CHUYÊN đề PHÂN số n lan

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6- GV: NGUYỄN THỊ LAN CHUYÊN ĐỀ PHÂN SỐ Dạng1: Tìm điều kiện để phân số tồn tại, điều kiện để phân số có giá trị số nguyên * Phương pháp giải : Phân số tồn tử mẫu số nguyên mẫu khác không Phân số có tử số nguyên, mẫu có chứa ẩn có giá trị số nguyên mẫu ước tử Phân số có tử mẫu chứa ẩn biến đổi thành tổng số nguyên với phân số có tử số nguyên mẫu có chứa ẩn A= Bài tập1: Cho biểu thức n +1 (n∈z) a) Số nguyên n phải có điều kiện để A phân số b) Tìm phân số A biết : n = 0; n = 10 ; n = –3 c) Tìm tất giá trị nguyên n để A số nguyên Hướng dẫn a) Biểu thức A có 3∈ Z, n ∈ Z nên n+1 ∈ Z Để A phân số cần có điều kiện n+1 ≠ hay n ≠–1 B= Bài tập 2: nguyên Cho phân số 10n (n ∈ Z) 5n − Tìm tất giá trị nguyên n để B số Hướng dẫn: B= Ta có: 10n (10n − 6) + 2(5n − 3) + 6 = = = 2+ 5n − 5n − 5n − 5n − Để B số nguyên phải có Trường THCS Lê Q Đơn 5n − số nguyên, tức 5n–3 phải ước Page Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn 6- GV: NGUYỄN THỊ LAN Bài tập 3: Tìm số n ∈ Z để phân số 2n + 15 n +1 số nguyên Hướng dẫn Ta có 2n + 15 n +1 Để = 2(n + 1) + 13 13 =2 n +1 n +1 2n + 15 n +1 + số ngun phải có 13 n +1 số nguyên Tức n+1 phải ước 13 Bài tập 4: Tìm số tự nhiên n nhỏ để phân số sau phân số tối giản 15 16 17 35 ; ; ; ; ; ; ; ; ; n + n + n +10 n +17 n +18 n +19 n + 37 Hướng dẫn Ta có: 6 7 8 35 35 = ; = ; = ; ; = ; n + (n + 2) + n + ( n + 2) + n +10 ( n + 2) + n + 37 ( n + 2) + 35 a (n + 2) + a (a Ỵ { 6;7;8; ;35} ) Gọi phân số tổng quát phân số với Û Û Để phân số tối giản ƯCLN(a,(n+2)+a)=1 ƯCLN(a,n+2)=1 với ( a Ỵ { 6;7;8; ;35} ) Mà n số tự nhiên nhỏ thỏa mãn điều kiện toán Thử lại thấy n=35 thỏa mãn toán Vậy n=35 * Bài tập vận dụng: A= Bài 1: Cho phân số Trường THCS Lê Quý Đôn n−9 ;n ∈ Z n2 + Page Þ n+2=37 Þ n=35 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6- GV: NGUYỄN THỊ LAN a)Chứng tỏ phân số A tồn b)Tìm phân số A biết: n = –3 ; n = ; n = B= Bài 2: Cho phân số ; n ∈ Z (n − 2).( n + 1) a) Viết tập hợp M số nguyên n để phân số B tồn b) Tìm phân số B biết n = –13; n = 0; n = 13 c) Với giá trị n B số nguyên C= Bài 3: Cho phân số Bài 4: Cho A= n−2 n+3 3n + ; n ∈ Z ; n ≠ n−3 Tìm n để C có giá trị ngun tìm giá trị nguyên n để : a) A phân số b) A số nguyên Bài 5: Cho phân số B = n − với n ∈ Z a) Số nguyên n phải có điều kiện để phân số B tồn b) Tìm phân số B biết: n = 0; n = 10; n = -2 c) Tìm giá trị n để B số nguyên n +5 (n Î Z ) (n - 2)(n + 7) Bài 6: Cho phân số M = a) Số nguyên n phải có điều kiện để phân số M tồn b) Tìm phân số B biết: n = –2; n = 0; n = 2020 (n Ỵ Z ) ( n + 2)(n - 3) Bài : Cho phân số A= a) Số nguyên n phải có điều kiện để phân số N khơng tồn b) Viết tập hợp E số nguyên n để A phân số c) Tìm n đê phân số A0 Trường THCS Lê Quý Đôn Page Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6- GV: NGUYỄN THỊ LAN 2019 (n Ỵ Z ) ( n + 2)( n 2020 + 