Ứng dụng phương tích, trục đẳng phương trong bài toán yếu tố cố định

ỨNG DỤNG PHƯƠNG TÍCH, TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG TRONG BÀI TỐN YẾU TỐ CỐ ĐỊNH Tác giả: Nguyễn Bá Hoàng Trường THPT Chuyên Lào Cai A PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Các tốn Hình học phẳng thường xuyên xuất kì thi HSG mơn tốn ln đánh giá nội dung khó đề thi Phương tích trục đẳng phương công cụ thực hiệu để giải nhiều lớp tốn hình học Mặc dù vấn đề quen thuộc hình học phẳng, kiến thức đơn giản dễ hiểu, nhiên có ứng dụng nhiều tốn chứng minh vng góc, đồng quy, thẳng hàng, điểm cố đinh, đường cố định hay tốn tập hợp điểm… Chính kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Tốn quốc tế khu vực, tốn có liên quan đến phương tích trục đẳng phương thường xuyên đề cập thường xem dạng tốn hay kì thi Đối với lớp tốn yếu tố cố định học sinh thường gặp phải nhiều khó khăn giải từ việc dự đốn yếu tố cố định chứng minh thỏa mãn yêu cầu đề Tuy nhiên với hệ thống lý thuyết đơn giản hiệu phương tích, trục đẳng phương thường đem lại lời giải độc đáo, đẹp mắt không phần thú vị cho lớp tốn Chính tác giả lựa chọn chuyên đề: "Ứng dụng phương tích trục đẳng phương toán yếu tố cố định" để hy vọng phần chia sẻ giúp bạn tiếp cận tốt với toán yếu tố cố định công cụ vô hữu hiệu II Mục đích đề tài Thơng qua đề tài “Ứng dụng phương tích trục đẳng phương tốn yếu tố cố định” tác giả mong muốn nhận góp ý trao đổi bạn đồng nghiệp em học sinh Chúng mong muốn đề tài góp phần nhỏ để việc ứng dụng phương tích, trục đẳng phương tốn yếu tố cố định nói riêng tốn hình học phẳng nói chung đạt hiệu cao Từ giúp em học sinh hiểu rõ việc sử dụng phương tích, trục đẳng phương tăng khả vận dụng vào giải tốn hình học cách tốt B PHẦN NỘI DUNG I Hệ thống lý thuyết phương tích trục đẳng phương Phương tích điểm đường tròn Định lý 1.1 Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định, OM = d Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường trịn hai điểm A B Khi MA.MB  MO  R  d  R Chứng minh: A B M O C Gọi C điểm đối xứng A qua O Ta có CB  AM hay B hình chiếu C AM                  Khi ta có MA.MB  MA.MB  MC.MA  MO  OC MO  OA  MO  OA MO  OA     MO  OA  OM  OA2  d  R Định nghĩa Giá trị không đổi MA.MB  d  R định lý 1.1 gọi phương tích điểm M đường trịn (O) kí hiệu M /(O) Khi theo định nghĩa ta có M / O   MA.MB  d  R Định lý 1.2 Nếu hai đường thẳng AB CD cắt P PA.PB  PC.PD điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Chứng minh Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt CD D’ Khi ta có theo định lý 1.1 ta có PA.PB  PC.PD , suy PC.PD  PC.PD  D  D Suy điểm A, B, C D thuộc đường trịn Một số tính chất 1) M nằm đường tròn (O) M / O   M nằm ngồi đường trịn (O) M / O   M nằm đường tròn (O) M / O   2) Khi M nằm đường tròn (O) MT tiếp tuyến (O) M / O   MT 3) Nếu A, B cố định AB AM  const  M cố định Ý tưởng giúp ta giải toán đường qua điểm cố định 4) Cho hai đường thẳng AB, MT phân biệt cắt M (M không trùng với A, B, T) Khi đó, MA.MB  MT đường trịn ngoại tiếp tam giác ABT tiếp xúc với MT T Trục đẳng phương hai đường tròn Định lý 2.1 Cho hai đường trịn khơng đồng tâm (O1; R1) (O2; R2) Tập hợp điểm M có phương tích hai đường trịn đường thẳng, đường thẳng gọi trục đẳng phương hai đường tròn (O1) (O2) Chứng minh: M O1 O2 H I Giả sử điểm M có phương tích đến hai đường trịn Gọi H hình chiếu M O1O2, I trung điểm O1O2 Ta có: M / O1  M / O2   MO12  R12  MO22  R22  MO12  MO22  R12  R22   MH  HO12    MH  HO2   R12  R22  HO12  