HƯỚNG dẫn học SINH CÁCH hệ THỐNG, CHỦ ĐỘNG TRONG VIỆC GIẢI các bài TOÁN TAM GIÁC LƯỢNG

Tên đề tài: HƯỚNG DẪN HỌC SINH CÁCH HỆ THỐNG, CHỦ ĐỘNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN TAM GIÁC LƯỢNG 1.MỞ ĐẦU 1.1.Lí chọn đề tài: Trong cơng tác giảng dạy mơn tốn trường THPT thực tế hoạt động dạy học học sinh nhà trường, q trình tìm tịi đúc kết chọn tốn “gốc” , từ phát triển lên hệ thống tập theo hướng toán “gốc” Qua giúp người dạy định hướng phương pháp giải cụ thể lô gic, người học rễ tiếp thu có hội sáng tạo thân xây dựng bổ sung lớp toán sở tốn gốc, đổi phương pháp dạy học trường THPT Trong trình học lượng giác , phần tam giác lượng học sinh thường gặp khó khăn việc hệ thống kiến thức chủ động giải cá toán tam giác lượng Với nội dung đề tài này, đề cập đến vấn đề : Hướng dẫn học sinh chọn số toán làm “gốc” để sử dụng chúng để “khai triển “ nên hệ thống tập, sở ước lượng đối xứng tam giác Vì tơi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh hệ thống & chủ động việc giải tốn tam giác lượng” 1.2.Mục đích nghiên cứu: + Trao đổi với đồng nghiệp sở vận dụng ước lượng đối xứng tam giác lượng, chọn toán “gốc” ,hệ thống thành dạng tập giảng dạy cho học sinh + Hướng dẫn học sinh giải tập dựa sở suy luận từ toán “gốc”, tư từ toán “gốc” chủ động phát triển thành chuỗi tập dạng, sở lí luận, tự tin học mơn tốn 1.3 Đơi tương nghiên cưu: - Hệ thức lượng tam giác - Nội dung phần hệ thức lượng tam giác chương trình SGK - Một số tốn liên quan đề thi Đại học - Cao đẳng - TCCN 1.4 Phương phap nghiên cưu: Phương pháp: - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua trình giảng dạy - Thơng qua việc giảng dạy trực tiếp lớp khối 10 năm học - Thơi gian nghiên cưu: Năm hoc 2016 – 2017 2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: Trên sở sử dụng ước lượng đối xứng , kết hợp với bất đẳng thức cổ điển: Cô Si , Bunhiacôpxki, số toán “gốc” mà “khai triển” nên hệ thống tập, từ giúp học sinh định hướng phương pháp giải toán Những kiến thức liên quan: 2.1.1 Các toán tam giác: Là toán nghiên cứu mối quan hệ yếu tố tam giác với Các mối quan hệ :Một đẳng thức ,một bất đẳng thức hay dấu hiệu nhận dạng tam giác Các yếu tố tam giác : + Góc :A,B,C + Cạnh : a, b, c + Đường cao: ha, hb, hc + Đường trung tuyến: ma, mb, mc +Đường phân giác : la, lb, lc +Chu vi: C= 2p +Diện tích : S +Bán kính đường trịn ngoại tiếp: R +Bán kính đường trịn nội tiếp: r, ra, rb, rc 2.1.2 Quan hệ yếu tố tam giác: +a, b, c > : a b a b c c +0< A,B,C.< ; A+B+C = + a= 2sinA.R +a2 = b2+c2 -2bc.cosA b2 + cot A +b2 +S = c2 c2 4S a 2m2 a a2 2 ah a abc 2R sin A.sin B.sin C pr ( p a)r 4R bc.sin A a p( p a)( p b)( p c) (Bảy cơng thức tính diện tích “cầu nối “ thiết lập mối quan hệ yếu tố tam giác với nhau.) 2.1.3 Các hệ thức bản: A B C 1) sinA + sinB + sinC = 4cos cos cos 2) sin2A + sin2B + sin2C = 4sin2A.sin2B sin2C 3) sin(nA) + sin(nB) + sin(nC) = (-1)n+14sin(nA).sin(nB).sin(nC) A B C 4) cosA+ cosB +cosC = 1+ 4sin sin sin A B B C C A 5) tan tan tan tan tan tan 6) tanA +tanB +tanC = tanA tanB tanC A B C A B C 7) cot + cot + cot = cot cot cot 8) cotA.cotB +cotB.cotC + cotC.cotA = 2.1.4.Bất đẳng thức -Bất đẳng thức Côsi: a b ab với a, b a1 a2 an n n a1.a2 an với a1,a2, ,an -Bất đẳng thức Bunhiaôpxki: a1b1 a2b2 a1b1 a2b2 a12 a22 b12 b22 an bn a12 a22 an2 b12 b22 bn2 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Học sinh nhà trường phần lớn học sinh có học lực trung bình, tỉ lệ học sinh có học lực giỏi không nhiều Nhiệm vụ tổ nhóm chun mơn phải tổ chức đánh giá xếp loại lực học sinh ,nhóm chun mơn phải xây dựng kế hoạch bồi dưỡng phụ đạo theo nhóm học sinh có học lực khác Trong buổi thảo luận chuyên môn xây dựng phương pháp dạy học cho nhóm đối tượng học sinh giỏi, có nhiều ý kiến trao đổi giảng dạy cho học sinh phần kiến thức tam giác lượng , nội dung khó học sinh nhà trường không đơn giản giáo viên Năm học : 2015- 2016 tơi thử nghiệm nhóm đối tượng học sinh có học lực giỏi Năm học : 2016- 2017 tơi thử nghiệm nhóm đối tượng học sinh có học lực giỏi 3 Kết kiểm tra nhóm học sinh nói phần tam giác lượng chưa triển khai đề tài Sĩ Giỏi Khá Trung bình Năm học số SL TL% SL TL% SL TL% 2015-2016 20 5,0% 25,0% 14 70,0% 2016-2017 25 8,0% 36,0% 14 56,0% 2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Bài toán gốc 1: Cho tam giác ABC với T = sin2A +sin2B +sin2C Tìm MaxT ? [3] Giải :Ta có T = cos A cos 2B 2 1 2 = 2+ cos ( A B) cosC cos(A B) Vâỵ T = sin2A +sin2B +sin2C dấu “=”xảy a A B cos( AB)1 cos C cos( AB) cos2 C = 2-cos2C – cos(A-B)cos(A+B) cos2 ( A B) , ABC C Kết luận:MaxT = Khi ABC Từ kết tốn ta sử dụng cho loạt toán phần ước lượng đối xứng: Bài 1:Cho tam giác ABC với T = sinA.sinB.sinC Tìm MaxT ? (Hoặc CMR: sinA.sinB.sinC ( ) CMR: ABC sinA.sinB.sinC CMR: Trong tam giác nội tiếp đường trịn bán kính R tam giác có diện tích lớn – Vì : S = 2R2 SinA.SinB.SinC ) [2] Nhận xét: 0< A,B,C.< suy : sinA,sinB,sinC > Xét T 2 si ) T2 2 = sin A.sin B.sin C sin A sin B sin C ;( Theo bất đẳng thức Cô 9/4 Vậy T 3 Dấu “=” xảy sin sin 2 Asin Asin 2 Bsin C Bsin C9/4 ABC 3 Kết luận: MaxT = ABC Bài 2: Cho tam giác ABC với T = sinA + sinB + sinC 3 (Hoặc: + CMR: sinA + sinB + sinC Tìm MaxT ? +CMR: ABC sinA + sinB + sinC 3 +CMR: Trong tam giác vuông nội tiếp đường trịn bán kính R tam giác có chu vi lớn nhất.Vì 2p = 2R(sinA + sinB + sinC ) [3] Nhận xét: 0< A,B,C.< suy : sinA,sinB,sinC > Xét (sinA + sinB + sinC)2 3(sin2A +sin2B +sin2C) (BĐT Bunhiacôpxki) 27 = Vậy T Dấu “=” xảy 3 1 C9/4 sin Asin Bsin sin A sin B sin C ABC MaxT ABC Bài 3: Cho tam giác ABC với T = Bài 4: Cho tam giác ABC với Bài 5: Cho tam giác ABC với Tìm MinT ? sin A.sin B.sin C 1 T= sin A sin B sin C 1 T= Bài 6: Cho tam giác ABC với T = sin A sin B sin C (1 )(1 )(1 sin A sin B Tìm MinT ? Tìm MinT ? ) sin C Bài7: Cho tam giác ABC với T = cot2A + cot2B + cot2C Bài 8: Cho tam giác ABC với T = (1+sinA)(1+sinB)(1+sinC ) Tìm MinT ? Tìm MinT ? Tìm MaxT ? Bài 9: Cho tam giác ABC với T = (1+sin2A)(1+sin2B)(1+sin2C ) Bài 10: Cho tam giác ABC , Tìm MaxT ? T = sin2A + sin2B + sin2C Tìm MaxT ? Bài 11: Cho tam giác ABC CMR : sin2A +sin2B +sin2C sinA.sinB.sinC Hay CMR: a2+ b2 +c2 4S (ABC) ab +bc +ca 4S (ABC) [6] HD :Bài 7: T=1+ sin A sin B sin C + 1 sin A.sin B sin B.sin C sin