5) Bài : Chứng tỏ phân số P= nguyên n tồn với số Bài 9: Tìm số tự nhiên n để phân số A = có giá trị số nguyên Bài 10: Tìm số tự nhiên n để phân số A = số nguyên Dạng : Phân số tối giản * Phương pháp giải: Để tìm phân số tối giản phân số cho trước, ta tìm ƯCLN giá trị tuyệt đối tử mẫu phân số Phân số có ƯCLN phân số tối giản Để chứng tỏ phân số tối giản, ta chứng minh ƯCLN tử mẫu 1(trường hợp tử mẫu số nguyên dương, số nguyên âm ta xét số đối ) Ngược lại, muốn chứng minh phân số chưa tối giản (hay rút gọn nữa) ta chứng minh ƯCLN chúng khác Dạng 2.1 : Tìm phân số tối giản Bài tập 1: Trong phân số sau phân số tối giản − 30 18 ; ; ; 36 42 − 43 15 ; − 118 132 Giải: ( − ; 36 ) ƯCLN = ƯCLN (5, 36)=1 ƯCLN(30, 42)=6 ( 18 ; − 43 ) ƯCLN = ƯCLN(18,43)=1 ( ; − 118 ) ƯCLN = ƯCLN(7, 118)=1 (15;132) = ƯCLN Trường THCS Lê Quý Đôn Page Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6- GV: NGUYỄN THỊ LAN − 18 ; ; 36 − 43 − 118 Vậy phân số tối giản là: a b Bài tập 2: Tìm phân số tối giản biết a Cộng tử với 4, mẫu với 10 giá trị phân số khơng đổi b Cộng mẫu vào tử, cộng mẫu vào mẫu phân số giá trị phân số tăng lên lần Giải: a Ta có: b Ta có: a a+4 a = hay ab + 10a = ab + 4b ⇒ 10a = 4b ⇒ = b b + 10 b a a = b + b 2b phân số giảm lần so với phân số a +b a +b = b+b 2b mà phân số tăng gấp lần so với phân số suy a+b = 4a hay b=3a a b a b a = b Tuy nhiên có học sinh làm cách khác: Theo ta có: Þ b = 3ab Þ a+b a = b+b bÞ b= 3a Vậy (a+b)b = 2b 2a Þ ab + b2 = 4ab a = b * Bài tập vân dụng: Bài 1: Trong phân số sau đây, phân số phân số tối giản 16 84 ; ; − 25 30 Trường THCS Lê Quý Đôn − 91 27 − 182 ; ; ? 112 125 385 Page Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6- GV: NGUYỄN THỊ LAN Bài 2: Tìm phân số tối giản nhỏ biết tích tử số mẫu số bằng120 Bài 3: Tìm số tự nhiên khơng lớn 10 để phân số n+7 phân số tối giản Dạng 2.2 : Chứng minh phân số phân số tối giản Bài tập 1: Chứng minh với số tự nhiên phân số có dạng tối giản 21n + 14n + phân số Giải: n ∈ N, Vì nên 21n +4 ∈ ∈ N* 14n+3 N* 21n + 14n + Do để chứng minh phân số phân số tối giản với n 21n +4 14n+3 hai số nguyên tố ∈ N, ta phải chứng minh Bài tập 2: Chứng tỏ với số nguyên n, phân số sau phân số tối giản a) 15n + 30n + b) n- 3n - 14 c) 3n + 9n + d) 4n + 5n + e) 2n + (n Ỵ N ) 4n + 2n +1 2n(n +1) Bài tập Chứng minh phân số phân số tối giản với số nguyên n? * Bài tập vân dụng:Chứng tỏ với số nguyên n, phân số sau phân số tối giản a) 3n + 5n + b) 2n +1 6n + c) 4n + 2n +1 d) 4n + 2n +1 e) 21n + 14n + Dạng 2.3 : Tìm điều kiện để phân số phân số tối giản n + 13 Bài tập 1: Tìm tất số tự nhiên n để phân số n − phân số tối giản Hướng dẫn Trường THCS Lê Quý Đôn Page Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6- GV: NGUYỄN THỊ LAN n + 13 n − + 15 15 = = 1+ ( n ≠ 2) n−2 n−2 Ta có: n − n + 13 15 Để phân số n − phân số tối giản phân số n − phân số tối giản Muốn 15 n – phải số ngun tố Vì 15 có ước khác 