SKKN THCS: Ứng dụng hệ thức viets để ôn luyện thi vào 10

UBND QUẬN HOÀNG MAI TRƯỜNG THCS YÊN SỞ TIN BÀI: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT ĐỂ ÔN LUYỆN THI VÀO 10 A/ ĐẶT VẤN ĐỀ I Mở đầu: Chúng ta biết dạy tốn khơng đơn dạy cho học sinh có khái niệm, định lí, kiến thức…., mà điều quang trọng người thầy phải dạy cho học sinh có lực trí tuệ, lực hình thành phát triển hoạt động học tập Việc đổi phương pháp dạy học vấn đề cấp bách cần thiết, nhằm hình thành cho học sinh thói quen tư tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện cho em khả vận dụng kiến thức vào thực tiển, đòi hỏi giáo viên đứng lớp phải có phương pháp truyền đạt kiến thức phù hợp, có khả hệ thống, phân loại chọn lựa dạng tập phong phú, đáp ứng yêu cầu tối thiểu ngưòi học, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin hứng thú học tập học sinh.Trong chương trình tốn 9, lí thuyết phần lớn có tính chất hệ thống, cung cấp phương pháp, tập phong phú, rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Trong “Ứng dụng hệ thức Vi-ét” phần kiến thức quan trọng, chương “Hàm số y = ax2 (a khác 0) – Phương trình bậc hai ẩn” Những tốn có sử dụng hệ thức Vi ét phong phú, nhờ mà ta giải yêu cầu tốn II Cơ sở lí luận Để phát triển khả tư sáng tạo việc học toán giải tốn việc tìm kết toán, phải coi giai đoạn mở đầu cho cơng việc Trong q trình dạy học tốn nói chung q trình giải tốn nói riêng, người dạy cần tạo cho học sinh thói quen “sau tìm lời giải tốn, dù lời giải tốn đơn giản hay phức tạp, cần tiếp tục suy nghĩ lật lại vấn đề, tìm thêm lời giải khác, cố gắng tìm phương án giải tối ưu được” Hãy ln nghĩ đến việc khai thác tốn đường tương tự hoá, tổng quát hoá, đặc biệt hoá để tạo toán sở tốn có Đối với việc học tốn việc rèn luyện kỹ giải tốn cần thiết, cần phải rèn luyện thường xuyên kỹ giải toán nhiều cách, giải nhiều tập thuộc nhiều dạng khác nhau, nhiều loại toán khác sau tựmình suy nghĩ rút học kinh nghiệm Trước giải toán, nên tìm hiểu xem tốn thuộc loại nào? dạng nào? Sau tư chọn phương pháp giải cho thích hợp, có định hướng cho phương pháp giải khai thác toán tốt III Cơ sở thực tiễn Đối với học sinh trường THCS Yên Sở phần lớn em học cịn yếu mơn tốn, với nhiều lí khác nhau, điều hạn chế lớn đến việc phát huy tính tích cực độc lập nhận thức giải toán học sinh, dẫn đến em khơng ham học tốn khơng tự tin giải tốn, lúng túng lí luận trình bày Hệ thức Viét nội dung quan trọng chương trình Đại số Là phần khơng thể thiếu q trình ơn thi vào 10 Trong tài liệu tham khảo viết chung chung nên học sinh lúng túng học phần Sau nhiều năm dạy lớp 9, kinh nghiệm giảng dạy tìm tịi thêm tài liệu tơi phân chia ứng dụng Hệ thức Vi-ét thành nhiều dạng để học sinh dễ nhận dạng vận dụng linh hoạt gặp dạng toán Sau hệ thống tập mà áp dụng vào luyện tập, ôn tập, ôn thi cho học sinh lớp có hiệu tốt B/ NỘI DUNG I Lý thuyết: + Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = −b a c P = x1.x2 = a S = x1 +x2 = + Nếu hai số x1 , x2 có tổng x1 + x2 = S tích x1x2 = P hai số nghiệm phương trình X2 - SX + P = (Định lý Vi-ét đảo) II Nội dung: Vận dụng Định lý Vi-ét Vi-ét đảo ta chia làm dạng tập sau: Dạng 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1; x2 Ví dụ : Cho x1 = ; x2 = lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm  S = x1 + x2 =  P = x1 x2 = Theo hệ thức Vi-et ta có  Vậy x1; x2 nghiệm phương trình có dạng: x − Sx + P = ⇔ x − x + = Bài tập áp dụng: Cho: x1 = x2 = -3 x1 = 3a x2 = a x1 = 36 x2 = -104 x1 = + x2 = − Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước: V í dụ: Cho phương trình : x − 3x + = có nghiệm phân biệt x1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn : y1 = x2 + 1 y2 = x1 + x1 x2 Ta có: S = y1 + y2 = x2 + P = y1 y2 = ( x2 + 1 1 1 x +x + x1 + = ( x1 + x2 ) +  + ÷ = ( x1 + x2 ) + = + = x1 x2 x1 x2 2  x1 x2  1 1 )( x1 + ) = x1 x2 + + + = +1+1+ = x1 x2 x1 x2 2 y − Sy + P = Vậy phương trình cần lập có dạng: hay y2 − 9 y + = ⇔ y2 − y + = 2 Dạng tập khó chút, địi hỏi học sinh phải biết suy luận Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình x + x − = có nghiệm phân biệt x1; x2 Khơng giải phương 1 trình, Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 = x1 + x y2 = x2 + x (Đáp số: y + y − = hay y + y − = ) 2/ Cho phương trình : x − 5x − = có nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn y1 = x14 y2 = x24 (có nghiệm luỹ thừa bậc nghiệm phương trình cho) (Đáp số : y − 727 y + = ) 3/ Cho phương trình bậc hai: x − x − m = có nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 ; y2 cho : a) y1 = x1 − y2 = x2 − b) y1 = x1 − y2 = x2 − (Đáp án a) y − y + − m2 = b) y − y − (4m − 3) = ) Dạng 2:Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai + Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a khác 0) có a + b + c = phương trình có nghiệm x1= 1, cịn nghiệm x2 = c a + Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a khác 0) có a - b + c = phương trình có nghiệm x1= -1, cịn nghiệm x2 = - c a Ví dụ 1: Khơng giải phương trình nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 3x2 - 5x + = b) -7x2 - x + = Giải: a) Ta có a + b + c = - + = nên phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = c = a b) Ta có a - b + c = -7 +1 + = nên phương trình có hai nghiệm x1= -1, x2 = - c = a Trong trường hợp phương trình có nghiệm ngun đơn giản ta nhẩm nghiệm theo hệ thức Vi-ét, xét ví dụ sau: Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm phương trình sau a) x2 - 7x + 10 = b) x2 + 6x +8 = Giải: a) Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = x1x2 = 10 ta nhẩm hai nghiệm x1= 2, x2 = b) Tương tự câu a) ta có x1 + x2 = -6 x1x2 = nên x1 = -2, x2 = -4 Dạng 3:Tìm điều kiện tham số biết nghiệm phương trình cho Ví dụ1: Cho phương trình 2x2 - px + = Biết phương trình có nghiệm Tìm p tìm nghiệm cịn lại Giải: Cách 1: Thay x = vào phương trình ta p = x1x2 = 13 Theo hệ thức Viét ta có 5 mà x1= nên x2 = Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có 5 mà x1 = nên x2 = p p 13 Mặt khác x1+ x2 = ⇒ = + ⇒ p = 2 x1 x2 = Ví dụ 2: Cho phương trình x2 + mx - = Biết phương trình có nghiệm Tìm m tìm nghiệm cịn lại Giải: Tương tự ví dụ ta tìm m = -2 nghiệm cịn lại x = -1 Ví dụ : Cho phương trình : x − x + q = , biết hiệu nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình Giải: Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 − x2 = 11 theo Vi-et ta có  x − x = 11  x1 = x1 + x2 = , ta giải hệ sau:  ⇔  x1 + x2 =  x2 = −2 Suy q = x1 x2 = −18 Ví dụ 4: Tìm q hai nghiệm phương trình : x − qx + 50 = , biết phương trình có nghiệm có nghiệm lần nghiệm Giải: Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 = x2 theo Vi-et ta có x1 x2 = 50 Suy  x = −5 x22 = 50 ⇔ x22 = 52 ⇔   x2 = Với x2 = −5 x1 = −10 Với x2 = x1 = 10 Dạng 4: Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai Cho phương trình: ax + bx + c = (a ≠ 0) Khi đó: 1.Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < ∆ > P > 2.Phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu ⇔  ∆ >  3.Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ⇔  P > S >  ∆ >  4.Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt ⇔  P > S <  5.Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn ac < S < nghiệm dương ⇔  Chú ý: Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > Phương trình có hai nghiệm ⇔ ∆ ≥ Ví dụ1 : Khơng giải phương trình xét dấu nghiệm phương trình sau: a) x2 - x + = b) x2 + 5x - = c) x2 - x + =0 d) x2 + 9x + = Giải: a) Ta có ∆ '= -1 < nên phương trình vơ nghiệm b) Ta có P < nên phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Ta có ∆' = 2; S = > 0; P = > nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt d) Ta có ∆ =57; S = -9 < 0; P = > nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt Ví dụ 2: Tìm điều kiện m để phương trình sau: 2x2 + (2m - 1)x + m - = a) Có hai nghiệm khác dấu b) Có hai nghiệm phân biệt âm c) Có hai nghiệm phân biệt dương d) Có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu Giải a) Phương trình có hai nghiệm khác dấu P < hay m - < ⇔ m < b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm ∆ > ( 2m − 3) >  m >1     S < ⇔  − 2m < ⇔  P >  m −1 > m ≠   c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương ( 2m − ) > ∆ >    S > ⇔  − 2m > ⇔ khơng có giá trị m thoả mãn P >  m −1 >   d) Phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu hay phương trình có hai nghiệm đối Phương trình có hai nghiệm đối ∆ ≥ ⇔  S = - 2m = ⇔ m= Điều cần ý ∆< khơng cần xét dấu nghiệm phương trình phương trình vơ nghiệm Khi P < kết luận phương trình có hai nghiệm trái dấu ∆> Khi P > ta phải xét đến hai yếu tố lại ∆ S Dạng 5:Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm phương trình cho .Phương pháp: Biến đổi biểu thức để làm xuất : ( x1 + x2 ) x1 x2 a/ x12 + x22 = ( x12 + x1 x2 + x22 ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 3 2 b/ x1 + x2 = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2  c/ x14 + x24 = ( x12 ) + ( x22 ) = ( x12 + x22 ) − x12 x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2  − x12 x22 2 d/ x15 + x25 = ( x13 + x )( x1 + x 2 ) − x1 x2 ( x1 + x2 ) 1 x +x đ/ x + x = x x 2 2 e/ x1 − x2 = ? Ta biết ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 ⇒ x1 − x2 = ± ( x1 + x2 ) − x1 x2 ( g/ x12 − x22 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) = ± ( x1 + x ) − x1 x2 ( x1 + x ) ) 2 h/ x13 − x23 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x1 x2 + x2 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  =…… 2 2 i/ x14 − x24 = ( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) =…… 3 2 2 k/ x16 + x26 = ( x1 ) + ( x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = …… l/ x16 − x26 = ( x1 ) − ( x 2 ) = ( x1 − x 2 )[( x1 ) + x1 x 2 + ( x 2 ) ] = Ví dụ 1: Cho phương trình x2+ mx + = ( m tham số) Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m: a) x12 + x22 b) x13 + x23 c) x1 − x2 Giải: Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = -m x1.x2 = a) x12 + x22 = (x1 +x2)2 - 2x1x2 = m2 - b) x13 + x23 = (x1+x2)3 - 3x1x2(x1+ x2) = -m3+ 3m c) (x1 - x2)2 = (x1 +x2)2 - 4x1x2 = m2- nên x1 − x2 = m2 − Ví dụ 2: Cho phương trình x2- 4x + = Khơng giải PT, tính giá trị biểu thức A = x14 + x1 + − x1 ( với x1 nghiệm phương trình cho) Giải: Ta phải biến đổi biểu thức bậc hai thành dạng (5x1+a)2 để đưa A dạng A= x1 + a − x1 Bằng cách xét dấu nghiệm phương trình cho chứng tỏ 5x 1+ a > từ tính giá trị A Sau cách biến đổi cụ thể: Vì x1 nghiệm phương trình : x12 = 4x1-1 ⇒ x14 = 16x12 - 8x1+ A = 32 x12 − x1 + 11 − x1 = 25 x12 + x12 − x1 + 11 − x1 = 25 x12 + 7(4 x1 − 1) − x1 + 11 − x1 = ( x1 + ) − x1 = x1 + − x1  x1 + x2 = > Phương trình cho có ∆' > nên theo hệ thức Viét ta có:   x1 x2 = > ⇒ x1 > ⇒ 5x1+ > ⇒ A =2 Ví dụ 3: Cho phương trình x2 + x - = x1,x2 nghiệm phương trình (x < x2) Khơng giải PT tính giá trị biểu thức B= x18 − x12 + x1 + 21 + x1 Giải: Từ giả thiết ta có: x12 = - x1⇒ x14 = x12 -2x1 + 1=(1 - x1) - 2x1 + 1=- 3x1 + ⇒ x18 = 9x12 - 12x1+ ⇒ x18 − x12 + x1 + 21 + x1 = x12 − 10 x1 + 25 + x1 = ( x1 − 5) + x1 Vì P < nên phương trình cho có hai nghiệm trái dấu mà x1< x2 nên x1< Vậy B = x1 − + x1 = - x1+ x1 = Dạng 6: Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức Đối với toán dạng này, ta làm sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ∆≥ 0) - Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức Vi-et để giải phương trình (có ẩn tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ 1: Cho phương trình : mx − ( m − 1) x + ( m − 3) = Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2 Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1 x2 l :  m ≠ ⇔  ∆ ' =  m − 21  − 9( m − 3) m ≥ ( )     m ≠ ⇔  2  ∆ ' = ( m − 2m + 1) − 9m + 27 ≥ 6(m − 1)   x1 + x2 = m Theo hệ thức Vi-et ta có:   x x = 9(m − 3)  m  m ≠ ⇔   ∆ ' = ( m − 1) ≥ m ≠   m ≥ −1 từ giả thiết: x1 + x2 = x1 x2 Suy ra: 6(m − 1) 9(m − 3) = ⇔ 6(m − 1) = 9( m − 3) ⇔ 6m − = 9m − 27 ⇔ 3m = 21 ⇔ m = m m (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x + 2x + m = (m tham số) có hai nghiệm x 1, x2 thoả mãn a) 3x1 + 2x2 = b) x12 -x22 = c) x12 + x22 = Giải: Để phương trình có nghiệm ∆' ≥ ⇔ m ≤ a) Áp dụng hệ thức Viét ta có hệ:  x1 + x2 = −2 (1)  3 x1 + x2 = (2)  xx =m (3)  Giải hệ (1), (2) ta x1= 5; x2= -7 Thay vào (3) ta m = -35 (thoả mãn điều kiện) b) Áp dụng hệ thức Viét ta có hệ:  x12 − x22 = (1)   x1 + x2 = −2 (2)  x x = m (3)  Giải hệ (1), (2) ta x1= − Thay vào (3) ta m = - ; x2 = 2 (thoả mãn điều kiện) c) x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2x1x2⇒ - 2m = ⇒ m = -2 (thoả mãn) Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x2 - mx + = (m tham số) có hai nghiệm thoả mãn 3x1+ x2 = Giải: Để phương trình có nghiệm ∆ ≥ hay m2 - 12 ≥ ⇔ m ≥ m ≤ -2 Kết hợp với hệ thức Viét ta có  x1 + x2 = m (1)  3 x1 + x2 = (2)  x x = (3)  giải hệ (1), (2) ta x1= 6−m 3m − ; x2 = 2 Thay vào (3) ta (6 - m)(3m - 6) = 12 giải ta m = (thoả mãn) Ví dụ 4: Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2mx + = Xác định m để x14 + x24 ≤ 32 Giải: Để phương trình có nghiệm ∆' ≥ hay m2 - ≥ ⇔ m ≥ 2 Ta có: x14 + x24 = (x12 + x22)2 - 2x12x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2  − 2( x1 x2 )  x1 + x2 = −2m  x1 x2 = Theo hệ thức Viét ta có:  nên x14 + x24 ≤ 32 ⇔ (4m2 - 8)2 - 32 ≤ 32 ⇔ m − ≤ ⇔ −2 ≤ m − ≤ ⇔ m ≤ Kết hợp với điều kiện ∆' ≥ ta m = m = -2 Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Để làm toán loại này, ta làm theo bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ∆≥ 0) - Áp dụng hệ thức Vi-et viết S = x1 + x2 P = x1x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 Ví dụ1 : Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m2 =0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m Giải: a) Ta có ∆' = (m + 1)2 - m2 = 2m + Phương trình cho có nghiệm ⇔∆' ≥ ⇔ m ≥ -  x1 + x2 = 2(m + 1) (1) b ) Theo hệ thức Vi-ét ta có   x1 x2 = m (2) x +x x +x  Từ (1) ta có m = − thay vào (2) ta x1 x2 =  − 1÷ hay   4x1x2 = (x1 + x2 - 2)2 hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Cách giải chung dạng theo hệ thức Vi-ét ta có hai biểu thức liên hệ hai nghiệm phương trình Từ hai biểu thức ta rút m theo hai nghiệm, sau vào biểu thức lại ta biểu thức cần tìm Tuy nhiên dùng cách biến đổi tương đương để khử m từ hai phương trình, ta xét tiếp ví dụ sau: Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ = (m tham số ) Biết phương trình ln có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Giải : Do phương trình ln có hai nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét ta có: 2(m − 3) = 2− (1) m m m +1 x1 x2 = = 1+ (2) m m x1 + x2 = Ta có (2) ⇔ 6x1x2 = + m (3) Cộng vế theo vế (1) (3) ta x1 + x2 + 6x1x2 = Vậy biểu thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 + 6x1x2 = Ví dụ : Gọi x1; x2 nghiệm phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − = Chứng minh biểu thức A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 − không phụ thuộc giá trị m Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì : m ≠ m ≠ m − ≠ m ≠  ⇔ ⇔ ⇔  m≥ V' ≥ 5m − ≥ m − (m − 1)(m − 4) ≥   Theo hệ thức Vi-et ta c ó : 2m   x1 + x2 = m −   x x = m − m −1  thay vào A ta c ó: 2m m−4 6m + 2m − − 8(m − 1) + −8 = = =0 m −1 m −1 m −1 m −1 Vậy A = với m ≠ m ≥ Do biểu thức A khơng phụ thuộc vào m A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm - Sau dựa vào hệ thức Vi-et rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số Dạng 8:Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất, chứng minh bất đẳng thức biểu thức nghiệm Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - = với m tham số Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Với giá trị m biểu thức A = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị Giải: Ta có ∆' = (m - 1)2 -(m - 5) = m2 - 3m + > nên phương trình ln có nghiệm với giá trị m Theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = 2(m - 1) x1x2 = m - ⇒ x12+ x22 = (x1+x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 - 2(m - 5)  31 31  = 4m - 10m +14 =  2m − ÷ + ≥ 2 4  31 Dấu xảy m = Vậy Amin = 4 m= Ví dụ2: Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình 2012x2 - (2012m - 2013)x - 2012 = Chứng minh x −x 1 A= ( x1 − x2 ) +  + − ÷ ≥ 24 x1 x2   Giải: Theo hệ thứcViet ta có: x1 + x2 = 2012m − 2013 x1x2 = -1 2012 nên A = 6(x1 - x2)2 = 6( (x1 + x2)2 + 4) ≥ 24 Dạng 9: Ứng dụng hệ thức Vi-ét đảo vào tập Ví dụ 1: Tìm hai số x y biết  x+ y =3 2 x + y = a)   x− y =2 2  x + y = 34 b)  Giải: a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ  S =3 S = ⇔  S − 2P = P = Suy x, y nghiệm phương trình X2 - 3X + = Giải phương trình ta x1 = 1; x2 = b) Đặt S = x - y; P = xy ta có hệ Vậy (x ; y) ∈ { ( 2;1) ; ( 1; ) } S =2  S =2 ⇔   S + P = 34  P = 15 Suy x + (-y) = x(-y) = -15 hay x -y nghiệm phương trình X2 - 2X - 15 = giải ta x1 = 3; x2 = -5 Vậy (x ; y) ∈ { ( 3;5 ) ; ( 5;3) } Thực chất dạng ứng dụng vào giải hệ đối xứng hai ẩn Ta xét tiếp ví dụ sau Ví dụ 2: Giải hệ  x + xy + y =  x + xy + y = a)  b)  xy ( x + 1)( y − 2) = −2  2  x + x + y − 2y =1 Giải: a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ S − P = ⇔ S = , P = S = -3; P =  S+P=2 Suy x, y nghiệm phương trình X2 - 2X = X2 + 3X + =0 Vậy (x ; y) ∈ { ( 0; ) ; ( 2;0 ) } b) Đặt x2 + x = S; y2 - 2y = P ta đưa hệ đối xứng hai ẩn sau:  SP = −2  S + P = suy S, P nghiệm phương trình X2 - X - = Giải ta x1= -1; x2 =  x + x = −1 Từ ta có  y − 2y = Vậy (x ; y) ∈ { ( 1;1) ; ( −2;1) }  x2 + x =   y − y = −1 Hệ thức Vi-ét đảo ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức, vận dụng vào toán chứng minh khác Ta xét ví dụ sau Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện sau: a > 0, a2 = bc, a + b + c = abc Chứng minh rằng: a ≥ , b > 0, c > b2 + c2 ≥ 2a2 Giải: Từ a + b + c = abc ⇒ b + c = a(bc - 1) = a( a2 - 1) mà bc = a2 nên b, c nghiệm phương trình: X2 - (a3 - a) X + a2 = Ta có ∆ =(a3 - a)2 - 4a2 ≥ 0( PT có nghiệm b c ) ⇔ (a2 - 1)2 ≥ ⇔ a2 ≥ ⇔ a ≥ ( a > 0) Khi b+ c = a( a2 - 1) > bc = a2> nên b > 0, c > ( b - c)2 ≥ ⇔ b2 +c2 ≥ 2bc ⇔ b2 +c2 ≥ 2a2 Ví dụ 4: Cho a, b, c ba số khác đôi c ≠ Chứng minh hai phương trình x2 + ax + bc = (1) x + bx + ca = (2) có nghiệm chung nghiệm khác phương trình thoả mãn phương trình x2 + cx + ab = Giải: Giả sử (1) có nghiệm x0 , x1 (2) có nghiệm x0 , x2 ( x1 ≠ x2) Ta có:  x02 + ax0 + bc = ⇒ ( a - b)(x0 - c) = ⇒ x0 = c ( a ≠ b)   x0 + bx0 + ca = Áp dụng định lý Vi-ét vào phương trình (1) phương trình (2) ta có:  x0 + x1 = −a   x0 x1 = bc  x1 = b  x0 + x2 = −b   x1 + x2 = −c ⇒ ⇒ x2 = a   x0 x2 = ca a + b + c =  x1 x2 = ab  Do x1, x2 nghiệm phương trình x2 + cx + ab = (phương trình ln có nghiệm ∆= c2 - 4ab = (a + b)2- 4ab = (a - b)2> 0) D/ Kết luận: Trên nội dung ứng dụng hệ thức Viét vào dạng tập mà hệ thống trình dạy cho học sinh lớp 9, ôn thi vào 10 cách hệ thống thành nhiều dạng: Dạng1: Lập phương trình bậc hai Dạng 2: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai Dạng 3: Tìm điều kiện tham số biết nghiệm phương trình cho Dạng 4: Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai Dạng 5: Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm phương trình cho Dạng 6: Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm thoả mãn hệ thức Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc tham số Dạng 8: Tính giá trị lớn nhỏ nhất, chứng minh bất đẳng thức biếu thức chứa nghiệm Dạng 9: Ứng dụng hệ thức Viét đảo vào tập Qua thời gian tiếp tục nghiên cứu áp dụng, thân xét thấy đề tài có tác dụng lớn q trình giảng dạy mơn tốn lớp 9, tơi vận dụng phần sau tiết học lý thuyết tiết luyện tập hệ thức Vi-ét để học sinh củng cố khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho em kỹ trình bày gặp dạng Trong thời gian ôn tập, ôn thi em hệ thống lại cách hoàn chỉnh theo dạng Vì việc áp dụng hệ thức Vi-ét em gặp kỳ thi hay kiểm tra không cịn khó khăn em biết vận dụng linh hoạt tiếp tục học lên chương trình THPT Phần ứng dụng hệ thức Vi-ét có nhiều bạn đọc quan tâm, phần có nhiều ứng dụng hay Tuy nhiên tơi trình bày theo quan điểm mình, theo kinh nghiệm giảng dạy lớp nhiều năm cho thấy có hiệu tốt Rất mong góp ý chân thành từ đồng nghiệp để sáng kiến hay hơn, phong phú Xin chân thành cảm ơn! Hà nội, ngày 15 tháng năm 2019 Người viết Nguyễn Thị Bích Thọ Nơi nhận: - Phịng Văn hóa Thơng tin; - Lưu VT NGƯỜI VIẾT Hà Nội, ngày 29 tháng năm 2019 HIỆU TRƯỞNG Đỗ Thu Hà ... 4ab = (a - b)2> 0) D/ Kết luận: Trên nội dung ứng dụng hệ thức Viét vào dạng tập mà tơi hệ thống q trình dạy cho học sinh lớp 9, ôn thi vào 10 cách hệ thống thành nhiều dạng: Dạng1: Lập phương... (x ; y) ∈ { ( 1;1) ; ( −2;1) }  x2 + x =   y − y = −1 Hệ thức Vi-ét đảo ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức, vận dụng vào tốn chứng minh khác Ta xét ví dụ sau Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c... Áp dụng hệ thức Viét ta có hệ:  x1 + x2 = −2 (1)  3 x1 + x2 = (2)  xx =m (3)  Giải hệ (1), (2) ta x1= 5; x2= -7 Thay vào (3) ta m = -35 (thoả mãn điều kiện) b) Áp dụng hệ thức Viét ta có hệ: