Luận Văn Kỳ dị trong lý thyết trường và bậc phân kỳ của các giản đồ

MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học môn khoa học nghiên cứu quy luật từ đơn giản đến tổng quát tự nhiên Vật lý học nghiên cứu cấu trúc, tính chất vật chất thông qua quy luật, định lý… Cùng với phát triển loài người, vật lý học trải qua nhiều giai đoạn phát triển đạt thành tựu đáng kể Vật lý hạt nghiên cứu hạt nhỏ tạo nên vật chất tương tác chúng Trong đó, lý thuyết trường cơng cụ hữu hiệu để nghiên cứu giới siêu nhỏ “hạt bản” Trong 30 năm qua, tất thí nghiệm máy gia tốc lượng cao chứng tỏ điều Trong lý thuyết trường có số vấn đề, mấu chốt quan niệm hạt điểm - khơng có kích thước thể tích Trong lí thuyết cổ điển, khái niệm hạt điểm dẫn đến đại lượng phân kì khối lượng riêng ρ = m/V… Hiện chưa có cơng cụ tốn học thích hợp cho hạt có kích thước, phải cố gắng theo chiều hướng không mang lại kết Vì ta phải chấp nhận kì dị vật lý hạt Để tìm hiểu rõ nguyên nhân lý thuyết trường phải làm việc với phân kỳ tính giản đồ Feynman phân kỳ, tơi đến lựa chọn nghiên cứu đề tài “Kỳ dị lý thuyết trường bậc phân kỳ giản đồ” khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu kỳ dị lý thuyết trường phương pháp chỉnh, ứng dụng - Bậc phân kỳ giản đồ ứng dụng không gian D chiều Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Các kiểu kỳ dị phương pháp chỉnh chúng - Bậc phân kỳ giản đồ Feynman Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu kỳ dị lý thuyết trường bậc phân kỳ giản đồ Phương pháp nghiên cứu - Đọc tra cứu tài liệu - Phương pháp giải tích tốn học vật lý lý thuyết CHƯƠNG I KỲ DỊ TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG 1.1 Các phân kỳ lý thuyết trường 1.1.1 Phân kỳ tử ngoại 1.1.1.1 Trong lý thuyết cổ điển Trong lý thuyết cổ điển, khái niệm hạt điểm dẫn đến đại lượng phân kỳ khối lượng riêng ρ=m/V… Hiện chưa có cơng cụ tốn học thích hợp cho hạt có kích thước, cố gắng theo hướng khơng mang lại kết Vì ta phải chấp nhận kỳ dị Vật lý Hạt Nhớ lại hàm truyền (nhân quả) xác định qua T-tích hai tốn tử trường D c ( x  y )  i  | T ( ( x ) ( y )) |  Khi x  y ta phải tiền định nghĩa T-tích Sự khơng xác định T-tích “đồng thời gian” dẫn đến kỳ dị hàm Green hàm truyền Ta có mối quan hệ Dc với D+ D-: D c ( x )   ( x ) D  ( x )   ( x ) D  ( x) Quá trình sinh hạt vơ hướng x hủy hạt y mô tả hàm: i 1* ( y )1 ( x)  |   ( y )  ( x) |  iD  ( y  x)  D  ( x  y ) Các hàm truyền trường spinor, vector… biểu diễn qua hàm truyền trường vô hướng sau: c S ( x)  (i   m) D c ( x), Dnlc ( x)  ( g nl  2 ) D c ( x) n l m x x (1.1) Hàm Green nhân D c thỏa mãn phương trình sau đây: D c ( x)   ( x ), (i   m) S c ( x)   ( x), 2 ( m ) D ( x)  ( g nl  n l ) ( x) m x x c nl (1.2) Dạng tường minh hàm D  ( x ) sau: D  ( x)  D  ( x)  eikx ( k  m ) ( k )d 4k  (i 2 ) i (2 ) e  ikx  (k  m ) (k )d k (1.3) Lấy tích phân vế (1.3): 2 i im m| | m2 D ( x )   ( x ) ( )   ln   ( x ) ( )  (   ln  ) 4  8 16  1 m2 im m  D c ( x)   ( )    (  )  ln  (   ln  ), 4 i 4 2 16 8 2 (1.4) Trong   x  ( x o )  ( x ) Từ (1.4) ta thấy hàm Green D  ( x) hàm truyền phân kỳ nón ánh sáng   x  Trong biểu thức hàm Green ta thấy có hai loại phân kỳ: Phân kỳ nguy hiểm kiểu  ( )  Phân kỳ nhẹ nhàng kiểu  ( ) 1.1.1.2 Trong lý thuyết hàm suy rộng Điều đáng ý phép phân kỳ “chồng chất” khơng xác định Ví dụ: ta biết x ( x) , x ln( x) xác định Nhưng tích hai hàm phân kỳ không  ( x) ln x  ( x).ln x khơng xác định Đây trường hợp phân kỳ chồng chất Khi phân kỳ không chồng chất  ( x  3)ln x tích chúng xác định tốt Tóm lại, tích phân kỳ chồng chất khơng xác định Muốn xác định tích này, ta phải tiền xác định, nghĩa ta phải đưa cách hiểu chúng, hay nói cách khác phải “chỉnh” chúng Trong lý thuyết trường, tính tích phân Feynman, ta ln làm việc với tích hàm truyền với phân kỳ chồng chất nón ánh sáng (   ) Do ta phải có phép chỉnh Kỳ dị nguy hiểm   ( x) với hệ số không phụ thuộc vào khối lượng, kỳ dị dạng ln x  ( x) có hệ số tỉ lệ với m2 Hiện người ta sử dụng phép chỉnh khác nhau, phương pháp chỉnh thứ nguyên, chỉnh Pauli-Villars, cắt xung lượng, vv Nhưng thông dụng phương pháp chỉnh thứ nguyên Các phương pháp chỉnh phải thỏa mãn điều kiện: phần hữu hạn không phụ thuộc vào giới hạn  , M   Phương pháp cắt phải chọn cho bất biến Lorentz bảo toàn vấn đề đối xứng khác 1.1.2 Phân kỳ hồng ngoại Phân kỳ hồng ngoại phân kỳ khối lượng hàm truyền không Phân kỳ không nguy hiểm vùng lượng thấp Hàm Green tồn phần electron QED có khai triển nhiễu loạn hình 1.1 Hình 1.1: Hàm truyền tồn phần fermion Bổ đính vịng vào hàm truyền electron có giản đồ Feynman tương ứng hình 1.2 Khơng kể đến đường ngồi, tích phân Feynman tương ứng là: ( p )   i ( p  k  m) d 4k ig  ie  ie    (2 ) ( p  k )  m  k2   ( p  k  m)  d 4k  e  ie (2 ) k ( p  k )  m  Khi k   , ( p) k4 k k4 (1.5) k Đây phân kỳ tuyến tính Tuy nhiên khơng gian d < tích phân hữu hạn Trong phân kỳ hồng ngoại ta dùng phương pháp chỉnh thứ nguyên mà trình bày 1.3.2  ( p )  e     d d k   ( p  k  m) (2 ) d k ( p  k )  m  (1.6) Trong d chiều ta có hệ thức sau: Tr (    )  4d ,   k    (2  d ) k , Tử số (1.7) trở thành: TS  (2  d )( p  k )  md     d (1.7) Hình 1.2: Đóng góp bậc hai vào hàm truyền fermion Sau vài biến đổi nhỏ ta có: (2  d )( p  k )  md ddk ( p )  e   dx  d (2 ) (k  px)  D ( p ,0, m )    2 (1.8) Đặt q  k  px ta có: ( p )  e  2  dx  d d k (2  d ) p (1  x)  md (2 ) d  q  M 2   e2  2  dx[(2  d ) p (1  x)  md ]I ( M 2 ), (1.9) Trong M 2  D( p ,0, m )  m x  p x(1  x) Thay biểu thức cần thiết, ta thu ( p)   div ( p)   fin ( p ),  div ( p )  ie CUV ( p  4m), 16 ie2  ( p)  ln  ( p  4m)  2 dx  p (1  x)  2m  ln( M 2 )  ( ) (1.10) 16 fin   Trên bề mặt khối lượng p  m M 2  m x tích phân (1.10) phân kỳ Phân kỳ hồng ngoại xuất khối lượng photon không Để giải khó khăn này, người ta cho photon