1, khác 15 Từ suy n – không chia hết cho tức là: n – ≠ 3k n – ≠ 5k Hay n ≠ 3k +2 n ≠ 5k + (k∈N, k ≠ 0) 6n + 99 3n + Bài tập 2: Tìm số tự nhiên n để phân số a)Có giá trị số tự nhiên b)Là phân số tối giản Hướng dẫn Đặt A = 6n + 99 6n + + 91 2( 3n + ) + 91 2( 3n + ) 91 91 = = = + = 2+ 3n + 3n + 3n + 3n + 3n + 3n + a)Để A số tự nhiên 91⋮ 3n + nên 3n + ước 91 hay 3n + thuộc {1; 7; 13; 91} Với 3n + = n = -1 Loại n số tự nhiên Với 3n + = n = Nhận A = + 13 = 15 Với 3n + = 13 n = Nhận A = + = Với 3n + = 91 n = 29 Nhận A = + = b)Để A phân số tối giản 91 khơng chia hết 3n + hay 3n + không ước 91 Suy 3n + không chia hết cho ước nguyên tố 91 Từ suy ra: 3n + không chia hết cho suy n ≠ 7k +1 ( kỴ N 3n + khơng chia hết cho 13 suy n ≠ 13m + 3( A= 8n + 193 4n + ) mỴ N ) Bài tập 3: Tìm số tự nhiên n để phân bố a Có giá trị số tự nhiên b Là phân số tối giản c Với giá trị n khoảng từ 150 đến 170 phân số A rút gọn Hướng dẫn Trường THCS Lê Quý Đôn Page Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6- GV: NGUYỄN THỊ LAN A= 8n + 193 2(4n + 3) + 187 187 = = 2+ 4n + 4n + 4n + a Ta có  Þ ∈ ∈ {17;11;187} Để A N 187 4n + 4n +3 Þ + 4n + = 11 n=2 Þ + 4n +3 = 187 + 4n + = 17 Þ n = 46 4n = 14 Þ khơng có n ∈ N Vậy n = 2; 46 b.A tối giản 187 4n + có ƯCLN Þ ≠ Þ ≠ ∈ ∈ n 11k + (k N) n 17m + 12 (m N) c) n = 156 n = 165 n = 167 Þ A= Þ Þ 77 ; 19 A= 89 39 A= 139 61 Bài tập Tìm điều kiện số tự nhiên n để phân số n +1 n- phân s ti gin Hng dn Gi dẻ ị dẻ C(n+1,n3) d ẻ N * ị n +1Md; n - 3Md Þ (n +1) - (n - 3)Md Þ 4Md {1; 2; 4} Ư(4)= Do để phân số n +1 n- Trường THCS Lê Quý Đôn tối giản Û n +1/M2 Û n = 2k (k Ỵ N ) Page Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6- GV: NGUYỄN THỊ LAN Vậy n chẵn phân số n +1 n- tối giản * Bài tập vân dụng n + 19 (n ∈ N ) Bài 1: Cho phân số n + a Tìm giá trị n để phân số có giá trị số tự nhiên b Tìm giá trị n để phân số tối giản Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số A= 7n + 8n - phân số tối giản Bài 3: Tìm số tự nhiên n nhỏ để phân số sau phân số tối giản n + n + n + n +10 n +11 ; ; ; ; ; Bài 4: Tìm số tự nhiên n nhỏ để phân số sau phân số tối giản 17 ; ; ; ; ; ; n + n + n +10 n +11 n + 20 Bài 5: Tìm số tự nhiên n để phân số sau phân số tối giản a) 2n + 4n +1 b) 3n + 7n +1 c) n +7 n- d) 2n + 4n + Dạng 2.4 : Tìm điều kiện để phân số phân số chưa tối giản( hay rút gọn được) Bài 1: Tìm số nguyên n để phân số A= 4n + 5n + rút gọn được? Hướng dẫn Ỵ Î Gọi d ƯC(4n+5,5n+4) với d Z d khác Trường THCS Lê Quý Đôn Page Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6- GV: NGUYỄN THỊ LAN Þ 4n + 5Md ; 5n + 4Md Þ 5(4n + 5)Md ; 4(5n + 4)Md Þ 20n + 25Md ; 20n +16Md Þ (20n + 25) - ( 20 n +16) Md ị 9Md ị ẻ d (9) Do để phân số 4n + 5n + rút gọn d phải khác –1 4n + 5M3 Þ 4n + - 9M3 Þ 4n - M3 Þ 4(n - 1) M3 Hay mà ƯCLN(4,3)=1 Þ n - 1M3 Þ n - = 3k ị n = 3k +1(k ẻ Z ) Với n=3k+1 5n+4 chia hết cho Î Vậy n=3k+1 (k Z) phân số cho rút