Các toán số chữ số lớp Phan Long Gv: Nguyễn Phơng pháp xét chữ số tận Ví dụ Tìm số có hai chữ số, biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị Giải : Gọi số phải tìm ab (a ≠ ; a, b < 10) Theo bµi ta cã : ab = b x Cách Vì a nên b Vì b x có tận b (khác 0) nên b = Do : ab = x = 45 Cách Vì ab = b x nªn ab = b x (10 – 1) (mét sè nh©n víi mét hiƯu) Suy : ab + b = b0 (tìm số bị trừ) Vì b + b cã tËn cïng lµ mµ b nên b = Do : ab = b0 - b = 50 – = 45 Cách Vì ab = b x nên ab = b x (8 + 1) Hay : ab = b x + b (mét sè nh©n víi mét tæng) Suy : ab - b = b x (tìm số hạng tổng) a = b x Vì a số tròn chục nên b x phải số tròn chục mà b nên b = Do : a = x = 40 Sè phải tìm 45 Ví dụ Cho số có ba chữ số Nếu xoá chữ số hàng trăm số đà cho bị giảm lần Tìm số đà cho Giải : Gọi số phải tìm abc (a ≠ ; a, b, c < 10) Khi xoá chữ số hàng trăm lại hai chữ số bc Theo đầu ta có : abc = bc x Vì a nên bc 0, b Vì c x có tận c nên c = c = a) Xét trờng hợp c = Khi ®ã ta cã : ab0 = b0 x Suy : ab = b x (cùng chia cho 10) Vì b mà x b có tận b nên b = Do ®ã : ab = x = 35 Số phải tìm : 350 b) Xét trờng hợp c = Khi ta có : ab5 = b5 x V× x = 35 nªn b x + = ab +) Nếu b số chẵn ab số chẵn, nhng b x số chẵn nên b x + số lẻ, có nghĩa số ab số lẻ Số ab vừa số chẵn vừa số lẻ đợc +) Nếu b số lẻ ab số lẻ, nhng b x số lẻ nên b x + số chẵn, có nghĩa ab số chẵn Số ab vừa số chẵn vừa số lẻ đợc Nh với c = không tìm đợc ab Ví dụ Tìm abc , biÕt abc = ac x Gi¶i : Theo bµi ta cã : a x 100 + b x 10 + c = (a x 10 + c ) x (cÊu t¹o sè) a x 100 + b x 10 + c = a x 90 + c x a x (90 + 10) + b x 10 + c = a x 90 + c x (1 + 8) a x 90 + a x 10 + b x 10 + c = a x 90 + c + c x (mét sè nh©n víi mét tỉng) a x 10 + b x 10 = c x (cïng trõ ®i a x 90 vµ c) (a + b) x 10 = c x (một tổng nhân số) Vì a nên (a + b) x 10 số tròn chục, nên c x phải số tròn chơc Do ®ã c = Khi ®ã : a + b = 40 : 10 = Trang Các toán số chữ số lớp Phan Long Gv: Nguyễn Ta xét trờng hợp sau : - NÕu a = th× b = Ta cã abc = 135 Thö : 15 x = 135 Đúng với đầu - Nếu a = th× b = Ta cã : abc = 315 Thư : 35 x = 315 §óng víi đầu - Nếu a = b = Ta cã : abc = 405 Thö : 45 x = 405 Đúng với đầu - Nếu a = b = th× abc = 225 Thư : 25 x = 225 Đúng với đầu Vậy số phải tìm 135, 315, 405 225 VÝ dơ T×m sè abcd biÕt r»ng : abcd + bcd + cd + d = 4574 Gi¶i : ViÕt l¹i nh sau: 1000 x a + 200 x b + 30 x c + x d = 4574 (1) Xét hàng đơn vị thấy tích x d cã tËn cïng lµ 4, suy d = hc - NÕu d = 1, thay vµo (1) ta cã: 100 x a + 20 x b + x c = 457 (2) XÐt hµng đơn vị ta thấy x c có tận lµ 7, suy c = Thay vµo (2) ta đợc : 10 x a + x b = 43 (3) Vế trái (3) số chẵn vế phải (3) số lẻ nên không tìm đợc a b - Nếu d = 6, thay vào (1) ta đợc : 100 x a + 20 x b + x c = 455 (4) TÝch x c cã tËn cïng lµ nên c = 5, thay vào (4) ta đợc : 10 x a + x b = 44 (5) TÝch x b cã tËn cïng lµ nên b = b = Thay vào (5) ta tìm đợc abcd 4256 3756 Ví dơ XÐt hai sè ab vµ ba (a > b) Biết tổng hai số số có chữ số tận hiệu chúng số có chữ số tận Tìm a b Giải : Xét : ab + ba = * (1) ab - ba = * (2) Tõ (2) ta cã : ab - ba = (a – b) x = * (a b) số bé 10 nhân với đợc số có tận 7, a b = (để x = 27) - Tõ (1) ta cã b + a = hc b + a = 13 (xét hàng đơn vị phép cộng) * Nếu b + a = vµ a – b = b = Điều vô lý b > * NÕu b + a = 13 a b = a = (13 + 3) : = ; b = – = Thư l¹i : 85 + 58 = 143 ; 85 – 58 = 27 §óng víi ®Ị bµi VËy a = 8, b = Phơng pháp sử dụng tính chẵn - lẻ Ví dụ Thay dấu chấm hỏi (?) chữ x chữ số, chữ số x biểu thị chữ số: ( Trang ?? x ? + x ) x x = 1977 