Rèn luyện cho học sinh lớp 12 kỹ năng tính một số tích phân đặc biệt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 12 KỸ NĂNG TÍNH MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT Người thực hiện: Trương Thị Nga Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2017 MỤC LỤC MỤC LỤC 1.MỞ ĐẦU….….………………………………………………… …… 1.1 Lý chọn đề tài……………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………….…… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….…… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………… …….4 1.5 Những điểm sáng kiến ……………………………….……….4 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ………………… …4 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề……… ……………………………………… … 2.3 Các giải pháp thực hiện……… ………………………………… … 2.4 Hiệu sáng kiến………… ……………………………… 16 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ….………………… ……….…………… 16 3.1 Kết luận……………………………………………………………… 16 3.2 Kiến nghị………………………………………………………………17 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Giáo dục Việt Nam tập trung đổi mới, hướng tới giáo dục tiến bộ, đại ngang tầm với nước khu vực giới Một nội dung đổi đổi hình thức thi THPTQG Đối với mơn Tốn, năm 2017 thay hình thức thi tự luận tiến hành lâu hình thức thi trắc nghiệm Hình thức chúng ta, nước phát triển giới áp dụng lâu Cùng với thay đổi hình thức thi đề thi có thay đổi hình thức nội dung Trong đề thi khơng cịn nhiều câu hỏi hóc búa, địi hỏi phải suy luận tính tốn dài dịng, bên cạnh lại xuất cách hỏi khơng q khó u cầu học sinh học phải hiểu đầy đủ cặn kẽ vấn đề Chủ đề tích phân chủ đề quan trọng chương trình tốn giải tích lớp 12, đồng thời nội dung kì thi THPTQG Thông qua đề minh họa Bộ Giáo Dục thấy: Ngoài câu hỏi yêu cầu tính tốn tích phân thơng thường giống lâu gặp đề thi tự luận, xuất dạng tập toán thực tế, cách hỏi tập u cầu tính tích phân khơng cho biểu thức Thực chất để giải câu hỏi học sinh sử dụng công thức, phương pháp quen thuộc học Nhưng qua thực tế giảng dạy nhận thấy học sinh bối rối gặp tính tích phân khơng cho biểu thức, em khơng biết tính nào, hay dùng phương pháp để tính Xuất phát từ thực tế đó, lựa chọn đề tài : “Rèn luyện cho học sinh lớp 12 kỹ tính số tích phân đặc biệt ” Để giúp học sinh khơng cịn bị lúng túng gặp câu hỏi vậy, dần hình thành kỹ giải tốn tính xác linh hoạt q trình giải tốn Đồng thời tạo hứng thú, phát triển tư duy, lực sáng tạo học sinh học tập mơn tốn mơn học khác 1.2 Mục đích nghiên cứu Đưa số dạng tập phương pháp giải tương ứng giúp học sinh củng cố kiến thức, hình thành kĩ giải tốn, phát triển tư sáng tạo Đồng thời thúc đẩy hứng thú học tập cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh thực nội dung học sinh lớp 12 - Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp tính tích phân 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết: Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu phương pháp dạy học toán, sách tham khảo, đề thi khảo sát chất lượng trường trung học phổ thông, mạng internet, - Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc nắm bắt học học