gọn Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số 21n + 6n + rút gọn được? Hướng dẫn Ỵ Ỵ Gọi d ƯC(21n+3,6n+4) với d N* Þ 21n + 3Md ; 6n + 4Md Þ 2(21n + 3) Md ; 7(6n + 4) Md Þ 42n + 6Md ; 42n + 28Md Þ (42n + 28) - ( 42n + 6) Md Þ 22Md Þ Ỵ d Ư(22) Do để phân số 21n + 6n + rút gọn d phải khác 21n + 3M2 Þ 21n + - 24M2 Þ 21n - 21M2 Þ 21( n - 1) M2 -Nếu mà ƯCLN(21,2)=1 Þ n - 1M2 Þ n - = k Þ n = 2k +1( k Ỵ N ) 6n+4 ln chia hết cho với số tự nhiên n Trường THCS Lê Quý Đôn Page 10 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6- GV: NGUYỄN THỊ LAN 21n + 3M 11 Þ 21n + - 66M 11 Þ 21n - 63M 11 Þ 21( n - 3) M 11 -Nếu mà ƯCLN(21,11)=1 Þ n - 3M 11 Þ n - = 11k Þ n = 11k + 3( k Ỵ N ) 6n+4 chia hết cho 11 với số tự nhiên Î Vậy với n=2k+1 n= 11k+3 (k N) phân số cho rút gọn * Bài tập vân dụng: 63 3n +1 Bài 1.Tìm số tự nhiên n để phân số rút gọn Bài 2: Cho phân số: A = với n thuộc số tự nhiên a Với giá trị n A rút gọn b Với giá trị n A số tự nhiên? SO SÁNH PHÂN SỐ Bài 1.So sánh phân số sau a) 20 & 15 39 b) n +1 n + & (n Ỵ N) n +5 n +3 c) 14 17 & 41 54 d) Bài So sánh phân số sau a)A= c)A= 13579 34567 35420 35423 B= B= 13580 34569 35343 25345 Trường THCS Lê Quý Đôn b)A= 108 +1 109 +1 d)A= 512 +1 513 +1 Page 11 B= B= 109 +1 1010 +1 511 +1 512 +1 n n +2 & 2n + 2n +1 e) n 2n & 3n +1 6n +1 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6- GV: NGUYỄN THỊ LAN Bài So sánh phan số sau: 18 23 21 213 1313 1111 & b) & c) & 91 114 52 523 9191 7373 n n- n 3n +1 d) & (n Ỵ N * ) e) & (n Ỵ N ) n +3 n + 2n +1 6n + a) d) n n +2 & (n Ỵ N ) n +1 n + Bài So sánh A B biết A= a) c) A= b) 107 + 108 + A= & B= 10 - 10 - A= e) 20 22 18 14 22 18 + + & B= + + 39 27 43 39 29 49 d) 1098 +1 1097 +1 & B = 1097 +1 1096 +1 7 + & B= + 8 8 102019 +1 102020 +1 A = 2020 & B = 2021 10 +1 10 +1 A= g) 10200 + 10199 + & B = 10199 + 10198 + Bài Tìm số tự nhiên x biết x a) < < 30 5 b) < < x Bài 6.So sánh a b biết : c) x < < 11 20 11 + + + + a + + + + b < a b ( a, b Ỵ N ) Bài 7.Giá tiền sách, vở, bút 7700đ Giá tiền sách, vở, bút 16000đ So sánh tiền sách vở? Bài So sánh A B biết a) A b) A = + + + + 1000, = 1.2.3 20, và B B = 1.2.3 11 = + + + + 1000000 TÍNH NHANH DÃY PHÂN SỐ CÓ QUY LUẬT Trường THCS Lê Quý Đôn Page 12 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn 6- GV: NGUYỄN THỊ LAN Bài Tính nhanh A= 1 1 + + + + 3 3 Bài Tính tổng 100 số hạng dãy số sau: a) 1 1 , , , , 1.2 2.3 3.4 4.5 Bài Tính tổng b) 1 1 , , , , 66 176 336 1 1 + + + + 3 4 37.38.39 B= BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1)Tính tổng Bài2) Tính tổng B= 2 2 + + + + 15 35 63 399 C= 1 1 + + + + 25.27 27.29 29.31 73.75 Bài 3: Tính tổng A= 1 1 + + + 1.6 6.11 11 16 (5n + 1)(5n + 6) 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 18.19.20 Bài 4: Tính tổng: 1 1 A = + + + + < 1; 100 Bài 5: Chứng minh rằng: 1 1 C = + + + + < 1; ( n ∈ N ; n ≥ 2) n Bài 6: Chứng minh rằng: B= Bài 7: Chứng minh với