C¸c toán số chữ số lớp Phan Long Gv: Ngun (§Ị thi häc sinh giái Qc gia cấp Tiểu học 1976 - 1977) Giải : Vì tích cđa hai sè tù nhiªn (?? x ? + x) x số lẻ (1977), nên x số chẵn Do x 1, 3, 5, 7, Lại số 1977 không chia hết cho 5, nên x 5, 7, - Nếu x = theo toán ta có : ( ?? x ? + ) x = 1977 ?? x ? + = 1977 ?? x ? = 1976 Nhng tÝch ?? x ? lín nhÊt b»ng 99 x = 891 Do x - Nếu x = theo toán ta cã: ( ?? x ? + ) x = 1977 ?? x ? + = 1977 : = 659 ?? x ? = 659 - = 656 ?? = 656 : ? Vì thơng phÐp chia 656 : ? lµ mét sè cã chữ số, nên số chia phải số lớn Lại số 656 không chia hết cho cho 9, nên số chia lµ Ta cã 656 : = 82 VËy, ta có kết nh sau: ( 82 x + ) x = 1977 VÝ dô Tìm số có chữ số mà ta ®em sè Êy nh©n víi råi céng víi 1003 kết nhận đợc số có chữ số viết chữ số nh số ban đầu nhng theo thứ tự ngợc lại Giải : Gọi số cần tìm abcd (a 0, d ; a, b, c, d < 10) Theo bµi ta cã : abcd x + 1003 = dcba (1) Tõ (1), ta nhËn thÊy r»ng abcd x số chẵn nên abcd x + 1003 số lẻ nên dcba số lẻ Suy a số lẻ, a < a abcd x số có chữ số (vô lý) Vậy a = a = * NÕu a = suy d ≥ Vì ta có vế trái (1) số lớn 3000 Nh d x + = 11 hc d x + = 21 + d x + = 21 suy d = VÕ ph¶i cđa (1) lớn 9000 mà vế trái nhỏ 6000 (vô lý) + d x + = 11 suy d = Thay vµo (1) ta cã : 1bc x + 1003 = 4cb1 Tách theo cấu tạo số ta có : 2008 + x bc + 1003 = 4001 + cb0 x bc0 = 990 + cb0 x bc = 99 + cb (2) 19 x b – x c = 99 Suy : 19 x b ≥ 99 (3) Tõ (2) suy b số lẻ Từ (3) suy b > VËy b = hc b = + Khi b = không tìm đợc c + Khi b = ta tìm đợc c = Vậy số cần tìm : abcd = 1994 * Nếu a = th× ta cã: 3bcd x + 1003 ≥ 7000 Suy vÕ ph¶i : dcba ≥ 7000 hay d ≥ (*) Nhng ta còng thÊy ®ã d x + = 13 (v× d < 10 nên d x + = 23) tõ ®ã ta cã d = (**) Từ (*) (**) ta thấy có d thoả mÃn toán Trang Các toán số chữ số lớp Phan Long Gv: Nguyễn VÝ dơ Cã mét sè gåm hai ch÷ sè mà hai lần chữ số hàng chục lần chữ số hàng đơn vị Tìm số Giải : Gọi số phải tìm ab (a ; a, b < 10) Theo bµi ta cã : a x = b x - V× a x số chẵn nên b x phải số chẵn ; mà số lẻ nên b phải số chẵn - Vì giá trị lớn a nên a x có giá trị lớn x = 18 ; giá trị lớn b x 18 Vì giá trị lớn b (vì nÕu b = th× x = 20 > 18), mà b số chẵn nên b = vµ a x = x Suy : a = Số cần tìm 52 VÝ dơ T×m ab biÕt : aaaa x + b = baaaa Giải : Theo ta cã : aaaa x + aaaa + b = baaaa (mét sè nh©n mét tỉng) aaaa x + b = baaaa - aaaa (tìm số hạng tæng) aaaa x + b = b0000 (1) - Vì a lấy giá trị lớn aaaa x = 9999 x = 19998, sè 19998 + b đạt giá trị lớn không 30 000 Do b < - Vì aaaa x số chẵn ; b0000 số chẵn nên suy b phải số chẵn Vì b nên b = Thay b = vµo (1) ta cã : aaaa x + = 20000 aaaa x = 20000 – = 19998 aaaa = 19998 : = 9999 Do ®ã a = Thư : 9999 x + = 29999 (đúng với đầu bài) Vậy số cần tìm : ab = 92 Ví dụ Tìm số có ba chữ số, biết số cộng với tổng chữ số 555 Giải : Gọi số cần tìm abc (a ≠ ; a, b, c < 10) Theo bµi ta cã : abc + a + b + c = 555 Suy : a0a + bb + c x = 555 - Vì 555 số lẻ, c x số chẵn nên a + b phải số lẻ - Vì c + a + b + c < x = 36 nên phép cộng có nhớ sang hàng chục nhớ nhiều ; phép cộng không nhớ sang hàng trăm Vậy a = Khi để a + b số lẻ b = hc b = hay ab = 54 ab = 52 Nếu ab = 54 505 + 44 + c x = 555 549 + c x = 555 ; c = (555 549) : = Vậy số cần tìm : abc = 543 Nếu ab = 52 505 + 22 + c x = 555 527 + c x = 555 ; c = (555 527) : = 14 Loại c > 10 trái với điều kiện toán Phơng pháp thử - chọn Trang Các toán số chữ số lớp Phan Long Gv: Nguyễn Ví dụ Tìm tất số có ba chữ số khác abc cho : a+b+c=axbxc Giải : Gi¶ sư a < b < c Suy : a + b + c < c + c + c Hay : a x b x c < c x3 nªn : a x b < (cïng giảm c lần) Vì a x b = hc a x b = NÕu a x b = a = b = (loại a, b, c khác nhau) Nếu a x b = th× a = 1, b = Khi ®ã ta cã : + + c = x x c, suy c = VËy a = 1, b = 2, c = Nhng a, b, c bình đẳng với nên số phải tìm : 123, 132, 213, 231, 312, 321 Ví dụ Tìm tất số có ba chữ số khác abc cho: 1 + + =1 a b c 1 Gi¶i : Gi¶ sư a < b < c, suy < < c b a 1 1 1 Do ®ã ta cã : + + < + + a b c a a a 1 Hay : < x nªn suy a < Mà a lớn 1, a = Víi a = th× a 1 1 + + = Suy : + = Suy b vµ c phải lớn b c b c 1 1 1 Hơn : = + < + = x Suy b < VËy b = Khi ®ã ta b c b b b 1 cã : + = Suy : c = Nhng a, b, c bình đẳng với nên số c phải tìm : 236, 263, 326, 362, 632, 623 Ví dụ Tìm hai phân số có tư sè lµ cho tÝch cđa hai mÉu số gấp hai lần tổng hai mẫu số Giải : Gọi hai mẫu số phải tìm a, b Theo bµi ta cã : (a + b) x = a x b (1) Gi¶ sư a ≤ b th× a + b ≤ b + b (cïng céng b) a+b≤bx2 Do ®ã : (a + b) x ≤ b x x (cïng nh©n 2) (a + b) x ≤ b x (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã : a x b b x Vì b nên a (cùng chia cho b) Thay giá trị a vào (1) - Nếu a = th× (1 + b) x = x b Suy + b x = b (loại + x b > b) - NÕu a = th× (2 + b) x = x b Suy + b = b (loại + b > b) - NÕu a = th× (3 + b) x = x b Suy + x b = x b VËy b = Thö : (3 + 6) x = x (đúng với đầu bài) Trang Các toán số chữ số lớp Phan Long Gv: Nguyễn - NÕu a = th× (4 + b) x = x b Suy : + b = x b VËy b = Thö : (4 + 4) x = x (đúng với đầu bài) Vậy cặp phân số phải tìm : 1 1 ; 4 VÝ dơ T×m hai phân số có tử số cho tổng hai phân số cộng với tích chúng 1 Giải : Gọi hai phân số phải tìm (giả sử a ≤ b) Theo bµi ta a b cã : 1 1 + + x = (*) a b a b 1 1 1 Hay : + + = Ta cã : < a b axb a nªn a > Gi¶ sư a = b = th× ta cã : 1 1 11 + + x = 5 5 25 11 11 11 Vì < = nên < Nếu lấy giá trị a (mà a ≤ b) th× 25 22 25 1 1 giá trị tổng + + bị giảm dần bé a b axb Do < a < Thay giá trị a vào (*) ta có : 1 1 - NÕu a = th× + + x = b b Ta ®ỵc b = 1 1 - NÕu a = th× + + x = b b 1 1 Ta tìm đợc b = Vậy cặp phân số phải tìm là: ; Ví dụ Cho ba chữ số khác khác Từ ba chữ số lập tất số gồm ba chữ số, số phải có đủ ba chữ số khác đà cho Biết tổng số vừa lập đợc b»ng 2664, hiƯu cđa sè lín nhÊt vµ sè bÐ 198 Tìm ba chữ số Giải : Gọi ba chữ số phải tìm a, b, c khác khác Theo ra, lập đợc sáu số : abc , acb , bca , bac , cab , cba Tỉng cđa s¸u sè nµy lµ : abc + acb + bca + bac + cab + cba = 2664 Ta thÊy r»ng chữ a, b, c xuất hai lần hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị sáu sè trªn, nªn ta cã thĨ viÕt nh sau : aaa + aaa + bbb + bbb + ccc + ccc = 2664 ( aaa + bbb + ccc ) x = 2664 Trang Các toán số chữ số lớp Phan Long Gv: Nguyễn Hay : aaa + bbb + ccc = 2664 : = 1332 Vì a, b, c khác hàng trăm có a + b + c 13 nên hàng đơn vị ta có a + b + c = 12 Gi¶ sư a > b > c theo đầu ta có : abc - cba = 198 Vì c < a nên phép trừ có nhớ sang hàng chục hàng trăm Do hàng trăm ta có : (a – 1) – c = 1, suy a – c = V× a + b + c = 12 a = c + nên có thÓ viÕt : c + + b + c = 12 hay c x = 10 – b Vì c x 10 số chẵn nên b số chẵn khác - Với b = th× c = (10 – 2) : = (loại b < c) - Với b = th× c = (10 – 4) : = Khi ®ã a = 12 – – = Thö : 543 + 534 + 435 + 453 + 354 + 345 = 2664 (đúng với yêu cầu toán) - Với b = c = (10 – 6) : = Khi ®ã a = 12 – – = (lo¹i v× a < b) - Víi b = th× c = (10 – 8) : = Khi ®ã a = 12 – – = (loại a < b) Vậy chữ số phải tìm 5, 4, Phơng pháp sử dụng tÝnh chÊt chia hÕt VÝ dơ T×m sè abc biÕt r»ng : ac = b7 Gi¶i : Ta cã : b7 < 100 vµ b7 chia hÕt