Kỳ dị trong lý thyết trường và bậc phân kỳ của các giản đồ

MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học môn khoa học nghiên cứu quy luật từ đơn giản đến tổng quát tự nhiên Vật lý học nghiên cứu cấu trúc, tính chất vật chất thông qua quy luật, định lý… Cùng với phát triển loài người, vật lý học trải qua nhiều giai đoạn phát triển đạt thành tựu đáng kể Vật lý hạt nghiên cứu hạt nhỏ tạo nên vật chất tương tác chúng Trong đó, lý thuyết trường cơng cụ hữu hiệu để nghiên cứu giới siêu nhỏ “hạt bản” Trong 30 năm qua, tất thí nghiệm máy gia tốc lượng cao chứng tỏ điều Trong lý thuyết trường có số vấn đề, mấu chốt quan niệm hạt điểm - khơng có kích thước thể tích Trong lí thuyết cổ điển, khái niệm hạt điểm dẫn đến đại lượng phân kì khối lượng riêng ρ = m/V… Hiện chưa có cơng cụ tốn học thích hợp cho hạt có kích thước, phải cố gắng theo chiều hướng không mang lại kết Vì ta phải chấp nhận kì dị vật lý hạt Để tìm hiểu rõ nguyên nhân lý thuyết trường phải làm việc với phân kỳ tính giản đồ Feynman phân kỳ, tơi đến lựa chọn nghiên cứu đề tài “Kỳ dị lý thuyết trường bậc phân kỳ giản đồ” khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu kỳ dị lý thuyết trường phương pháp chỉnh, ứng dụng - Bậc phân kỳ giản đồ ứng dụng không gian D chiều Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Các kiểu kỳ dị phương pháp chỉnh chúng - Bậc phân kỳ giản đồ Feynman Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu kỳ dị lý thuyết trường bậc phân kỳ giản đồ Phương pháp nghiên cứu - Đọc tra cứu tài liệu - Phương pháp giải tích tốn học vật lý lý thuyết CHƯƠNG I KỲ DỊ TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG 1.1 Các phân kỳ lý thuyết trường 1.1.1 Phân kỳ tử ngoại 1.1.1.1 Trong lý thuyết cổ điển Trong lý thuyết cổ điển, khái niệm hạt điểm dẫn đến đại lượng phân kỳ khối lượng riêng ρ=m/V… Hiện chưa có cơng cụ tốn học thích hợp cho hạt có kích thước, cố gắng theo hướng khơng mang lại kết Vì ta phải chấp nhận kỳ dị Vật lý Hạt Nhớ lại hàm truyền (nhân quả) xác định qua T-tích hai tốn tử trường c Khi x y D (x  y)  i  | T ( (x) ( y)) |  ta phải tiền định nghĩa T-tích Sự khơng xác định T-tích “đồng thời gian” dẫn đến kỳ dị hàm Green hàm truyền Ta c + - có mối quan hệ D với D D : c  0  D (x)   (x )D (x)   (x )D (x) Quá trình sinh hạt vô hướng x hủy hạt y mô tả hàm:  * ( y) (x)  |   ( y)  (x) |  iD ( y  x)  D (x  y) 1 i Các hàm truyền trường spinor, vector… biểu diễn qua hàm truyền trường vô hướng sau: c c  m) D (x), S (x)  (i c D (x)  (g  nl nl 2 n m x x l c )D (x) (1.1) Hàm Green nhân c D thỏa mãn phương trình sau đây: c □ D (x)   (x), c (i   m)S (x)   (x), (1.2)  ( □  m ) (x) ) D c ( x )  ( g  nl nl Dạng tường minh hàm n m x x l  D sau: (x)  D (x)  (i2 ) e ikx  (k  m2 ) (k )d 4k   2 i  D ( e  (2 )  (k  ) ) (k d k m (1.3 ) Phân kỳ nguy hiểm kiểu  ( ) Phân 2kỳ nhẹ nhàng kiểu  ( ) 1.1.1.2 Trong lý thuyết hàm suy rộng Điều đáng ý phép