n ∈ N ; n ≥ ta có: 3 3 + + + + < 9.14 14.19 19.24 (5n − 1)(5n + 4) 15 4 16 16 A= + + + < A< 15.19 19.23 399.403 chứng minh: 81 80 Bài 8: Cho 2 ; ; ; Bài 7: Cho dãy số : 4.11 11 18 18.25 a) Tìm số hạng tổng quát dãy b) Gọi S tổng 100 số hạng dãy Tính S Bài 8: Cho A= Trường THCS Lê Quý Đôn 1 1 + + + + < A< 9 Chứng minh Page 13 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6- GV: NGUYỄN THỊ LAN Bài Tính giá trị biểu thức sau: a)A = 1 1 + + + + + 97 99 1 1 + + + + + 1.99 3.97 5.95 97.3 99.1 b)B = Bài 5: Tính tích 98 số dãy = Bài a)Tính: D 1 1 + + + + 100 99 98 97 + + + + 99 1 1 1 ,1 ,1 ,1 ,1 , 15 24 35 + (1 + 2) + (1 + + 3) + + (1 + + + + 98) 1.98 + 2.97 + 3.96 + + 98.1 b)CMR biểu thức E có giá trị = Bài 7: Tính nhanh: A Bài 8:Cho dãy phân số : = Biết E 1.98 + 2.97 + 3.96 + + 98.1 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 89.99 1 1 + + + + 10 2 2 ; , ; , , ; , , , ; 1 2 3 a) Hãy nêu quy luật dãy, Viết tiếp phân số theo theo quy luật ấy? b) Phân số 50 31 Bài 9:Tìm x, biết: số hạng thứ dãy? 1 1 101 + + + + = 5.8 8.11 11 14 x( x + 3) 1540 1+ Bài 10: Tìm x, biết : 1 1 2007 + + + + =1 10 x( x + 1) : 2009 Bài 11:CMR tổng 100 số hạng đầu dãy sau nhỏ Trường THCS Lê Quý Đôn Page 14 1 1 1 : , , , , , 45 117 221 357 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn 6- GV: NGUYỄN THỊ LAN Bài 12:Tính A , B Bài 13: CMR: Bài 4:Tính A , B Bài 15:CMR: = biết rằng: A 1 1 + + + + 1.300 2.301 3.302 101.400  99  1 100 − 1 + + + +  = + + + + 100  100  = biết rằng: A 1 1 + + + + 200 = B 198 199 + + + + + 199 198 197 1  1 1  1 1  1 + + + 1 + + + +  −  + + + + = + 99   100  51 52 53 100  Bài 16:Tính giá trị biểu thức: 1   1 1  1 + + + +  + + + + :  100   1.2 3.4 5.6 99.100   51 52 53 Bài 17:Tính giá trị biểu thức a) A= 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 Bài 18: Tính: a)A= Bài 19 15 24 2499 16 25 2500 b) B= b)B= 1 1 + + + + 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 27.28.29.30  1      1 − 1 − 1 − 1 −  1 −     10  15   780  1 1 + + + + 101 không số tự nhiên CMR: A=  1 1 A =  + + + + .2.3.4 98 98  1 Bài 20:a)Cho Chứng minh A 99 1 1 a B = + + + + B= 96 b , CMR: B 97 a) Cho Trường THCS Lê Quý Đôn Page 15 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6- GV: NGUYỄN THỊ LAN Trường THCS Lê Quý Đôn Page 16 ... A= Bài 1: Cho phân số Trường THCS Lê Quý Đôn n−9 ;n ∈ Z n2 + Page Þ n+2=37 Þ n=35 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6- GV: NGUYỄN THỊ LAN a)Chứng tỏ phân số A ln tồn b)Tìm phân số A biết:... Cho phân số M = a) Số nguyên n phải có điều kiện để phân số M tồn b) Tìm phân số B biết: n = –2; n = 0; n = 2020 (n Ỵ Z ) ( n + 2)(n - 3) Bài : Cho phân số A= a) Số ngun n phải có điều kiện để phân. .. n để A phân số c) Tìm n đê phân số A0 Trường THCS Lê Quý Đôn Page Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6- GV: NGUYỄN THỊ LAN 2019 (n Ỵ Z ) ( n + 2)( n 2020 + 5) Bài : Chứng tỏ phân số