Trạng thái của các hạt vi mô

MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vào kỉ 19 đầu kỉ 20, xuất vật lí lượng tử thuyết tương đối cách mạng vật lí học Nó sở khoa học nhiều lĩnh vực công nghệ cao công nghệ vi điện tử, công nghệ viễn thông, công nghệ quang lượng tử công nghệ vi điện hóa, cơng nghệ thơng tin…Vật lí lượng tử đời 1900, MaxPlank đề xuất giả thuyết tính gián đoạn xạ điện từ phát từ vật-giả thuyết lượng tử - để giải thích kết thực nghiệm xạ nhiệt vật đen Trong vật lí lượng tử, học lượng tử có vai trò chủ đạo Cơ học lượng tử nghiên cứu quy luật chuyển động hạt vật chất giới vi mô Trong giới vi mơ trạng thái hạt khơng cịn mơ tả thông số động lực tọa độ, xung lượng…mà thay vào trạng thái hạt mơ tả hàm sóng, sóng vật chất ứng với lượng xác định Hiện tài liệu giới vi mơ ít, điều gây khó khăn cho bạn sinh viên.Vì chọn giới vi mô làm đề tài nghiên cứu mình.Với nội dung “ Trạng thái hạt vi mô” muốn sâu vào nghiên cứu đại lượng động lực, công cụ giới vi mô Thông qua đề tài mong muốn luận văn tổng hợp nhiều kiến thức từ tài liệu khác tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu trạng thái hạt vi mô Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt mục đích nghiên cứu đề cần thực nhiệm vụ sau: - Tìm hiểu sở đời vật lí lượng tử - Tìm hiểu đại lượng động lực mơ tả trạng thái hạt - Tìm hiểu chuyển động hạt vi mô số trường hợp Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu quy luật vật lí lượng tử Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp vật lí lí thuyết vật lý tốn Cấu trúc khóa luận - Khóa luận gồm có chương: Chương 1: Những sở đời vật lí lượng tử Chương 2: Những đại lượng động lực mô tả trạng thái hạt vi mô Chương 3: Trạng thái hạt vi mô số trường lực NỘI DUNG CHƯƠNG 1: NHỮNG CƠ SỞ RA ĐỜI CỦA VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 1.1 Bế tắc lý thuyết cổ điển Theo quan niệm cổ điển loại tia xạ (tia hồng ngoại, ánh sáng, tia tử ngoại, tia Ronghen, tia Gamma) sóng điện từ lan truyền khơng gian Năng lượng sóng tỷ lệ với bình phương biên độ biến đổi liên tục Sau ta xét số tượng khơng thể giải thích lý thuyết cổ điển như: tính bền vững nguyên tử, quy luật xạ vật đen,… Từ cần phải xây dựng khái niệm để giải thích chúng 1.1.1 Bức xạ vật đen Xét xạ cân có tần số góc từ  đến   d Năng lượng xạ chứa đơn vị thể tích khơng gian tỷ lệ với d có biểu thức là:   ,T  d Công thức Rêlây:   ,T   2 kT  c3 (1.1) Với c vận tốc ánh sáng chân không, k số Bonzoman, T nhiệt độ xạ cân Công thức Rêlây phù hợp với thực nghiệm phạm vi tần số góc  nhỏ nhiệt độ T tương đối lớn Nhưng tần số lớn cơng thức cho kết phi lý Ta thấy điều tính lượng tồn phần  xạ (tức lượng xạ toàn phổ liên tục, từ tần số thấp đến tần số cao) chứa đơn vị thể tích khơng gian:       , T d  kT   2c 3  (1.2) Năng lượng  vơ cực Đó điều khơng thể thừa nhận Sự thất bại việc