Chuyên KHTN hà nội hà nội l3

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 31 Xếp bạn nam bạn nữ thành hàng ngang Xác suất để bạn nữ không ngồi cạnh A B C D Lời giải Chọn B Ta có n     6! Cách 1: Gọi A : “Hai bạn nữ không ngồi cạnh nhau” + Xếp bạn nam: Có 4! cách + Do bạn nam tạo thành vách ngăn nên xếp bạn nữ vào vách ngăn có A52 cách Suy n  A   4! A52 Vậy P  A   n  A n   4! A52  6! Cách 2: Gọi A : “Hai bạn nữ ngồi cạnh nhau”   Xem bạn nữ nhóm Ta có n A  5!.2!   P A    5!2!  nên P  A    P A  6! 3 Câu 32 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật AB  a , AD  a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Gọi M trung điểm AD Tính khoảng cách hai đường thẳng BM SD A a B a C Lời giải Chọn D 2a D a + Gọi I trung điểm BC, ta có: AI  ID  a   AID vuông cân I + Gọi K hình chiếu A lên SI  AK   SID  , từ d  BM , SD   d  BM ,  SDI    d  M ,  SDI   1 d  A,  SDI    AK 2 SA AI a 1 a.a    2 2 SA  AI a  2a  Câu 33 Gọi S tập hợp giá trị nguyên m để tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x   m  1 x   m  1 x  có hệ số góc dương Số phần tử tập S A vô số B D C Lời giải Chọn C Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số cho M  x; y  thuộc đồ thị hàm số y   x   m  1 x  m  a   y  3x   m  1 x  m   0, x     m     m  1   m  1  Mà m    m  2;3 Vậy tập hợp S có hai phần tử Câu 34 Trong không gian Oxyz , mặt phẳng qua điểm M  0; 1;  song song với hai đường thẳng d1 : x  y 1 z x 1 y z      , d2 : có phương trình 1 2 1 2 A x  y  z   B x  z   C x  y  z   D 2 x  z   Lời giải Chọn B 1    d1 , d2 không phương 1 2   Đường thẳng d1 có VTCP u1   1; 2;  , đường thẳng d2 có VTCP u2  1; 1; 2     Khi n  u1 , u2    2; 0; 1 VTPT mặt phẳng cho Vậy mặt phẳng qua điểm M  0; 1;  song song với hai đường thẳng Ta có x  y 1 z x 1 y z  d2 :     , 1 2 1 2 2  x     y  1   z     2 x  z   d1 :  2x  z   có phương trình Câu 35 Tập nghiệm bất phương trình  log 32  x  1  3log  x  1   A  4;10 B  4;10  C  3;  D 3;9  Lời giải Chọn A ĐK: x   log 32  x  1  3log  x  1    log  x  1  1   log3  x  1     log  x  1    x     x  10 Câu 36 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình log32 x  m log9 x   m  có nghiệm thuộc đoạn 1;9 A B C Lời giải D Chọn A Điều kiện: x  PT log32 x  m log9 x   m   log32 x  m log3 x   m  Đặt: t  log x , x  1;9   t   0;  Phương trình trở thành: t  mt   m  Bài tốn trở thành: Tìm giá trị ngun tham số m để phương trình: t  mt   m  có nghiệm thuộc đoạn  0;  t  mt   m   Đặt: g  t   t2   m có nghiệm thuộc đoạn  0;  t 1 t2  Yêu cầu toán thỏa  g  t   m  max g  t  0;2 0;2 t 1 Xét hàm số: g  t   Ta có: g  t   t2  , t   0;2 t 1 t  2t   t  1 g  0  2; g  2  2; g  , g  t    t  2t   t  1 t     0;2   t  2t     t    1  0;2  1   Suy ra: g  t    2; max g  t   0;2 0;2    m  Mặt khác m    m  Như có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn ycbt Câu 37 Xét số phức z thỏa mãn z   2i  2, giá trị lớn z   i A 2  B  C  D Lời giải Chọn C Giả sử z  x  yi  x, y    đó: z   2i   x    y   i    x  1   y    Vậy điểm M  x; y  biểu diễn 2 cho số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy đường tròn tâm I  1;  , bán kính R  Gọi A  2;1 , ta có z   i   x     y  1 i   x     y  1 2  MA IA    A nằm đường tròn tâm I Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có MA  MI  IA  max  MA  MI  IA    M , I , A thẳng hàng Câu 38 Cho hàm số y  f  x  biết f    f '  x   x.e x với x   Khi I   x f  x dx A e 1 B e 1 C e 1 Lời giải Chọn B Tính  x.e x2 dx x   t  Đặt