Chuyên đề tổ hợp và xác suất

MỤC LỤC TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP - XÁC Các quy tắc đếm A Bài tập mẫu Dạng 1.1 Bài toán sử dụng quy tắc nhân B Bài tập mẫu Chỉnh hợp A Bài tập mẫu Hoán vị A Bài tập mẫu Tổ hợp A Tóm tắt lí thuyết B Bài tập mẫu C Bài tập rèn luyện SUẤT CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP Dạng 0.1 Rút gọn biểu thức chứa chỉnh hợp - hoán vị - tổ hợp Dạng 0.2 Giải phương trình liên quan đến chỉnh hợp - tổ hợp - hoán vị Dạng 0.3 Giải bất phương trình liên quan đến chỉnh hợp-hốn vị- tổ hợp Dạng 0.4 Giải hệ phương trình chỉnh hợp - hốn vị - tổ hợp Dạng 0.5 Chứng minh đẳng thức tổ hợp Dạng 0.5 Chứng minh đẳng thức tổ hợp (Cách 2) Dạng 0.5 Chứng minh đẳng thức tổ hợp (Cách 3) Dạng 0.5 Chứng minh đẳng thức tổ hợp (Cách 4) Dạng 0.5 Chứng minh đẳng thức tổ hợp (Cách - dùng đạo hàm) Dạng 0.5 Chứng minh đẳng thức tổ hợp (Cách - dùng tích phân) Dạng 0.6 Tính tổng biểu thức tổ hợp Dạng 0.7 Tìm hệ số số hạng tìm số hạng (Loại khơng cho giả thiết) Dạng 0.8 Tìm hệ số số hạng tìm số hạng Dạng 0.9 Chứng minh bất đẳng thức tổ hợp 45 45 47 52 56 58 61 62 65 69 72 79 88 97 106 CÁC DẠNG TOÁN LÝ LUẬN Dạng 0.10 Đếm số dùng quy tắc nhân quy tắc cộng Dạng 0.11 Bài toán đếm số - Dùng chỉnh hợp Dạng 0.12 Bài toán xếp đồ vật Dạng 0.13 Bài toán xếp người Dạng 0.14 Bài toán chọn vật, dùng tổ hợp Dạng 0.15 Bài toán chọn người - Dùng tổ hợp Dạng 0.16 Bài toán chọn người - Dùng tổ hợp Dạng 0.17 Bài toán phân chia tập hợp - dùng tổ hợp Dạng 0.18 Đếm số điểm, số đoạn thẳng, số góc, số đa giác, số miền Bộ đề số Bộ đề số Bộ đề số Bộ đề số Bộ đề số 111 111 120 134 136 141 148 148 158 160 164 169 174 180 187 193 193 197 199 204 208 Các toán xác suất thi học sinh giỏi Dạng 0.1 Bài toán chia hết Dạng 0.2 Số lần xuất chữ số Dạng 0.3 Liên quan đến vị trí Dạng 0.4 Các tốn đếm số phương án, tính xác suất liên quan người, đồ vật Dạng 0.5 Các toán đếm số phương án Tính xác suất liên quan đến đa giác 3 3 15 21 21 30 31 35 35 36 40 MỤC LỤC Dạng 0.6 Các tốn đếm, xếp liên quan đến vị trí, xếp chỗ 211 CHƯƠNG TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP - XÁC SUẤT BÀI CÁC QUY TẮC ĐẾM Định nghĩa Quy tắc nhân Một cơng việc hồn thành hai cơng đoạn liên tiếp Nếu có m cách thực cơng đoạn thứ ứng với cách có n cách thực cơng đoạn thứ hai có m · n cách hồn thành cơng việc Định lí Giả sử cơng việc H hồn thành qua k công đoạn liên tiếp Công đoạn thứ có n1 cách thực hiện, ứng với cách Cơng đoạn thứ hai có n2 cách thực hiện, ứng với cách Cơng đoạn thứ ba có n3 cách thực hiện, ứng với cách Cơng đoạn thứ k có nk cách thực Khi để hồn thành cơng việc H ta có n1 · n2 · n3 · · · nk cách thực A BÀI TẬP MẪU DẠNG 1.1 Bài toán sử dụng quy tắc nhân Sử dụng quy tắc nhân để giải