HO2  R12  R22   HO1  HO2  IH   HO  HO   R R12  R22 2O1O2 2  R22  O2O1.2 HI  R12  R22 1 Từ suy H cố định, suy M thuộc đường thẳng qua H vng góc với O1O2 Vậy tập hợp điểm M có phương tích hai đường tròn đường thẳng qua điểm H (xác định (1)) vng góc với O1O2 Một số hệ Cho hai đường tròn (O1) (O2) Từ định lý 2.1 ta suy tính chất sau: 1) Trục đẳng phương hai đường trịn vng góc với đường thẳng nối tâm 2) Nếu hai đường tròn cắt A B AB trục đẳng phương chúng 3) Nếu điểm M có phương tích (O1) (O2) đường thẳng qua M vng góc với O1O2 trục đẳng phương hai đường tròn 4) Nếu hai điểm M, N có phương tích hai đường trịn đường thẳng MN trục đẳng phương hai đường tròn 5) Nếu điểm có phương tích hai đường trịn điểm thẳng hàng 6) Nếu (O1) (O2) tiếp xúc A đường thẳng qua A vng góc với O1O2 trục đẳng phương hai đường tròn Cách dựng trục đẳng phương hai đường trịn khơng đồng tâm Trong mặt phẳng cho hai đường trịn khơng đồng tâm (O1) (O2) Xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Hai đường tròn cắt hai điểm phân biệt A, B Khi đường thẳng AB trục đẳng phương hai đường tròn Trường hợp 2: Hai đường trịn tiếp xúc T Khi tiếp tuyến chung T trục đẳng phương hai đường trịn Trường hợp 3: Hai đường trịn khơng có điểm chung Dựng đường tròn (O3) cắt hai đường tròn (O1) (O2) A, B C, D Đường thẳng AB CD cắt M Đường thẳng qua M vng góc với O1O2 trục đẳng phương (O1) (O2) (Hình vẽ) A A C O1 O2 O1 T O2 O2 O1 B D B M Tâm đẳng phương Định lý 3.1 Cho đường tròn (C1), (C2) (C3) Khi trục đẳng phương cặp đường tròn trùng song song qua điểm Nếu trục đẳng phương qua điểm điểm gọi tâm đẳng phương ba đường tròn Chứng minh d12 O1 O2 M d23 d13 O3 Gọi dij trục đẳng phương hai đường tròn (Ci) (Cj) Ta xét hai trường hợp sau TH1: Giả sử có cặp đường thẳng song song, khơng tính tổng qt ta giả sử d12 // d23 Ta có d12  O1O2 , d 23  O2O3 suy O1 , O2 , O3 thẳng hàng Mà d13  O1O3 suy d13 // d 23 // d12 TH2: Giả sử d12 d23 có điểm M chung Khi ta có: M /  O1  M / O2  M /  O1  M /O3   M  d13  M /  O2  M /  O3  Từ suy có hai đường thẳng trùng trục đẳng phương cặp đường tròn lại Nếu hai trục đẳng phương cắt điểm điểm thuộc trục đẳng phương cịn lại Một số hệ 1) Nếu đường trịn đơi cắt dây cung chung qua điểm 2) Nếu trục đẳng phương song song trùng tâm đường trịn thẳng hàng 3) Nếu đường tròn qua điểm có tâm thẳng hàng trục đẳng phương trùng II Bài tập áp dụng Bài Cho đường tròn (O) hai điểm A, B cố định Một đường thẳng quay quanh A, cắt (O) M N Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc đường thẳng cố định Giải: A C M B I N O Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB Gọi C giao điểm AB (I) Khi ta có A/  I   AC AB  AM AN A/ O  (khơng đổi A, (O) cố định) Suy AC  A/ O  AB Vì A, B cố định C thuộc AB nên từ hệ thức ta có C cố định Suy I thuộc đường trung trực BC cố định Nhận xét: Việc tìm điểm C cố định dễ hiểu tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm đường trung trực dây cung Hơn điểm B cố định đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN với đường tròn (O) có trục đẳng phương MN Do A (O) cố định nên A/ O  không đổi Bài Cho đường trịn tâm O đường kính AB điểm H cố định thuộc AB Từ điểm K thay đổi tiếp tuyến B (O), vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) C D Chứng minh CD qua điểm cố định Giải C K B A O H I M D Gọi I điểm đối xứng H qua B, suy I cố định thuộc (K) Gọi M giao điểm CD AB Vì CD trục đẳng phương (O) (K) nên ta có:  MH MI  MC.MD  MA.MB  MB  BH   MB  BH  MB  BH   MB  MB  BI   MB  MB  BA 2  