Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh toán THPT năm 2018 2019 sở GD đt lào cai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI ĐỀ CHÍNH THỨC Câu ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn - THPT Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian phát đề) (5,0 điểm)  17  3x   x   y  14   y  a) Giải hệ phương trình  ,  x, y  2 x y 3 x y 11 x x 13            b) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức a  bc b  ca c  ab P    44 a  b  c bc ca ab Câu (4,0 điểm) a) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x  3 2018  2x x   e  e    x  x  Tìm tất 3  f  x2  8x  m  có điểm cực trị cho giá trị thực m để hàm số x12  x22  x32  50 , x1 , x2 , x3 hồnh độ ba cực trị b) Cho dãy số  un   u1  , u2  xác định sau:  u u  un   n 1 n , n  un 1  un  Chứng minh  un  có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Câu (3,0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang vng ABCD vng A D , có CD  AD  AB Gọi M  2;  điểm thuộc cạnh AB cho AB  3AM Điểm N thuộc cạnh BC cho tam giác DMN cân M Phương trình đường thẳng MN x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình thang ABCD biết D thuộc đường thẳng d : x  y  điểm A thuộc đường thẳng d  : x  y   b) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Biết hình chiếu vng góc S mặt phẳng  ABCD  điểm M thỏa mãn AD  3MD Trên cạnh CD lấy điểm I , N cho ABM  MBI MN vng góc với BI Biết góc SC  ABCD  60 Tính thể tích khối chóp S.AMCB khoảng cách từ N đến mặt phẳng  SBC  Câu (3,0 điểm).Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình 15x  y  z Câu (3,0 điểm).Tính tổng S 1 C2019 2019 2 C2019 2018 Hết 2018 2018 C2019 2 2019 2019 C2019 1 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu  17  3x   x   y  14   y  a) Giải hệ phương trình  ,  x, y  2 x y 3 x y 11 x x 13            b) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a  bc b  ca c  ab    44 a  b  c bc ca ab Lời giải 5  x  4  y   a) Điều kiện:  2 x  y   3x  y  11  Đặt 5 x  a  ; 4 y b  0, phương trình 17  x   x   y  14   y  trở thành: 17    a2  a  3   b2  14    3a   a   3b2   b  3a  2a  3b3  2b (*)     Xét hàm số y  f  t   3t  2t  0;   Ta có f   t   3t   , t   0;   nên hàm số y  f  t  đồng biến  0;   Vì với a  , b  3a  2a  3b3  2b  f  a   f  b   a  b Suy  x   y   x   y  y  x 1 Thay y  x  vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình: 3x   x   x  x  13   Điều kiện: x    ;5       Khi đó, phương trình  3x    5x    x2  x     3x    3x    x  1 3x      x    36 5x   15  x  1 5x     x  1 x     x  1 x   x 1   15    x5  3x   5x    x  1  15    x  **  3x   5x   15  x 5 Phương trình (**) tương đương với 3x   5x   Đặt g  x   15     x , x    ;5 3x   5x     Ta có g   x     15 3x   5x  1 2 3x   5x   6    9  3x   3x     75     , x    ;5    5x   5x     Suy g  x  nghịch biến   ;5     Vì phương trình g  x   có nhiều nghiệm   ;5   Ta lại có x  nghiệm nên nghiệm Với x  1 y  2 Với x  y  1 So sánh điều kiện, hệ cho có hai nghiệm  x; y   1; 2  ;  0; 1 b) Ta có a  bc a  bc  ab  ac  a  b  a  c  a  bc  a  b  a  c  a     a bc bc bc bc bc Tương tự ta có: P b  ca  b  c  b  a  c  ab  c  a  c  b    b;  c ca ca a b a b  a  b  a  c    b  c  b  a    c  a  c  b   a  b  c  44 a  b  c bc ca ab Áp dụng bất đẳng thức AM-GM  a  b  a  c    b  c  b  a   a  b   bc ca  b  c  b  a    c  a  c  b   b  c   ca ab  c  a  c  b    a  b  a  c   c  a   ab bc   a  b  a  c   b  c  b  a   c  a  c  b    2     4a  b  c b  c c  a a  b    P  a  b  c  44 a  b  c Đặt t  a  b  c   a  b  c  4 a  b  c  t  4t     Ta có t  4t  t  2t   t  2t    t    t  1   3  P  3 2 a  b  c  1 Vậy