số đếm Giả sử công việc H hồn thành qua k cơng đoạn liên tiếp Cơng đoạn thứ có n1 cách thực hiện, ứng với cách Cơng đoạn thứ hai có n2 cách thực hiện, ứng với cách Cơng đoạn thứ ba có n3 cách thực hiện, ứng với cách Cơng đoạn thứ k có nk cách thực Khi để hồn thành cơng việc H ta có n1 · n2 · n3 · · · nk cách thực Bài Bạn Q có áo dài quần trắng Khi bạn đến trường bạn Q có cách trang phục ? ĐS: 12 cách Lời giải Mỗi cách mặc áo dài có tương ứng ba cách mặc quần trắng Suy bạn Q có cách chọn áo dài cách chọn quần trắng Áp dụng quy tắc nhân ta có · = 12 cách trang phục Bài Một trường phổ thơng có 12 học sinh chun tin 18 học sinh chuyên toán Thành lập đồn gồm hai người dự hội nghị cho có học sinh chuyên tin học sinh chuyên tốn Hỏi có cách lập đồn ĐS: 216 cách Lời giải Để có đồn dự hội nghị phải có đồng thời học sinh chuyên tin học sinh chuyên toán Mỗi cách chọn học sinh chuyên tin số 12 học sinh chuyên tin có 18 cách chọn học sinh chuyên toán 18 học sinh chuyên toán Theo quy tắc nhân ta có 12 · 18 = 216 cách CHƯƠNG TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP - XÁC SUẤT Bài Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5} Có số tự nhiên gồm ba chữ số đôi khác ? ĐS: 60 số Lời giải Gọi số tự nhiên có ba chữ số cần tìm n = a1 a2 a3 , đó: a1 có cách chọn a2 có cách chọn a3 có cách chọn Do số số tự nhiên n cần tìm · · = 60 số Bài Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Có số gồm năm chữ số đôi khác tạo từ chữ số tập hợp A ? ĐS: 600 số Lời giải Gọi số có năm chữ số đơi khác cần tìm n = a1 a2 a3 a4 a5 , a1 có cách chọn (vì để số n có nghĩa a1 = 0) a2 có cách chọn a3 có cách chọn a4 có cách chọn a5 có cách chọn Do theo quy tắc nhân có · · · · = 600 số n cần tìm Bài Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8} a) Có số tự nhiên gồm sáu chữ số đôi khác tạo nên từ tập A b) Có số tự nhiên gồm năm chữ số đôi khác chia hết cho ĐS: 5040 số, 360 số Lời giải a) Gọi số có sáu chữ số đơi khác cần tìm là: n1 = a1 a2 a3 a4 a5 a6 Với a1 có cách chọn; a2 có cách chọn; a3 có cách chọn; a4 có cách chọn; a5 có cách chọn; a6 có cách chọn Suy có · · · · · = 5040 số cần tìm b) Gọi số có năm chữ số đơi khác cần tìm là: n2 = a1 a2 a3 a4 a5 Do n2 chia hết a5 = Như tập A lại phần tử (bỏ số đi) Với a1 có cách chọn; a2 có cách chọn; a3 có cách chọn; a4 có cách chọn Suy có · · · = 360 số cần tìm Bài Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Có số tự nhiên có chữ số đơi khác chia hết cho tạo thành từ chữ số tập A ĐS: 4680 số Lời giải Gọi số có sáu chữ số đơi khác cần tìm n = a1 a2 a3 a4 a5 a6 Do số n chia hết a6 Xét trường hợp sau CÁC QUY TẮC ĐẾM a6 = 0, n1 = a1 a2 a3 a4 a5 Trong tập A lúc lại phần tử Với a1 có cách chọn; a2 có cách chọn; a3 có cách chọn; a4 có cách