cho Do ®ã b = ; ; - Víi b = th× 27 : = Suy ac = x = 18 VËy abc = 128 - Víi b = th× 57 : = 19 Suy ac = x 19 = 38 VËy abc = 358 - Víi b = th× 87 : = 29 Suy ac = x 29 = 58 VËy abc = 588 Vậy có ba số thoả mÃn điều kiện toán abc = 128 ; 358 ; 588 Ví dụ Tìm số có hai chữ số, biết số gấp lần tích chữ số Giải : Gọi số phải tìm ab (a ≠ ; a, b < 10) Theo bµi ta cã : ab = a x b x Nhận xét : a nên b ≠ ab chia hÕt cho a, b vµ Vì ab chia hết cho a nên b chia hÕt cho a, ®ã a < ®Ĩ b số có chữ số Xét trờng hợp a = 1, a = 2, a = 3, a = *) Víi a = th× 1b = x b x = b x V× b x cã ttËn cïng lµ b (b ≠ 0) nªn b = Thư : x x = 15 (đúng với yêu cầu bài) Trang Các toán số chữ số líp Phan Long Gv: Ngun *) Víi a = th× 2b = x b x = b x V× b x cã tËn cïng b nên b = ; ; ; Nhng b x = 2b nªn b = ®Ĩ x = 24 Thư : x x = 24 (đúng với yêu cầu bài) *) Với a = 3b = x b x = b x Vì b x có tận b nên b = Thö : x x = 45 > 35 (lo¹i) *) Víi a = th× 4b = x b x = b x 12 NÕu 4b = b x 12 th× 4b chia hÕt cho 12 Do ®ã b = 8, hay số phải tìm 48 Khi ta có : b x 12 = x 12 = 96 V× 96 48 nên loại trờng hợp Vậy số phải tìm 15 24 Ví dụ Thay a, b sè 2007 ab bëi ch÷ sè thích hợp để số đồng thời chia hết cho 2; Giải: Số 2007 ab đồng thời chia hết cho nên b = Thay b = vào số 2007 ab ta đợc 2007a Số chia hết tổng chữ số chia hết cho VËy (2 + + + + a + 0) chia hÕt cho hay + a chia hÕt cho 9, suy a = hc a = Vậy ta tìm đợc số thoả mÃn toán 200700; 200790 Ví dụ Một số nhân với đợc kết 18064807 ? HÃy tìm số Giải: Một số nhân với đợc kết 18064807 ? nên sè 18064807 ? chia hÕt cho V× sè 18064807 ? chia hÕt cho nªn (1 + + + + + + + + ?) chia hÕt cho 9, hay 34 + ? chia hÕt cho 9, suy ? = Thay ? = vào số 18064807 ? ta đợc 180 648 072 Số cần tìm là: 180 648 072 : = 20072008 Ví dụ Điền chữ số thích hợp (các chữ khác đợc thay chữ số khác nhau) HALONG + HALONG + HALONG = TTT 2006 Giải: Ta có vế trái: HALONG + HALONG + HALONG = x HALONG Nh vế trái số chia hết cho VÕ ph¶i TTT 2006 cã: (T + T + T + + + + 6) = x T + + = x (T + 2) + kh«ng chia hÕt cho 3, suy TTT 2006 không chia hết cho Điều chứng tỏ tìm đợc chữ số thoả mÃn toán Phơng pháp sử dụng chặn trên, chặn dới Ví dụ Tìm số có hai chữ số, biết số chia cho chữ số hàng đơn vị đợc thơng d Giải: Gọi số phải tìm ab (a ≠ ; a, b < 10) Theo bµi ta cã : ab = b x + Vì số d bé số chia nên < b Nếu lấy giá trị nhỏ b (trong trờng hợp này) giá trị nhỏ nhÊt cđa ab sÏ lµ x + = 41 Do a Nếu lấy giá trị lớn b giá trị lín nhÊt cđa ab sÏ lµ x + = 59 Do a Vì a nghĩa giá trị nhỏ nhÊt cđa a lµ vµ lín nhÊt cđa a - Nếu a = 4b = b x + Ta thÊy b x + có giá trị từ 41 đến 49 nên b lấy giá trị Vì b x số chẵn nên b x + số lẻ Do b số lẻ Vậy ta chọn b = Trang Các toán số chữ số líp Phan Long Gv: Ngun Thư : 47 : = (d 5) (đúng với yêu cầu ra) - NÕu a = th× 5b = b x + Ta thÊy b x + có giá trị từ 51 đến 59 nên b lấy giá trị Vì b x + số lẻ nªn ta chän b = Thư : 59 : = (d 5) (đúng với yêu cầu ra) Vậy số phải tìm 47 59 Ví dụ Tìm số tự nhiên a b cho : b + = a b 5 b Giải: Vì + = mà < nên < (vì 0) Do : b < Vì a 6 a b 5 b + = nªn = - NÕu b = = Không có giá trị tự a a a nhiªn a để có = a NÕu b = th× = - Ta tìm đợc a = a NÕu b = th× = - Ta tìm đợc a = 24 a Vậy ta tìm đợc a = 8, b = a = 24, b = VÝ dô Cho số có hai chữ số Nếu lấy số chia cho đợc thơng tích chữ số hàng chục nhân với Tìm số đà cho Giải: Gọi số phải tìm ab (a ; a, b < 10) Theo bµi ta cã : ab = a x a x NhËn xÐt : a > v× nÕu a = th× a x a x = x x = số có chữ số Sè lín nhÊt cã hai ch÷ sè chia hÕt cho 