vận dụng công thức Rêlây (1.1) vào miền tần số lớn gọi “ tai biến miền tử ngoại” 1.1.2 Tính bền vững nguyên tử Nếu áp dụng định luật vật lý cổ điển cho electron chuyển động xung quanh nguyên tử dẫn đến kết sau đây: Nguyên tử ln xạ, tần số xạ có giá trị liên tục, nói cách khác phổ xạ nguyên tử liên tục Vì nguyên tử phát xạ nên lượng nguyên tử giảm liên tục, bán kính quỹ đạo electron giảm Sau thời gian ngắn vào khoảng 10-10 giây, electron rơi vào hạt nhân nguyên tử bị biến đổi Các kết mâu thuẫn với thực nghiệm, bình thường ngun tử khơng phát xạ, bị kích thích ngun tử phát xạ mà tần số có giá trị xác định (phổ gián đoạn), nguyên tử bền vững tượng electron rơi vào hạt nhân 1.1.3 Hiệu ứng quang điện Nếu ta chiếu ánh sáng vào mặt kim loại làm bật electron mặt kim loại ngoài, tượng phát lần vào năm 1887 Các kết thực nghiệm thu là: Có hiệu ứng ngưỡng: dịng quang điện xuất tần số  ánh sáng không nhỏ giá trị ngưỡng  giá trị  phụ thuộc vào chất liệu bị chiếu sáng Vận tốc điện tử độ lớn hãm không phụ thuộc vào cường độ mà phụ thuộc vào tần số ánh sáng thiết bị chiếu sáng Với    cường độ dòng quang điện bão hòa tỷ lệ thuận với cường độ ánh sáng gây hiệu ứng quang điện Không thể giải thích phát quan niệm cho ánh sáng túy sóng, lượng sóng thay đổi liên tục, chiếu ánh sáng đủ mạnh, không quan trọng tần số ánh sáng bao nhiêu, điện tử nhận lượng lớn cơng tối thiểu (cịn gọi cơng thốt) kim loại để ngồi chuyển động nhanh cường độ chiếu sáng lớn, điều hoàn toàn trái ngược với kết thực nghiệm 1.2 Các giả thuyết 1.2.1 Giả thuyết Plăng Để giải thích điều phi lý tượng xạ vật đen nói trên, năm 1900 Plăng đưa giả thuyết sau: dao động tử điều hịa có tần số(góc) riêng  có lượng gián đoạn, giá trị số nguyên lần đại lượng  , gọi lượng tử lượng( hay lượng tử) Ứng với tần số góc  , giá trị  là:    Nếu viết công thức tần số    / 2 biểu thức lượng tử lượng là:    (1.4) Xuất phát từ giả thuyết Plăng dùng phương pháp vật lý thống kê ta chứng minh công thức cho mật độ lượng xạ:   , T     2c e  kT (1.5) 1 Cơng thức phù hợp tốt với thực nghiệm Nó bao gồm công thức Rêlây trường hợp riêng 1.2.2 Thuyết lượng tử Anhstanh( Thuyết Photon) Để giải thích kết thực nghiệm hiệu ứng quang điện Anhstanh năm 1905 mở rộng thuyết lượng tử Plăng đề xuất thuyết lượng tử ánh sáng ( cịn gọi thuyết photon) thừa nhận tính chất hạt ánh sáng Theo Anhstanh, ánh sáng chùm hạt gọi lượng tử ánh sáng hay photon chuyển động chân không với vận tốc c hệ quy chiếu quán tính Tính chất hạt photon thể qua lượng E xung lượng p liên hệ với tần số  vecto sóng k công thức: E  h , p  h k 2 (1.7) Giữa lượng xung lượng photon có hệ thức: (1.8) E  cp Suy từ hệ thức tần số vecto sóng ánh sáng tương ứng: k  2  c  2 (1.9)   bước sóng ánh sáng Theo thuyết photon hiệu ứng quang điện hệ va chạm photon với điện tử kim loại mà toàn lượng photon truyền cho điện tử sau bứt khỏi kim loại Kí hiệu cơng A0 , vận tốc điện tử sau bứt khỏi kim loại  khối lượng nghỉ điện tử m Trong kim loại điện tử - A0 Theo định luật bảo toàn lượng: h  A0  m 2 (1.10) Hiệu ứng quang điện xảy   , nghĩa tần số ánh sáng không nhỏ giá trị ngưỡng  đó,    A0 h (1.11) Những điều giải thích kết thực nghiệm thứ hiệu ứng quang điện Từ đẳng thức (1.10) suy vận tốc điện tử không phụ thuộc vào cường độ mà phụ thuộc vào tần số ánh sáng thiết bị chiếu sáng   h  A0  m (1.12) Hoàn toàn phù hợp với kết thực nghiệm thứ hai Đối với hãm Vì eV0  m (e giá trị tuyệt đối điện tích điện tử) nên theo hệ thức (1.10) (1.11), eV0  h    (1.13) Hệ thức (1.13) cho phép xác định số Plăng cách nghiên cứu thực nghiệm phụ thuộc hãm vào tần số ánh sáng loại kim loại định Thuyết photon cịn giải thích kết thực nghiệm thứ ba tượng quang điện 1.2.3 Thuyết lượng tử Bo (Bohr) Để giải thích tượng bền vững nguyên tử phổ phát xạ gián đoạn nguyên tử bị kích thích, Bo đưa giả thuyết lượng tử, áp dụng ( với học cổ điển) cho nguyên tử thu kết phù hợp với thực nghiệm Nội dung thuyết Bo là: Năng lượng E nguyên tử có giá trị gián đoạn: E  E1 , E2 , , En , (1.14) Khi nguyên tử chuyển từ trạng thái có lượng En sang trạng thái có lượng Em nguyên tử phát xạ hiệu lượng trạng thái đầu En lượng trạng thái cuối Em Nếu gọi nm tần số góc xạ phát ta có: nm  En  Em (1.15) Giả thuyết Bohr bước dùng thuyết lượng tử để nghiên cứu ngun tử Với tính tốn dựa sở học cổ điển mẫu nguyên tử Bo người ta thu nhận kết phù hợp với thực nghiệm CHƯƠNG NHỮNG ĐẠI LƯỢNG ĐỘNG LỰC MÔ TẢ TRẠNG THÁI CỦA HẠT VI MƠ 2.1 Các đại lượng động lực tốn tử 2.1.1 Các toán tử tọa độ Xét hạt chuyển động trục x, trạng thái hạt mô tả hàm sóng   x  ( chuẩn hóa) Tốn tử tọa độ x phải Hermite có dạng để trung bình tọa độ cho công thức: x    x dx (2.1) Nếu gọi   x  mật độ xác suất để tọa độ có giá trị x trị trung bình x là:   x     x      x   x  Vậy : x   x   x   x  dx Từ (2.1) (2.3) ta có: (2.2) (2.3) x  x Như toán tử x phép nhân với x : x  x Tương tự,khi hạt chuyển động khơng gian có tốn tử tọa độ :  x  x   y  y   z  z       y j  zk  Kết Ba toán tử x , y, z lập thành toán tử vecto bán kính r  xi việc tác dụng tốn tử tọa độ lên hàm tọa độ thời gian việc nhân đơn tọa độ với hàm      r r , t  r r , t   , r , t       (2.4)  Như hàm toán tử r toán tử :      U r  r, t  U r  r, t   r, t         Có thể mở rộng cho hệ nhiều hạt :         U r1 , , rn  r1 , , rn , t  U r1 , , rn  r1 , , rn , t        (2.5)  (2.6) 2.1.2 Các tốn tử xung lượng  Đối với hạt vi mơ có xung lượng p lượng E chuyển động tự   Et  pr  hàm sóng có dạng :    exp  i      Ta xét toán tử px : px  px (2.7) Muốn ta phải chọn : px  i  x (2.8) Thực :   Et  pr     i  exp  i  x        Et  pr   i   i   px  exp  i   px       Tương tự : p y  i   , pz  i y z Tóm lại : (2.9)    p  px i  p y j  pz