sinh qua việc vận dụng kiến thức để giải toán qua kiểm tra, tìm hiểu việc vận dụng phương pháp dạy học tích cực số trường phổ thông - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm tổ môn, tham dự buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp - Phương pháp thực nghiệm: Tiến hành thực nghiệm lớp 12A, 12B trường THPT Hà Trung năm học 2016 -2017 1.5 Những điểm sáng kiến - Phân loại dạng tập tính tích phân mà khơng - Đưa hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan để học sinh tự luyện NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận - Các tính chất cua tích phân.[1] - Các phương pháp tính tích phân.[1] 2.2 Thực trạng vấn đề Học sinh vốn quen thuộc với tập tích phân mà biểu thức tính tích phân có cơng thức rõ ràng, tương ứng với dạng tập có phương pháp giải rõ ràng, số em cịn sử dụng hỗ trợ máy tính Casio Nhưng với hình thức thi mới, cách hỏi xuất dạng tập u cầu tính tích phân khơng biết biểu thức tính mà biết số tích chất Khi gặp tập đa số học sinh thường lúng túng trình tìm lời giải, em phải biến đổi hay phải sử dụng công thức nào, học sinh giỏi gặp phải vấn đề 2.3 Các giải pháp thực Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, thực số giải pháp sau: - Bổ sung, hệ thống kiến thức - Phân dạng tập, đưa dấu hiệu phương pháp giải tương ứng - Đưa hệ thống ví dụ tập trắc nghiệm khách quan tăng dần từ dễ đến khó, tăng dần từ mức độ nhận biết, thông hiểu lên vận dụng Giúp cho em làm quen dần với dạng tập Dần hình thành kỹ giải tốn tính xác linh hoạt q trình giải tốn - Đổi việc kiểm tra, đánh giá Ra đề kiểm tra với mức độ nhận thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao để kiểm tra mức độ tiếp thu, kiểm tra lực học sinh có kế hoạch điều chỉnh 2.3.1 Tính tích phân khơng cho biểu thức cụ thể Dạng 1: Sử dụng tính chất tích phân Ví dụ Cho f (x )dx 6, g(x )dx Tính I [2 f (x ) g ( x )]dx [1] Lời giải Ta có I [2 f (x) g(x)]dx f (x)dx Vậy I g(x)dx 4 Ví dụ Cho f (x)dx 3, f (z)dz Tính I f (t)dt [1] Lời giải Ta có f (t)dt f (x)dx 3, f (t)dt Nên I f (t)dt f (t)dt f (z)dz f (t)dt Vậy I Ví dụ Cho a;b b f ( x ), g ( x ) hàm số liên tục f (x)dx 3, a b b [3 f (x) 5g(x)]dx Tính I a g(x)dx [3] a Lời giải Ta có b [3 f (x) 5g(x)]dx 3b a Nên I a a a có đạo hàm 1;2 Ví dụ Cho hàm số f ( x ) I f (x)dx 5b g(x)dx 5b g(x)dx f (1) 1, f (2) Tính f '(x)dx [2] Lời giải Ta có I f '(x)dx f (x) f (2) f (1) 1 Vậy I Dạng 2: Sử dụng phương pháp đổi biến Dấu hiệu: Trong tốn ngồi biểu thức f ( x ) xuất biểu thức f (u ( x )) ( biểu thức nằm giả thiết tốn tích phân cần tính), tương ứng cận ta đổi biến t u ( x ) Với số tập ngồi phương pháp đổi biến ta cịn sử dụng cách chọn hàm Cách thức chấp nhận hình thức thi trắc nghiệm Thông thường ta hay nghĩ đến việc chọn hàm bậc nhất, tức giả sử f ( x ) ax b ( a , b ) Từ giả thiết ta tìm a, b suy hàm số f ( x ) tính tích phân Với cách học sinh yếu trung bình dễ tiếp nhận thao tác tìm hàm f ( x ) thường khơng liên quan đến phép biến đổi tích phân phức tạp Tuy nhiên thường số tập đơn giản chọn hàm thỏa mãn, cịn cách giải từ đơn giản đến phức tạp Ví