Tài liệu trình bày các chuyên đề Toán lớp 9: căn thức – biến đổi căn thức; phương trình bậc hai – định lý Vi-ét; hệ phương trình; hàm số đồ thị; giải bài toán bằng cách lập phương trình –hệ phương trình; các bài toán về tính số đo góc và số đo diện tích; toán quỹ tích; một số bài toán mở đầu về hình học không gian.
PHẦN I: ĐẠI SỐ CHỦ ĐỀ 1: CĂN THỨC – BIẾN ĐỔI CĂN THỨC Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau) Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức Bài 1: Đưa một thừa số vào trong dấu căn Bài 2: Thực hiện phép tính Bài 3: Thực hiện phép tính Bài 4: Thực hiện phép tính Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau: Bài 6: Rút gọn biểu thức: Bài 7: Rút gọn biểu thức sau: Bài 8: Tính giá trị của biểu thức Dạng 3: Bài tốn tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính tốn Bài 1: Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 ) c) Tính giá trị nhỏ nhất của P Bài 2: Xét biểu thức a) Rút gọn A b) Biết a > 1, hãy so sánh A với c) Tìm a để A = 2 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A Bài 3: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức C b) Tính giá trị của C với c) Tính giá trị của x để Bài 4: Cho biểu thức a) Rút gọn M b) Tính giá trị M nếu c) Tìm điều kiện của a, b để M DM là tia phân giác của góc ADE.(1) 5. Ta có ∠MEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) => ∠MEB = 900. Tứ giác AMEB có ∠MAB = 900 ; ∠MEB = 900 => ∠MAB + ∠MEB = 1800 mà đây là hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp một đường trịn => ∠A2 = ∠B2 Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => ∠A1= ∠B2( nội tiếp cùng chắn cung CD) => ∠A1= ∠A2 => AM là tia phân giác của góc DAE (2) Từ (1) và (2) Ta có M là tâm đường trịn nội tiếp tam giác ADE TH2 (Hình b) Câu 2 : ∠ABC = ∠CME (cùng phụ ∠ACB); ∠ABC = ∠CDS (cùng bù ∠ADC) => ∠CME = ∠CDS => => ∠SCM = ∠ECM => CA là tia phân giác của góc SCB Bài 16 Cho tam giác ABC vng ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đường trịn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường trịn tại F, G Chứng minh : Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp AC // FG Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy Lời giải: . Xét hai tam giác ABC và EDB Ta có ∠BAC = 900 ( vì tam giác ABC vng tại A); ∠DEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn là hai góc đối nên ADEC là tứ => ∠DEB = ∠BAC = 900 ; lại có ∠ABC là góc chung => ∆DEB ∼ ∆ CAB giác nội tiếp 2. Theo trên ∠DEB = 900 => ∠DEC = 900 (vì hai góc kề bù); ∠BAC = 900 ( vì ∆ABC vng tại A) hay ∠DAC = 900 => ∠DEC + ∠DAC = 1800 mà đây * ∠BAC = 900 ( vì tam giác ABC vng tại A); ∠DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) hay ∠BFC = 900 như vậy F và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 90 0 nên A và F cùng nằm trên đường trịn đường kính BC => AFBC là tứ giác nội tiếp 3. Theo trên ADEC là tứ giác nội tiếp => ∠E1 = ∠C1 lại có ∠E1 = ∠F1 => ∠F1 = ∠C1 mà đây là hai góc so le trong nên suy ra AC // FG 4. (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đường cao của tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy tại S Bài 17. Cho tam giác đều ABC có đường cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M khơng trùng B. C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vng góc với các cạnh AB. AC Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đường trịn ngoại tiếp tứ giác đó Lời giải: Chứng minh rằng MP + MQ = AH Chứng minh OH ⊥ PQ 1. Ta có MP ⊥ AB (gt) => ∠APM = 900; MQ ⊥ AC (gt) Tam giác ABC có AH là đường cao => ABC = BC.AH Tam giác ABM có MP là đường cao => SABM => ∠AQM = 90 như vậy P và Q cùng nhìn BC dưới một góc = AB.MP bằng 900 nên P và Q cùng nằm trên đường trịn đường kính Tam giác ACM có MQ là đường cao => SACM AM => APMQ là tứ giác nội tiếp = AC.MQ * Vì AM là đường kính của đường trịn ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O của đường trịn ngoại tiếp tứ giác APMQ là trung điểm của AM Ta có SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH 3. Tam giác ABC có AH là đường cao nên cũng là đường phân giác => ∠HAP = ∠HAQ => ( tính chất góc nội tiếp ) => ∠HOP = ∠HOQ (t/c góc ở tâm) => OH là tia phân giác góc POQ. Mà tam giác POQ cân tại O ( vì OP và OQ cùng là bán kính) nên suy ra OH cũng là đường cao => OH ⊥ PQ Bài 18 Cho đường trịn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H khơng trùng O, B) ; trên đường thẳng vng góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngồi đường trịn ; MA và MB thứ tự cắt đường trịn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I Gọi K là tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội Lời giải: 2. Theo giả thiết M là trung điểm của AB; DE ⊥ AB tại M nên M cũng là là hai góc kề bù); DE ⊥ AB tại M => ∠BMD = 900 trung điểm của DE (quan hệ => ∠BID + ∠BMD = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác MBID nên đường kính và dây cung) MBID là tứ giác nội tiếp 1. ∠BIC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường trịn ) => ∠BID = 900 (vì => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đường chéo vng góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường 3. ∠ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường trịn ) => AD ⊥ DC; theo trên BI ⊥ DC => BI // AD. (1) 4. Theo giả thiết ADBE là hình thoi => EB // AD (2) Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B chỉ có một đường thẳng song song với AD mà thơi.) 5. I, B, E thẳng hàng nên tam giác IDE vng tại I => IM là trung tuyến ( vì M là trung điểm của DE) =>MI = ME => ∆MIE cân tại M => ∠I1 = ∠E1 ; ∆O’IC cân tại O’ ( vì O’C và O’I cùng là bán kính ) => ∠I3 = ∠C1 mà ∠C1 = ∠E1 ( Cùng phụ với góc EDC ) => ∠I1 = ∠I3 => ∠I1 + ∠I2 = ∠I3 + ∠I2 . Mà ∠I3 + ∠I2 = ∠BIC = 900 => ∠I1 + ∠I2 = 900 = ∠MIO’ hay MI ⊥ O’I tại I => MI là tiếp tuyến của (O) Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình Bài 1: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường trịn tâm O. D và E lần lượt là điểm chính giữa của các cung AB và AC. DE cắt AB ở I và cắt AC ở L a) Chứng minh DI = IL = LE b) Chứng minh tứ giác BCED là hình chữ nhật c) Chứng minh tứ giác ADOE là hình thoi và tính các góc của hình này Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có các đường chéo vng góc với nhau tại I a) Chứng minh rằng nếu từ I ta hạ đường vng góc xuống một cạnh của tứ giác thì đường vng góc này qua trung điểm của cạnh đối diện của cạnh đó b) Gọi M, N, R, S là trung điểm của các cạnh của tứ giác đã cho. Chứng minh MNRS là hình chữ nhật c) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật này đi qua chân các đường vng góc hạ từ I xuống các cạnh của tứ giác Bài 3: Cho tam giác vng ABC ( A = 1v) có AH là đường cao. Hai đường trịn đường kính AB và AC có tâm là O1 và O2. Một cát tuyến biến đổi đi qua A cắt đường trịn (O 1) và (O2) lần lượt tại M và N a) Chứng minh tam giác MHN là tam giác vng b) Tứ giác MBCN là hình gì? c) Gọi F, E, G lần lượt là trung điểm của O 1O2, MN, BC. Chứng minh F cách đều 4 điểm E, G, A, H d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A thì E vạch một đường như thế nào? Bài 4: Cho hình vuông ABCD Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đường trịn phía hình vng.Lấy AB làm đường kính , vẽ 1/2 đường trịn phía trong hình vng. Gọi P là điểm tuỳ ý trên cung AC ( khơng trùng với A và C). H và K lần lượt là hình chiếu của P trên AB và AD, PA và PB cắt nửa đường trịn lần lượt ở I và M a) Chứng minh I là trung điểm của AP. b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui c) Chứng minh PM = PK = AH d) Chứng minh tứ giác APMH là hình thang cân đ) Tìm vị trí điểm P trên cung AC để tam giác APB là đều Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm nằm đường trịn Bài 1: Cho hai đường trịn (O), (O') cắt nhau tại A, B. Các tiếp tuyến tại A của (O), (O') cắt (O'), (O) lần lượt tại các điểm E, F. Gọi I là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác EAF a) Chứng minh tứ giác OAO'I là hình bình hành và OO'//BI b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' cùng thuộc một đường trịn c) Kéo dài AB về phía B một đoạn CB = AB. Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp Bài 2: Cho tam giác ABC. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp được trong một đường trịn.Xác định tâm O của đường trịn đó b) Đường thẳng DH cắt đường trịn (O) tại điểm thứ 2 là I. Chứng minh rằng 5 điểm A, I, F, H, E cùng nằm trên một đường trịn Bài 3: Cho hai đường trịn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. T ia OA cắt đường trịn (O') tại C, tia O'A cắt đường trịn (O) tại D. Chứng minh rằng: a) Tứ giác OO'CD nội tiếp b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ đó suy ra năm điểm O, O', B, C, D cùng nằm trên một đường trịn Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường trịn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vng góc AD. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp được b) Tia CA là tia phân giác của góc BCF c)* Tứ giác BCMF nội tiếp được Bài 5: Từ một điểm M ở bên ngồi đường trịn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường trịn. Trên cung nhỏ AB lấy một điểm C. Vẽ CD AB, CE MA, CF MB Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp được b) CD2 = CE. CF c)* IK // AB Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn. Vẽ hai đường cao BD và CE a) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường trịn b) Chứng minh rằng xy// DE, từ đó suy ra OA DE Bài 7: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường trịn (O). Trên cung nhỏ AB lấy một điểm M. Đường thẳng qua A song song với BM cắt CM tại N a) Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác đều b) Chứng minh rằng MA + MB = MC c)* Gọi D là giao điểm của AB và CM. Chứng minh rằng: Bài 8: Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm giữa A và C. Một đường trịn (O) thay đổi đi qua B và C. Vẽ đường kính MN vng góc với BC tại D ( M nằm trên cung nhỏ BC).Tia AN cắt đường trịn (O) Tại một điểm thứ hai là F. Hai dây BC và MF cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: a) Tứ giác DEFN nội tiếp được b) AD. AE = AF. AN c) Đường thẳng MF đi qua một điểm cố định Bài 9: Từ một điểm A ở bên ngồi đường trịn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường trịn. Gọi M là trung điểm của AB. Tia CM cắt đường trịn tại điểm N. Tia AN cắt đường trịn tại điểm D a) Chứng minh rằng MB2 = MC. MN b) Chứng minh rằng AB// CD c) Tìm điều kiện của điểm A để cho tứ giác ABDC là hình thoi. Tính diện tích cử hình thoi Bài 10: Cho đường trịn (O) và một dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Vẽ đường kính MN Cắt AB tại I. Gọi D là một điểm thuộc dây AB. Tia MD cắt đường trịn (O) tại C a) Chứng minh rằng tứ giác CDIN nội tiếp được b) Chứng minh rằng tích MC. MD có giá trị khơng đổi khi D di động trên dây AB c) Gọi O' là tâm của đường trịn ngoại tiếp tam giác ACD Chứng minh rằng MAB = AO'D d) Chứng minh rằng ba điểm A, O', N thẳng hàng và MA là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp tam giác ACD Bài 11: Cho tam giác ABC vng ở A ( AB EB. M là một điểm trên đoạn AE sao cho AM.AE = AO.AB a) Chứng minh AOM vng tại O b) OM cắt đường trịn C và D. Điểm C và điểm E cùng một phía đối với AB. Chứng minh ACM đồng dạng với AEC c) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp tam giác CEM d) Giả sử tỉ số diện tích hai tam giác Acm và AEC là . Tính AC, AE, AM, CM theo R Chủ đề 7: Tốn quỹ tích Bài 1: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp trong đường trịn (O) và M là điểm di động trên đường trịn đó. Gọi D là hình chiếu của B trên AM và P là giao điểm của BD với CM a) Chứng minh BPM cân b) Tìm quỹ tích của điểm D khi M di chuyển trên đường trịn (O) Bài 2: Đường trịn (O ; R) cắt một đường thẳng d tại hai điểm A, B. Từ một điểm M trên d và ở ngồi đường trịn (O) kẻ các tiếp tuyến MP, MQ a) Chứng minh rằng góc QMO bằng góc QPO và đường trịn ngoại tiếp tam giác MPQ đi qua hai điểm cố định khi M di động trên d b) Xác định vị trí của M để MQOP là hình vng? c) Tìm quỹ tích tâm các đường trịn nội tiếp tam giác MPQ khi M di động trên d Bài 3: Hai đường trịn tâm O và tâm I cắt nhau tại hai điểm A và B. Đường thẳng d đi qua A cắt các đường trịn (O) và (I) lần lượt tại P, Q. Gọi C là giao điểm của hai đường thẳng PO và QI a) Chứng minh rằng các tứ giác BCQP, OBCI nội tiếp b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AP, AQ, K là trung điểm của EF. Khi đường thẳng d quay quanh A thì K chuyển động trên đường nào? c) Tìm vị trí của d để tam giác PQB có chu vi lớn nhất Chủ đề 8: Một số toán mở đầu hình học khơng gian Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’. Biết AB = 4 cm; AC = 5 cm và A’C = 13 cm. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó Bài 2: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ bằng 25 cm 2. Tính thể tích và diện tích tồn phần của hình lập phương đó Bài 3: Cho hình hộp chứ nhật ABCDA’B’C’D’. Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm và góc A’AC’ bằng 600. Tính thể tích và diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật đó Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’. Tính diện tích xung quanh và thể tích của nó biết cạnh đáy dài 6 cm và góc AA’B bằng 300 Bài 5: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) tại trọng tâm G của tam giác ABC. Trên đường thẳng d lấy một điểm S. Nối SA, SB, SC a) Chứng minh rằng SA = SB = SC b) Tính diện tích tồn phần và thể tích của hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và đường cao là a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác đều b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp Bài 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a a) Tính diện tích tốn phần của hình chóp b) Tính thể tích của hình chóp Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiếu cao 15 cm và thể tích là 1280 cm3 a) Tính độ dài cạnh đáy b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp Bài 9: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ là 75 cm2, diện tích đáy lớn gấp 4 lần diện tích đáy nhỏ và chiều cao là 6 cm. Tính thể tích của hình chóp cụt đó Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA = a và SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) a) Tính thể tích hình chóp b) Chứng minh rằng bốn mặt bên là những tam giác vng a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp Bài 11: Một hình trụ có đường cao bằng đường kính đáy. Biết thể tích hình trụ là 128 cm3, tính diện tích xung quanh của nó Bài 12: Một hình nón có bán kính đáy bằng 5 cm và diện tích xung quanh bằng 65 cm2. Tính thể tích của hình nón đó Bài 13: Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn bằng 8 cm, đường cao bằng 12 cm và đường sinh bằng 13 cm a) Tính bán kính đáy nhỏ b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón cụt đó Bài 14: Một hình cầu có diện tích bề mặt là 36 cm2. Tính thể tích của hình cầu đó Xin giới thiệu q thày cơ website: tailieugiaovien.edu.vn Website cung cấp các bộ giáo án soạn theo định hướng phát triển năng lực người học theo tập huấn mới nhất Có đủ các bộ mơn khối THCS và THPT ... 2. Theo trên ∠DEB =? ?90 0 => ∠DEC =? ?90 0 (vì hai góc kề bù); ∠BAC =? ?90 0 ( vì ∆ABC vng tại A) hay ∠DAC =? ?90 0 => ∠DEC + ∠DAC = 1800 mà đây * ∠BAC =? ?90 0 ( vì tam giác ABC vng tại A); ∠DFB =? ?90 0 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) ... => ∠AEH =? ?90 0 (vì là hai góc kề bù). (1) 1. Ta có : ∠BEH =? ?90 0 ( nội tiếp chắn nửc đường trịn ) ∠CFH =? ?90 0 ( nội tiếp chắn nửc đường trịn ) ∠EAF =? ?90 0 ( Vì tam giác ABC vng tại A) (3) => ∠AFH =? ?90 0 (vì là hai góc kề bù).(2)... b) Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vng góc với nhau Chủ? ?đề? ?5: GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH –HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Các bước giải toán cách lập hệ phương trình: Bước 1 : Lập hệ phương trình(phương trình)