chọn; a5 có cách chọn Suy có · · · · = 2520 số có dạng n1 a6 = 5, n2 = a1 a2 a3 a4 a5 Trong tập A lúc lại phần tử Với a1 có cách chọn (a1 = 0); a2 có cách chọn; a3 có cách chọn; a4 có cách chọn; a5 có cách chọn Suy có · · · · = 2160 số có dạng n2 Vậy số số cần tìm 2160 + 2520 = 4680 Bài Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Có số gồm sáu chữ số có nghĩa đơi khác chia hết cho ln có chữ số 0? ĐS: 3970 số Lời giải Gọi số có sáu chữ số có nghĩa n = a1 a2 a3 a4 a5 a6 Do số n chia hết a6 = a6 = Xét trường hợp a6 = số cần tìm có dạng n1 = a1 a2 a3 a4 a5 Có · · · · = 2520 số n1 a6 = số cần tìm có dạng n2 = a1 a2 a3 a4 a5 Trong n2 ln có mặt chữ số a1 = 0, suy có cách chọn a1 Cịn lại vị trí, nên có vị trí để xếp chữ số Cịn lại vị trí cịn lại chữ số Vị trí thứ có cách chọn; vị trí thứ hai có cách chọn; vị trí thứ có cách chọn Vậy số số n2 · · · · = 1440 số dạng n2 Vậy có 1440 + 2520 = 3970 số n cần tìm Bài Từ năm chữ số 0; 1; 3; 5; lập số gồm bốn chữ số khác không chia hết cho 5? ĐS: 54 số Lời giải Gọi số có chữ số khác cần tìm a1 a2 a3 a4 Vì số cần tìm không chia hết a4 = {0; 5} ⇒ Vị trí số a4 có cách chọn Vị trí số a1 có cách chọn (do a1 = a4 a1 = 0) Vị trí số a2 có cách chọn (do a2 = a4 , a1 ) Vị trí số a3 có cách chọn (do a3 = a4 , a1 , a2 ) Do có · · · = 54 (số cần tìm) Bài Có số tự nhiên chữ số khác nhau, nhỏ 10000 tạo thành từ năm chữ số: 0, 1, 2, 3, ? ĐS: 157 số Lời giải Các số nhỏ 10000 phải chữ số 1, 2, 3, có bốn, ba, hai, chữ số Gọi số n1 = a1 a2 a3 a4 Với a1 có cách chọn; a2 có cách chọn; a3 có cách chọn; a4 có cách chọn Do đó, trường hợp có · · · = 96 số n1 Số có ba chữ số n2 = a1 a2 a3 Với a1 có cách chọn; a2 có cách chọn; a3 có cách chọn Do đó, trường hợp có · · = 48 số n2 CHƯƠNG TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP - XÁC SUẤT Số có hai chữ số n3 = a1 a2 Với a1 có cách chọn; a2 có cách chọn Do đó, trường hợp có · = 16 số n3 Số có chữ số: số Vậy tất có 96 + 48 + 16 + = 157 số cần tìm Bài 10 Có 20 sinh viên Toán 45 sinh viên Tin học Có cách chọn hai sinh viên khác khoa ? Có cách chọn sinh viên Toán Tin học ? ĐS: 900 ĐS: 65 Lời giải Để chọn hai sinh viên khác khoa, ta thực hai cơng đoạn sau: Chọn sinh viên Tốn có 20 cách chọn Chọn sinh viên Tin có 45 cách chọn Vậy có 20 × 45 = 900 cách chọn Để chọn sinh viên Toán Tin học, ta có hai trường hợp: Chọn sinh viên Tốn có 20 cách chọn Chọn sinh viên Tin có 45 cách chọn Vậy có 20 + 45 = 65 cách chọn Bài 11 Một tòa nhà cao ốc có 39 tầng, tầng có 42 phịng Hỏi có phịng tất tịa nhà ? ĐS: 1638 Lời giải Số tầng tòa nhà 39 Số phòng tầng 42 Vậy có 39 × 42 = 1638 phịng Bài 12 Một trung tâm Internet có 35 máy tính Mỗi máy có 28 cổng kết nối Hỏi có cổng khác trung tâm ? ĐS: 980 Lời giải Số máy tính trung tâm 