giá trị nhỏ P -3  abc a  b  c Câu a) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x  3 giá trị thực m đề hàm số 2018  2x x   e  e    x  x  Tìm tất 3  f  x2  8x  m  có điểm cực trị cho x12  x22  x32  50 , x1 , x2 , x3 hồnh độ ba cực trị b) Cho dãy số  un   u1  , u2  xác định sau:  un 1.un  un   , n  un 1  un  Chứng minh  un  có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Lời giải a) Cách f '  x    x  3 2018 x  f '  x     x   x   2x x   e  e    x  2x  , 3  Trong x  nghiệm bội chẵn Xét hàm y  f  x  8x  m  có y '   x  8 f '  x  x  m  x  x    x  x  m   x  8x   m y'      x  8x  m  x  8x   m    x  x  m  x  x  m   1  2  3 Ta xét hàm g  x   x  x x  g ' x g  x –   +  -16 Nếu  m  16  m  19 : Phương trình (1), (2), (3) vơ nghiệm Hàm số cho có cực trị Nếu  m  16   m  18  m  19 : Phương trình (1) có nghiệm bội chẵn, phương trình (2) vơ nghiệm có nghiệm kép phương trình (3) vơ nghiệm Hàm cho có cực trị Do khơng thỏa điều kiện có cực trị Nếu m  16   m  16  m  18 : Phương trình (1) có nghiệm bội chẵn, phương trình (2) có nghiệm bội lẻ phương trình (3) vơ nghiệm có nghiệm kép Do thỏa điều kiện có cực trị Khi giả sử x1  , ta có x2 , x3 hai nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện: x22  x32  34   x2  x3   x1 x2  34 Áp dụng định lý Viét ta có: 64   m    34  m  17 Thỏa điều kiện Nếu m  16  m  16 : Phương trình (1) có nghiệm bội chẵn, phương trình (2) có nghiệm đơn, phương trình (3) có nghiệm đơn Do khơng thỏa điều kiện có cực trị Vậy với m  17 điều kiện tốn thỏa Cách Xét hàm y  f  x  8x  m  có y '   x  8 f '  x  8x  m    x    x  x  m  3 2018  x 8 x  m x 8 x  m   2  e  e  x  x  m  x  x  m           Dấu y  phụ thuộc vào dấu  x    x  x  m    x  x  m     Ta có: x  x    2  x  8  x  x  m    x  x  m     x  x  m    x  x  m  x2  8x  m   x2  8x   m   Ta xét hàm g  x   x  x x  g  x  g  x  – +   -16 Hàm số có cực trị khi: m  16   m  16  m  18 Khi giả sử x1  , ta có x2 , x3 hai nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện: x22  x32  34   x2  x3   x1 x2  34 Áp dụng định lý Viét ta có: 64   m    34  m  17 Thỏa điều kiện b) Theo giả thuyết ta có un  un  Vì u 1un 1 un1.un   un   n1 un1  un un1  un u  1un  1 un1.un   un   n1 un1  un un1  un  u u  u1    un   n 1 n  0, n   un 1  un  u2   Suy un    un 1  1 un  1  un    un 1  1 un  1n un   vn  vn1.vn  vn  vn1 u  n Đặt x  ln Đặt n suy xn   xn 1  xn  Ta có phương trình đặc trưng: t  t    t  1 n n  1  1   xn             Vậy 1  1  v1       ln   x ln   u     0,38        2  3    0, 78  x2   ln   u2  v2       ln  2  Với Vì 1 1  1, 1 2 Suy lim   lim n    n  1   nên lim xn  lim                   un    lim un  un  Vậy  un  có giới hạn hữu hạn giới hạn Câu a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang vng ABCD vng A D , có CD  AD  AB Gọi M  2;  điểm thuộc cạnh AB cho AB  3AM Điểm N thuộc cạnh BC cho tam giác DMN cân M Phương trình đường thẳng MN x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình thang ABCD biết D thuộc đường thẳng d : x  y  điểm A thuộc đường thẳng d  : x  y   Lời giải +) Đặt BN  x , AB  a  MA  MN  a  a a 10  Xét BMN có MN  MB  BN  2.MB.NB.cos MBN   x2  10a 4a 2a   x  2.x .cos135 9 2ax 2a a  0  x 3 Gọi E chân đường vng góc hạ từ B , kẻ NF vng góc với DC Ta có NF CN CF   BE CB CE NF CF 2a 2a  4a   2a      NF  CF   DN        a a 3     10 a 10 a 20 a    DN Suy DMN vng M 9 +) Vì D thuộc đường thẳng d : x  y  nên D  d ; d   MD   d  2;  d   Nhận thấy MD  MN  Phương trình đường thẳng MN x  y   có vectơ phương u   1;   MD.u   d  2  D  2;  +) Điểm A thuộc đường thẳng d  : x  y   nên A  a; 3a  8 , a   DA   a  2; 3a   , MA   a  2; 