Biểu diễn dao động tử của đại số SU(3)

LỜI CẢM ƠN Trước tiên, lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo GS TSKH Đào Vọng Đức – người hướng dẫn bảo tận tình cho em suốt thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy khoa Vật Lí – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện tốt để giúp em hồn thành khóa luận Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới tất bạn bè, người giúp đỡ, động viên em suốt q trình nghiên cứu để hồn thiện khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hường LỜI CAM ĐOAN Trong q trình nghiên cứu khóa luận: “Biểu diễn dao động tử đại số SU(3)” em thực cố gắng tìm hiểu, học tập nghiên cứu đề tài để hồn thành khóa luận Em xin cam đoan khóa luận khơng trùng lặp với đề tài khác, hoàn thành nỗ lực thân em với hướng dẫn bảo tận tình GS TSKH Đào Vọng Đức Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hường MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG TỬ 1.1 Dao động tử điều hòa 1.1 Biểu diễn dao động tử vi tử SU(2) 1.2 Thống kê dao động tử điều hòa 13 CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐAI SỐ SU(3) 2.1 Đại số SU(3) 16 2.2 Biểu diễn dao động tử đại số SU(3) 24 CHƯƠNG 3: SỰ GẦN ĐÚNG CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG SU(3) 3.1 Đa tuyến nhóm SU(3) 31 3.2 Hệ thức khối lượng hạt 41 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm gần đây, việc nghiên cứu Vật lí vi mơ nói chung lí thuyết hạt nói riêng tạo nên sở giới quan Vật lí để lý giải chất hạt vi mô mặt cấu trúc tính chất chúng Cùng với phát triển lịch sử lồi người, Vật lí học trải qua nhiều giai đoạn phát triển đạt nhiều thành tựu quan trọng Ngày nay, Vật lí học đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô vật chất, người ta thấy ngồi quy luật tìm Vật lí cổ điển xuất quy luật Nghiên cứu Vật lí hạt cho phép hiểu nguyên lí tự nhiên hình thành phát triển vũ trụ Hạt thực thể Vật lí nhỏ tạo nên dạng thực thể Vật lí khác theo lí thuyết hành Các hạt tìm thấy e, p, n, photon Ngày nay, người ta biết 200 loại hạt số tiếp tục tăng lên Khi sâu vào nghiên cứu hạt bản, người ta thấy hạt chưa phải “thực bản” mà cịn cấu tạo từ hạt quark Cho đến quark coi viên gạch xây dựng nên giới vật chất Sau hình thành mẫu quark, hiểu biết nhóm Lie trở thành cần thiết cho việc nghiên cứu Lí thuyết hạt Nhóm Lie trở thành công cụ chủ yếu Vật lí lí thuyết đại giải tích phức, phương trình vi phân riêng, lí thuyết nhóm vơ hạn,… Đại số Lie xuất lâu song gần địi hỏi ứng dụng nghiên cứu Vật lí mà V.I.Drinfeld lượng tử hóa đại số nhóm Lie, làm nảy sinh cấu trúc đại số biến dạng hay gọi đại số lượng tử Đề tài “Biểu diễn dao động tử đại số SU(3)” nằm hướng