35 máy Số cổng kết nối máy tính 28 cổng kết nối Vậy có 35 × 28 = 980 cổng kết nối Bài 13 Có biển đăng ký xe ô tô biển số chứa dãy ba chữ (trong bảng 26 chữ tiếng Anh), tiếp sau bốn chữ số ? ĐS: 175760000 Lời giải Giả sử biển số xe a1 a2 a3 b1 b2 b3 b4 ,trong chữ bi số a1 có 26 cách chọn a2 có 26 cách chọn CÁC QUY TẮC ĐẾM a3 có 26 cách chọn b1 có 10 cách chọn b2 có 10 cách chọn b3 có 10 cách chọn b4 có 10 cách chọn Vậy có 263 × 104 = 175760000 biển số Bài 14 Một phiếu thi trắc nghiệm có 12 câu hỏi Mỗi câu hỏi có câu trả lời Có cách điền phiếu trắc nghiệm tất câu hỏi có trả lời ? ĐS: 16777216 Lời giải Số cách điền câu hỏi thứ Số cách điền câu hỏi thứ ··· Số cách điền câu hỏi thứ 12 Vậy có 412 = 16777216 cách trả lời trắc nghiệm Bài 15 Một mẫu áo sơ mi đặc biệt thiết kế có kiểu cho nam có kiểu cho nữ, có 12 màu cỡ cho người Có loại khác mẫu áo sản xuất ? ĐS: 576 Lời giải Ta có số mẫu áo sơ mi 12 × = 24 Số cách chọn kiểu cho nam 24 Số cách chọn kiểu cho nữ 24 Vậy có 24 × 24 = 576 mẫu Bài 16 Từ Quảng Trị đến Quảng Ngãi có đường có đường từ Quảng Ngãi đến TPHCM Có đường khác để từ Quảng Trị đến TPHCM qua Quảng Ngãi? ĐS: 24 Lời giải Số cách chọn đường từ Quảng Trị đến Quảng Ngãi Số cách chọn đường từ Quảng Ngãi đến TPHCM Vậy có × = 24 cách chọn Bài 17 Có biển số xe máy tạo thành biển số gồm hai chữ số bốn chữ hai chữ (trong bảng 26 chữ tiếng Anh), bốn chữ số ? ĐS: 457652 × 106 Lời giải Trường hợp 1: Biển số xe a1 a2 b1 b2 b3 b4 a3 a4 a5 a6 , số bi chữ Số cách chọn a1 10 Số cách chọn a2 10 Số cách chọn b1 26 CHƯƠNG TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP - XÁC SUẤT Số cách chọn b2 26 Số cách chọn b3 26 Số cách chọn b4 26 Số cách chọn a3 10 Số cách chọn a4 10 Số cách chọn a5 10 Số cách chọn a6 10 Suy có 102 × 264 × 104 = 456976 × 106 biển số Trường hợp 2: Biển số xe a1 a2 b1 b2 a3 a4 a5 a6 , số bi chữ Số cách chọn a1 10 Số cách chọn a2 10 Số cách chọn b1 26 Số cách chọn b2 26 Số cách chọn a3 10 Số cách chọn a4 10 Số cách chọn a5 10 Số cách chọn a6 10 Suy có 102 × 262 × 104 = 676 × 106 biển số Vậy có 456976 × 106 + 676 × 106 = 457652 × 106 biển số Bài 18 Có hàm số đơn ánh từ tập có năm phần tử đến tập có số phần tử bằng: 4; ĐS: Khơng có 6; ĐS: 720 5; ĐS: 120 ĐS: 2520 Lời giải Giả sử hàm số f : X −→ Y x ! Hàm số f gọi đơn ánh ∀x , x −→ y = f (x) ∈ X; x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 ) Với Y có phần tử nhỏ số phần tử tập hợp X nên khơng có hàm số đơn ánh f : X −→ Y Hàm số số đơn ánh f : X −→ Y với Y có phần tử Ta có: f (x1 ) có cách chọn f (x2 ) có cách chọn f (x3 ) có cách chọn f (x4 ) có cách chọn f (x5 ) có cách chọn Vậy có × × × × = 120 hàm số Hàm số số đơn ánh f : X −→ Y với Y có phần tử Ta có: CÁC QUY TẮC ĐẾM f (x1 ) có cách chọn f (x2 ) có