) Cho số thực a, b Chứng minh rằng: ≥ ab + a + b2 + 2 b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b ≤ 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = b − a + + a b Hướng dẫn giải a + b2 ( a − b) Cho số thực a, b Chứng minh rằng: ≥ ab + a + b2 + 2 Ta có: 2 a − b) a − b) a − b) ( ( ( a + b2 ≥ ab + 2 ⇔ ≥ 2 2 a +b +2 a +b +2 21 ⇔ (a − b) − 2 ≥0 a +b +2 Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b ≤ 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = b − a + + a b 20 20 20 Ta có: −a ≥ b − nên Q = b − a + + ≥ b + b − + + + = 2b − + 3−b b a b 3−b b 20 20 + 7b − 18 = 16 = (3 − b) + + 7b + − 18 ≥ ( − b ) 3−b b 3−b b ⇒ Qmin = 16 20 5 ( − b ) = 3−b Dấu xảy 1⇒a= ⇒b= 7b = b (2,0 điểm) Đường tròn ( I ) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC , CA D, E , F Kẻ đường kính EJ đường tròn ( I ) Gọi d đường thẳng qua A song song với BC Đường thẳng JD cắt d , BC L, H a) Chứng minh: E , F , L thẳng hàng b) JA, JF cắt BC M , K Chứng minh: MH = MK Hướng dẫn giải Ta có JE đường kính ( I ) nên = 90° tam giác HDE vuông D JDE L A T J Chú ý BD = BE , tiếp tuyến F kẻ từ B đến ( I ) nên BD = BH (tính chất D I trung tuyến ứng với cạnh huyền) Do tam giác BHD cân B H B E M C Vì AL BH nên hai tam giác ADL BDH đồng dạng, kéo theo ADL cân A hay AL = AD = AE = FCE , mà hai tam giác ALF , CEF cân có góc đỉnh Vì AL CE nên LAF , kéo theo L, F , E thẳng hàng nên chúng đồng dạng Suy AFL = CFE K b) Kéo dài JF cắt d T tương tự câu a, ta có T , D, E thẳng hàng Câu 6: AT = AD = AF = AL AL AJ AT Theo định lý Thales với d BC = = , mà AT = AL nên MH = MK MH JM MK Tìm tất số nguyên dương x, y thỏa mãn 3x − y = Hướng dẫn giải x Ta có = y + = ( y + 1)( y − y + 1) Do đó, tồn số tự nhiên u , v cho 3u y + = 3v y − y + = Vì y + > nên 3u > hay u ≥ Rút = y 3u − , thay vào phương trình dưới, ta có (3u − 1) − (3u − 1) + = 3v hay 32u − ⋅ 3u + = 3v ⇔ 32u −1 − 3u + = 3v −1 Vì vế phải nguyên nên ta phải có v − ≥ hay v ≥ Tuy nhiên, v − > 3v −1 chia hết cho 3, vế trái khơng chia hết cho 3, vơ lý Do đó, v = hay y2 − y +1 = ⇔ y2 − y = Giải y = Thay vào đề bài, ta 3x = y + = nên x = Vậy nên tất nghiệm phương trình cho ( x, y ) = (2; 2) HẾT ...Câu 1: Lời giải tham khảo a b c Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện + + = 2020 b+c c+a a+b a2 b2 c2 P + + Tính giá trị biểu thức= : (a + b + c) b+c c+a a+b Hướng... a+b+c b c a = ( a + b + c ) + + − ( a + b + c ) b+c a+c a+b a+b+c a b c −= 2020 −= 2019 + + b+c a+c a+b (2,5 điểm) = Câu 2: a) Giải phương trình 2x2 + x + + 2x2 − x + = x