phân kỳ “chồng chất” không xác định   2    m  ln i  ( )  D ( c   ), m  ( ) ln (1  x )  8 i   m o Trong   x  (x )  (x) Từ (1.4) ta thấy hàm Green ánh sáng   x  D hàm truyền  phân kỳ (x nón ) ( ) 2  Lấy tích phân vế (1.3): i  m 0 m i  (x  (x ln  D  m |  ) 2 ) (  ) ) ( )  | (  ln  ( x )  16 Trong biểu thức hàm Green ta thấy có hai loại phân kỳ: Ví dụ: ta biết x (x) , x ln(x) xác định Nhưng tích hai hàm phân kỳ ln x  (x).ln x khơng khơng xác định  (x) Đây trường hợp phân kỳ chồng chất Khi phân kỳ không chồng chất  (x  3) ln x tích chúng xác định tốt Tóm lại, tích phân kỳ chồng chất khơng xác định Muốn xác định tích này, ta phải tiền xác định, nghĩa ta phải đưa cách hiểu chúng, hay nói cách khác phải “chỉnh” chúng Trong lý thuyết trường, tính tích phân Feynman, ta ln làm việc với tích hàm truyền với phân kỳ chồng chất nón ánh sáng (   ) Do ta phải có phép chỉnh Kỳ dị nguy với hệ số  không phụ thuộc hiểm  (x) vào khối lượng, có hệ số tỉ lệ với kỳ dị dạng ln x m  (x) Hiện người ta sử dụng phép chỉnh khác nhau, phương pháp chỉnh thứ nguyên, chỉnh Pauli-Villars, cắt xung lượng, vv Nhưng thông e dụng l pháp e chỉnh thứ c nguyên Các t phương pháp r phương o chỉnh phải thỏa mãn điều kiện: phần hữu hạn không phụ thuộc vào giới hạn  , M   n t r Phương pháp cắt o phải chọn cho n bất biến Lorentz g bảo toàn vấn đề đối xứng Q khác E 1.1.2 Phân kỳ hồng ngoại D Phân kỳ hồng ngoại phân kỳ khối lượng hàm truyền không Phân kỳ không nguy hiểm vùng lượng thấp Hàm Green toàn phần c ó k h a i t r i Hình 1.1: Hàm truyền tồn phần fermion Bổ đính vòng vào hàm truyền electron có giản đồ Feynman tương ứng hình 1.2 Khơng kể đến đường ngồi, tích phân Feynman tương ứng là: d k ie  i( p   m) ie ig  ( p)    ( p  k)2  m2 (2 ) k2   e Khi d k  (2 ) ie k   , ( p) □ k   ( p  k  m) (1.5)  2 k  ( p  k)  m  k □ k Đây phân kỳ tuyến tính Tuy nhiên k khơng gian d < tích phân hữu hạn Trong phân kỳ hồng ngoại ta dùng phương pháp chỉnh thứ nguyên mà trình bày 1.3.2 ( p)  e  2 d k d  (2 )  ( p  d (1.6)  m)  2 k  ( p  k)  m  Trong d chiều ta có hệ thức sau:    r (   )  4d , Tử số (1.7) trở thành:   k  (2  d ) TS  (2  d )( p  , )  md     d (1.7) Hình 1.2: Đóng góp bậc hai vào hàm truyền fermion Sau vài biến đổi nhỏ ta có: ( p)  e  2  dx (2  d )( p ) d k  md d (2 )  (k  px)  D( p , 0, m2 )   d (1.8) Đặt q  k  px ta có: 2 ( p)  e  d d k (2  d ) p (1  x)  md d q2  M  (2 )    dx  e  2  dx[(2  d ) p (1  x)  md ]I (1.9) (M  ), Trong 2 2 M  D( p , 0, m )  m x  p x(1  x) Thay biểu thức cần thiết, ta thu div fin ( p)   ( p)   ( p), div  ( p)  ie 16  V fin  ( p)  ie 16 CU ( p  4m),  ln  ( p  4m)  0dx  p (1  x)  2m       ( ) (1.10) ln(M ) Trên bề mặt khối lượng 2 2 p  m M  m x tích phân (1.10) phân kỳ Phân kỳ hồng ngoại xuất khối lượng photon không Để giải khó khăn này, người ta cho photon Ký hiệu giản đồ tối giản (liên kết mạnh) hạt vơ hướng là: Hàm truyền tồn phần viết dạng: =  d x  | T  (x) (0) |  