C.sin A + sin A.sin B.sin C 1+ 33 sin A.sin B.sin C 1 23 sin A.sin B.sin C 33 sin A.sin B.sin C sin A.sin B.sin C 23 Vậy T = Dấu “=” xãy ABC Như : áp dụng kết toán “gốc “ toán gốc ta giải hệ thống toán “ biến dạng” chúng (phát biểu ngôn ngữ khác thay góc thành cạnh nhờ định lí hàm số Sin) Đáp số: Bài 3: MinT = ABC 3 Bài 4: MinT = ABC 3 Bài 5: MinT = Bài 6: MinT = ABC ABC ABC Bài 7: MinT = Bài 8: MaxT = Bài 9: MaxT =27/16 Bài10: MaxT = 3 Bài toán gốc 2: ABC ABC ABC Cho tam giác ABC với T = cosA.cosB.cosC , Tìm MaxT ? [5] Giải : Ta có T [cos(A B) cos(A B)]cosC cos2 (A B) Vậy: T = cosA.cosB.cosC dấu “=” xảy cos ( A cos C B)1 1 cos ( A B) , (cosC cos(A B)) cos( AB)0ABC Từ kết toán ta ta giải hệ thống tập sau: Bài toán: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: 1) cosA+ cosB +cosC [1] 2) cos A+ cos B +cos C [2] 3) cos A+ cos B +cos C cosA.cosB.cosC 4) (1- cosA)(1- cosB)(1- cosC) 5) (1 6) 7) )(1 )(1 ) 27 , với ABC cos A cos B cos C 1 , với ABC nhọn cos A cos B cos C sin A sin B + sin B sin C sin C sin A 2 2 2 nhọn 8) sin 9) A 2 sin 1 sin Asin B 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) B C sin sin 12 C sin A sin B sin C sin A sin B sin C 22 2 sin A sin B sin C [4] 22 sin A sin B sin C [4] 22 1 sin A sin B sin C 2 cos A cos B cos C 3 2 2 3 cos A cos B cos C 22 1 23 cos A cos B cos C 2 A 2 B cos C cos cos 24 1 cos 19)cos A A2 2 cos B cos2 cos C C B cos 2 A cos B cos [4] C cos 2 Bài toán gốc 3: Cho A,B,C góc tam giác ABC Chứng minh rằng: sin A sin B sin C cos A cos B cos C [6] (Loại chứng minh số ước lượng đối xứng tam giác sở cách làm tốn “gốc”.( Có thể sử dụng tính chất hàm số lồi)) sin A B cos A B cos 2 A B 1; cos C 0) cos Giải: (Do sin A sin B C C cos A B cos 2 2 Suy ra: sin A sin B cos Tương tự: sin B sin C cos sin C sin A cos 2 C A B Vậy : sin A sin B A B sin C cos cos cos C Từ cách làm tương tự ta có hệ thống tập sau: Bài toán: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: A B C 1) cos A cos B cos C sin sin sin A sin B sin C [5] 2 3) sin 2A sin 2B sin 2C sin A sin B sin C 4) sin A sin 2B sin 2C cos A cos B cosC ;ABC nhọn A cot B cot C ; ABC nhọn 5) tan A tan B tan C cot 2 A B C sin Asin B sin C cos cos cos 6) 2 [2] A sin A.sin B cos 7) ; ABC 2)cos A cos B cos C sin Mở rộng: *)sin A.sin B sin C cos *) cos A.cos B.cos C *) cot A cot B cot C 2 8) cos A 9) cos A 10) A cos B cos C 2 A B C sin sin sin tan A tan B tan C 2( cos A.cos B + cos B.cos C + cos C.cos A) A sin B sin C ABC cos B cos C sin 2 tan A tan B A B tan cos B cos C 11) ABC nhọn có : tan A Hướng dẫn giải 10) Ta có: tan A tan B sin C cosC tan B sin(A B) tan Ccot sin C A cot [5] B cot C ABC sin C 2.cos A.cos B cos(A B) cos(A B) cos(A B) sin C 2sin C cos C A B 2 tan (ĐPCM ) C 2sin sin C 2 ( Có thể biến đổi tương đương sử dụng tính chất hàm số lồi) Hướng dẫn giải 11) Ta có: tan A tan B 24 tan A.tan B tan tan A tan B Mặt khác: A B (*) Vì (*) sin A.sin B.cos2 A B cos A.cos B.sin A B 22 cos(A B) cos(A B) cos(A B) 2 cos(A B).cos(A B) cos(A B) cos(A B).cos C cos C cosC cos( A B) 0(**) ( ABC nhọn ,(**) hiển nhiên đúng) Suy ra: tan Atan B 24 tan A tan B 24 