MB.BA  MB  BH  MB  MB.BA  BM  BH BA Vì A, B, H cố định suy M cố định Do CD ln qua điểm M cố định Nhận xét: Việc xác định điểm M giao điểm CD AB (cố định) dễ dàng để dự đoán ta thay đổi vị trí điểm K Do A, B cố định tiếp tuyến KB cố định nên điểm I xuất cố định dễ hiểu M /  K   MH MI  MC.MD M / O  Bài (VMO 2014) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), B, C cố định A thay đổi (O) Trên tia AB AC lấy điểm M N cho MA = MC NA = NB Các đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN ABC cắt P  P  A Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC Q a) Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng b) Gọi D trung điểm BC Các đường trịn có tâm M, N qua A cắt K  K  A Đường thẳng qua A vng góc với AK cắt BC E Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt (O) F  F  A Chứng minh đường thẳng AF qua điểm cố định Giải: A N O C E B Q D F P K M I a) Khơng tính tổng qt, ta giả sử AB  AC hình vẽ, trường hợp cịn lại hồn tồn tương tự Khi đó, M nằm ngồi đoạn AB N nằm đoạn AC Do NA = NB nên   NAB  MA = MC nên MCA   MAC  Từ suy NBA   MCA  hay tứ giác BMCN NBA nội tiếp ta QM.QN = QB.QC Từ suy Q có phương tích đến hai đường trịn (O) (AMN) nên nằm trục đẳng phương hai đường tròn Trục đẳng phương dây chung AP nên suy A, P, Q thẳng hàng b) Ta thấy đường tròn (ODC) tiếp xúc với (O) C nên trục đẳng phương hai đường trịn tiếp tuyến d (O) C Ta chứng minh O ∈ (ADE) Thật vậy, ta có O,M nằm trung trực AC nên OM ⊥ AC Tương tự ON ⊥ AB nên O trực tâm tam giác AMN Suy AO ⊥ MN Xét hai đường trịn (M, MA), (N, NA) dây chung vng góc với đường nối tâm nên ta   900 Hơn nữa, ta có có AK ⊥ MN Từ suy A, O, K thẳng hàng nên OAE   900 nên tứ giác AODE nội tiếp hay O ∈ (ADE) Do đó, trục đẳng phương (ADE) ODE (ODC) OD Ngoài ra, trục đẳng phương (O) (ADE) AF Xét ba đường trịn (O), (ADE), (ODC) có trục đẳng phương cặp đường tròn OD, d, AF nên chúng đồng quy điểm Vậy AF qua giao điểm OD với đường thẳng d điểm cố định Nhận xét Câu a) tốn dễ dàng giải ý tưởng chứng minh điểm B, M, N, C thuộc đường tròn Ω đoạn AP, MN, BC trục đẳng phương tương ứng hai ba đường tròn (O), Ω, (AMN) nên đồng quy tâm đẳng phương Q Hướng tiếp cận nhận thấy Tuy nhiên, ý b) có xuất nhiều đường tròn, đường thẳng với yêu cầu “đi qua điểm cố định” nhiều bạn gặp khó khăn Nhưng để ý cẩn thận ta dễ dàng tìm điểm cố định I cách cho A tiến dần đến hai điểm đối xứng với B, C qua tâm (O) để phát điểm cố định có phải nằm tiếp tuyến (O) B, C Và khơng khó để nhận mơ hình quen thuộc tứ giác điều hòa đường đối trung Cụ thể ABFC tứ giác điều hịa tương ứng với AF đường đối trung tam giác ABC Lời giải nêu thực tế chứng minh lại tính chất mơ hình mà thơi Ta biết trong tứ giác điều hịa tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp hai đỉnh đối đồng quy với đường chéo qua hai đỉnh lại, cịn đường đối trung đối xứng với trung tuyến AD qua phân giác góc A (cũng coi phần mơ hình tứ giác điều hịa) Thơng qua cách dựng điểm E giao điểm tiếp tuyến (O) với BC, toán xây dựng thêm đường trịn đường kính EO để có tứ giác Trên thực tế, hai bước xây dựng bị che giấu chất thông qua điểm thẳng hàng điểm đồng viên nhằm loại vai trò điểm O Bài (VMO 2015) Cho đường tròn (O) hai điểm B, C cố định (O), BC không đường kính Một điểm A thay đổi (O) cho tam giác ABC nhọn Gọi E, F chân đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC Cho (I) đường tròn thay đổi qua E, F có tâm I a) Giả sử (I) tiếp xúc với BC điểm D Chứng minh DB cot B  DC cot C b) Giả sử (I) cắt cạnh BC hai