nghiên cứu này, với hy vọng góp phần hiểu biết đầy đủ giới xung quanh, đặc biệt giới hạt vi mơ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu dao động tử, đại số SU(3) biểu diễn dao động tử đại số SU(3) Đối tượng nghiên cứu Lí thuyết đối xứng, biểu diễn dao động tử đại số SU(3) Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu dao động tử, biểu diễn, tính thống kê dao động tử Nghiên cứu nhóm đối xứng SU(3), gần lí thuyết đối xứng SU(3), đại số SU(3) biểu diễn dao động tử đại số SU(3) Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp Vật lí lí thuyết - Phương pháp lí thuyết nhóm đối xứng CHƯƠNG DAO ĐỘNG TỬ 1.1 Dao động tử điều hòa Trước hết làm rõ định nghĩa toán tử a  , a, N hệ tốn tử Boson Trong khơng gian Hilbert ta định nghĩa toán tử a thỏa mãn:  a, a    (1.1) Ta xây dựng toán tử N: N  a  a  N có tính chất :  N  N  Xác định dương   N , a   a  N , a    a   N   aa  (1.2) Gọi n véctơ riêng toán tử N với trị riêng n khơng gian Hilbert: Ta có: N n n n Na n   n  1 a n Na  n   n  1 a  n Trong đó: a tốn tử hủy a+ toán tử sinh N toán tử số hạt Vậy: .a n , a n , n , a  n , a 2 n , dãy véctơ riêng toán tử N tương ứng với giá trị riêng: .n  2, n  1, n, n  1, n  2, Vì N tốn tử xác định dương (các trị riêng phải khơng âm) nên dãy có kết thúc cận Giá trị riêng cận n  Vì ta định nghĩa vecto đặc biệt khơng gian Hilbert có tính chất sau: a 0 0 1 trạng thái chân không Ta có: N  nên véctơ riêng N với trị riêng không Dãy tốn tử a+ tác dụng lên chân khơng , a  , a 2 , a  n , (1.3) Dãy (1.3) dãy véctơ riêng N ứng với trị riêng: 0, 1, 2, n,… Mỗi lần tác động toán tử a hay a+ lên dãy (1.3) ta lại phần tử khác dãy Có thể chuẩn hóa dãy (1.3) thành dãy véctơ riêng sau: n a   n! n n   nn n  (1.4) Tóm lại lấy khơng gian tác dụng tốn tử boson a a+ khơng gian Hilbert số chiều gồm véctơ trực chuẩn (1.4) Các véctơ véctơ riêng toán tử số hạt N Tương tự, ta định nghĩa hệ toán tử boson: , ai  i  1, N  thỏa mãn: a , a i  j Định nghĩa toán tử số hạt: N i  ai Chân không:  0,0, ;    ij ; ;  , a j    N i , N j    Véctơ riêng trực chuẩn: n  n1 , n2 , , nN  n1 i a   . a N  n1 ! nN ! nN N i n  ni n 1.2 Biểu diễn dao động tử vi tử SU(2) Bây xét xem biểu diễn đại số Lie qua tốn tử Boson khơng? Muốn ta giả sử có tốn tử boson (i=1, 2)  , a j    ij (1.5)  , a j   Theo định nghĩa: N i  ai Các véctơ riêng: n1 , n2 ;  n1  N i , N j    n2 a  a   n1 !n2 ! (1.6) Xét toán tử: a    a1 a2  i     a2  Ji  Trong đó:  i  i  1, 2, 3 ma trận Pauli: 0 1  i   1  ;2   ;3      1 0 i   1 1   Nghĩa là: J1   a1 a2  a2 a1    a1 a2  a2 a1   J   a1 a2  a2 a1  J2  (1.7) Dựa vào hệ thức giao hoán (1.7) ta hệ thức giao hoán Ji:  J i , J j   i ijk J k Đây đại số