t  x ,  , dt  xdx  x 1 t 1   x.e x dx  t 1 e dt  et  C  e x  C  2 D e 1 Mà f    I 1  C   f  x   ex 2 1 1 t 1 e 1 x2 x e dx  e dt  et    20 40 4 Câu 39 Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu f   x  sau x f   x  3   0    Hàm số y  f   3x  đồng biến khoảng sau đây? A  2;3 B 1;  C  0;1 D 1;3 Lời giải Chọn A Ta có y  3 f    x  Ta xét bất phương trình y   3 f    3x    f    x    x  3 Từ bảng xét dấu f   x  ta f   x     0  x   x   x    Do f    3x      0   x  1  x   3 5  1 2 Như hàm số y  f   x  đồng biến khoảng  ;     ;  3  3 3 5  Ta thấy khoảng  2;3   ;    , nghĩa hàm số y  f   x  đồng biến khoảng  2;3 3  Câu 40 Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y  mx   2m  1 x  2mx  m  có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh B A C Lời giải Chọn C Ta có: + m   y  x  có cực trị (khơng thỏa mãn) + m  0, y  3mx   2m  1 x  2m Để hàm số có cực trị  y   có nghiệm phân biệt  y    2m  1  6m   2m  4m    2 6 2 m 2 1 D Do m  0, m   nên m  2; 1 a)Với m  2 , y  2 x  x  x  có  x 1 2 y '  6 x  10 x  ; y '    Mà y 1 y    nên loại x  3  b)Với m  1 , y   x  x  x có y '  3 x  x  ; y '   x   3  3  3 y    y     thỏa     Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 41 Một cơng ty may mặc có hai hệ thống máy may chạy song song Xác suất để hệ thống máy thứ hoạt động tốt 90%, hệ thống thứ hai hoạt động tốt 85% Cơng ty hồn thành đơn hàng hạn hệ thống máy may hoạt động tốt Xác suất để cơng ty hồn thành đơn hàng hạn A 98% B 2% C 80% Lời giải Chọn A Gọi A biến cố hệ thống máy thứ hoạt động tốt Gọi B biến cố hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt Theo đề, ta có p(A)  0,9 , p( B)  0,85  p(A)  0,1 , p ( B)  0,15 Gọi X biến cố công ty hoàn thành đơn hàng hạn Gọi Y biến cố cơng ty hồn thành đơn hàng khơng hạn Ta có Y  A  B Vì A, B độc lập nên p(Y )  p( A) p( B)  0,1.0,15  0, 015 Lại có X  Y nên p( X )  p(Y )   p(Y )  0,985  98,5% Câu 42 Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ bên 10 D 72% Số nghiệm phương trình f 1  f  x    A B C D Lời giải Chọn C 1  f  x   2  f  x  Từ đồ thị ta có f 1  f  x       1  f  x    f  x   Cũng từ đồ thị ta có f  x   có nghiệm f  x   có ba nghiệm phân biệt nên số nghiệm phương trình f 1  f  x    Câu 43 Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số y   1;   mx  đồng biến khoảng xm A  2;1 C  2; 1 B  2;  D  2; 1 Lời giải Chọn C Tập xác định D   \ m Dễ thấy m  2 đồ thị hàm số suy biến thành đường thẳng y  2; x  2 suy m  2 Ta có y  m2   x  m  m  2  m   2;   Hàm số đồng biến khoảng  1;     m      m   2;1 m  1; +      m  1; +     Câu 44 Gọi S tập hợp giá trị nguyên m để đồ thị hàm số y  x2 x  x  2m có hai đường tiệm cận đứng Số phần tử S A Vô số B 12 C 14 D 13 Lời giải Chọn B  x  2 Điều kiện   x  x  2m  Đồ thị hàm số y  x2 x  x  2m có hai đường tiệm cận đứng phương trình x  x  m  có hai nghiệm phân biệt x  2 11 Với x  2 , phương trình x  x  2m   Đặt g  x    x2  6x  m  x2  6x , suy g   x    2 x   ; g   x    x  2 Ta có bảng biến thiên hàm số khoảng  2;    Dựa vào bảng biến thiên ta có Phương trình x  x  2m  có hai nghiệm phân biệt x  2 8  m  Mà m   , nên S  7;  6; ; 4 Vậy tập S có 12 phần tử Câu 45 Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vng cân C, AB  2a góc hai mặt phẳng  ABC    ABC  60 Gọi M , N trung điểm AC  BC Mặt phẳng  AMN  chia khối lăng trụ thành hai phần Thể tích phần nhỏ A 3a 24 B 6a C 6a 24 D 3a Lời giải Chọn A A' B' M C' 2a A I P 60° B N C Gọi I trung điểm AB AB  IC  