dụ Cho f (x)dx 16 Tính I 2f (2x)dx [2] Phân tích tốn: Dựa vào đề ta dự đoán đặt t 2x , phép đổi biến phù hợp với tương ứng vể cận Lời giải Cách Đặt t 2x Ta có dx Khi I dt Đổi cận x t 0, x t 4 f (t)dt 20 Cách Chọn f ( x ) a Khi f (x)d x Ta có f (2 x ) f (2x)d x a dx a x 4a 16 Nên a 4dx Vậy I Ví dụ Cho I f (x)d x Tính If (cos2x)sin 2xdx [3] Phân tích tốn: Dễ thấy ta đặt t cos 2x Lời giải Đặt t cos x d t x 2sin 2xdx Đổi cận t 0, x t Ta có I f (t)dt 2 Ví dụ Cho hàm số y f ( x ) liên tục [ 1; ) f ( x 1)dx Tính I xf (x )d x [3] Phân tích toán: Trong toán ta đặt t x , trường hợp ta biến đổi tích phân cho tích phân cần tính Lời giải x t2 Đặt t Ta có f( x 2tdt dx Đổi cận x t 1, x t x 1)d x 22 tf (t)d t 2 xf (x)dx 2I I Vậy I Ví dụ Cho hàm số y f ( x ) liên tục , biết f (tan x)d x 1 x f (x) x 21 dx Tính If (x)dx [3] Phân tích tốn: Trong đề xuất đại lượng tan x; x2 để ý cận tích phân Ta nghĩ đên việc đặt x tan t , nhiên ta cần thêm vài biến đổi khéo léo Lời giải Ta có I f (x)d x x 1 x f (x)d x x f (x)dx d Đổi cận x t 0; x t t cos t Đặt x tan t dx x f (x)dx 1 Khi Suy I x2 f (x)d x tan t f (tan t) cos t dtf (tan t)dt Ví dụ Cho hàm số y f ( x ) liên tục thỏa mãn f ( x ) f (1 x ) 3x f (x )d x [3] với x thuộc Tính I Lời giải Cách Đặt x Khi I Ta có 3I 1 t dx f (x)d x0 f (1 t )dt f (1 x)d x 1 f (x)d x Vậy I dt Đổi cận x t 1, x t f (1 t )dt f (1 x)d x 0 0 [f (x) f (1 x)]d x 3xdx Cách Chọn hàm f (x) ax b (a,b ) f (1 x) a(1 x) b ax a b f (x) f (1 x) ax 2a 3b Do f (x) f (1 x) 3x, x Suy a a a 3b b Do f (x) x Vậy I f (x)d x 1( x 2)d x Ví dụ Cho hàm số y f ( x ) liên tục 0;3 f (x) f (3 x) với 0 x thuộc 0;3 Tính I 1 f (x) dx [3] Lời giải Cách Đặt t x , I dx f (3 Từ giả thiết ta có x) 1f (3 x) f (x) I , Suy 1 f (x) dx f (x) d x f (x) Ta có 2I Vậy I dx f (x ) f (x) dx f (x) dx I Cách Ta dễ dàng chọn hàm số f ( x ) 1, x [0;3] Khi I 02 dx f thỏa mãn điều kiện đề Nhận xét: Với tập sử dụng cách để làm trắc nghiệm tối ưu thời gian Ví dụ Cho hàm số y f ( x ) liên tục thỏa mãn f (x) f ( x ) 2cos2x với x thuộc Tính I f (x)dx [2] Lời giải Đặt x t , I f ( t )dt f ( x)d x 2 Ta có 2I f (x)d x 3 f ( x )d x 2I Vậy I [f (x) f ( x)]d x 3 2 2cos2x d x 2 3 2 cos x d x 12 I 6 Dạng 3: Sử dụng công thức tích phân phần 10 Dấu hiệu: Nếu biểu thức tính tích phân có dạng b u ( x ) f '(x )dx mà không dùng a phương pháp đổi biến để tính ta thường dùng cơng thức tích phân phần (x Ví dụ Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn 1) f '(x )d x 10 f (1) f (0) Tính I f (x )dx [2] Lời giải Ta có ( x 1) f '(x)d x 1 ( x 1)d( f (x)) ( x 1) f (x) 0 1f (x)d x f (1) f (0) f (x)d x Suy I Bài tập tương tự Bài Giả sử b f (x)d x b g(x)d x Tính I a b [2 f (x) 3g(x)]dx a A.I a B.I C I 13 D.I 2018 Bài Cho hàm số y f ( x ) liên tục trênvà f (x)d x Tính 1009 I f (2x)d x A I 32 Bài Cho B.I f (x)dx Tính I A.I 2f C I 16 D.I (2 x)d x B.I CI D.I 11 Bài Cho hàm số y f ( x ) hàm số chẵn, liên tục Biết f (x )d x f ( x )d x Tính I 6f (x )d x Bài Cho hàm số y f ( x ) liên tục f (x ) f ( x ) 2(1 sin 2x) với x thuộc Tính If (x )d x A.I B.I C.I D.I hàm số y g ( x ) x