Lie, biểu diễn đại số Lie qua tốn tử Boson, tức (1.6) véctơ khơng gian Hilbert biểu diễn Vấn đề đặt từ khơng gian biểu diễn (1.6) ta tìm không gian bất khả quy Muốn ta xét toán tử Causimir: C  J12  J 22  J 32 Đặt: J  (1.8) 1  N1  N    a1 a1  a2 a2  2 (1.9) Ta được: C  J  J  1 (1.10) Đối với biểu diễn bất khả quy tốn tử Causimir có giá trị xác định từ (1.9) ta thấy đặc trưng cho biểu diễn đại số Lie giá trị riêng tốn tử J mà ta kí hiệu j Theo định nghĩa Ni từ (1.9): j   n1  n2  (1.11) Ta thấy j số nguyên tố bán nguyên, không âm Để xác định véctơ riêng không gian Hilbert (1.6) biểu diễn bất khả quy đại số Lie, ta nhận xét biểu diễn phải xác định giá trị riêng (do không gian chung xác định số n1 , n2 ) Ta nhận xét toán tử J giao hoán với toán tử J (tức có giá trị riêng xác định) Ta kí hiệu trị giá riêng m từ định nghĩa J ta có: m  n1  n2  (1.12) Vậy biểu diễn bất khả quy đại số Lie không gian véctơ sở (1.6) đặc trưng j m liên hệ với n1 , n2 sau: n1  j  m ; n2  j  m Từ không gian véctơ sở biểu diễn bất khả quy là:  j, m   jm a  a    j m  j  m ! j  m ! Từ (1.11) (1.12) ta thấy với j xác định m lấy j  giá trị: m  j , j  1, ,  j  1,  j Vậy không gian biểu diễn bất khả quy j  chiều Tiếp theo biểu điễn số hạt dao động từ điều hòa Hamiltonaian dao động tử điều hịa có dạng: ћ2 d 2 H   kx 2m dx 2 (1.13) Để thuận tiện cho việc viết cơng thức ta thay tốn tử tọa độ x xung lượng i d tốn tử tọa độ xung lượng tắc mới: dx i x  qˆ  mx d dx  pˆ  i  d m dx ˆ ˆ  qp ˆˆ Hệ thức giao hoán pˆ , qˆ là:  pˆ , qˆ   pq Mà pˆ  i d ; qˆ  mxˆ nên ta có: m dx i d d mxˆ  i  xˆ  dx m dx d  i d  ˆ ˆ  mxˆ   qp    ixˆ  dx m dx   ˆ ˆ  pq Thay vào ta có: d dx  pˆ , qˆ   i  xˆ    ixˆ  d   dx  d d  xˆ  xˆ  dx   dx  pˆ , qˆ   i    d  pˆ , qˆ   i  , x   i dx    1  ˆ ˆ  qp ˆ ˆ  i  Vậy : [pˆ , qˆ ]  pq (1.14) 10 Như ta biết có khả τ a sễ có nhiêu biểu diễn: i  M a ,Ψi   Ψ  j  τ a  j  Chọn τ a  λa ;λ a ma trận Gell – Manm Lúc hạt hợp thành biểu diễn sở nhóm SU(3) Đó hạt quark (u, d, s): i λ   M a ,Ψ   Ψ  a   j  i  Chọn τ a  Fa j  a  1,8;  Fa bc  if abc ; Với: Fa ma trận vuông cấp  Fa bc phần tử ma trận hàng b cột c Khi hạt lập thành biểu diễn quy SU(3) nếu: i  M a ,Ψi   Ψ  j  Fa  j Từ thực nghiệm ta thu đa tuyến sau:  Tuyến Baryon J   p p Σ 12 I I3 n 12 Σ0 Σ Ξ0 12 1 Ξ 12 λ 1 Y -1 S -1 -2 -1 36  Tuyến Meson với J p  0 K π π0 12 I I3 K0 12 °0 K π 12 1 K -1 12 η 1 Y -1 S -1 Đối với Meson B=0 nên Y=S Các đa tuyến biểu diễn khác nhóm đối xứng SU(3) (biểu diễn quy) 3.1.1 Biểu diễn hạt Baryon J   p Nếu hạt Baryon lập thành biểu diễn quy SU(3) hàm trường tương ứng chúng phải biến đổi sau: i  M a ,Ψi   Ψ  j  Fa  j  M a ,Ψi   Ψ  j  if aji    Biểu diễn Baryon: J  : p, n,   ,  ,   ,  ,   ,  p Các hàm sóng tương ứng với hạt:    i         i      1  i    0   p     i   0     i      1  i     8 ; n  ; ; ; Các hệ số đứng trước tìm từ điều kiện chuẩn hóa 37 Muốn chứng minh việc gán hoàn toàn hợp lí, ta dùng hàm trường vừa gán để tìm spin đồng vị siêu tích so sánh với thực nghiệm  Đối với proton: * Hàm sinh proton là:  p   4  i 5  Ta có:     M ,  p    M ,  4  i 5      i  M ,  4    M ,  5   2 j i    if3 j     j  if3 j  2 5 i    if 354    4  if345  2   1 i 1    i       4  i    2  2 2 1   4  i 5    p  2 Vậy thành phần thứ (I3) spin đồng vị (hình chiếu spin đồng vị) proton  Phù hợp với thực nghiệm *Tính siêu tích Ở ta đồng M với tốn tử siêu tích nên ta viết M  c.Y Để tìm tốn tử siêu tích Y ta phải tìm c Để tìm c ta công nhận hàm trường mô tả trạng thái sinh proton là:  p   4  i 5  cơng nhận siêu tích proton  Ta có:  M ,  p   c Y ,  p   c p 38 i    M ,  p    M ,  M ,  4    M ,  5   c p  4  i 5     2   j i    F8  j    j  F8  j  c p 2 j i    if8 j     j  if8i   c p 2 5 i    if854    4  if845   c p 2     i  4    i 5   c p  2 2 2   p  c p 3 c  M  cY  Y Y  M8 2   Đối với notron: Hàm trường mô tả trạng thái sinh notron là:  n  *Ta có:  6  i 7      M ,  n    M ,  6  i 7      i  M ,  6    M ,  7  2 j i    F3  j    j  F3  j 2 j i    if3 j     j  if j  2 7 i    if 376    6  if 367  2 1   6  i 7     n  2   1 Vậy hình chiếu Spin đồng vị notron     2 39 *Tính siêu tích: 2   Y ,  n    M ,  n   M8,  6  i 7     3   M ,  6   i  M ,  7   2    j  if8 j     j  if8 j  2   7  if876    6  if867            6   i        i 7   1. n  2  Siêu tích hạt notron Vậy giá trị hình chiếu Spin đồng vị siêu tích notron phù hợp với thực nghiệm  Đối với hạt Σ  : Hàm trường mô tả trạng thái sinh hạt Σ  là:     *Ta có:    M ,       M , 1  i 2      i  M , 1    M ,  2  2 j i    F3  j    j  F3  j 2 2 i    if 321    1  if312  2  1  i 2   1.     Vậy hình chiếu Spin đồng vị Σ  40 1  i 2   *Tính siêu tích: 2   Y ,       M ,      M8, 1  i 2     3   M , 1   i  M ,  2   2    j  if8 j1     j  if8 j  2      0.       Siêu tích hạt Σ  Vậy giá trị hình chiếu Spin đồng vị siêu tích Σ  phù hợp với thực nghiệm Tính tốn hồn tồn tương tự ta thấy giá trị hình chiếu Spin đồng vị siêu tích hạt cịn lại phù hợp với thực nghiệm Vì hàm sóng  gán cho hạt hoàn toàn phù hợp  Baryon J  lập thành p biểu diễn quy nhóm SU(3) 3.1.2 Biểu diễn Meson J p   : K  , K , K  ,   ,  ,   , K , Hàm trường cho Meson gán sau:    i      i  K  K ;    i      i  K0  ;     ;     ;  1  i   3 K  1  i     Các hệ số đứng trước tìm từ điếu kiện chuẩn hóa 41  Đối với hạt K : Hàm trường mô tả trạng thái sinh hạt K là:  K  *Ta có:  6  i 7      M ,  K    M ,  6  i 7      i  M ,  