e * ipx  i(g q  q  q )3 i(2 p   m2 ) i1e( p  p ')  2ie  4g  Hình 3.3: Các yếu tố lý thuyết nhiễu loạn tái chuẩn hóa Hình 3.4: Giản đồ tối giản hạt vô hướng phức i  (i( p ))   i i 2 2 2 p  m  i p  m  i p  m  i  i p  m  ( p )  i 2 (3.11) Ký hiệu Ta có: i ( p )  i  (2 ) e ie(2 p  k) ( p  k)  m   k 2  (2 ) ( p  k)  m  k ie(2 p  k )  (2 p  k ) d k  (i)g d k 2  (3.12) Dùng phương pháp chỉnh thứ nguyên ta tính i ( p ) Chuyển từ không gian chiều sang không gian d chiều với  d  2 Đưa vào tham số khối lượng  , e  e  2 i ( p )  e  2 d k d  (2 ) Tham số hóa Feynman  p k 0 2 m k [(  )  ]  ( p  k )   2 2  m  x  k   k  px  p x 2 [( p  k)  m ]k 2  d 1 (3.13) (2 2p  k) 12 2 1  x  (3.14) 2  m x  p x  Đặt q  k  px, M  p x  m x  p x Khi đó: 2 i ( p )  e  2 d d q (2 p  q  0 dx  (2 )d px)2 [q2  M 2 ] (3.15) Sử dụng cơng thức tính tích phân khơng gian d chiều: d   (1) i(  d 2)  d ( )  d 2  d2 (2 ) [q  M ] (4 ) 2( ) M d q d d q  (2 ) q q  d 0 d d q  (2 )  M     q  M  d 2 ( 1) id(  d  1)  d 21 ( ) d2 (4 ) 2( ) M (1) (3.16) Ta có: 2 i ( p )  e  2  dx{(2 p  px) )2d i( ) ( (4 ) d2 M (i )d (1  d 2) 1d ( )2 } d2 2(4 ) M  e   2 ie  px) 16 i( ) i.(2   )(  1) 2(1 ) 2 2 2 M M }  (4 ) (4 ) dx{(2 p px) 2 dx{(2 p   2  ( )( 4 M 2  )  (2   )(  1)(4 M ) } (3.17) 2  Xét (  1)(  4 M ) 2 □ (    ) 1   (ln  4  ln M ) 2   ln   ln 4    ln M   CUV 2  (2   )(  1)(4 M )  ln   ln M (3.18) 2 □ (2   )(    1) 1   (ln 4  ln M )  2    2ln 4  ln M   2(  1)   2CUV  2ln   ln M 1 Do đó: ie 2 2 2 i1 ( p )  p (CUV  ln   ln M ) 16 { dx(2  x) (3.19) + dx( p 0 x 2  m x  p x)(2CUV  2ln   ln M  1)}  ie  {C UV 16  2 8p  3m  ln  3m 28 p  2  p  3m 2 2 (3.20) dx  p (2  x)  M  ln M }   Ký hiệu: Ta có: 2 i2 ( p )  2e  d k g g   (2 ) (3.21) k Trong phương pháp chỉnh thứ nguyên, áp dụng cơng thức (3.16) cho tích phân khơng gian d chiều, ta kết quả: i2 ( p2 )  Như gần vòng, đóng góp vào hàm truyền hạt vơ hướng tối giản là: 2 i( p )  i1 ( p )  i2 ( p )  ie 16   2 {C UV 2 8p  3m  ln  3m 8p 2  p  3m (3.22) dx  p (2  x)  M  ln M }   Sử dụng điều kiện tái chuẩn hóa (3.7) đóng góp vào hàm truyền hạt vơ hướng phức tối giản (3.22) ta có: Do đó: Hình 3.5: Giản đồ tối giản hạt vô hướng phức 2 2 i( p )  i1 ( p )  i2 ( p )  i( p   m ) (3.23) Suy ra: i(m )  i( 2m  m )  (3.24) Hay là: 2  2m   m  (m ) 2 em { (C 16  ln  )  UV (3.25) 3 dx[(x  1) ln m (x  x  1)]} Mặt khác theo điều kiện tái chuẩn hóa (3.8) ta có: ( p ) 2  | p 2 p m (3.26) Sau vài tính tốn ta được: 2| 2 p m 2 e2 { 8(CU  ln  )  16 V 2 dx[(3x  4) ln m (x  x  1) 3x(x  1) ]}   x x1 (3.27) Thay (3.27) vào (3.25) ta có:  |p2 m2   2m 2   (m ) e2 m {(C u  ln  )  16 3x(x  1) 2  dx[(2x  3) ln m (x  x  1) 0 x x1 ]} (3.28) Đem kết (3.27) (3.28) thay vào (3.23) ta có kết đóng góp cho hàm truyền trường vô hướng phức bậc vòng: i( p )  ie 16 {p 2 2 3x(  1) dx[(3x  4) ln m (x  ] 3x  x  1)  ] m  dx[(2x  3) ln m2 (x  x  1) x  x   x x1  (3.29) 0  2 2 dx  p (2  x)  M  ln M } Từ biểu thức (3.29) ta thấy i( p ) hữu hạn, số hạng phân kỳ có chđã bị triệt tiêu ứaNhư Ccách đưa V đại lượng phân kỳ vào c  m2 ta thu c bổ đính vòng cho s hạt vơ ố h n g p h ả n  hướng phức hữu hạn Khối lượng trần loại bỏ phân kỳ, từ có khối lượng vật lý KẾT LUẬN Với mục đích nghiên cứu đặt từ ban đầu, qua q trình nghiên cứu hồn thiện đề tài “Kỳ dị lý thuyết trường bậc phân kỳ giản đồ”, đề tài đạt số kết thể nội dung sau: Chương 1: Nghiên cứu hai loại phân kỳ lý thuyết trường đưa số phương pháp khử phân kỳ Chương 2: Nghiên cứu bậc phân kỳ giản đồ đưa cơng thức tính Dựa vào nhận biết nhanh phân kỳ lý thuyết có tái chuẩn hóa hay khơng Chương 3: Ứng dụng việc tái chuẩn hóa khối lượng hạt vơ hướng để thu khối lượng vật lý Do điều kiện nghiên cứu nhiều hạn chế, tài liệu tham khảo thiếu thời gian nghiên cứu có hạn nên chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn để đề tài hồn thiện Tơi hy vọng đề tài tiếp tục nghiên cứu mức độ lý thuyết cao ứng dụng sâu sắc hơn, có ý nghĩa thực tế Tôi xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Weinberg S - The Quantum Theory of Fields [2] K Huang, Quarks, Leptons and Gauge Fields, World Scientific, 1982 [3] Hoàng Ngọc Long, Cơ sở vật lý hạt bản, Viện Khoa học Công nghệ, NXB Thống kê [4] Hà Thanh Hùng, Luận văn Thạc sĩ “Tái chuẩn hóa điện động lực học vơ hướng gần vòng” MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu CHƯƠNG I KỲ DỊ TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG 1.1 Các phân kỳ lý thuyết trường 1.1.1 Phân kỳ tử ngoại 1.1.1.1 Trong lý thuyết cổ điển 1.1.1.2 Trong lý thuyết hàm suy rộng 1.1.2 Phân kỳ hồng ngoại 1.2 Thứ nguyên tắc 1.3 Một số phương pháp chỉnh 1.3.1 Phương pháp chỉnh Pauli-Villars hay phương pháp chỉnh hiệp biến 1.3.1.1 Phương pháp chỉnh Pauli-Villar .9 1.3.1.2 Ví dụ 10 1.3.2 Phương pháp chỉnh thứ nguyên 13 1.3.2.1 Thứ nguyên lý thuyết trường .13 1.3.2.2 Tham số hóa Feynman mẫu số 16 1.3.2.3 Tính tích phân theo xung lượng 17 1.3.2.4 Thác triển giải tích   .20 1.3.2.5 Tích phân theo tham số Feynman 21 CHƯƠNG II BẬC PHÂN KỲ CỦA CÁC GIẢN ĐỒ 22 2.1 Xây dựng công thức tính 22 2.2 Bậc phân kỳ không gian D chiều 27 CHƯƠNG III TÁI CHUẨN HĨA KHỐI LƯỢNG HẠT VƠ HƯỚNG 30 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 ... giải tích tốn học vật lý lý thuyết CHƯƠNG I KỲ DỊ TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG 1.1 Các phân kỳ lý thuyết trường 1.1.1 Phân kỳ tử ngoại 1.1.1.1 Trong lý thuyết cổ điển Trong lý thuyết cổ điển, khái... tượng phạm vi nghiên cứu - Các kiểu kỳ dị phương pháp chỉnh chúng - Bậc phân kỳ giản đồ Feynman Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu kỳ dị lý thuyết trường bậc phân kỳ giản đồ Phương pháp nghiên cứu... cho giản đồ phân cực chân khơng Hàm Green tồn phần photon QED cho giản đồ sau: = + + + Hình 1.4: Hàm Green tồn phần photon Bổ đính bậc hai, bổ đính bậc cao vào hàm truyền photon qua giản đồ phân