k         i  i  j  k  y z   x (2.10) 2.1.3 Các toán tử moment xung lượng Trong học cổ điển, hạt chuyển động quỹ đạo cong điểm    có vecto bán kính r , xung lượng p , có moment xung lượng L :    Lr p  Hình chiếu vecto L lên trục tọa độ có biểu thức sau :  Lx  ypz  zp y   Ly  zpx  xpz  L  xp  yp y x  z (2.11)    r  p  i r   Như toán tử moment xung lượng hạt L   tốn tử hình chiếu moment xung lượng hạt có dạng :         L x  y p z  z p y  i  y  z  y   z           L y  z p x  x p z  i  z  x  z   x    z  x p  y p  i  x   y   L y x  y x    (2.12)  Ba đại lượng ba thành phần tốn tử L Cịn tốn tử bình phương moment xung lượng :   LL   L  2x  L  2y  L  2z L (2.13) 2.1.4 Toán tử lượng Trong học cổ điển, lượng toàn phần biểu diễn qua tọa độ x xung lượng p theo biểu thức sau đây: 10  A    B   F  iq  G  iq  1    1   2 k  2 k F  iq  G  iq  1    1   2 k  2 k Từ (3*) (4*) ta có : F  ik  C ika qa  ik  C e   G  eika  qa 1    q q   Thay G F vào A ta có : A C ika qa  iq   ik  C ika  qa  iq   ik  e 1   1    e 1   1   k  q k  q   Ta có :  tq  x   Ceikx   tq  x   ikCeikx ;  tq  x   ikCeikx Mật độ dòng truyền qua : J tq   2  2k * *         A k  C   2m 2mi m Hàm sóng tới :  i  x   Aeikx   i  x   ikAeikx ;  i*  x   ikAe  ikx 2 A2  k Jt  2A k  2m m Mật độ dòng tới : Hệ số truyền qua : T J tq Jt  C A 2  eika qa  iq   ik  eika  qa  iq   ik  1   1    1   1    k  q  k  q eika qa  iq   ik  eika  qa  iq   ik  M 1   1    1   1    k  q  k  q 1  k q   eika   e  qa  eqa    e  qa  e qa       q k  2 36 1  k q   M    e qa  e qa    e qa  e qa       q k  2 2  k2 q2    1     sh qa 2  4q 4k Thay kết vào T ta tìm : T   k q  1    sh qa q k   k q 1   sh qa kq   Do T>0 nên hạt có lượng EU0 tới hàng rào từ bên trái Khi miền x→∞ với U(∞)=U0 có sóng truyền qua  n miền x→-∞ với U(∞) có sóng tới sóng phản xạ  px I II U0 x 37 Phương trình Schrodinger miền I miền II có dạng : d 2 I  x  d 2 II  x   k1  I  x   0,  k22 II  x   2 dx dx 2mE 2 2m  E  U  k22  2 k12  Trong : Nghiệm  I  x   II  x  :  I  x   eik x  Be ik x , II  x   Aeik x 1 Các sóng tới  t  x  , sóng phản xạ  px  x  sóng truyền qua  q  x  có :  t  x   eik x , px  x   eik x , q  x   Aeik x Khi J t  k1 k k , J px   B , J q  A Các hệ số phản xạ R m m m hệ số truyền qua xác định : R J q k2 Jm  B ,D   A Jt Jt k1 Muốn chứng minh hệ thức R+T=1 ta sử dụng định luật bảo toàn số hạt nghĩa dùng phương trình liên tục :    divJ  t Bài toán xét dừng nên  2 không phụ thuộc vào thời gian t   J t  hay  divJ  Trong trường hợp chiều x t J x  const Ta có : 38 J x   J t  J px  J x   J q  k1 k1  B m m k 2 A m Từ điều kiện J x  const hay J x  J x  suy k1 k1 k2  B  A m m m Hay R+T=1 3.1.2 Chuyển động hạt hố chiều Xét hạt có khối lượng m chuyển động trường có dạng : 0  x  a,0  y  b,0  z  c U  x, y , z     x  0, x  a, y  0, y  b, z  0, z  c Phương trình Schrodinger hạt chuyển động giếng có