96 Do a x a x có giá trị lớn 96 Vì a x a có giá trị lớn 96 : = 16 Vậy a có giá trị lớn (vì x = 16) hay a ≤ VËy < a ≤ - NÕu a = th× a x a x = x x = 24 = ab Đúng với điều kiện toán 24 : = ; = x - NÕu a = th× a x a x = x x = 54 Trái với điều kiện toán 3b 54 - Nếu a = th× a x a x = x x = 96 Trái với điều kiện toán 4b 96 Vậy số phải tìm 24 Ví dụ Cho số tự nhiên Nếu viết thêm số có hai chữ số (khác 0) vào bên phải số đà cho đợc số lớn số cũ 1994 đơn vị HÃy tìm số đà cho số viết thêm Giải: Gọi số đà cho N số viết thêm xy số Nxy Theo ta cã : Nxy - N = 1994 N x 100 + xy - N = 1994 N x 99 + xy = 1994 Trang Các toán số chữ số lớp Phan Long Gv: Nguyễn *) Nếu xy đạt giá trị lớn 99 N đạt giá trị nhỏ đợc xác định nh sau : N x 99 + 99 = 1994 N x 99 = 1895 N = 1895 : 99 = 19,14 Vì N số tự nhiên nên giá trị nhỏ N đợc ghi N > 19 *) Nếu xy đạt giá trị nhỏ 10 N đạt giá trị lớn đợc xác định nh sau : N x 99 + 10 = 1994 N x 99 = 1984 N = 1984 : 99 = 20,24 Vì N số tự nhiên nên giá trị lớn N đợc ghi lµ N ≤ 20 VËy 19 < N ≤ 20 Ta thư víi N = 20 Nxy - N = 20 xy - 20 = 1994 ; 20 xy = 1994 + 20 = 2014 Vậy số phải tìm 20 số viết thêm 14 Ví dụ Toán học Tuổi trẻ, Toán Tuổi thơ sinh vào tháng 10 Biết năm 1994 tuổi Toán học Tuổi trẻ gấp rỡi tổng chữ số năm sinh Bạn suy luận để biết Toán học tuổi trẻ đời vào năm không ? (Những Đề toán hay Toán Tuổi thơ 1) Giải: Gọi năm sinh Toán học Tuổi trẻ abcd Tuổi Toán học Tuổi trẻ năm 1994 là: 1994 - abcd = x (a + b + c + d) (*) V× a + b + c + d ≤ + + + = 36 nªn : 3 x (a + b + c + d) ≤ x 36 = 54 2 Tõ (*) ta thÊy 1994 - abcd ≤ 54 nªn 1940 ≤ abcd ≤ 1994 Suy ab = 19 vµ 40 ≤ cd ≤ 94 Thay ab = 19 vµo (*) ®ỵc : 94 - cd = x ( + + c + d) hay : x (94 - cd ) = x (10 + c + d) hay : 188 – x (c x 10 + d) = 30 + c x + d x hay : c x 23 + d x = 158 V× d x ≤ 45 nªn suy 113 ≤ c x 23 ≤ 158 Do ®ã ≤ c ≤ - NÕu c = th× d x = 159 – 115 = 43, không tìm đợc số d nguyên - NÕu c = th× d x = 158 – 138 = 20 nªn d = Thư l¹i : 1994 – 1964 = x (1 + + + 4) Vậy báo Toán học Tuổi trẻ sinh năm 1964 Phơng pháp sử dụng kü tht thùc hiƯn phÐp tÝnh VÝ dơ T×m số có bốn chữ số, biết số nhân với đợc số có bốn chữ số nhng đợc viết theo thứ tự ngợc lại với số phải tìm Giải: Gọi số phải tìm abcd (a ≠ ; a, b, c, d < 10), số viết theo thứ tự ngợc lại dcba Theo ta có : Trang 10 Các toán số chữ số lớp Phan Long abcd x dcba Vì tích số có chữ số ( dcba ) nên a = d = Khi ®ã ta cã : 1bc9 x 9cb1 Khi nhân chữ số hàng trăm số bị nhân (b) với phép nhân không nhớ sang hàng nghìn (vì có nhớ sang hàng nghìn tích số có chữ số) Do b = b = Nếu b = th× ta cã 10c9 x 9c 01 Khi ®ã x = 81, viÕt nhí c x + = hay c x có tận Do c = ®Ĩ x = 72 Thư : 1089 x = 9801 (đúng với đầu bài) NÕu b = th× ta cã : 11c9 x 9c11 Khi ®ã x = 81, viÕt nhí c x + = hay c x phải có tận Do ®ã c = ®Ĩ x = 63 Thư : 1179 x = 10611, tr¸i víi tích có chữ số Vậy số cần tìm 1089 Gv: Nguyễn Ví dụ Tìm chữ số để thay vào vị trí dấu chấm hỏi (?) để có kết : ?? + ?6? + 6? + ?66 = 16?? (Những Đề toán hay Toán Tuổi thơ 1) Giải: Vì 16?? = 1600 + ?? nªn ta cã : ?6? + 6? + ?66 = 1600 (cïng trõ ®i ??) ? Đặt tính tính : Tổng chữ số hµng chơc cđa sè lµ + : + + = 18, nhng ch÷ ? sè hàng chục tổng ? nên số nhớ hàng đơn vị sang hàng chục phải 0 Do hàng đơn vị có : ? + ?