điểm M, N Gọi H trực tâm tam giác ABC P, Q giao điểm (I) với đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC Đường tròn (K) qua P, Q tiếp xúc với (O) điểm T (T phía A PQ) Chứng minh đường phân giác  qua điểm cố định góc MTN Giải: a) Giả sử điểm D nằm cạnh BC, trường hợp điểm D nằm ngồi chứng minh tương tự Ta có hai cách xử lý sau: Cách A E S R I F B O C D Gọi R, S giao điểm (I) với BC (các giao điểm tương ứng trùng E, F trường hợp tam giác ABC cân) Ta có AR AF  AS AE  AR AE AB    RS / / BC AS AF AC DB BF BR BF BR BF AB BF BE cot B      Do (I) tiếp xúc với BC D nên DC CE.CS CE CS CE AC CE CF cot C Do DB cot B  DC cot C Cách 10 A T K J M O H N I B E D R S C U X Gọi R, S trung điểm DB, DC R, S tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMD, CND Ta có TM  TN , MR  DB '  BC  DC '  NS   TNS   TMR  TNS  c.g.c  Bằng biến đổi góc ta thu TMR Suy TR = TS hay T nằm đường trung trực BC Gọi X tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC X cố định Ta chứng minh T nằm trục đẳng phương đường tròn (S) (X) Gọi U trung điểm XD Ta thấy T /  X  T /  S   TX  XC  TS  SC  TX  TS  XD  CD  SC  TD  SD  XD  CD  SC  TC  XD 2  TD  XD   TC  XD  CD  2TD XD  DS  DU DT Điều tương đương với tam giác TSU vuông S Hơn nữa, ta thấy 19   900  STU   SUT   900  RTS   BXC   1800  MTN   MIN   1800 TSU Đẳng thức cuối nên suy T nằm trục đẳng phương (S) (X) Do hai đường tròn cố định nên trục đẳng phương chúng cố định T giao điểm hai đường thẳng cố định nên T điểm cố định Ta có đpcm Bài 10 (USA TST 2012) Cho tam giác ABC, P điểm chuyển động BC Gọi Y, Z điểm AC, AB cho PY = PC, PZ = PB Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AYZ qua trực tâm tam giác ABC Giải: A Y T Z H S B P G C L Gọi T, S hình chiếu P AC, AB Kẻ đường cao AG tam giác ABC, AG cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AYZ điểm H cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC L Dễ thấy TY = TC nên Tương tự S/ AYZ  S/  ABC  T /  AYZ  T /  ABC   TY TA  1 TC.TA  1 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, AYZ AST đồng trục Do G, T , S   AT  nên G/  AYZ  G/  ABC   1  GH GA GH  1   1 hay G trung điểm HL GL.GA GL 20 Suy H trực tâm tam giác ABC Bài 11 (Hải Phòng 2016) Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  nội tiếp đường tròn  O  Hai đường cao BE, CF cắt H Một điểm M di chuyển đoạn thẳng AB Đường thẳng qua M vng góc với AC cắt AO I; IH cắt CM D; BD cắt AC N; AD cắt BC P Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm cố định Giải: A J K E I F H O M S B N D P C Q a) MI cắt AC J Ta chứng minh BCNM tứ giác nội tiếp Từ I kẻ đường thẳng vng góc với AB , cắt AB , AC K N ' ; N ' B cắt CM D ' Kí hiệu  1  ,  2  đường tròn ngoại tiếp tứ giác BN ’EK CMFJ Ta có I    IN '.IK I    IM IJ Tứ giác MN ’JK nội tiếp  IM IJ  IN '.IK  I     I    (1) Tương tự H     HB.HE  HC.HF  H    (2) 1 AMN '  900  BAO AOB   ACB Lại có I trực tâm AMN ’    tứ giác BCN ’M nội tiếp  D '     D ' B.D ' N '  D ' C.D ' M  D '    21 (3) Từ (1), (2), (3)  I , H , D ' thẳng hàng (cùng thuộc trục đẳng phương  1  ,  2  )  D  D '; N  N ' tứ giác BCNM nội tiếp Gọi Q trung điểm BC S giao điểm BC MN  S , P, B, C  hàng điểm điều hòa  SB.PC   SC PB         SQ  QB PC   SQ  QC PB  SQ PC  PB  QC PC  PB    2.SQ.PQ  QC.BC  SQ SQ  SP   BC 2  SP.SQ  SQ  BC  SQ  QB SQ  QC  SB.SC    Mà tứ giác BCNM nội tiếp  SB.SC  SM SN  SP.SQ  SM SN  tứ giác MNQP nội tiếp Vậy đường tròn ngoại tiếp MNP qua điểm Q cố định Bài 12 Cho bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự nằn đường thẳng Hai đường trịn có tâm O1 , O2 thay đổi qua A, C B, D, giao M, N Các tiếp tuyến chung O  , O  tiếp xúc với O1  P1 , Q1 , tiếp xúc với O2  P2 , Q2 Gọi I, J, X, Y trung điểm đoạn P1P2 , Q1Q2 , P2Q1 , PQ a) Chứng minh điểm M, N, X, Y, I, J thuộc đường thẳng d; b) Chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định Giải 22 P2 I P1 D M B W X A C O1 Y Q1 O2 N J Q2 a) Ta có MN trục đẳng phương O1  , O2  Mà I / O   IP12  IP2 I / O  , tương tự J/ O  J/ O  nên I, J thuộc trục đẳng phương  O1  ,  O2  , tức I, J thuộc đường thẳng MN   / / P Q PQ  kP Q , k  Mặt khác Dễ thấy PQ , 1 2 1 2             XY  XP2  P2Q2  Q2Y  XQ1  Q1P1  PY  P Q  PQ   k P2Q2  XY / / P2Q2   2 1         Nhưng JY đường trung bình tam giác Q1Q2 P2  JY / / P2Q2 Suy JY / / XY  X , Y , J thẳng hàng Tương tự X, Y, I thẳng hàng Suy X, Y, I, J thuộc trục đẳng phương đường thẳng MN O1  , O2  b) Gọi W  d  AD Ta chứng minh W cố định Vì W  d trục đẳng phương O1  , O2  nên      W / O  W / O   WA.WC  WB.WD  WA          WA AC  WA AB  AD  AB.AD  WA         WA  AC  WA  AB WA  AD           AD  BC   AB.AD Đẳng thức chứng tỏ W cố định Vậy d qua điểm cố định Bài 13 Trên đường tròn (O) cho ba điểm A, B, C cố định cho tam giác ABC cân A M  không chứa A (O) cho AM không qua O Đường điểm di động cung BC 23 trịn (T) có tâm A bán kính AB cắt tia MC D, đường thẳng AD cắt (O) E khác với A Gọi H hình chiếu D AC   MEC  1) Chứng minh BDH 2) Gọi I trung điểm AD, d1 đường thẳng qua A vuông góc với IO, d2 đường thẳng qua D vng góc với AI Giả sử d1 d2 cắt K Chứng minh K nằm đường thẳng cố định M thay đổi Giải:  Gọi a) Ta có MA phân giác góc BMC M D’ điểm đối xứng với B qua MA, D’ B thuộc tia MC Vì AD '  AB nên D’ nằm đường trịn (T) tâm A bán kính AB D’ N giao điểm (khác C) (T) MC Mà D giao điểm CM (T) D  D ' O I A Vậy BD  AM E D H Gọi N  BD  AM , ta có tứ giác ANDH nội C tiếp đường trịn đường kính AD Xét tam giác NDH tam giác MEC, ta có: K   NAD   MCE  (1) NHD   HAD   CME  (2) HND Từ (1) (2) suy tam giác NDH đồng dạng   MEC  với tam giác MEC BDH b) Ta có d1 trục đẳng phương đường tròn (I,IA) (O); d2 trục đẳng phương đường tròn (I,IA) (T); BC trục đẳng phương (O) (T) Theo tính chất tâm đẳng phương d1 , d2 BC đồng quy Do giao điểm K d1 , d2 thuộc đường thẳng BC cố định Bài 14 Cho tam giác ABC có D trung điểm cạnh BC Gọi d đường thẳng qua D vng góc với đường thẳng AD Trên đường thẳng d lấy điểm M Gọi E, F trung điểm đoạn thẳng MB, MC Đường thẳng qua E vng góc với d cắt đường 24 thẳng AB P, đường thẳng qua F vng góc với d cắt đường thẳng AC Q Chứng minh đường thẳng qua M, vng góc với đường thẳng PQ qua điểm cố định M di động đường thẳng d Giải: P A d' M K E F K' B C D H' H Q I d Phân tích Ta thấy đề giả thiết đưa xoay quanh yếu tố trung điểm, đường vng góc, đoạn thẳng, có nhiều yếu tố nên việc liên kết chúng lại đảm bảo sử dụng tất giả thiết điều không dễ dàng Chúng ta có lời giải cách sử dụng phương pháp hình học túy nhờ kiến thức trục đẳng phương sau phức tạp cần phải kẻ nhiều đường phụ: Giải: Gọi H, K hình chiếu B, C lên đường thẳng d Do D trung điểm BC nên DH = DK, suy AD trung trực HK  AH =AK Gọi ( ) đường tròn tâm A qua H K Gọi H’, K’ điểm đối xứng với H, K qua đường thẳng AB, AC  H’, K’ thuộc ( ) 25 Giả sử đường thẳng HH’, KK’ cắt I I điểm cố định (*) Ta có PE // BH (cùng vng góc với d) mà PE qua trung điểm MB nên qua trung điểm MH  PE trung trực MH  PH = PM Gọi (1 ) đường tròn tâm P qua H M, tính đối xứng nên H’ thuộc (1 ) Hoàn toàn tương tự, ta có: QF trung trực MK; gọi (2 ) đường tròn tâm Q qua K M K’thuộc (2 ) Ta lại có: + ( ) , (1 ) cắt tai H, H’ nên HH’ trục đẳng phương ( ) , (1 ) + ( ) , (2 ) cắt tai K, K’ nên KK’ trục đẳng phương ( ) , (2 ) Mặt khác M thuộc (1 ) , (2 ) P, Q tâm (1 ) , (2 ) nên đường thẳng d’ qua M, vng góc với PQ trục đẳng phương (1 ) , (2 ) Suy HH’, KK’, d’ đồng quy tâm đẳng phương ba đường tròn ( ) , (1 ) , (2 ) (**) Từ (*) (**) suy d’ qua I điểm cố định Vậy đường thẳng qua M, vng góc với đường thẳng PQ qua điểm cố định M di động đường thẳng d Ta có đpcm Bài 15 Cho đường tròn (O) tiếp xúc đường thẳng d H Hai điểm M, N di động d cho HM HN   k ( k  cho trước) Từ M, N kẻ tiếp tuyến MA NB đến đường tròn (O) (với A, B khác H) a) Chứng minh đường tròn (OMN) qua điểm cố định b) Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định Giải: I O K A E B H M P J26 N F d a) Gọi P giao điểm OH với đường trịn (OMN) Khi ta có HM HN  HO.HP   k Mà H, O cố định, k không đổi nên P cố định Vậy đường trịn (OMN) ln qua hai điểm cố định O, P b) Gọi IH đường kính (O); E, F giao điểm IA, IB với d Dễ thấy M, N trung điểm EH, FH Ta có HE.HF  2.HM HN  4k Dựng đường tròn (IEF) cắt IH điểm thứ hai J H /(IEF)  HI HJ  HE.HF  4k  J cố định Trong tam giác vng IHE IHF ta có IA.IE  IB.IF  IH   EFB  (cùng bù với EAB ) Suy tứ giác ABEF nội tiếp  IAB   EJI  nên IAB   EJI  Mà EFB Gọi K giao điểm AB IJ ta có tứ giác AKJE nội tiếp I /( AKJE )  IA.IE  IK IJ  IH  K cố định Bài 16 Cho đường trịn (O, R) đường thẳng d khơng có điểm chung với (O) Từ O hạ OH  d H Giả sử M điểm d Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) Gọi K, I hình chiếu vng góc H xuống MA, MB Chứng minh đường kính KI ln qua điểm cố định Giải: M I d B K T H L O J A N 27 Gọi J, T giao điểm AB với OH OM Ta có OM  AB MA, MB   900 tiếp tuyến đường tròn (O) Suy MTJ   900 OH  HM Lại có MHJ   MHJ   1800 suy MTJH nội tiếp  OJ.OH  OT.OM  MTJ mà OT OM  OA2  R tam giác OMA vng A có AT đường cao R2 Suy OJ  suy J cố định OH Gọi N hình chiếu vng góc H xuống AB, L giao điểm KI OH Ta có năm điểm M, H, O, A, B nằm đường trịn đường kính OM Do K, I, N hình chiếu vng góc H xuống MA, MB, AB nên K, I, N thẳng hàng (tính chất đường thẳng Simson tam giác MAB tương ứng với H)   IBH  Vậy tứ giác HIBN nội tiếp, INH (1)   MOH  Mặt khác tứ giác MOBH nội tiếp nên IBH (2)   JHN  Lại có HN / / OM vng góc AB nên MOH (3)   JHN  Từ (1), (2) (3) suy INH Hơn tam giác JHN vng góc N nên từ ta có L trung điểm JH Do J, H cố định nên L cố định Vậy đường thẳng KI qua điểm L cố định Bài 17 Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định B, C thay đổi đường thẳng d cố định cho gọi A’ hình chiếu A lên d AB AC âm khơng đổi Gọi M hình chiếu A’ lên AB Gọi N hình chiếu A’ lên AC, K giao điểm tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN M N Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định Giải: 28 A N O P I M C A' B D H K Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN I giao điểm OK MN Ta thấy O trung điểm AA’ Gọi D P giao điểm AA’ với (ABC) MN Dễ thấy AM AB  AA  AN AC Suy tứ giác BMNC nội tiếp   AMN   ACB ADB   ACB nên  AMN   ADB Suy MPDB nội tiếp Mà  Do ta có AP AD  AM AB  AA Mà A, A’ D cố định suy P cố định Gọi H hình chiếu K AA’ Ta có OP.OH  OI OK  ON  AA2 Mà O, P, A’ cố định suy H cố định Vậy K thuộc đường thẳng qua H vng góc với AA’ 29 Bài tập tương tự Bài Cho điểm C, A, B thẳng hàng xếp theo thứ tự Một đường trịn (O) thay đổi ln qua hai điểm A B CM CM’ hai tiếp tuyến (O) Chứng minh rằng: a) M M’ thuộc đường tròn cố định b) Trung điểm H MM’ thuộc đường cố định Bài Cho đường tròn (C) tâm O điểm A khác O nằm đường tròn Một đường thẳng thay đổi qua A không qua O cắt (C) M, N Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua điểm cố định khác O Bài (VMO 2003) Trên mặt phẳng cho hai đường tròn (O1) (O2) cố định tiếp xúc M bán kính (O2) lớn bán kính (O2) Một điểm A di chuyển (O2) cho điểm O1, O2 A không thẳng hàng Từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB AC đến (O1) (B, C hai tiếp điểm) Đường thẳng MB MC cắt đường tròn (O2) E F Gọi giao điểm EF với tiếp tuyến A (O2) D Chứng minh D di chuyển đường cố định A thay đổi (O2) mà O1, O2 A không thẳng hàng Bài Cho đường tròn (C) tâm O đường thẳng (d) nằm ngồi đường trịn I điểm di động (d) Đường trịn đường kính IO cắt (C) M, N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài Cho đường trịn tâm O đường kính AB D điểm cố định thuộc AB, đường thẳng d qua D vng góc với AB H điểm thay đổi d AH BH cắt (O) P Q Chứng minh PQ qua điểm cố định Bài Cho tam giác ABC khơng vng A có đường trung tuyến AM Gọi D điểm di động đường thẳng AM Gọi (O1), (O2) đường tròn qua D, tiếp xúc với BC B C Gọi P, Q giao điểm đường thẳng AB với đường tròn (O1), đường thẳng AC với đường tròn (O2) Chứng minh rằng: a) Tiếp tuyến P (O1 ) tiếp tuyến Q (O2 ) phải cắt điểm Gọi giao điểm S b) Điểm S di chuyển đường thẳng cố định D di động AM Bài Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB điểm M di động bên hình thang Gọi E, F giao điểm MC, MD với AB Đường tròn ngoại tiếp tam giác MAE tam giác BMF cắt điểm thứ hai N Chứng minh MN qua điểm cố định 30 Bài Cho đường trịn tâm (O) điểm A nằm ngồi (O) (I) đường tròn thay đổi qua A cắt (O) hai điểm M, N Gọi K giao điểm MN với tiếp tuyến I điểm A a) Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định b) Cho đường tròn (I) thay đổi qua A đồng thời tâm (I) thuộc đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với đường tròn cố định Bài Cho đường tròn (C) tâm O cố định điểm M khác O Đường kính AB quay quanh O khơng qua M MA, MB cắt (O) điểm thứ hai A’, B’ a) Chứng minh đường thẳng A’B’ qua điểm cố định b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MA’B’ qua điểm cố định Bài 10 Cho đường tròn (O) hai điểm phân biệt A, B cố định (AB đường kính) Điểm C cung lớn  AB , vẽ đường kính CE Gọi H hình chiếu C AB CF phân giác  ACB Đường thẳng EF cắt lại (O) điểm thứ hai K a) Chứng minh đường thẳng vng góc với HK K ln qua điểm cố định C di động cung lớn  AB b) Kẻ dây cung CD (O) cho CD // AB Gọi P giao điểm CK với AB, Q giao điểm thứ hai DH (O) Chứng minh PQ qua điểm cố định C di động cung lớn  AB Bài 11 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi E giao điểm AB CD, F giao điểm AD BC Điểm G chạy đường tròn tâm (O) GE, GF theo thứ tự cắt đường tròn (O) I, K Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK qua điểm cố định (khác điểm O) Bài 12 Cho tam giác ABC nhọn đường tròn thay đổi qua B, C cắt AB, AC M, N Gọi P giao điểm BN CM Q, T giao điểm AP, MN với BC Đường thẳng qua Q song song với MN cắt AB, AC R, S a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác RST qua điểm cố định b) Gọi K trực tâm tam giác AMN, a độ dài cạnh BC d khoảng cách từ A đến đường thẳng PK Chứng minh d  a.cosA Bài 13 Cho tam giác ABC có D trung điểm cạnh BC Gọi d đường thẳng qua D vng góc với đường thẳng AD Trên đường thẳng d lấy điểm M Gọi E, F 31 trung điểm đoạn thẳng MB, MC Đường thẳng qua E vng góc với d cắt đường thẳng AB