khối lượng  dù cực nhỏ Như vậy, giản đồ lượng riêng electron ta gặp phải hai loại phân kỳ: phân kỳ tử ngoại phân kỳ hồng ngoại 1.2 Thứ nguyên tắc Trong phương pháp chỉnh thứ nguyên d x  d d x ta cần thứ nguyên tham số vật lý Cách tính thứ nguyên tắc không gian d chiều sau: Ta biết không gian d chiều, để tác dụng S số Lagrangian có thứ ngun d theo xung lượng khối lượng ~ Mặt khác x đạo hàm làm tăng thứ nguyên lên đơn vị Do vậy: Đối với trường vector: d d x    , 1         d     d 1  m  , d Tương tự  A    Đối với trường spinor: d d xi   ,          d , Từ ta có         d  2 Đối với số tương tác: e  2     A   d , e A  :  e   d       A  d  d   e   d d  1, không gian d   2 chiều:  e   e (1.11) Đối với tương tác  4 : 4!    4   d Do đó:     d  2d    d Khi d   2 ta có     2 e   2  Moment góc M 0lm   d x( x mT l  x lT m ) nên có thứ nguyên tắc 1.3 Một số phương pháp chỉnh 1.3.1 Phương pháp chỉnh Pauli-Villars hay phương pháp chỉnh hiệp biến 1.3.1.1 Phương pháp chỉnh Pauli-Villar Phương pháp chỉnh phải thỏa mãn điều kiện: phần hữu hạn không phụ thuộc vào giới hạn  , M  Phương pháp cắt phải chọn cho bất biến Lorentz bảo toàn vấn đề đối xứng khác Thay hàm truyền m( x) hàm truyền chỉnh: n reg m( x)  m( x)   Ci mi ( x) (1.12) i 1 Trong hệ số ci thỏa mãn điều kiện sau: n   ci  (1.13) i 1 n m   ci M i2  (1.14) i 1 n m n 2   ci M i2 n2  (1.15) i 1 Điều kiện (1.12) làm triệt tiêu kỳ dị nguy hiểm Các điều kiện cịn lại (1.14), (1.15) làm triệt tiêu phân kỳ không nguy hiểm khối lượng m Trong kết cuối cho M i   Hàm reg m( x) liên tục khác với m( x) vùng cực nhỏ quanh nón ánh sáng Khi M i   khơng cịn khác reg m( x ) m( x) Vì chỉnh Pauli-Villars làm tăng bậc xung lượng mẫu 1.3.1.2 Ví dụ Ta tính tích phân sử dụng phương pháp chỉnh Pauli-Villars Ta xét lý thuyết vô hướng thực  với Lagrangian sau đây: m2 g  L         2 4! s (1.16) Bổ đính vịng vào hàm truyền trường vơ hướng mơ tả giản đồ Feynman hình 1.3 k p p Hình 1.3: Bổ đính vịng vào hàm truyền lý thuyết  Biểu thức tương ứng là: d 4k i  ( p)  ig  (2 )4 (k  m2  i ) Trong (1.17) hệ số đối xứng giản đồ Ta thấy  phân kỳ bậc hai k   Nếu dùng phương pháp chỉnh Pauli-Villars ta phải dùng hai khối lượng phụ để có hàm truyền tỉ lệ với nghĩa là: k6 1 a a   2 2 2 2 k m k m k  M1 k  M k 10 (1.18) Trong  (G )   (rl  D  2)  D(n  1) lint Ta đưa vào số đỉnh i   (rl  D  2)  D lint Khi bậc phân kỳ giản đồ viết dạng: n 1   (G )     (rl  D  2)  D   D   i  D i 1  lint i 1  n Như trước ta định nghĩa imax imax   (rl  D  2)  D l Khi cơng thức tính bậc phân kỳ giản đồ có dạng: n  (G )   imax  D  i 1  1  (rl  D  2) lext (2.11)  0 Hình 2.3: Hai giản đồ phân kỳ khơng gian hai chuyền Từ cơng thức (2.11), ta có hệ cho tương tác không chứa đạo hàm sau: Trong không gian D  2, số hạng cuối (2.11) cho đóng góp khơng dương Vì điều kiện tái chuẩn hóa trường hợp imax  Trong không gian D > tất lý thuyết không tái chuẩn hóa khơng gian D = lý thuyết  siêu tái chuẩn hóa được, 28 imax   Cịn khơng gian D = lý thuyết  không tái chuẩn hóa được, imax  Trong khơng gian D = 5, lý thuyết có đường fermion tham gia khơng tái chuẩn hóa Khi D = 2, mơ hình sigma phi tuyến có trường vơ hướng tham gia với imax  2 , nên siêu tái chuẩn hóa Ta tìm điều kiện mà đỉnh tái chuẩn hóa có trường vơ hướng trường chuẩn: hai trường loại có rl  Do imax  ta có phương trình: n ( D  2)  D  Vì số trường lớn là: n 2D d 2 (2.12) Với n số trường vô hướng trường chuẩn lớn mà đỉnh lý thuyết tái chuẩn hóa cho phép Trong khơng gian D = giản đồ lượng riêng electron phân kỳ logarit, giản đồ phân cực chân khơng phân kỳ tuyến tính Trong D = ta có hai giản đồ hình phân kỳ 29 CHƯƠNG III TÁI CHUẨN HÓA KHỐI LƯỢNG HẠT VÔ HƯỚNG Trong lý thuyết cổ điển, khái niệm hạt điểm dẫn đến đại lượng phân kỳ như: khối lượng riêng, mật độ điện tích Vật lý đại chưa đủ cơng cụ tốn học cần thiết để làm việc với hạt có kích thước lớn, phải chấp nhận phân kỳ lý thuyết hạt Đặc biệt, làm tính bổ đính bậc cao, phân kỳ tử ngoại luôn xuất hiện, tất yếu ta phải tái chuẩn hóa lại tham số ban đầu Cụ thể chương này, ta sử dụng phương pháp chỉnh thứ nguyên để tái chuẩn hóa điện động lực vơ hướng bậc vịng Trong điện động lực học lượng tử vơ hướng (scalar QED), Lagrangian tồn phần có dạng sau: Loh   F F    0*   ie0 A0  (0*   0* )  e02 A0  A0 0*  (  A0 ) 20 (3.1) Trong 0 ,0* , A0 , m0 , q0 đại lượng trần Các hàm truyền có tính đến bổ đính có dạng: Hình 3.1: Hàm truyền tái chuẩn hóa 30 Để làm phần khó chịu Z Z ta tái chuẩn hóa lại hàm sóng: 2 *   Z r 2  Z   A0  Z Ar * r (3.2) Khi Lagrangian trở thành: 1  * Lr   Z Fr Fr  Z 2  r  m0 Z 2r r  ie0 Z Z 32 (r*  r   r* r ) Ar  h e02 Z Z 32 Ar  Ar  r* r  Z3 (  Ar ) 2 (3.3) Sử dụng cách đặt sau: 1 1   Z  1,   Z  1, e  Z Z Z e ,  m  m02 Z  m , 1  Z1   0 Z3 , q0 Z Z 32  q (3.4) Lagrangian toàn phần viết lại sau: Lr h   Fr  Fr   r*  r  m 2 r*r  iqAr  (r* r   r*r ) + q Ar  Arr* r  1 (  Ar )   Fr  Fr 2 +  2 r* r   m 2 r*r  i1qAr  ( r* r   r*r ) +  q Ar  Arr* r (3.5) Trong lý thuyết điện động lực học vô hướng (scalar QED), hàm truyền đỉnh lý thuyết nhiễu loạn trần xác định sau Sau tái chuẩn hóa yếu tố xác định là: Từ hình vẽ (3.2) (3.3) xác định yếu tố lý thuyết nhiễu loạn trần lý thuyết tái chuẩn hóa ta có điều kiện tái chuẩn hóa sau: 31 ig  q  i Chuẩn t’Hooft-Feynman i p  m  i ie( p  p ')  2ie2 g  Hình 3.2: Các yếu tố lý thuyết nhiễu loạn trần  ( q  0)  (3.6) ( p  m )  (3.7) ( p ) | 20 p p m (3.8) ie 2  ( p, p ') p p '  ie( p  p ')  (3.9) ie  ( p, p ') p  p '  2ie g  (3.10) Trong đó, ie 2  ( p, p ') ký hiệu cho hàm đỉnh ba gồm hai trường vơ hướng trường photon, cịn ie  ( p, p ') ký hiệu cho hàm đỉnh bốn gồm hai trường vô hướng hai trường photon 32 Ký hiệu giản đồ tối giản (liên kết mạnh) hạt vơ hướng là: Hàm truyền tồn phần viết dạng: = d x  | T  * ( x ) (0) |  eipx i ( g  q  q  q ) i ( p   m ) i1e( p  p ')  2ie2 g  Hình 3.3: Các yếu tố lý thuyết nhiễu loạn tái chuẩn hóa Hình 3.4: Giản đồ tối giản hạt vô hướng phức  i i i  ( i( p ))  2 p  m  i p  m  i p  m  i  i p  m  ( p )  i 2 (3.11) 33 Ký hiệu Ta có: ( i ) g  d 4k i  i1 ( p )   ie (2 p  k ) ie(2 p  k )  2 (2 ) ( p  k)  m k d 4k (2 p  k ) e  (2 ) ( p  k )  m  k 2 (3.12) Dùng phương pháp chỉnh thứ nguyên ta tính i1 ( p ) Chuyển từ không gian chiều sang không gian d chiều với  d  2 Đưa vào tham số khối lượng  , e  e  ddk (2 p  k ) i1 ( p )  e   (2 ) d [( p  k )  m2 ]k 2 2 (3.13) Tham số hóa Feynman 2 [( p  k )  m ]k   1 ( p  k )   m  x  k 1  x  1  k  px 2  p x  m x  p x    (3.14) Đặt q  k  px, M  p x  m x  p x Khi đó: d d q (2 p  q  px ) i1 ( p )  e   dx  (2 ) d [q  M ]2 2 2 Sử dụng cơng thức tính tích phân không gian d chiều: ddq (1) i(  d 2)  d  (2 )d [q  M ]  (4 )d 2( ) ( M ) 34 (3.15) ddq q  (2 )d q  M     ddq (1)( 1) id (  d  1)  d 21 ( 2) d  (2 )d q  M   (4  )  (  ) M   (3.16) Ta có: i( ) 2d ( ) (4 ) d M i1 ( p )  e2  2  dx{(2 p  px) (i )d (1  d 2) 1d ( 2) } 2(4 ) d M  e2  2  dx{(2 p  px)  i( ) i.(2   )(  1) 2(1 ) M 2  M }  (4 ) (4 ) 2 ie dx{(2 p  px) ( )(  4 M 2 )  (2   )(  1)(4 M 2 ) } (3.17) 0 16 (   ) 1   (ln  4  ln M )  Xét (  1)(  4 M 2 )     ln   ln 4    ln M  CUV  ln   ln M (2   )(  1)(4 M 2 ) (3.18) (2   )(    1) 1   (ln 4  ln M )      2ln 4  ln M   2(  1)   2CUV  2ln   ln M  (3.19) Do đó: i1 ( p )  ie { dx (2  x) p (CUV  ln   ln M ) 0 16 + 2  dx( p x  m x  p x)( 2CUV  2ln   ln M  1)} 35  2 ie2 p  3m p  3m 2 p  3m { C  ln   UV 16 3   dx  p (2  x)  M  ln M } (3.20)  d k g g  i ( p )  2e  (2 ) k (3.21) Ký hiệu: Ta có: 2 Trong phương pháp chỉnh thứ nguyên, áp dụng công thức (3.16) cho tích phân khơng gian d chiều, ta kết quả: i ( p )  Như gần vịng, đóng góp vào hàm truyền hạt vơ hướng tối giản là: i( p )  i1 ( p )  i ( p )  2 ie p  3m p  3m 2 p  3m { C  ln   UV 16 3   dx  p (2  x)  M  ln M } (3.22) Sử dụng điều kiện tái chuẩn hóa (3.7) đóng góp vào hàm truyền hạt vơ hướng phức tối giản (3.22) ta có: Hình 3.5: Giản đồ tối giản hạt vô hướng phức Do đó: i( p )  i1 ( p )  i ( p )  i ( p   m ) 36 (3.23) Suy ra: i(m )  i ( m   m )  (3.24) Hay là:  m   m  (m )  e2 m2 { (CUV  ln  )  16 3 3 dx[( x  1)ln m ( x  x  1)]} (3.25) Mặt khác theo điều kiện tái chuẩn hóa (3.8) ta có: 2  ( p ) |2 p p m (3.26) Sau vài tính tốn ta được: 2 |p   m2 e 8(CUV  ln  )  { 16   dx[(3x  4)ln m ( x  x  1)  3x( x  1) ]} x2  x  (3.27) 3x( x  1) ]} x2  x  (3.28) Thay (3.27) vào (3.25) ta có: 2 |p  m2   m  ( m )  e2m2 {(Cu  ln  )  16   dx[(2 x  3)ln m ( x  x  1)  Đem kết (3.27) (3.28) thay vào (3.23) ta có kết đóng góp cho hàm truyền trường vô hướng phức bậc vòng: i( p )  ie 3x ( x  1) 2 2 {p dx [(3 x  4)ln m ( x  x  1)  ] 0 16 x2  x  1 m  dx[(2 x  3)ln m ( x  x  1)  37 x( x  1) ] x2  x  1   dx  p (2  x)  M  ln M } (3.29) Từ biểu thức (3.29) ta thấy i( p ) hữu hạn, số hạng phân kỳ có chứa CUV bị triệt tiêu Như cách đưa đại lượng phân kỳ vào số hạng phản   m ta thu bổ đính vịng cho hạt vơ hướng phức hữu hạn Khối lượng trần loại bỏ phân kỳ, từ có khối lượng vật lý 38 KẾT LUẬN Với mục đích nghiên cứu đặt từ ban đầu, qua trình nghiên cứu hoàn thiện đề tài “Kỳ dị lý thuyết trường bậc phân kỳ giản đồ”, đề tài đạt số kết thể nội dung sau: Chương 1: Nghiên cứu hai loại phân kỳ lý thuyết trường đưa số phương pháp khử phân kỳ Chương 2: Nghiên cứu bậc phân kỳ giản đồ đưa cơng thức tính Dựa vào nhận biết nhanh phân kỳ lý thuyết có tái chuẩn hóa hay khơng Chương 3: Ứng dụng việc tái chuẩn hóa khối lượng hạt vô hướng để thu khối lượng vật lý Do điều kiện nghiên cứu nhiều hạn chế, tài liệu tham khảo thiếu thời gian nghiên cứu có hạn nên chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn để đề tài tơi hồn thiện Tơi hy vọng đề tài tiếp tục nghiên cứu mức độ lý thuyết cao ứng dụng sâu sắc hơn, có ý nghĩa thực tế Tơi xin chân thành cảm ơn! 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Weinberg S - The Quantum Theory of Fields [2] K Huang, Quarks, Leptons and Gauge Fields, World Scientific, 1982 [3] Hoàng Ngọc Long, Cơ sở vật lý hạt bản, Viện Khoa học Công nghệ, NXB Thống kê [4] Hà Thanh Hùng, Luận văn Thạc sĩ “Tái chuẩn hóa điện động lực học vô hướng gần vòng” 40 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu CHƯƠNG I KỲ DỊ TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG 1.1 Các phân kỳ lý thuyết trường 1.1.1 Phân kỳ tử ngoại 1.1.1.1 Trong lý thuyết cổ điển 1.1.1.2 Trong lý thuyết hàm suy rộng 1.1.2 Phân kỳ hồng ngoại 1.2 Thứ nguyên tắc 1.3 Một số phương pháp chỉnh 1.3.1 Phương pháp chỉnh Pauli-Villars hay phương pháp chỉnh hiệp biến 1.3.1.1 Phương pháp chỉnh Pauli-Villar 1.3.1.2 Ví dụ 10 1.3.2 Phương pháp chỉnh thứ nguyên 13 1.3.2.1 Thứ nguyên lý thuyết trường 13 1.3.2.2 Tham số hóa Feynman mẫu số 16 1.3.2.3 Tính tích phân theo xung lượng 17 1.3.2.4 Thác triển giải tích   20 1.3.2.5 Tích phân theo tham số Feynman 21 CHƯƠNG II BẬC PHÂN KỲ CỦA CÁC GIẢN ĐỒ 22 2.1 Xây dựng cơng thức tính 22 2.2 Bậc phân kỳ không gian D chiều 27 CHƯƠNG III TÁI CHUẨN HĨA KHỐI LƯỢNG HẠT VƠ HƯỚNG 30 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 ... pháp giải tích tốn học vật lý lý thuyết CHƯƠNG I KỲ DỊ TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG 1.1 Các phân kỳ lý thuyết trường 1.1.1 Phân kỳ tử ngoại 1.1.1.1 Trong lý thuyết cổ điển Trong lý thuyết cổ điển, khái... tượng phạm vi nghiên cứu - Các kiểu kỳ dị phương pháp chỉnh chúng - Bậc phân kỳ giản đồ Feynman Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu kỳ dị lý thuyết trường bậc phân kỳ giản đồ Phương pháp nghiên cứu... BẬC PHÂN KỲ CỦA CÁC GIẢN ĐỒ 2.1 Xây dựng cơng thức tính Đầu tiên ta đưa vào số khái niệm: Giản đồ liên kết mạnh giản đồ mà chặt đường khơng tách thành hai giản đồ Giản đồ cịn có tên gọi tối giản