AB   CIC   nên góc hai mặt phẳng  ABC     60  ABC  góc CIC Ta có IC  AB  a  CC   IC tan 60  a 12 Vẽ MP //AN  P  BC   P  BC    AMN  (  ABC  //  ABC  ) ba đường thẳng AM , NP, CC đồng quy điểm (Định lý giao tuyến ba mặt phẳng), ANC.MPC  khối chóp cụt, tam giác MPC đồng dạng với tam giác ANC với tỷ số đồng dạng Ta có a2 a2  S   SMPC   2 2   a a a a 1 3  CC  S  S   SS   a      a  3  24  AB  2a  AC  CB  a  S  S ANC   VANC MPC    Câu 46 Có giá trị nguyên m để phương trình log  mx   log B A C  x  1 vô nghiệm? D Lời giải Chọn D Xét tốn: Tìm m để phương trình log  mx   log log  mx   log 2  x  1 có nghiệm  x  1 1 Điều kiện x     mx   3 1  log  mx   log  x  12  mx   x  1  4 Phương trình 1 có nghiệm phương trình   có nghiệm thỏa mãn điều kiện   Xét phương trình   - Nếu x  vế trái phương trình 1 khơng xác định nên ta loại nghiệm x  - Nếu x     m  Xét hàm số f  x   f  x  x2  x  x x?  x  tập D   1;   \ 0 x x2 1 x2 f   x  không xác định x  f   x    x  1 13 Từ bảng biến thiên suy để phương trình cho có nghiệm m  m  Từ suy để phương trình cho vơ nghiệm  m  Vậy m  0;1; 2;3 phương trình cho vơ nghiệm Câu 47 Cho hàm số y  f ( x) xác định  , có đồ thị f ( x ) hình vẽ Hàm số g ( x)  f ( x3  x) đạt cực tiểu điểm x0 Giá trị x0 thuộc khoảng sau ? A 1;3 B  1;1 C  0;  D  3;   Lời giải Từ đồ thị f ( x ) , ta thấy f ( x ) đồng biến khoảng  0;  , suy f   x   0, x   0;  f ( x) nghịch biến khoảng  ;  f   x   0, x   ;0    2;    x3  x   x  Ta có g   x    x  1 f   x  x     x  x   x  Bảng xét dấu g   x  sau: Vậy g ( x)  f ( x  x) đạt cực tiểu x0    1;1 14  2;   , suy Câu 48 Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hàm số y  f   x  hình bên Số điểm cực tiểu hàm số g  x   f   x  x  A B C D Lời giải Chọn A Dựa vào đồ thị hàm số y  f   x   f   x   ax  x   (với a  ) g  x   f   x  x   g   x    2 x  1 f    x  x   a  2 x  1   x  x   x  x     x     x  Vì a  nên ta có bảng biến thiên hàm số y  g  x  sau: x    Dựa vào bảng biến thiên  Hàm số g  x   f   x  x  có điểm cực tiểu Câu 49 Cho hình lập phương ABCD AB C D  có cạnh a Gọi M , N , P, Q, R, S tâm mặt hình lập phương Thể tích khối bát diện tạo sáu đỉnh M , N , P , Q, R, S A a3 24 B a3 C a3 12 Lời giải Chọn D 15 D a3 Ta có S MNPQ  1 a3 1 S FEHG  S ABCD ; V  VR MNPQ  VS MNPQ  RS S MNPQ  V ABCD ABCD  6 2  3x  y   Câu 50 Cho x, y số thực dương thỏa mãn log     x  y  1 x  y  1   xy  1  x y  5x  y  Giá trị lớn biểu thức P  2x  y 1 A B C D Lời giải Chọn C  3x  y   Ta có log     x  y  1 x  y  1   xy  1  x y   3x  y   2  log    log 2   x  y    3x  y  4  x y    3x  y      x  y    3x  y    log    x2  y     log  x  y     x  y    log 2  x  y    x  y  , *   0, t  nên hàm số f  t  đồng biến t ln  0;   *   x  y   x  y  Hàm số f  t   log t  t có f   t   Ta có  x  y     x  y    x  y  x  y     x  y    x  y     1  x  y    x  y 1   2x  y 1  Do P  5x  y  x y4  2  2x  y 1 2x  y  Vậy max P   x  y  16 ... tốt 90%, hệ thống thứ hai hoạt động tốt 85% Cơng ty hồn thành đơn hàng hạn hệ thống máy may hoạt động tốt Xác suất để cơng ty hồn thành đơn hàng hạn A 98% B 2% C 80% Lời giải Chọn A Gọi A biến... B)  0,85  p(A)  0,1 , p ( B)  0,15 Gọi X biến cố công ty hoàn thành đơn hàng hạn Gọi Y biến cố cơng ty hồn thành đơn hàng khơng hạn Ta có Y  A  B Vì A, B độc lập nên p(Y )  p( A) p( B)... , suy Câu 48 Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hàm số y  f   x  hình bên Số điểm cực tiểu hàm số g  x   f   x  x  A B C D Lời giải Chọn A Dựa vào đồ thị hàm số y  f  