P, đường thẳng qua F vng góc với d cắt đường thẳng AC Q Chứng minh đường thẳng qua M, vng góc với đường thẳng PQ qua điểm cố định M di động đường thẳng d Bài 14 Cho đường trịn  w  có hai dây BC DE cắt A, với B, C cố định Một đường thẳng qua D song song với BC cắt  w  điểm thứ hai F, FA cắt  w  điểm T T  F  Gọi M giao điểm ET BC, N điểm đối xứng A qua M Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác DEN qua điểm cố định Bài 15 Cho đường tròn  O; R  đường trịn  I ; r  nằm X điểm thay đổi  I  , tiếp tuyến X  I  cắt  O  hai điểm A,B phân biệt Đường thẳng qua X vng góc với IA cắt lại  I  Y C điểm đối xứng I qua XY O' tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh O' thuộc đường tròn cố định Bài 16 Cho tam giác ABC khơng cân, khơng vng nội tiếp đường trịn  O  Các tiếp tuyến  O  B C cắt T Đường thẳng AT cắt đường tròn  O  điểm X khác A Kẻ đường kính XY đường trịn  O  , đường thẳng YB, XC cắt P, đường thẳng XB, YC cắt Q a) Chứng minh T trung điểm PQ b) Giả sử đường tròn  O  cố định điểm B, C cố định thuộc đường tròn  O  Biết điểm A di động  O  thỏa mãn điều kiện toán, gọi S giao điểm AY PQ Chứng minh S di động đường thẳng cố định Bài 17 (Hà Nội TST-2019) Cho hai đường tròn  O   O '  cắt A B Qua A kẻ hai đường thẳng 1  1 cắt hai đường tròn  O   O '  C D; 2 cắt hai đường tròn  O   O '  E F ( C , D, E , F khác A ) Các đường trung trực CD EF cắt K Đường thẳng d thay đổi qua K cắt đường tròn  O '  P , Q Chứng minh trực tâm tam giác APQ nằm đường tròn cố định 32 C PHẦN KẾT LUẬN Trên số toán yếu tố cố định giải cách sử dụng đến phương tích, trục đẳng phương Kiến thức phương tích dễ hiểu đơn giản ứng dụng nhiều, khơng tốn chứng minh, quỹ tích tốn tính tốn thơng thường, thơng qua tốn yếu tố cố định ta lại thấy ứng dụng phương tích để giải lớp tốn khó tốn yếu tố cố định Thơng qua giúp học sinh tiếp cận hình thành kĩ sử dụng phương tích, lựa chọn cách giải tốn phù hợp, tăng thêm tính say mê, tích cực tìm tịi sáng tạo Chun đề nhằm mục đích trao đổi với thầy dạy mơn tốn việc sử dụng phương tích, trục đẳng phương để giải yếu tố cố định nói riêng tốn hình học phẳng nói chung Do kiến thức cịn nhiều hạn chế nên chuyên đề khó tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong có góp ý q thầy để chun đề hồn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình: Tài liệu chun tốn hình học 10 NXB Giáo dục, 2010 [2] Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình: Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 10 NXB Giáo dục, 2006 [3] Tuyển tập lời giải bình luận đề thi VMO năm nhóm tác giả Trần Nam Dũng [4] Nguồn liệu từ Internet: www.matlinks.ro, diendantoanhoc.net, matscope.org [5] http://artofproblemsolving.com/community/c6t145f6h528618 [6] http://artofproblemsolving.com/community/c6h550606p3195787 [7] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ [8] Nguyễn Minh Hà: Bài tập trường hè viện toán học 33 ... hiểu đơn giản ứng dụng nhiều, khơng tốn chứng minh, quỹ tích tốn tính tốn thơng thường, thơng qua toán yếu tố cố định ta lại thấy ứng dụng phương tích để giải lớp tốn khó tốn yếu tố cố định Thơng... 1800 TSU Đẳng thức cuối nên suy T nằm trục đẳng phương (S) (X) Do hai đường tròn cố định nên trục đẳng phương chúng cố định T giao điểm hai đường thẳng cố định nên T điểm cố định Ta có đpcm Bài 10... O '  P , Q Chứng minh trực tâm tam giác APQ nằm đường tròn cố định 32 C PHẦN KẾT LUẬN Trên số toán yếu tố cố định giải cách sử dụng đến phương tích, trục đẳng phương Kiến thức phương tích dễ