tan ABC nhọn Vậy tan A tan B A tan C B cot cos(A B) cos(A B) cos(A B) cot 2 cot A B tan C A B cot C ; (ĐPCM) Bài toán gốc 4: A B B C C A Sử dụng đẳng thức: tan tan + tan tan tan tan 1, số bất đẳng thức bản, bất đẳng thức cổ điển:Cô si; Bunhiacôpxki, thiết lập nên ước lượng đối xứng tam giác Bài toán: Cho tam giác ABC Chứng minh : 1) tan A tan B tan C 2 tan Giải: Ta có: tan A tan B A 2 2 B B tan 2 2 Tương tự : tan B tan C tan tan 2 C A tan C tan tan tan 2 Vậy: tan A 2) tan Giải: A B C tan tan B C tan + tan A B ( Theo Cô si) C 2 A (ĐPCM) C A B C A B Ta có: ( tan tan tan )2 = tan 2 tan 2 tan 2 +2( tan tan + tan B C C A tan tan tan 2) 2.1 A Vậy: tan B tan C tan (ĐPCM) Giải: Theo Bunhiacôpxiki A A B C B tan tan ) ( tan tan A B C Vậy: tan tan tan (ĐPCM) A B C 4) tan tan tan ( tan tan C 2)2 Giải: tan A 6 B tan tan 30 tan A tan B 2 tan A Tương tự: tan B C tan tan tan A tan 300 tan 300 tan 300 tan A tan B tan 300 2 6 B AB C tan A tan 4 3 3 tan tan tan B tan tan CA tan B tan tan tan 300 C 2 (ĐPCM) A B 6C tan tan 9 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: 5) tan A B 3C tan tan 6) tan A 5 B 5C tan tan 3 ( Cộng thêm vào vế trái tan 30 ) 3 ( Cộng thêm vào vế trái tan 30 ) 7) tan A tan B tan C tan A tan B tan C 8) tan A 9) cot A tan B tan C 3 cot B cot C ( Hoặc tan A tan B tan C ; ABC nhọn [1] 3) 3 2 10) tan A tan B tan C 11) tan A tan B tan B tan C tan C tan A Bài toán gốc5 : Sử dụng ước lượng đối xứng tam giác mà dùng số tốn “gốc” phương pháp đại số 1)CMR: ABC không tù ta có: (1 cos A)(1 cos B)(1 cos C) 10 2)CMR: ABC 3)CMR: 4)CMR: 5)CMR: 6)CMR: 7)CMR: 8)CMR: ta có: cos A cos B cos 2 C 2 A 3B B 3C C 3A sin sin ta có: sin A.sin B sin C sin ABC 4 A cot B cot C 3(tan A tan B tan C ) ABC ta có: cot 2 2 2 sin B sin C sin A (sin B) (sin C) ABC nhọn ta có: (sin A) cos A cos B cos C 2 ta có: ABC sin A sin B sin C 2 sin A sin B sin C ABC ta có: cos A cos B cos C ABC ta có cos A B cos B C cos Hướng dẫn giải : 1)Ta có : T= (1 cos A)(1 C A cos 1( A ) cos (B 3 cos B)(1 cos C) 1+(cos A cos B ) cos 1(C 3 ) cos C) ( cos A.cos B A B C + cos B.cos C + cos C.cos A) + cos A.cos B.cos C T=1 (1 sin sin sin ) +( cos A.cos B + cos B.cos C + cos C.cos A) + cos A.cos B.cos C Do ABC không tù nên: Vậy T >2 (ĐPCM) os A cos B cos B cos C cos C cos A 2) Ta có: cos A cos2 A cos A 222 A B C A B C A B C T cos cos cos 2 (cos cos cos ) 2 (1 4sin sin sin ) (ĐPCM) 3) x , x , x , x sin x1 sin x2 sin x1 (0; ) x1 sin x1 sin x2 sin x3 Vì hàm số y = sinx hàm số lồi x2 sin x4 x2 x3 x4 dấu “=” xảy x x sin x x Đặt: B B C Ta có: tan tan + tan tan tan sin A.sin B C A tan A xtan C ytan A 3B ABBB sin A sin B sin B sin B sin 4 Tương tự: sin B 3C sin B.sin C C 3A sin sin C.sin A A 3B B 3C C 3A sin sin Vậy: sin A.sin B sin C sin (ĐPCM) 4 A , nên: Vậy ta có :sin 4) (0; ) B xy x, y, z0 yz zx1 ztan 11 x Ta phải CM: Đặt: a 3(x y z)xy yz zx 3xyz(x y z) z (xy)2 ( yz)2 (zx)2 xyz(x y z) (*) xy yz zx b c (*) a2 y b2 c2 ab bc ca ĐPCM 5)ABC không tù sin B 2 2 (a b) (b c) (c a) 0sin A (sin A)2 sin B Vậy ta có sin A; Dấu “=” xảy B 90 AB900 Tương tự: (sin A)2 sin B (sin B)2 sin C (sin C)2 sin A sin A