3a    DA.MA   a  3a     a  *) Trường hợp 1: a   A 1;5 b) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Biết hình chiếu vng góc S mặt phẳng  ABCD  điểm M thỏa mãn AD  3MD Trên cạnh CD lấy điểm I , N cho ABM  MBI MN vng góc với BI Biết góc SC  ABCD  60 Tính thể tích khối chóp S.AMCB khoảng cách từ N đến mặt phẳng  SBC  Lời giải *) Tính thể tích khối chóp S.AMCB Ta có DM  2a AD a a 10  , AM   CM  DM  CD2  3 3 SM   ABCD   SCM  60  SM  CM tan 60  Khi S AMCB   AM  BC  AB  5a a 30 5a3 30 Thể tích khối chóp S.AMCB V  SM S AMCB  54 *) Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng  SBC  Ta có BM  a 13 AB  cos ABM    cos IBM BM 13 Đặt DI  x  IM  x  a2 , IB   a  x   a Áp dụng định lí cosin ta có IM  MB  IB  2.MB.IB.cos IBM a2 13a 2   a  x   a2   2a 9 7a 13a x  IB  12 12  x2  a  x  a2 a 12 BI CI HI BI 13a a CN CBI HNI    NI   , CN  CD  DI  IN    NI HI CI 60 CD 1 Suy d  N ,  SBC    d  D,  SBC    d  M ,  SBC   5 Kẻ ME vng góc với BC , kẻ MK vng góc với SE Suy MK  d  M ,  SBC   Gọi H  MN  BI Ta có ABM  MBH  BH  AB  a, IH  IB  BH  Ta có Câu 1 13 a 130 a 130     MK   d  N ,  SBC    d  M ,  SBC    2 2 10a 13 MK MS ME 65 Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình 15x  y  z Lời giải Theo yêu cầu tốn  15    z  Khi vế phải phương trình cho chia hết cho 16 Do y phải số lẻ Từ ta được: z  y  1 mod8 x  15x  y   1  1 mod8  x x 15   1  mod8 Vì ta suy x số lẻ Ta lại lặp luận tiếp để kết luận z phải số chẵn phản chứng sau: Nếu z số lẻ z  22 n1    1   mod 3 y chia dư nên ta có n mâu thuẫn Vì z  y chia hết cho Vậy tới ta tiếp tục tìm nghiệm phương trình cho với giả thiết x, y lẻ, cịn z số chẵn Ta có 15x  y  2z  15x   2t  y  2t  y  Với t  số nguyên thoả mãn z  2t Ta nhận xét   y     y   2.2 Do   y    y  chia hết cho t t t t  2t  t  2 x t t Vì 15    y   y    t  2  2t  t  2t 1  x  x  x x  y  3x   y   1    y  5x  t 1 x  y 1  2   15   x  2  y  15 x   y  15     x    y   y     z  t   Nếu x     y   x    y   t     z  Nếu x  2n  3, n  từ 2t  x  3x  76  t   2t   mod16  Ta có 3x  27  3  27   1  13  mod16  ; 5x  125   1  13  mod16  2n 2n 2n Khi 3x  5x  26  mod16  , ta kết luận 1 vô nghiệm Tương tự thế, x  2n  3, n  từ 2t   15x  1688  t  10  2t   mod 32  Ta có 15x  16  1 n 3  16  2n  3  1 mod 32  Khi  15x  16  2n  3 mod 32  , ta kết luận   vô nghiệm Câu Tính tổng S  2 2018 2018 2019 2019 2 C2019  C2019        C2019   C2019  2019 2018 Lời giải Xét số hạng tổng quát: Tk k k C2019 2020 k k 2019 k C2019 C2019 , k Suy S 2018 C2019 C2019 k 2019! k C2019 2020 k 2019 k !k ! 1;2; ;2019 2017 C2019 C2019 2017 C2019 C2019 Xét x 2019! k C2019 2020 k ! k ! 2018 C2019 C2019 khai 2019 x 2019 C2019 2019 2019 C2019 x C2019 x C2019 Hệ số x 2018 khai triển 2018 C2019 C2019 2017 C2019 C2019 Xét khai triển: x x 2017 C2019 C2019 4038 C4038 1 C2019 2019 2019 x 2019 x 2019 2019 C2019 x C2019 x là: 2018 C2019 C2019 1 2018 2018 C4038 x C4038 x Hệ số x 2018 khai triển Từ ta có S triển: 4038 4038 4038 C4038 x 2018 là: C4038 2 C2019 2018 2018 2018 C2019 2 2019 2019 C2019 2018 C4038 ... k C2019 2020 k 2019 k !k ! 1;2; ;2019 2017 C2019 C2019 2017 C2019 C2019 Xét x 2019! k C2019 2020 k ! k ! 2018 C2019 C2019 khai 2019 x 2019 C2019 2019 2019 C2019 x C2019 x C2019 Hệ số x 2018. .. 2018 khai triển 2018 C2019 C2019 2017 C2019 C2019 Xét khai triển: x x 2017 C2019 C2019 4038 C4038 1 C2019 2019 2019 x 2019 x 2019 2019 C2019 x C2019 x là: 2018 C2019 C2019 1 2018 2018 C4038 x...  2 2018 2018 2019 2019 2 C2019  C2019        C2019   C2019  2019 2018 Lời giải Xét số hạng tổng quát: Tk k k C2019 2020 k k 2019 k C2019 C2019 , k Suy S 2018 C2019 C2019 k 2019!