cách chọn f (x3 ) có cách chọn f (x4 ) có cách chọn f (x5 ) có cách chọn Vậy có × × × × = 720 hàm số Hàm số số đơn ánh f : X −→ Y với Y có phần tử Ta có: f (x1 ) có cách chọn f (x2 ) có cách chọn f (x3 ) có cách chọn f (x4 ) có cách chọn f (x5 ) có cách chọn Vậy có × × × × = 2520 hàm số Bài 19 Có hàm số đơn ánh từ tập A = {1, 2, 3, , n} n số nguyên dương, tới tập B = {0, 1} ? ĐS: n(n − 1) Lời giải Giả sử hàm số f : A −→ B x −→ y = f (x) Hàm số số đơn ánh f : A −→ B Do B = {0, 1} có phần tử nên điều kiện n ≥ Số cách chọn x1 ∈ A cho f (x1 ) = ∈ B n cách Số cách chọn x2 ∈ A cho f (x2 ) = ∈ B n − cách Vậy có n × (n − 1) = n(n − 1) hàm số Bài 20 Cho tập hợp A gồm chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Có số tự nhiên gồm sáu chữ số đơi khác nhau? Có số tự nhiên gồm bảy chữ số đôi khác chia hết cho 2? Có số tự nhiên gồm bảy chữ số đôi khác số chia hết cho 5? ĐS: 136080; 275520; 114240 Lời giải Gọi a1 a2 a3 a4 a5 a6 số tự nhiên cần tìm, ∈ A, i = 1, ◦ a1 có cách chọn ◦ a2 có cách chọn ◦ a3 có cách chọn ◦ a4 có cách chọn ◦ a5 có cách chọn ◦ a6 có cách chọn 10 CHƯƠNG TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP - XÁC SUẤT Vậy có · · · · · = 136080 số thỏa mãn yêu cầu toán Gọi a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 số tự nhiên cần tìm, ∈ A, i = 1, Trường hợp a7 = 0, a7 có cách chọn ◦ a1 có cách chọn ◦ a2 có cách chọn ◦ a3 có cách chọn ◦ a4 có cách chọn ◦ a5 có cách chọn ◦ a6 có cách chọn Vậy có · · · · · · = 60480 số Trường hợp a7 = a7 ∈ {2; 4; 6; 8} nên a7 có cách chọn ◦ a1 có cách chọn ◦ a2 có cách chọn ◦ a3 có cách chọn ◦ a4 có cách chọn ◦ a5 có cách chọn ◦ a6 có cách chọn Vậy có · · · · · · = 215040 số Do có tất 60 480 + 215 040 = 275520 số thỏa mãn yêu cầu toán Gọi a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 số tự nhiên cần tìm, ∈ A, i = 1, Trường hợp a7 = 0, a7 có cách chọn ◦ a1 có cách chọn ◦ a2 có cách chọn ◦ a3 có cách chọn ◦ a4 có cách chọn ◦ a5 có cách chọn ◦ a6 có cách chọn Vậy có · · · · · · = 60480 số Trường hợp a7 = a7 có cách chọn ◦ a1 có cách chọn ◦ a2 có cách chọn ◦ a3 có cách chọn ◦ a4 có cách chọn ◦ a5 có cách chọn ◦ a6 có cách chọn Vậy có · · · · · · = 53760 số Do có tất 60 480 + 53 760 = 114240 số thỏa mãn yêu cầu toán Bài 21 Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} Có số tự nhiên gồm năm chữ số đôi khác nhau, chia hết cho chữ số ln có mặt lần? 201 – Xếp số vào hai vị trí nói trên: có C29 cách xếp Suy trường hợp có C29 cách xếp Trường hợp 3: chữ số chữ số – Xếp chữ số thành hàng ngang: có cách xếp Khi đó, ta có vị trí xếp ba số 1, khoảng trống số hai đầu – Xếp số vào ba vị trí nói trên: có C38 cách xếp Suy trường hợp có C38 cách xếp Trường hợp 4: chữ số chữ số – Xếp chữ số thành hàng ngang: có cách