6    M ,  7  2 j i    F3  j    j  F3  j 2 j i    if3 j     j  if j  2 7 i    if 376    6  if367  2  1 i  1    i      6  i     2 2  2 1   6  i 7     K  2   1 Vậy hình chiếu Spin đồng vị hạt K     2 *Tính siêu tích: Ở ta đồng M với tốn tử siêu tích tìm hệ thức sau: M  Y Ta có: 2   Y ,  K    M ,  K   M ,  6  i 7     3   M ,  6   i  M ,  7   2    j  if8 j     j  if8 j      42   7  if876    6  if867        i   6         i 7   1. K  2  Siêu tích hạt K Vậy giá trị hình chiếu Spin đồng vị siêu tích hạt K phù hợp với thực nghiệm  Đối với hạt π  : Hàm trường mô tả trạng thái sinh hạt π  là:    1  i 2      M ,      M , 1  i 2     *Ta có: i  M , 1    M ,  2  2 j i    F3  j    j  F3  j 2 2 i    if321    1  if 312  2 1   i 2  1  1  i 2   1.   2  Vậy hình chiếu Spin đồng vị π  2    M ,     *Tính siêu tích: Y ,     M8, 1  i 2     3     M , 1   i  M ,  2    j  if8 j1     j  if8 j   0.       Siêu tích hạt π  43 Vậy giá trị I3, Y π  phù hợp với thực nghiệm Tính tốn tương tự ta thấy giá trị I3, Y hạt cịn lại phù hợp với thực nghiệm Vì hàm sóng gán cho hạt phù hợp  Meson J p  0 lập thành biểu diễn quy nhóm SU(3) 3.2 Hệ thức khối lượng hạt 3.2.1 Sự phá vỡ đối xứng SU(3) Nếu đối xứng SU(3) xác hạt đa tuyến Nếu gọi  tốn tử khối lượng, ta có: M a ,     a  1,8 Nhưng thực tế hạt đa tuyến có khối lượng khác nhau, điều có nghĩa đối xứng SU(3) khơng hồn tồn xác Lúc đối xứng SU(3) bị phá vỡ Khi đó:   inv    Trong   thành phần khối lượng vi phạm đối xứng 3.2.2 Hệ thức khối lượng lý thuyết đối xứng SU(3) Giả sử đối xứng SU(3) bị phá vỡ tối thiểu đối xứng SU(2) cịn đúng, siêu tích bảo tồn Nghĩa là: SU(3) → SU(2)× UY (1) Lúc  thỏa mãn điều kiện nhóm SU(3) tức là: M i ,       1,3 M8,    (3.5) (3.6) Muốn   phải tỷ lệ với thành phần thứ bát tuyến  a Bát tuyến biểu diễn quy SU(3):  M a , b   i f abc  c ; 44  a, b, c  1,8 (3.7) Cách viết hàm trường thành ma trận: a  Sp  a   (3.8) Xét khối lượng hạt đa tuyến Baryon J   p Ta có hàm trường mô tả hạt  đại lượng sau vô hướng:   Sp a  ; biến đổi  a  (3.9)  Sp a ; biến đổi  a Với a  1,8 Từ (3.7) (3.9) suy ra:     (3.10)     (3.11)  M a , Sp b    i f abc Sp c     M a , Sp b   i f abc Sp c   Vì  thỏa mãn hệ thức (3.5), (3.6), (3.7),(3.10), (3.11) nên  tỉ lệ với thành phần thứ bát tuyến, tỉ lệ với Sp  Dạng bất biến toán tử khối lượng thỏa mãn SU(3):        C0 Sp   C1.Sp 8   C2 Sp 8  (3.12) Ta có:    1 0   0   0          0  8            0   0    0 2      8   Do đó:   l k Sp 8   m  8 l  mk  l k k  m  l   8 l  mk   Sp    m  3m   45  (3.13)   Tương tự: Sp 8  m Sp     3m   (3.14) Thay (3.13), (3.14) vào (3.12) ta được:     C0   m C1 C2  m  Sp   C    C   3m m 3  3   Đặt: m0  C0  C1 C2  3 m1   3C1 m2   3C2  m     