+ = 20 nªn ? + ? = 14 hay ? = Thư l¹i : 77 + 767 + 67 + 766 = 1677 (đúng) Ví dụ Bạn An đà đa công thức sau : t + TH + THâ + thân = 4321 ? Trang 11 Các toán số chữ số lớp Phan Long Gv: Nguyễn chữ số khác chữ số khác Em hÃy tìm xem chữ T, H, Â, N chữ số ? (§Ị thi häc sinh giái Qc gia cÊp TiĨu häc 1991 - 1992) Gi¶i: Ta cã phÐp tÝnh : - Vì phép cộng cột T trăm nhớ T không nhớ nên T H T H  - Sau T T H  lúc N tổng lớn 4400 Vậy T = Vì 4321 3333 = 988 nên ta có : - Vì phép céng ë cét chơc chØ cã thĨ nhí H không nhớ nên H H  H  N 8 - Song H lúc tỉng sÏ lín h¬n 990 VËy H = - Vì 988 888 = 100 nên ta có : Từ suy  = N = Ta đ ợc số 3891 Thử : + 38 + 389 + 3891 = 4321  N Vậy đáp số : T = ; H = ; ¢ = ; N = VÝ dơ T×m a, b, c, d biÕt : ab, cd - a, bcd = 17,865 Giải: Theo ta có : ab,c Xét hàng phần nghìn : d0 d = (vì 10 = 5) a,b - Xét hàng phần trăm : c = (v× 15 – – = 6) cd 17,8 65 - Xét hàng phần mời : b = (v× 18 – – = 8) - Xét hàng đơn vị : a = (v× – – = 7) VËy a = ; b = ; c = ; d = Trang 12 Các toán số chữ số lớp Phan Long Gv: Nguyễn Thử lại : 19,85 n- 1,985 = 17,865 (đúng) Ví dụ Cho chữ số khác : ta lËp sè lín nhÊt vµ sè nhá nhÊt, số có chữ số lấy chữ số đà cho Biết tổng hai số 11220, hÃy tìm tổng chữ số đà cho (§Ị thi häc sinh giái Qc gia cÊp TiĨu häc 1992 - 1993) Giải: Giả sử bốn chữ số a, b, c, d a < b < c < d Lúc theo đầu số có chữ số nhỏ abcd (a > 0) Số có chữ số lớn dcba Đặt phép tính ta có : cd ba ab - Xét hàng đơn vị : Vì có d + a = dc nên phải có : d + a = 10, viÕt nhí 112 20 - Xét hàng chục : Vì < a < b < c nên có c + b nhớ 2, mà phải có c + b nhí b»ng 12, viÕt nhí Suy : c + b = 11 KÕt hỵp víi d + a = 10 ta cã : a + b + c + d = 10 + 11 = 21 Vậy tổng chữ số đà cho 21 Phơng pháp phối hợp nhiều cách giải Ví dụ Tìm số có chữ số Biết viết thêm chữ số vào tận bên phải đợc số gấp lần số đợc viết thêm chữ số vào tận bên trái Giải: Gọi số phải tìm abcde (a ; a, b, c, d, e < 10) Khi viÕt thªm chữ số theo ta có : abcde2 = 2abcde Đặt phép tính ta có : 2abc - Xét hàng đơn vị tích ta có : x e tận de Theo bảng x nhân ta có e = Thay vào ta cã phÐp tÝnh : abcd e2 14 2abc - XÐt hµng chơc cđa tÝch ta cã : x d + cã tËn cïng lµ Suy x x d cã tËn cïng lµ VËy d = Thay vµo ta cã : abcd 42 14 2abc - Tiếp tục xét hàng trăm, nghìn Trang 13 Các toán số chữ số lớp Phan Long Gv: Ngun x tÝch ; lËp ln t¬ng tù ta cã số phải tìm : abcde = 85714 abc1 42 Thử lại : 285714 x = 857142 (đúng) Ví dụ Tìm số gồm ba chữ số có hàng trăm số 17 lần tổng chữ số Giải: Gọi số phải tìm lµ 1ab (a, b < 10) Theo bµi ta cã : (1 + a + b) x 17 = 1ab 17+ a x 17 + b x 17 = 1ab (mét tỉng nh©n mét sè) a x 17+ b x 17 = 1ab - 17(tìm số hạng tæng) a x 17 + b x 17 = 100 + a x 10 + b – 17 a x + b x 16 = 83 Vì tổng số lẻ (83), b x 16 số chẵn nên a x phải số lẻ, a phải số lẻ Xét trờng hợp a, ta cã : *) NÕu a = th× b x 16 = 83 – x = 76 (b = 76 : 16 phép chia có d nên loại) *) Nếu a = b x 16 = 83 – x = 62 (b = 62 : 16 phép chia có d nên loại) *) Nếu a = b x 16 = 83 – x = 48 b = 48 : 16 = Thö : (1 + + 3) x 17 = 153 §óng víi yêu cầu *) Nếu a = b x 16 = 83 – x = 34 (b = 34 : 16 phép chia có d nên loại) *) Nếu a = b x 16 = 83 – x = 20 (b = 20 : 16 phép chia có d nên loại) Vậy số phải tìm 153 Ví dụ Khi thùc hiƯn phÐp chia bbb cho ab th× đợc thơng số tự nhiên Tìm số bị chia, số chia thơng Giải: Thơng phép chia bbb cho ab số có chữ số, số có hai chữ số a) Trờng hợp thơng có hai chữ số : Gọi thơng ®ã lµ cd Theo bµi ta cã : bbb : ab = cd hay ab x cd = bbb V× bbb = b x 111 = b x x 37 nªn ab x cd = b x x 37 - NÕu ab = 37 th× a = b = ; cd = b x = x = 21 Thö : ab x cd = 37 x 21 = 777 = bbb (®óng) - NÕu cd = 37 th× ab = b x V× b ≠ nên b = để b x có tận b Khi ab = x = 15 Thö : ab x cd = 15 x 37 = 555 = bbb (đúng) - Nếu b số chẵn, giả sử b = n x b < 10 nên n < Khi ab x cd = (n x 2) x x 37 = n x x 74 Trang 14 Các toán số chữ số lớp Phan Long Gv: Ngun - NÕu ab = 74 th× a = b = ; cd = n x Vì cd 10 n < nên lấy n = cd = x = 12 Thö : ab x cd = 74 x 12 = 888 ≠ bbb (v× bbb = 444) nên không phù hợp với điều kiện toán - NÕu cd = 74 th× ab = n x Vì ab 10 n < nên lÊy n = th× b = x = ; mặt khác ab = n x = x = 12 th× b = nên không phù hợp với điều kiện toán b) Trờng hợp thơng có chữ số : Gọi thơng k Theo đầu ta có : bbb : ab = k (2 ≤ k ≤ 9) hay : ab x k = bbb = b x x 37 - NÕu ab = 37 th× b = ; ®ã k = b x = x = 21 (loại) - Nếu b chẵn, giả sư b = m x v× b < 10 nên n < Khi ab x k = b x x 37 = (m x 2) x x 37 = m x x 74 - NÕu ab = 74 th× k = m x Vì k < 10 m < nên m = ; ; + Víi m = k = Khi ab x k = 74 x = 222 (loại b = 4) + Víi m = th× k = Khi ®ã ab x k = 74 x = 444 Thö : ab x k = 74 x = 444 = bbb (®óng) + Víi m = k = Khi ab x k = 74 x = 666 (loại b = 4) c) KÕt luËn : Sè bÞ 444 555 777 chia Sè chia 74 15 37 Th¬ng 37 21 VÝ dụ Tìm số có năm chữ số abcde biết : a>b+c+d+e b>c+d+e c>d+e d>e Giải: Số phải tìm abcde với chữ số số tự nhiên có chữ số Theo điều kiện đầu bµi : a > b + c + d + e (1) b>c+d+e (2) c>d+e (3) d>e (4) - Tõ (4) ta cã e = V× nÕu e = giá trị nhỏ chữ số sÏ lµ : d>e hay d > ; ®ã d = c>d+e hay c > ; ®ã c = b>c+d+e hay b > ; ®ã b = a > b + c + d + e hay a > 15 ; a = 16 Vô lí theo điều kiện toán a < 10 - Từ (3) ta có d = Trang 15 Các toán số chữ số lớp Phan Long Gv: Nguyễn Nếu d = giá trị nhỏ chữ số : c>d hay c > ; ®ã c = b>c+d hay b > ; ®ã b = a>b+c+d hay a > 11 ; a = 12 Vô lí theo điều kiện toán a < 10 - Tõ (2) ta cã c = NÕu c = giá trị nhỏ chữ số b>c+d hay b > ; ®ã b = a>b+c+d hay a > ; a = 10 Vô lí theo điều kiện toán a < 10 - Từ (1) ta cã b = hc b = - Nếu b = giá trị nhỏ cđa a sÏ lµ : a>b+c+d hay a > ; a = 10 Vô lí theo điều kiện toán a < 10 - Nếu b = th× ta cã : a > b + c + d hay a > + + ; ®ã a = - NÕu b = th× ta cã : a > b + c + d hay a > + + ; a = a = - Kết luận : Các số phải tìm lµ 84210 ; 94210 ; 95210 VÝ dơ Cho ba chữ số khác HÃy tìm số đà cho, biết số tổng tất số gồm hai chữ số khác ba chữ số đà cho Giải: Gọi số phải tìm abc Từ ba chữ số a, b, c ta viết đợc sáu số gồm hai chữ số : ab , ba , bc , cb , ca , ac Theo bµi ta cã : abc = ab + ba + bc + cb + ca + ac a x 100 + bc = ab + ba + bc + cb + ca + ac a x 100 = ab + ba + cb + ca + ac a x 100 = aa + aa + bb + cb + cc a x 100 = aa x + bb + cb + cc a x100 = a x 11 x + b x 11 + c x 11 + c x 10 + b a x 78 = b x 12 + c x 21 a x 26 = b x + c x (cïng chia cho 3) Giả sử b c lấy giá trị lớn b x + c x đạt giá trị lớn 99 Khi a x 26 đạt giá trị lớn 99, a đạt giá trị lớn 3, a = x 26 = 104 > 99 - Víi a = th× x 26 = b x + c x 26 = b x + c x Vì 26 b x số chẵn nên c x phải số chẵn, c phải số chẵn Trong tổng 26 = bx + c x th× c x < 26 nên c < Vì c = th× x = 28 > 26 Vì c = Khi ta có : 26 = b x + x Ta tìm đợc b = Thử với a = 1, b = 3, c = 2, ta cã : 13 + 31 + 32 + 23 + 21 + 12 = 132 (đúng) - Với a = x 26 = b x + c x hay 52 = b x + c x Vì 52 b x số chẵn nên c x phải số chẵn, c phải số chẵn Vì số hạng không vợt tổng nên c x < 52, c < 8, c = th× x = 56 > 52 Bë vËy c lấy giá trị 2, 4, Nhng a c mà a = nên xét c = Trang 16 Các toán số chữ số lớp Phan Long Gv: Ngun - NÕu c = th× 52 = b x + x Ta tìm đợc b = Thư víi a = 2, b = 6, c = Ta cã : 26 + 62 + 64 + 46 + 42 + 24 = 264 (®óng) - NÕu c = th× 52 = b x + x Ta cã b = 10 : số thập phân nên loại - Với a = th× x 26 = b x + c x hay 78 = b x + c x Vì 78 b x số chẵn nên c x phải số chẵn Do c số chẵn Giả sử b lấy giá trị lớn c x có giá trị nhỏ 78 x = 42 Khi c đạt giá trị nhỏ Vì c số chẵn nên c = c = - Nếu c = th× 78 = b x + x Ta tìm đợc b = Thử víi a = 3, b = 9, c = ta cã : 39 + 93 + 96 + 69 + 63 + 36 = 396 (đúng với đầu bài) - NÕu c = th× 78 = b x + x Ta cã b = (78 – 56) : = 22 : lµ sè thập phân nên loại Vậy số phải tìm : 132 ; 264 ; 396 Mét sè ®Ị tự luyện Bài Tìm số có hai chữ số, biết lấy lần chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị đợc thơng d Đáp số : 69 Bài Tìm số có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị Nếu lấy số chia cho hiệu chữ số đợc thơng 26 d Đáp số : 53 Bài Cho số có hai chữ số mà chữ số hàng chục chia hết cho chữ số hàng đơn vị Tìm số đà cho biết chia số cho thơng chữ số hàng chục hàng đơn vị đợc thơng 20 d Đáp số : 62 82 Bài Tìm abcd biết : dcba + dcb + dc + d = 4321 Đáp số : 1983 Bài Tìm số tự nhiên a b cho : a = b Đáp số : a = b = a có giá trị Nếu giảm mẫu số 12 giữ b a nguyên tử số đợc phân số có giá trị Tìm phân số b 72 Đáp số : 96 Bài Cho số có ba chữ số Nếu viết thêm chữ số vào bên phải số đà cho, viết thêm chữ số vào bên trái số đà cho đợc hai số có bốn chữ số mà số gấp lần số Tìm số đà cho Đáp số : 857 Bài Cho phân số Bài Cho số có sáu số Nếu chuyển vị trí chữ số hàng cao thành vị trí hàng thấp (không thay đổi thứ tự chữ số lại) đợc số lớn gấp lần số đà cho Trang 17 Các toán số chữ số lớp Phan Long Gv: Nguyễn Tìm số có sáu chữ số ban đầu Đáp số : 142857 285714 Bài Năm 1993 anh Toán nhẩm tính số tuổi tổng chữ số năm sinh Em tìm xem anh Toán sinh năm năm 1993 anh Toán tuổi ? Đáp số : sinh năm 1973 ; 20 tuổi Bài 10 HÃy tìm số tự nhiên nhỏ N gồm chín chữ số N = abc deg hik , biÕt r»ng : ab chia hÕt cho ; abc chia hÕt cho ; abcd chia hÕt cho ; abcde chia hÕt cho ; abc deg chia hÕt cho ; abc deg h chia hÕt cho ; abc deg hi chia hÕt cho vµ abc deg hik chia hết cho Đáp số : 102000564 Bài 11 Tìm số abc , biết số tổng số tự nhiên liên tiếp từ ®Õn bc + + + + + + + bc = abc Đáp số : 325 Bài 12 Tìm chữ số a, b, c, d, p khác p ≠ cho : a, bc + a, bc + a, bc = p 2, bd Đáp số : a = 4, b = 0, c = 3, d = 9, p = Bµi 13 Cho sè thËp phân A có chữ số, phần thập phân có hai chữ số Khi ta dịch dấu phẩy số thập phân A sang trái chữ số ta đợc số thập phân B HÃy tìm A, biết : A B = 17,973 Đáp số : 19,77 Bài 14 Hình chữ nhật ABCD có số đo chiỊu dµi vµ chiỊu réng lµ a, b vµ b, a (cm) Hình chữ nhật MNPQ có số đo chiều dµi vµ chiỊu réng lµ aa, bb vµ bb, aa (cm) Tìm chu vi hình chữ nhật đó, biết tổng chu vi hai hình chữ nhật 146,52 cm Đáp số : Chu vi ABCD 13,2cm ; Chu vi MNPQ 133,32cm Bài 15 Một hình vuông có số đo diện tích (theo mét vuông) số thập phân gồm chữ số 0, 2, 3, nhng thứ tự cha biết, phần nguyên có chữ số, phần thập phân có chữ số Tìm cạnh hình vuông Đáp số : 5,5m Trang 18 ... Vậy số phải tìm 24 Ví dụ Cho số tự nhiên Nếu viết thêm số có hai chữ số (khác 0) vào bên phải số đà cho đợc số lớn số cũ 1994 đơn vị HÃy tìm số đà cho số viết thêm Giải: Gọi số đà cho N số viết... giảm mẫu số 12 giữ b a nguyên tử số đợc phân số có giá trị Tìm phân số b 72 Đáp số : 96 Bài Cho số có ba chữ số Nếu viết thêm chữ số vào bên phải số đà cho, viết thêm chữ số vào bên trái số đÃ... hai số có bốn chữ số mà số gấp lần số Tìm số đà cho Đáp số : 857 Bài Cho phân số Bài Cho số có sáu số Nếu chuyển vị trí chữ số hàng cao thành vị trí hàng thấp (không thay đổi thứ tự chữ số lại)