50 dạng toán phát triển đề minh họa THPT QG 2020 môn toán lần 2

Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG NĂM HỌC 2019-2020 50 DẠNG TỐN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN TOÁN THPT NĂM 2020 MỤC LỤC PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN MỤC LỤC 13 A Mức độ 13 B Mức độ 15 C Mức độ 17 D Mức độ 20 CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 25 A Mức độ 25 B Mức độ 28 C Mức độ 32 D Mức độ 37 PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT 48 A Mức độ 48 B Mức độ 52 C Mức độ 57 D Mức độ 65 TÍNH THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 78 A Mức độ 78 B Mức độ 83 Geogebra Pro Trang 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 2 HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP MỤC LỤC Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN C Mức độ 91 D Mức độ 101 HÀM SỐ MŨ – LƠGARÍT 117 A Mức độ 117 B Mức độ 121 C Mức độ 127 D Mức độ 131 NGUYÊN HÀM 138 A Mức độ 138 B Mức độ 142 C Mức độ 147 D Mức độ 154 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 165 A Mức độ 165 B Mức độ 171 C Mức độ 180 D Mức độ 192 KHỐI NÓN-TRỤ- CẦU 207 A Mức độ 207 B Mức độ 211 C Mức độ 227 Geogebra Pro Trang MỤC LỤC 10 12 DIỆN TÍCH MẶT CẦU 244 A Mức độ 244 B Mức độ 247 C Mức độ 254 D Mức độ 263 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 277 A Mức độ 277 B Mức độ 283 C Mức độ 292 D Mức độ 300 RÚT GỌN BIỂU THỨC LÔGARIT 316 A Mức độ 316 B Mức độ 320 C Mức độ 324 D Mức độ 330 DIỆN TÍCH XUNG QUANH HÌNH TRỤ-NĨN 341 A Mức độ 341 B Mức độ 345 C Mức độ 351 D Mức độ 361 Geogebra Pro Trang 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 11 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN MỤC LỤC 13 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 14 15 16 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 373 A Mức độ 373 B Mức độ 379 C Mức độ 386 D Mức độ 395 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 410 A Mức độ 410 B Mức độ 418 C Mức độ 425 D Mức độ 435 TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 451 A Mức độ 451 B Mức độ 455 C Mức độ 461 D Mức độ 470 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT 482 A Mức độ 482 B Mức độ 485 C Mức độ 491 D Mức độ 499 Geogebra Pro Trang MỤC LỤC 17 18 20 SỰ TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ 514 A Mức độ 514 B Mức độ 520 C Mức độ 527 D Mức độ 537 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 551 A Mức độ 551 B Mức độ 556 C Mức độ 563 D Mức độ 570 XÁC ĐỊNH SỐ PHỨC LIÊN HỢP KHI ĐÃ BIẾT SỐ PHỨC 580 A Mức độ 580 B Mức độ 583 C Mức độ 587 D Mức độ 595 SỐ PHỨC (tổng hai số phức) 602 A Mức độ 602 B Mức độ 605 C Mức độ 609 D Mức độ 617 Geogebra Pro Trang 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 19 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN MỤC LỤC 21 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 22 23 24 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN TÌM ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC 622 A Mức độ 622 B Mức độ 628 C Mức độ 632 D Mức độ 640 XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM LÊN MẶT PHẲNG 648 A Mức độ 648 B Mức độ 651 C Mức độ 654 D Mức độ 664 XÁC ĐỊNH TÂM, BÁN KÍNH CỦA MẶT CẦU 672 A Mức độ 672 B Mức độ 676 C Mức độ 681 D Mức độ 689 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 701 A Mức độ 701 B Mức độ 705 C Mức độ 711 D Mức độ 725 Geogebra Pro Trang MỤC LỤC 25 26 28 TÌM CÁC YẾU TỐ ĐƯỜNG THẲNG 729 A Mức độ 729 B Mức độ 733 C Mức độ 739 D Mức độ 744 GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 758 A Mức độ 758 B Mức độ 763 C Mức độ 775 D Mức độ 789 CỰC TRỊ HÀM SỐ KHI BIẾT BBT HOẶC ĐỒ THỊ HÀM SỐ CỦA 804 A Mức độ 804 B Mức độ 810 C Mức độ 818 D Mức độ 826 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 838 A Mức độ 838 B Mức độ 845 C Mức độ 852 D Mức độ 861 Geogebra Pro Trang 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 27 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN MỤC LỤC 29 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 30 31 32 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN LOGARIT CÓ THAM SỐ 874 A Mức độ 874 B Mức độ 879 C Mức độ 884 D Mức độ 889 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 900 A Mức độ 900 B Mức độ 903 C Mức độ 909 D Mức độ 917 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT 929 A Mức độ 929 B Mức độ 938 C Mức độ 944 D Mức độ 949 DIỆN TÍCH MẶT NĨN – MẶT TRỤ 959 A Mức độ 959 B Mức độ 963 C Mức độ 970 D Mức độ 979 Geogebra Pro Trang MỤC LỤC 33 34 36 TÍCH PHÂN 987 A Mức độ 987 B Mức độ 992 C Mức độ 1000 D Mức độ 1007 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1019 A Mức độ 1019 B Mức độ 1023 C Mức độ 1037 D Mức độ 1048 SỐ PHỨC 1058 A Mức độ 1058 B Mức độ 1061 C Mức độ 1063 D Mức độ 1071 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM CỦA SỐ PHỨC 1082 A Mức độ 1082 B Mức độ 1086 C Mức độ 1090 D Mức độ 1095 Geogebra Pro Trang 10 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 35 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 49 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN (CẮT BỞI MẶT PHẲNG) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, √ ’ = 60◦ Biết SO vng góc với đáy SO = a Gọi E trung góc BAD điểm cạnh SC , điểm F cạnh SA cho F A = 2SF G hình chiếu vng góc O lên SB Thể tích khối chóp S.EF G A a3 39 B a3 26 C 2a3 13 D a3 13 S F E G D C O A B Lời giải S Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA F E G D C O A B ’ = 60◦ suy ABC ’ = 120◦ Dễ thấy tam giác ABD cạnh a, suy BO = a Góc BAD Xét tam giác SOB vuông O OG ⊥ SB , ta có SG SO2 SO2 SO2 = SG · SB ⇒ = = = SB SB SO2 + OB √ (a 3)2 √ a (a 3)2 + 2 = 12 13 √ 1 a ◦ ’ = · a · a · sin 120 = Ta có SABC = · BA · BC · sin ABC 2 Thể tích khối chóp S.ABC √ 1 a2 √ a3 VS.ABC = · SABC · SO = · ·a 3= 3 4 Ta có SF SG SE VS.EF G 12 = · · = · · = VS.ABC SA SB SC 13 13 Do VS.EF G = 2 a3 a3 · VS.ABC = · = 13 13 26 Chọn phương án B Câu 25 Cho lăng trụ ABC.A B C tích V M điểm cạnh AA Tính thể tích khối chóp M.BCC B A V Lời giải B V C 2V D 3V 49 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN (CẮT BỞI MẶT PHẲNG) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Gọi S h diện tích đáy chiều cao lăng trụ ABC.A B C V Ta có VA ABC = VA.A B C = S · h = A MA VM.A B C MA V = ⇒ VM.A B C = · VA.A B C AA AA VM.ABC MA MA V = ⇒ VM.ABC = · VA ABC AA AA V MA + MA V · = ⇒VM.A B C + VM.ABC = AA 3 ⇒VM.BCC B = VABC.A B C − (VM.A B C + VM.ABC ) 2V V =V − = 3 C M B A C Chọn phương án B Câu 26 Cho hình chóp S.ABC , gọi M trung điểm SB , N điểm nằm cạnh SC cho SN = 2N C ; P điểm cạnh SA cho P A = 2P S Tính tỉ số A B VBM N P VSABC S P C 12 D 27 M A N C B Lời giải Vì M trung điểm SB nên VB.M N P = VS.M N P VS.M N P SP SM SN 1 = · · = · · = VS.ABC SA SB SC 3 Vậy VBM N P = VSABC Chọn phương án A Câu 27 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, góc mặt bên mặt đáy α thỏa mãn cos α = Mặt phẳng (P ) qua AC vng góc với mặt phẳng (SAD) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện Tỉ số thể tích hai khối đa diện (khối bé chia khối lớn) A Lời giải B 10 C D 10 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN B 49 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN (CẮT BỞI MẶT PHẲNG) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Gọi O tâm hình vng ABCD, M trung điểm AD ® SO ⊥ AD Có ⇒ OM ⊥ AD ⊥ AD S (SOM ) K ’ ((SAD), (ABCD)) = (SM, OM ) = SM O H OM 1 ’ = ⇒ cos SM O= ⇒ SM A M Kẻ OH ⊥ SM ⇒ OH ⊥ (SAD) ⇒ (P ) ≡ (AHC) Gọi K = AH ∩ SD ⇒ Thiết diện tam giác AKC , chia O khối chóp S.ABCD thành hai phần B C MH OM Ta có = = SM SM KD KD KD HS AM · · =1⇒ ·8· =1⇒ = Ba điểm K, H, A thẳng hàng nên KS HM AD KS KS VDACK VDACK VDACK DK 1 Suy = ⇒ ⇒ = = = VDACS DS VS.ABCD 10 VS.ABCK Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA ⇒ D Chọn phương án A Câu 28 Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm SA, SB, SC, SD Tỉ số thể tích hai khối chóp S.M N P Q S.ABCD 1 1 A B C D S Q M 16 P N A D C B Lời giải Ta có VS.M P Q SM SN SP SM SP SQ VS.M N P = = · · = ; · · = VS.ABC SA SB SC VS.ACD SA SC SD Suy ra, VS.M P Q VS.M N P + VS.M P Q VS.M N P Q VS.M N P = = = = VS.ABC VS.ACD VS.ABC + VS.ACD VS.ABCD Chọn phương án A Câu 29 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a Mặt phẳng (α) cắt cạnh AA , BB , CC DD M , N , P , Q Biết AM = ABCD.M N P Q 11 A a3 30 Lời giải B 11 a 15 C a, CP = a Thể tích khối đa diện a3 3 D a3 49 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN (CẮT BỞI MẶT PHẲNG) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Ta có VABCD.M N P Q = VN M P.BAC + VQM P.DAC Đặt BN = x, QD = y Gọi O, O trung điểm AC, M P 11 Khi x + y = M A + P C = 2OO = a A D B 15 Ta có P D O A N Q O M VN M P.BAC = VN.ABC + VN.AM P C 1 BN · SABC + BO · SAM P C = √3 √ a a 11 2a2 = x· + · · 3 30 xa2 11a3 + = 90 C B C Vậy VABCD.M N P Q Chọn phương án A Câu 30 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M điểm đối xứng C qua D, N trung điểm SC Mặt phẳng (BM N ) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần (phần lớn phần bé) A B C D Lời giải Đặt I = M N ∩ SD, J = mb ∩ AD Mặt phẳng (BM N ) chia hình chóp cho thành hai khối đa