m0 Sp   m1. m  3m  m2   3m (3.15)  Khối lượng Baryon:  Khối lượng protron: Hàm trường proton 13   1   m0  313  m2  313   m0  m2   313 Khối lượng proton m p   m0  m2   Khối lượng notron: Hàm trường notron  32   2   m0   32  m2   32   m0  m2    32 Khối lượng notron mn   m0  m2  Nhận xét: Khối lượng proton notron xét tương tác mạnh nên khối lượng chúng Khối lượng khác tương tác điện từ 46  Khối lượng 0 : Hàm trường 0 là:  0  1 1 1     0  1  2 2 2 2 1 2  m0 111  1 22   11    22 2  m0 111    22       m0 1    11   22    (Sử dụng tính chất trực giao hàm) Khối lượng 0 m0  m0 Tương tự ta tìm khối lượng hạt lại: m p  mn  m0  m2 m  m  m0  m0 m0  m  m0  m1 2 m  m0  m1  m2 3  Khối lượng Meson  Trường hợp Meson  hiểu tốn tử bình phương khối lượng (vì khối lượng  - Meson nhỏ khối lượng Baryon) Từ việc so sánh bảng thực nghiệm số lượng tử khối lượng Baryon Meson ta thấy có tượng ứng hình chiếu Spin đồng vị siêu tích cặp  K p  ;  K n     ;       ;  K    K   ;            47 0 Hàm trường hạt Meson  viết dạng ma trận:  1           K     1    K  K    K       Từ nhận xét ta suy hệ thức khối lượng cho Meson  :   m   m02 Sp   m12  m 3m  m22   3m (3.16) Làm tương tự Baryon ta thu hệ thức khối lượng cho Meson  sau: mK2   mK2  m02  m22 m2   m2  m2   m02  m   m  m   m0 m  mK2   m02  m12 K 2 m2  m02  m12  m22 3 48 KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu hồn thành khóa luận hướng dẫn tận tình thầy giáo GS TSKH Đào Vọng Đức, em thu số kết nghiên cứu sau đây:  Viết tổng quan dao động tử  Nghiên cứu biểu diễn dao động tử đại số SU(3)  Nghiên cứu phá vỡ đối xứng lý thuyết nhóm SU(3) để đưa hệ thức khối lượng hạt Baryon hạt Meson Qua nghiên cứu em hiểu rõ công cụ nghiên cứu tương tác mạnh hạt 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tạ Quang Bửu (1987), Hạt - Nxb Giáo dục Đào Vọng Đức (2011), Bài giảng lý thuyết hạt - Nxb Khoa học kĩ thuật Đặng Xuân Hải (1987), Bài giảng vật lý hạt nhân hạt Lê Chấn Hùng – Vũ Thanh Khiết (1989), Vật lý nguyên tử hạt nhân - Nxb Giáo dục Phạm Thúc Tuyền, Hạt - Nxb ĐHQG Hà Nội 50 ... cứu dao động tử, đại số SU(3) biểu diễn dao động tử đại số SU(3) Đối tượng nghiên cứu Lí thuyết đối xứng, biểu diễn dao động tử đại số SU(3) Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu dao động tử, biểu diễn, ... 1: DAO ĐỘNG TỬ 1.1 Dao động tử điều hòa 1.1 Biểu diễn dao động tử vi tử SU(2) 1.2 Thống kê dao động tử điều hòa 13 CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐAI SỐ SU(3) 2.1 Đại. .. dao động tử, biểu diễn, tính thống kê dao động tử Nghiên cứu nhóm đối xứng SU(3), gần lí thuyết đối xứng SU(3), đại số SU(3) biểu diễn dao động tử đại số SU(3) Phương pháp nghiên cứu - Phương