f (x2 ) có đồ Bài Cho hàm số y f ( x ) liên tục thị hình vẽ bên Biết diện tích phần tơ màu S Tính I f (x )d x Bài Cho hàm số y f ( x ) liên tục f (2) 16, f (x )d x Tính I xf '(2x )d x A I 13 B I 12 C I 20 Bài Cho hàm số f ( x ) hàm số chẵn, liên tục D.I [1 f (x )]dx 15 Tính I f (x )d x A I 10 B.I C I 30 D I 15 Bài Cho f (x )d x Tính tích phân f (3x 1)dx 12 A.I B.I Bài 10 Cho hàm số f ( x ) liên tục C.I D I 27 f (x )d x Mệnh đề sau sai? A f (2x )d x C B f (x 1)d x f (2x )d x D 1 f (x 2)d x Bài 11 Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) , F (3) F ( x 1)d x Tính tích phân I x f (x )d x A I 10 B I 11 Bài 12 Cho hàm số y f ( x ) liên tục C.I D.I f (x ) f ( x ) 2(1 cos2x) với x thuộc Tính If (x )d x A.I B.I C.I D.I Bài 13 Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm R thỏa mãn (x 1) f '(2x )d x f (2) f (0) Tính I B I 16 A.I 2 f (x )dx C I 16 Bài 14 Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm R thỏa mãn D.I 1f (x )d x 10 f (1) f (0) Tính I (2 x ) f '(x )dx A.I B I 12 C I 12 D.I Bài 15 Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) , F ( ) 3 xF ( x )d x Tính tích phân I x f (x )d x B I A.I C I 3 D I 2.3.2 Tích phân số hàm đặc biệt Ta sử dụng số công thức sau: + Nếu y f ( x ) hàm số chẵn, liên tục [-a;a] a f (x )d x 2a f (x )d x [4] a + Nếu y f ( x ) hàm số lẻ, liên tục [-a;a] a f (x )d x [4] a + Nếu y f ( x ) hàm số chẵn, liên tục [-a;a] a a m a f (x) x dx f (x )d x [4] + Tính bất biến tích phân biến số thay đổi cận cho b f (a b x )d x b f (x )d x [4] a Ví dụ Tính tích phân I a ln(x x 1)d x [4] Phân tích tốn: Ta thấy cận tích phân đối xứng từ -2 đến 2, đồng thời khéo nhận hàm số f (x ) ln(x x2 1) hàm số lẻ Vì ta áp dụng cơng thức tích phân hàm số lẻ Lời giải Dễ dàng chứng minh hàm số f (x) ln(x x2 1) hàm số lẻ Do I x 1)d x ln(x Vậy I x2 Ví dụ Tính tích phân I 1 2017x dx [4] Phân tích tốn : Ta có cận tích phân đối xứng từ -1 đến 1, hàm số f (x ) x2 hàm số chẵn Vì đủ điều kiện để ta áp dụng cơng thức tích phân kết hợp hàm số chẵn hàm số mũ Lời giải Ta có I x2 dx x dx Vậy I x 3 2017 Nhận xét: Bằng việc sử dụng công thức việc tính tốn số tập tích phân có biểu thức phức tạp trở nên nhanh chóng xác, học sinh trả lời nhanh câu hỏi trắc nghiệm Bài tập tương tự Bài Cho f ( x ), g ( x ) hai hàm số liên tục đoạn [ 1;1] , f ( x ) hàm số chẵn, g ( x ) hàm số lẻ Biết f (x)d x 5, g(x)d x Trong mệnh đề 0 sau mệnh đề sai?[3] A f (x)d x 10 C B g(x)d x 14 1 1 [f (x) g(x)]d x 10 Bài Biết a a [f (x) g(x)]d x 10 a I D x 1.cos x dx m ( với a số thực dương) Tính tích phân x x2 1.cos xdx [3] A I m B I m C.I D I m Bài Cho biết f (x )dx 2017 Tính tích phân I f ( x ) dx [3] x 11 A I 2016 B I 2017 C I 2016 D I e2017 2017 Bài Tính tích phân sau a) I cos x ln( 1 x x )d x 1 b) I c) I dx (2x 1)(x2 [ln(x 1) x2 1)]2017 d) I sin x sin 2x cos5x ex dx x sin x e) I 50 dx [4] sin2 x 2.4 Hiệu sáng kiến Năm học 2016-2017 giao nhiệm vụ giảng dạy mơn Tốn lớp : 12A, 12B Đa số học sinh chăm ngoan có ý thức học, đặc biệt em có hứng thú học giải tốn Tuy nhiên gặp tốn tích phân đặc biệt em lung túng giải Sau tiến hành thực nghiệm sáng kiến lớp dạy mình, tơi thu nhiều kết khả quan Hoạt động học tập học sinh diễn sôi nổi, đa số học sinh hiểu vận dụng vào giải toán Một số học sinh giỏi biết tự tìm tịi, nghiên cứu thêm đề thi sách tham khảo để hệ thống hóa, đào sâu kiến thức Kết kiểm tra: Lớp Điểm yếu Số % Điểm TB Số % Điểm Số % Điểm giỏi Số % 16 12A 12B 5,9 11,9 15,7 17 25 40,5 49 20 15 47,6 29,4 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy rằng: sau đưa hệ thống tập trên, học sinh biết vận dụng cách linh hoạt, vào toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp Học sinh khơng cịn tâm lý e ngại gặp toán Mặt khác, hiệu áp dụng tương đối cao, giải trở nên sáng sủa, ngắn gọn hầu hết em vận dụng tốt 3.2 Kiến nghị Nhà trường cần tạo điều kiện nhiều cho giáo viên việc tiếp xúc với loại sách tham khảo có chất lượng thị trường, đồng thời cần có tủ sách lưu lại sáng kiến kinh nghiệm giáo viên xếp loại, chuyên đề tự học, tự bồi dưỡng giáo viên để đồng nghiệp có tư liệu tham khảo Các quan quản lý giáo dục tỉnh cần phát triển rộng rãi sáng kiến kinh nghiệm giáo viên, đặc biệt sáng kiến xếp loại để đồng nghiệp tham khảo, học hỏi Qua nâng cao hiệu sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng vào thực tế nhà trường Mặc dù có nhiều cố gắng song khơng thể tránh khỏi sơ suất, thiếu sót Kính mong hội đồng khoa học cấp bạn bè đồng nghiệp góp ý, xây dựng, bổ sung cho kinh nghiệm đạt chất lượng tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 22 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN 17 viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Trương Thị Nga TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa giải tích 12, tác giả Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, nhà xuất giáo dục năm 2008 Đề thi minh họa mơn Tốn năm 2017 Bộ Giáo Dục Đào Tạo Đề thi thử THPTQG môn toán Sở Giáo Dục, trường THPT nước 4.Tuyển chọn ôn luyện thi vào đại học cao đẳng, tác giả Nguyễn Trọng Bá, Lê Thống Nhất, Nguyễn Phú Trường, nhà xuất giáo dục, năm 2001 18 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Trương Thị Nga Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Hà Trung – Hà Trung – Thanh Hóa TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại Kết đánh giá xếp Năm học (Ngành GD cấp loại đánh giá xếp loại huyện/tỉnh; Tỉnh ) Rèn luyện kỹ sử dụng lượng liên hợp để giải Sở Giáo Dục Đào Tạo tỉnh phương trình, bất phương Thanh Hóa (A, B, C) C 2014-2015 trình vơ tỉ 19 20 ... tơi lựa chọn đề tài : ? ?Rèn luyện cho học sinh lớp 12 kỹ tính số tích phân đặc biệt ” Để giúp học sinh khơng cịn bị lúng túng gặp câu hỏi vậy, dần hình thành kỹ giải tốn tính xác linh hoạt q trình... Tốn lớp : 12A, 12B Đa số học sinh chăm ngoan có ý thức học, đặc biệt em có hứng thú học giải tốn Tuy nhiên gặp tốn tích phân đặc biệt em lung túng giải Sau tiến hành thực nghiệm sáng kiến lớp. .. Cơ sở lí luận - Các tính chất cua tích phân. [1] - Các phương pháp tính tích phân. [1] 2.2 Thực trạng vấn đề Học sinh vốn quen thuộc với tập tích phân mà biểu thức tính tích phân có cơng thức rõ