diện SABCN IJ BCDJIN Ta có SM JD = SABJ nên SBCM = SBCDJ + SM JD = SBCDJ + SABJ = SABCD ; VN.BCM S N = d(N ; (BCM )) · SBCM d(S; (ABCD)) = · · SABCD = VS.ABCD 2 J A D O B MI Ta thấy I trọng tâm tam giác SCM nên = MN VM.JDI MJ MD MI 1 Ta có = · = · · · = VM.BCN MB MC MN 2 5 VSABCN IJ ⇒ VBCDJIN = VM.BCN = VS.ABCD ⇒ = 12 VBCDJIN Chọn phương án B M I C 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ya2 11a3 + 90 a2 11a3 11a a2 11a3 11 = (x + y) + = · + = a3 45 15 45 30 Tương tự ta tính VQM P.DAC = 49 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN (CẮT BỞI MẶT PHẲNG) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN BẢNG ĐÁP ÁN Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA B 11 B 21 A C 12 D 22 B A 13 C 23 A B 14 C 24 B B 15 C 25 B B 16 D 26 A A 17 B 27 A B 18 B 28 A B 19 C 29 A 10 D 20 B 30 B 50 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT DẠNG 50 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT Å Câu Cho a ,b hai số thực dương thỏa mãn log5 biểu thức T = a2 + b2 A B Lời Ågiải C 4a + 2b + a+b ã = a + 3b − Tìm giá trị nhỏ D ã 4a + 2b + = a + 3b − ⇔ log5 (4a + 2b + 5) = log5 (a + b) + a + 3b − log5 a+b ⇔ log5 (4a + 2b + 5) + (4a + 2b + 5) = log5 [5 (a + b)] + (a + b) (*) Xét hàm f (x) = log5 x + x, x > Đạo hàm f (x) = + > 0, ∀x > Suy hàm số f (x) đồng biến (0; +∞) x ln f (4a + 2b + 5) = f (5 (a + b)) ⇔ 4a + 2b + = (a + b) ⇔ a + 3b = Mặt khác:52 = (a + 3b)2 ≤ 12 + 32 a2 + b2 ⇒ T = a2 + b2 ≥ b a Dấu xảy ⇔ = ⇒ a = ; b = 2 Chọn phương án D Câu Cho x; y số thực dương thỏa mãn log3 biểu thức T = √ +√ x y 2x + y + = x + 2y Tìm giá trị nhỏ x+y √ A 3+ B C + Lời giải 2x + y + Ta có log3 = x + 2y ⇔ log3 (2x + y + 1) − log3 (x + y) = x + 2y D x+y ⇔ log3 (2x + y + 1) = log3 (3x + 3y) + x + 2y − ⇔ log3 (2x + y + 1) + 2x + y + = log3 (3x + 3y) + 3x + 3y (*) Xét hàm số f (t) = log3 t + t với t > Khi f (t) = + > 0, ∀t > ,suy hàm số f (t) liên tục đồng biến (0; +∞) t ln Do (∗) ⇔ 2x + y + = 3x + 3y ⇔ x + 2y = ⇔ x = − 2y Vì x, y > ⇒ < y < 2 1 +√ = +√ +√ Xét T = + √ = x y − 2y y − 2y y …y … √ Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có T ≥ 3 = 3 ≥ 3 = y (1 − 2y) 2y (1 − 2y)     x = − 2y  x= √ Dấu xảy ⇔ − 2y = y ⇔   y=1  2y = − 2y Chọn phương án B 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Phương trình (*)viết lại: 50 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ã Å x+y+z = x (x − 2)+y (y − 2)+z (z − 2) Câu Cho số thực x, y, z thỏa mãn log16 2x + 2y + 2z + x+y−z Tổng giá trị lớn nhỏ biểu thức F = x+y+z 2 A− B C D− 3 3 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Lời giải Điều kiện:x Å +y+x>0 ã x+y+z = x (x − 2) + y (y − 2) + z (z − 2) Ta có: log16 2x + 2y + 2z + ⇔ log16 [4 (x + y + z)] + [4 (x + y + z)] = log16 2x2 + 2y + 2z + + 2x2 + 2y + 2z + (1) Xét hàm số f (t) = log16 t + t (0 ; +∞) Có:f (t) = + > ; ∀t ∈ (0; +∞) t · ln 16 Vậy hàm số f (t) = log16 t + t đồng biến (0 ; +∞) Từ suy ra:2x2 + 2y + 2z + = (x + y + z) ⇔ (S) : x2 + y + z − 2x − 2y − 2z + = x−y−z F = ⇔ F (x + y + z) = x − y − z ⇔ (P ) : (F − 1) x + (F + 1) y + (F + 1) z = x+y+z Mặt phẳng (P ) mặt cầu (S) có điểm chung nên:… |3F + 1| d(I; (P )) ≤ R ⇔ » ⇔ 3F + 2F − 13 ≤ ≤ 2 2 (F − 1) + (F + 1) + (F + 1) √ √ −1 − 10 −1 + 10 ⇔ ≤F ≤ ⇒ F + max F = − 3 Chọn phương án A Câu Có tất bao giá trị nguyên tham số a thuộc khoảng (1999; 2050) để 2a + 22017 + 22017 a A 29 Lời giải B 33 C 34 a 2017 2017 Ta có: + a ≤ + 2017 2 ⇔ 2017 ln 2a + 2−a ≤ a ln 22017 + 2−2017 ln 22017 + 2−2017 ln 2a + 2−a ⇔ ≤ a 2017 ln 2x + 2−x Xét hàm số f (x) = Tập xác định x 2x − 2−x ln − 2x + 2−x ln 2x + 2−x f (x) = x2 (2x + 2−x ) Vì :ln < ln 2x + 2−x < 2x − 2−x < 2x + 2−x (Do x ∈ (1999; 2050)) Suy f (x) < ⇒ f (x) nghịch biến ln 2a + 2−a ln 22017 + 2−2017 ≤ Do đó: a 2017 ⇔ a ≥ 2017 Vậy có:33 giá trị a 2a Chọn phương án B D 32 2a 2017 ≤ 50 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu Có cặp số nguyên x ; y thỏa mãn ≤ x ≤ 2020 log4 (512x + 768) + 2x − = 2y + 16y ? A 2019 B C 2020 D Lời giải Ta có: log4 (512x + 768) + 2x − = 2y + 16y ⇔ log4 256 (2x + 3) + 2x − = 2y + 42y ⇔ log4 (2x + 3) + (2x + 3) = 2y + 42y Xét hàm số f (t) = t + 4t Suy hàm số đồng biến 16y − y 16 − ≤ 2020 ⇔ ≤ 16y ≤ 4043 ⇔ log16 ≤ y ≤ log16 4043 Vì: ≤ x ≤ 2020 ⇔ ≤ Khi đó: log4 (2x + 3) = 2y ⇔ 2x + = 16y ⇔ x = 253 Với y = ⇒ x = (l) Vậy khơng có cặp số (x; y) thỏa mãn yêu cầu toán Chọn phương án B Câu Cho log8 |x| + log4 y = log8 |y| + log4 x2 = Tìm giá trị biểu thức P = |x| − |y| A P = 56 B P = 16 C P = D P = 64 Lời giải Ta có: 1 log8 |x| + log4 y = ⇔ log2 |x| + log2 y = 3 |x| + log2 |y| = ⇔ |x| |y| = 25 ⇔ |x| |y|3 = 25 = 215 (1) Tương tự:log8 |y| + log4 x2 = ⇔ |y| |x|3 = 221 (2) Lấy (1) nhân (2) x4 y = 236 ⇔ x2 y = 218 (3) y2 Lấy (1) chia (2) = ⇔ x2 = 26 y (4) x Thay (4) vào (3) 26 y = 218 ⇔ y = 212 = 23 ⇔ |y| = 23 = ⇔ log2 Thay |y| = vào (4) x2 = 26 64 = 26 Chọn phương án A ⇔ |x| = 26 = 64 Do P = |x| − |y| = 56 Câu Cho log8 |x| + log4 y = log8 |y| + log4 x2 = Tìm giá trị biểu thức P = |x| − |y| A P = 56 B P = 16 C P = D P = 64 Lời giải Ta có: 1 log8 |x| + log4 y = ⇔ log2 |x| + log2 y = ⇔ log2 3 |x| + log2 |y| = ⇔ |x| |y| = 25 ⇔ |x| |y|3 = 25 = 215 (1) 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Mà 13 Với y = ⇒ x = (l) 50 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Tương tự:log8 |y| + log4 x2 = ⇔ |y| |x|3 = 221 (2) Lấy (1) nhân (2) x4 y = 236 ⇔ x2 y = 218 (3) y2 = ⇔ x2 = 26 y (4) x Thay (4) vào (3) 26 y = 218 ⇔ y = 212 = 23 Lấy (1) chia (2) Thay |y| = vào (4) x2 = 26 64 = 26 Chọn phương án A ® ⇔ |y| = 23 = ⇔ |x| = 26 = 64 Do P = |x| − |y| = 56 2x−y − 2y + x = 2y 2x + = m2 + 2y Câu Cho hệ phương trình Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA (1) ,m tham số.Gọi S tập − y2 giá trị m nguyên để hệ (1) có nghiệm Tập S có phần tử? A0 B C D Lời giải Điều kiện |y| ≤ ⇔ y ∈ [−1; 1] Từ phương trình thứ hệ (1) ta có 2x−y + (x − y) = 2y + y (2) Xét hàm số y = f (t) = 2t + t với Dễ thấy y = 2t ln + > với nên hàm số y = f (t) đồng biến Do phương trình (2) tương đương với x − y = y ⇔ x = 2y Thay x = 2y vào phương trình thứ hai hệ (1) ta 4y + = m2 + 2y − y (3) Để hệ cho có nghiệm phương trình (3) phải có nghiệm y ∈ [−1; 1] Giả sử y0 ∈ [−1; 1] nghiệm (3) 4y0 + = m2 + 2y0 − y02 » −y −y 0 + = m + 2 − (−y0 )2 ⇔ 4y0 + = m2 + 2y0 − y02 nên −y0 Khi nghiệm (3) Suy y0 = −y0 ⇔ y0 = Thay y = vào (3) ta m = Thử lại:với m = (3) viết thành 4y + = 2.2y − y ⇔ 2y + =2 2y − y (4) ⇔ y = ; V P (4) ≤ ,dấu y = 2y Suy phương trình (4) có nghiệm y = Vậy m = thỏa mãn Ta có V T (4) ≥ ,dấu 2y = Chọn phương án B Câu Trong nghiệm (x; y) thỏa mãn bất phương trình logx2 +2y2 (2x + y) ≥ Giá trị lớn biểu thức T = 2x + y bằng: 9 A B C D Lời giải ® Bất PT ⇔ logx2 +2y2 (2x + y) ≥ ⇔ x2 + 2y > 2x + y ≥ x2 + 2y ® (I), < x2 + 2y < < 2x + y ≤ x2 + 2y (II) Xét T=2x + y TH1:(x; y)thỏa mãn (II)khi < T = 2x + y ≤ x2 + 2y < √ TH2:(x; y)thỏa mãn (I) x2 + 2y ≤ 2x + y ⇔ (x − 1)2 + ( 2y − √ )2 ≤ Khi 2   ï ị √ 2x + y = 2(x − 1) + √ ( 2y − √ ) + ≤ 2 Suy :max T = ⇔ (x; y) = (2; ) 2 √ 1 (22 + ) (x − 1)2 + ( 2y − √ )2 + ≤ 2 … 9 9 + = 50 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án B Câu 11 Có cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2016y log2 (x + y + 2) + A B C −x2 = x2 + 2017 ; log3 (x + 2y + 6) = y + 2017 D Lời giải  2 x2 + 2017  2016y −x = (1) Ta có y + 2017  log (x + 2y + 6) = log (x + y + 2) + (2) ® Điều kiện x + 2y + > x+y+2>0 x2 + 2017 y + 2017 ⇔ y − x2 = log2016 x2 + 2017 − log2016 y + 2017 ⇔ y + log2016 y + 2017 = x2 + log2016 x2 + 2017 (3) Xét hàm số f (t) = t2 + log2016 t2 + 2017 [0, +∞) Ta có 2t f (t) = 2t + ≥ 0, ∀t ∈ [0, +∞) (t + 2017) ln 2016 Suy hàm số f (t) đồng ñ biến [0, +∞) y=x Do (3) ⇔ y = x2 ⇔ y = −x Với y = x thay vào phương trình (2) ta log3 (3x + 6) = log2 (2x + 2) + ⇔ [1 + log3 (x + 2)] = [1 + log2 (x + 1)] + ⇔ log3 (x + 2) = log2 (x + 1) t  ® ®  √ t  x + = 3 (4) t = log3 (x + 2) x + = 33 Đặt ⇒ √ t t ⇔  t = log2 (x + 1) x+1= (5)   x + = 22 Å √ ãt Å ãt √ t √ t Lấy (5) thay vào (4) ,ta +1 = ⇔ √ + √ = ⇒ phương trình có nghiệm 3 3 (1) ⇔ log2016 2016y −x2 = log2016 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu 10 Có giá trị nguyên tham số m để tồn cặp số (x; y) thỏa mãn e3x+5y − ex+3y+1 = − 2x − 2y ,đồng thời thỏa mãn log23 (3x + 2y − 1) − (m + 6) log3 x + m2 + = A6 B C D Lời giải Ta có:e3x+5y − ex+3y+1 = − 2x − 2y ⇔ e3x+5y + (3x + 5y) = ex+3y+1 + (x + 3y + 1) Xét hàm số f (t) = et + t Ta có f (t) = et + > nên hàm số đồng biến Do phương trình có dạng:f (3x + 5y) = f (x + 3y + 1) ⇔ 3x + 5y = x + 3y + ⇔ 2y = − 2x Thế vào phương trình cịn lại ta được:log23 x − (m + 6) log3 x + m2 + = Đặt t = log3 x ,phương trình có dạng:t2 − (m + 6) t + m2 + = Để phương trình có nghiệm ∆ ≥ ⇔ −3m2 + 12m ≥ ⇔ ≤ m ≤ Do có số nguyên m thỏa mãn Chọn phương án B 50 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN t = Suy phương trình có nghiệm x = Suy nghiệm hệ phương trình (7; 7) Với y = −x thay vào phương trình (2) ta log3 (y + 6) = ⇔ log3 (y + 6) = ⇒ y = −3, x = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (3; −3) , (7; 7) Chọn phương án A Câu 12 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 2x + 2y = Tìm giá trị lớn Pmax