sin B sin C = ABCcó2gócvng =>Vơ lí 2 cos A.cos B.cos C (sin A)2 sin B (sin B)2 sin C sin A B sin (sin B)2 sin C A C A 2 C 2 B sin sin (sin C)2 sin cos B C ; B 90 B 900;C 900 90 ; A 90 C Vậy (sin A)2 sin B B 6) A cos cos sin A sin 90 A Dấu “=” xảy (sin C)2 sin A C A cos 2(sin B cos sin B sin C A ( sin cos A C B sin C ) sin 2 ) 222222 A B B A B C C B C A A C (sin cos sin cos ) (sin cos sin cos ) (sin cos sin cos ) A B 2(sin sin sin C ) Rễ thấy điều Vậy toán CM 7) sin A sin B sin C (cos A cos B cos C) sin( A B) sin(B C) sin(C A) < 2(cos A cos B cos C) (sin A cos B sin B cos A) + (sin B cos C sin C cos B) + (sin C cos A sin A cos C) < 2(cos A cos B cos C) sin A(cos B cosC) sin B(cos A cosC) sin C(cos A cos B) < 2(cos A cos B cos C) (sin A 1)(cos B cos C) (sin B 1)(cos A cos C) (sin C 1)(cos A cos B) A B ) cos A cos B cos A B cos A B 0; (vì0 2 2 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường: 12 Qua trình giảng dạy triển khai đề tài đến nhóm học sinh độc lập năm, tơi thấy học sinh tự tin gặp tốn tam giác lượng nói giải toán đảm bảo yêu cầu giáo viên.Từ khích lệ học sinh tích cực hơn, chủ động việc tìm tịi phát triển hệ thống tập sở toán “gốc” Kết khảo sát sau triển khai đề tài Sĩ Giỏi Khá Trung bình Năm học số SL TL% SL TL% SL TL% 2015-2016 20 35% 11 55% 10% 2016-2017 25 36% 14 56,0% 8% 3.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Từ tốn “gốc “ hệ thức lượng giác hay ước lượng đối xứng , cách phát triển riêng giúp học sinh nhớ lâu ,”nhạy bén” và” hệ thống hóa”,”Sắp xếp” tam giác lượng Điều cần thiết hữu ích học sinh 3.2 Kiến nghị: Trong thời gian tới ,tôi mở rộng nghiên cứu đề tài Rất mong quan tâm BGH nhà trường tạo điều kiện thời gian cho phép tơi thực nghiệm nhóm học sinh nhà trường Tuy nhiên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót cần bổ sung Tơi mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp học sinh cho viết Tôi xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa hình học 10 - Nhà xuất giáo dục [2] Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất giáo dục [3] Tài luệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất Giáo dục [4] Các giảng luyện thi mơn tốn - Nhà xuất giáo dục (TG: Phan Đức Chính - Vũ Dương Thụy - Đào Tam - Lê Thống Nhất) [5] Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất giáo dục [6] Các đề thi đại học năm trước XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Triệu sơn, ngày 25 tháng năm 2017 13 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết TRẦN CÔNG TUẤN 14 ... quan: 2.1.1 Các toán tam giác: Là toán nghiên cứu mối quan hệ yếu tố tam giác với Các mối quan hệ :Một đẳng thức ,một bất đẳng thức hay dấu hiệu nhận dạng tam giác Các yếu tố tam giác : + Góc... hệ thức lượng giác hay ước lượng đối xứng , cách phát triển riêng giúp học sinh nhớ lâu ,”nhạy bén” và” hệ thống hóa”,”Sắp xếp” tam giác lượng Điều cần thiết hữu ích học sinh 3.2 Kiến nghị: Trong. .. C ABC MaxT ABC Bài 3: Cho tam giác ABC với T = Bài 4: Cho tam giác ABC với Bài 5: Cho tam giác ABC với Tìm MinT ? sin A.sin B.sin C 1 T= sin A sin B sin C 1 T= Bài 6: Cho tam giác ABC với T