dạng 2   2 2       x, y, z   E  x, y, z  2m  x y z  Đặt   x, y, z     x   y   z  Thay vào phương trình chia hai vế cho   x, y, z  ta :   z   x   2  y      y   z   2  x       x   y   z  y     x   y   z  x E    2m   x   y     z       x   y   z  z  2 2     x     y   z       E1  E2  E3 2m   x  x   y  y   z  z       x   2    x  Hay  E   E1  x    2m   x  x  m x 2       y       E2 Hay 2m   y  y  39 2    y    E2  y  m y 2      z       E3 Hay 2m   z  z  2    z    E3  z  2m z 2   x   A1 sin k1 x  B1 cos k1 x Các nghiệm :   y   A2 sin k y  B2 cos k2 y   x   A3 sin k3 z  B3 cos k3 z Dùng điều kiên biên :   0, y, z     x,0, z     x, y,0   B    a, y, z     x, b, z     x, y, c  n1 n n ; k1  ; k1  a b c n n n    x   A1 sin x;  y   A2 sin y;  z   A3 sin z; a b c  k1  Chuẩn hóa hàm sóng : a a   x   x  dx   A  sin Tương tự : A2  n1 x dx   A1  a a 2 ; A3  b c n n n sin x;  y   sin y;  z   sin z a a b b c c   x   Thay   x  vào E1  2 a  n1    n1  E1       2m a  a  2m  a    n2    n3  Tương tự : E2    ; E3    2m  b  2m  c     x, y , z     x   y   z   n x ny nz sin sin sin abc a b c 40 E  E1  E2  E3 2   n1   n2   n3           2m  a   b   c    2  n12 n22 n32       2m  a b c  n1,n2,n3=1,2,3… → Năng lượng hạt giếng ba chiều gián đoạn Các giá trị n1=0, n2=0 n3=0 dẫn đến  n n n  xác suất tìm thấy hạt điểm giếng Điều mâu thuẫn với toán cho hạt điểm giếng Vậy giá trị n1=0, n2=0 n3=0 bị loại Khi thay n1   n1 , n2   n2 , n3   n3 hàm sóng đổi dấu Hai hàm sóng khác dấu mơ tả trạng thái hạt Vậy cần lấy giá trị dương nguyên n1,n2 đủ 3.2 Chuyển động hạt vi mô trường lực 3.2.1 Nguyên tử H2 3.2.1.1 Phổ lượng Xét hệ lượng tử gồm điện tử mang điện tích –e khối lượng m chuyển động trường tĩnh điện hạt nhân mang điện tích Ze, có khối lượng M Bài tốn hệ hai hạt quy hạt mang điện tích –e có khối lượng   mM , khối lượng rút gọn hệ hai hạt m  M  điện tử - hạt nhân, chuyển động trường tĩnh điện điện tích điểm Ze Chọn vị trí điện tích điểm làm gốc tọa độ, Hamilton hạt có khối lượng µ  2 Ze H    2 4 r  41 Trong tọa độ cầu :       2  Ze H  r  L  2  r r  r  r  4 r   Trong L2 tốn tử bình phương momen xung lượng quỹ đạo   2  2 L     cot   Lz   sin     2 Với toán tử hình chiếu moment quỹ đạo Ta tìm lời giải  nlm  r , ,  phương trình Schrodinger  H  nml  r , ,   E nml  r , ,  (1.2)  nlm  r , ,   Rnl  r  Ylm  ,  Ta đặt (1.3) Với Ylm  ,  hàm cầu Thay (1.1) (1.2) vào (1.3) sau chia hai vế cho RY ta : 2  d  dRnl L Ylm  r Ylm Rnl dr  dr Ze   2   r E    4 r    (1.4) Vì vế trái (1.4) phụ thuộc vào  , ; vế phải phụ thuộc vào r nên  hai vế số β Tức L2 Ylm  ,    Ylm  ,  Và  d  dRnl   Ze  2    r    2 r  E   Rnl  r   dr  dr   4 r     Mặt khác : L2 Ylm  ,    2l  l  1 Ylm  ,  Do phương trình hàm xuyên tâm :  d  dRnl  r     r  Ze  r  E   l  l  1  Rnl  r        dr  dr     4 r   (1.5) Trước tiên ta xét trạng thái liên kết điện tử với lượng E