biểu thức P = 2x2 + y A Pmax 2y + x + 9xy 27 = B Pmax = 18 C Pmax = 27 D Pmax = 12 Lời giải √ Ta có = 2x + 2y ≥ 2x+y ⇔ ≥ 2x+y ⇔ x + y ≤ x+y ≤1 Khi P = ỵ2x2 + y 2y +óx + 9xy = x3 + y + 4x2 y + 10xy P = (x + y) (x + y)2 − 3xy +(2xy)2 +10xy ≤ (4 − 3xy)+4x2 y +10xy = 16+2x2 y +2xy (xy − 1) ≤ 18 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Suy xy ≤ VậyPmax = 18 x = y = Chọn phương án B Câu 13 Xét số thực x , y (x ≥ 0) thỏa mãn − y (x + 3) 2018x+3y Gọi m giá trị nhỏ biểu thức T = x + 2y Mệnh đề sau ? A m ∈ (0; 1) B m ∈ (1; 2) C m ∈ (2; 3) D m ∈ (−1; 0) 2018x+3y + 2018xy+1 + x + = 2018−xy−1 + Lời giải Ta có 2018x+3y + 2018xy+1 + x + = 2018−xy−1 + − y (x + 3) 2018x+3y x+3y −x−3y −xy−1 xy+1 ⇔ 2018 − 2018 + x + 3y = 2018 − 2018 − xy − ⇔ f (x + 3y) = f (−xy − 1) (1) Xét hàm số f (t) = 2018t − 2018−t + t ,với ta có f (t) = 2018t ln 2018 + 2018−t ln 2018 + > , Do f (t) đồng biến nên (1) ⇔ x + 3y = −xy − x+1 (x + 1) ⇔ y (x + 3) = −x − ⇒ y = − ⇒T =x− x+3 x+3 (x + 1) Xét hàm số f (x) = x − ,với x ∈ [0; +∞) có x+3 x2 + 6x + = > , ∀x ∈ (0; +∞) f (x) = − (x + 3)2 (x + 3)2 Do f (x) đồng biến [0; +∞) ⇒ f (x) ≥ f (0) = − Dấu “ = ” xảy ⇔ x = ⇒ m = − Chọn phương án D 2 Câu 14 Có số nguyên x cho tồn số thực y thỏa mãn 22x +y = 3x+y ? A1 B C D Vơ số 50 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Lời giải Đặt22x +y ® 2x2 + y = log2 t x + y = log3 t = 3x+y = t ,suy Å √ √ 2x + 1.y ã2 + 2x2 + y nên suy ra: 3 log23 t ≤ log2 t = log2 log3 t ⇒ log3 t ≤ log2 ≈ 2, 74 2 Do 2x2 + y = log2 t = log2 log3 t ≤ 3, Mà nên x ∈ {−1; 0;®1} đ y = log2 t = log2 log3 t y=0 +Với x = ,ta có ,suy y = y log2 ⇔ y = log3 t y = log2 Ta có (x + y) = ≤ ® Chọn phương án B Câu 15 Có số nguyên y để tồn số thực x thỏa mãn log3 (x + 2y) = log2 x2 + y ? A3 B C D vô số Lời giải ® x2 Đặt log3 (x + 2y) = log2 + y2 =t⇔ x + 2y = 3t (*) x2 + y = 2t Ta có (x + 2y)2 ≤ (1 + 4) x2 + y = x2 + y nên:9t ≤ 5.2t ⇔ log Suy x2 + y = 2t ≤ Vì nên y ∈ {−1; 0; 1} t ≤ ⇔ t ≤ log 95 ≈ 2.1 ® x − = 3t ⇒ 3t + x2 + = 2t Nếu t < − 2t > ⇒ 9t + 2.3t − 2t + > Nếu t ≥ ⇒ 9t − 2t ≥ ⇒ 9t + 2.3t − 2t + > +Với y = −1 ,hệ (*)trở thành + = 2t ⇔ 9t + 2.3t − 2t + = (**) Vậy (**)vơ nghiệm ® -Với y = hệ (*)trở thành ® x = 3t ⇒ 9t = 2t ⇔ t x =2 t =1⇔t=0⇒x=1 x + = 3t -Với y = hệ (*)trở thành ⇒ 3t − = 2t − (∗ ∗ ∗) t x +1=2 Dễ thấy (***)ln có nghiệm t = ⇒ x = Vậy có giá trị nguyên y thỏa mãn y = 0, y = Chọn phương án B 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 2 + y = log2 t = log2 log3 t +với x = ,ta có ,suy + y = log3 t 2 + y = log2 (1 + y) ® ⇔ y − log2 3.y + − log2 = phương trình có nghiệm + y = log2 t = log2 log3 t +Với x = −1 ,ta có ,suy −1 + y = log3 t + y = log2 (−1 + y) ⇔ y − log2 3.y + + log2 = phương trình vơ nghiệm 50 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu 16 Có cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn log√3 xy Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA A Lời giải Điều kiện B C x+y = x (x − 3) + y (y − 3) + x2 + y + xy + D x+y > ⇔ x + y > + y + xy + x+y log√3 = x (x − 3) + y (y − 3) + xy x + y + xy + ⇔ log3 (x + y) − log3 x2 + y + xy + = x2 + y + xy − 3x − 3y ⇔ log3 (x + y) + − log3 x2 + y + xy + = x2 + y + xy + − 3x − 3y ⇔ log3 (3x + 3y) + (3x + 3y) = log3 x2 + y + xy + + x2 + y + xy + 2 + > 0, ∀t ∈ (0; +∞) Xét hàm đặc trưng f (t) = log3 t + t, t ∈ (0; +∞) , ta có f (t) = t ln Suy hàm f (t) đồng biến khoảng (0; +∞) Phương trình ⇔ f (3x + 3y) = f x2 + y + xy + ⇔ x2 + y + xy + = 3x + 3y ⇔ x2 + (3 − y) x + y − 3y + = Điều kiện y để phương trình có nghiệm (3 − y)2 − y − 3y + ≥ √ √ − 2 + 2 ⇔ −3y + 6y + ≥ ⇔ ≤y≤ 3 Do nên y ∈ {0; 1; 2} ñ x=1 +Với y = ,ta x2 − 3x + = ⇔ x=2 x2 ñ x=0 +Với y = ,ta x2 + 2x = ⇔ x = −2 ñ +Với y = ,ta x2 + x = ⇔ x=0 x = −1 Vậy có cặp số thỏa mãn đề Chọn phương án D Câu 17 Có giá trị nguyên dương tham số m để tồn số thực x, y thỏa mãn đồng thời e3x+5y−10 − ex+3y−9 = − 2x − 2y log25 (3x + 2y + 4) − (m + 6) log5 (x + 5) + m2 + = A B C D Lời giải Ta có e3x+5y−10 − ex+3y−9 = − 2x − 2y ⇔ e3x+5y−10 − ex+3y−9 = (x + 3y − 9) − (3x + 5y − 10) ⇔ e3x+5y−10 + (3x + 5y − 10) = ex+3y−9 + (x + 3y − 9) (1) Xét hàm số f (t) = et + t liên tục R, có f (t) = et + > 0, ∀t ∈ R nên hàm số f (t) = et + t đồng biến R Do (1) ⇔ 3x + 5y − 10 = x + 3y − ⇔ 2x + 2y = Khi phương trình log25 (3x + 2y + 4) − (m + 6) log5 (x + 5) + m2 + = ⇔ log25 (x + 5) − (m + 6) log5 (x + 5) + m2 + = 50 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Đặt ,ta t2 − (m + 6) t + m2 + = (2) (2) có nghiệm ⇔ ∆ = (m + 6)2 − m2 + = −3m2 + 12m ≥ ⇔ ≤ m ≤ Vậy số giá trị nguyên dương tham số m thỏa mãn giá trị Chọn phương án C Câu 18 Cho ≤ x ≤ 2020 log2 (2x + 2) + x − 3y = 8y Có cặp số (x ; y) nguyên thỏa mãn điều kiện trên? A 2019 B 2018 C D Lời giải Do ≤ x ≤ 2020 nên log2 (2x + 2) ln có nghĩa Ta có log2 (2x + 2) + x − 3y = 8y Chọn phương án D 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ⇔ log2 (x + 1) + x + = 3y − 23y ⇔ log2 (x + 1) + 2log2 (x+1) = 3y + 23y (1) Xét hàm số f (t) = t + 2t Tập xác định f (t) = + 2t ln ⇒ f (t) > Suy hàm số f (t) đồng biến Do (1) ⇔ log2 (x + 1) = 3y ⇔ x + = 23y ⇔ y = log8 (x + 1) Ta có ≤ x ≤ 2020 nên ≤ x + ≤ 2021 suy ≤ log8 (x + 1) ≤ log8 2021 Lại có log8 2021 ≈ 3, 66 nên y ∈ {0 ; ; ; 3} Vậy có cặp số (x ; y) nguyên thỏa yêu cầu toán cặp (0 ; 0) ,(7 ; 1) ,(63 ; 2) ,(511 ; 3) 50 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN BẢNG ĐÁP ÁN Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA D 11 A B 12 B A 13 D B 14 B B 15 B A 16 D A 17 C B 18 D B 10 B ... tính v2 020 = · 22 019 = · 22 020 Suy u2 020 = v2 020 − = · 22 020 − Chọn phương án A cos2 x − cos3 x − Câu 68 Tính tổng tất nghiệm phương trình cos 2x − tan2 x = cos2 x đoạn [1; 70] A 188π B 26 3π... = · 22 020 − B u2 020 = · 22 019 + Lời giải Ta có un+1 = 2un + ⇔ un+1 + = 2( u ® n + 5) Xét dãy (vn ) với = un + Ta có Tìm số hạng thứ 20 20 dãy C u2 020 = · 22 019 − D u2 020 = · 22 020 + v1 = Như dãy... = x2 + y + z = 32 + 72 + 1 12 = 179 z = −4 ⇒ x = 14 − (−4) = 18 ⇒ F = x2 + y + z = 1 82 + 72 + (−4 )2 = 389 Chọn phương án A ® Câu 67 Cho dãy số (un ) xác định u1 = un+1 = 2un + A u2 020 = · 22 020