xếp Khi đó, ta có vị trí xếp bốn số 1, khoảng trống số hai đầu – Xếp số vào bốn vị trí nói trên: có C47 cách xếp Suy trường hợp có C47 cách xếp Trường hợp 5: chữ số chữ số – Xếp chữ số thành hàng ngang: có cách xếp Khi đó, ta có vị trí xếp năm số 1, khoảng trống số hai đầu – Xếp số vào năm vị trí nói trên: có C56 cách xếp Suy trường hợp có C56 cách xếp Vậy có C110 + C29 + C38 + C47 + C56 = 143 số Bài 30 Trong hộp chứa thẻ ghi dãy số gồm sáu chữ số khác Tính xác suất để rút thẻ có ghi chữ số 1, 2, 3, 4, chữ số 1, khơng đứng cạnh chữ số 3, 242 không đứng cạnh ĐS: 315 Lời giải Số cách lập dãy số có sáu chữ số khác n(Ω) = 10 · · · · · = 151200 Số cách lập dãy số có sáu chữ số khác mà chữ số 1, đứng cạnh chữ số 3, đứng cạnh n(A) = 2! · 2! · C26 · 4! = 1440 Số cách lập dãy số có sáu chữ số khác mà chữ số 1, đứng cạnh n(B) = 2!·C48 ·5! = 16800 Số cách lập dãy số có sáu chữ số khác mà chữ số 3, đứng cạnh n(C) = 2!·C48 ·5! = 16800 Vậy xác suất để rút thẻ có sáu chữ số khác mà chữ số 1, không đứng cạnh chữ số 3, không đứng cạnh P= n(Ω) − n(B) − n(C) − n(A) 242 = n(Ω) 315 Bài 31 Gọi E tập số tự nhiên có chữ số lập từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; Chọn ngẫu nhiên số thuộc tập E Tính xác suất để số chọn số chẵn, có hai chữ số không đứng cạnh nhau, chữ số cịn lại có mặt khơng q lần ĐS: 45 Lời giải Ta có A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} ⇒ a1 a2 a5 (a5 chẵn; chữ số 0, không cạnh nhau) Trường hợp 1: a5 = – Chọn vị trí xếp số cịn lại có cách (loại a1 , a4 ) – Còn vị trí, xếp chữ số nên có A35 cách Trường hợp có · A35 số 202 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN XÁC SUẤT THI HỌC SINH GIỎI Trường hợp 2: a5 = suy a5 có hai cách chọn – Chọn vị trí không cạnh từ a2 a3 a4 để xếp số có cách (vào a2 a4 ) – Cịn vị trí, xếp chữ số nên có A24 cách Trường hợp có · A24 số Do xác suất cần tìm là: P = · A35 + · A24 144 = = 5·6 6480 45 Loại Liên quan đến lớn hơn, nhỏ Bài Có số tự nhiên có bốn chữ số abcd thỏa mãn a ≤ b ≤ c < d? ĐS: 330 Lời giải Trường hợp 1: a = b = c < d có + + + + + + + = 36 số thỏa mãn Trường hợp 2: a = b < c < d có C28 + C27 + C26 + C25 + C24 + C23 + C22 = 84 số thỏa mãn Trường hợp 3: a < b = c < d có · + · + · + · + · + · + · = 84 số thỏa mãn Trường hợp 4: a < b < c < d có C49 = 126 số thỏa mãn Vậy có 330 số thỏa mãn Bài Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên có chữ số khác khơng lớn 2503 ĐS: 202 Lời giải Gọi số tự nhiên có chữ số khác lấy từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, abcd Số abcd khơng lớn 2503 ta có trường hợp Trường hợp 1: Số có dạng 250d có số: 2501, 2503 Trường hợp 2: Số có dạng 2bcd b ∈ {0; 1; 3; 4} nên có · · = 80 số Trường hợp 3: Số có dạng 1bcd có · · = 120 số Vậy có + 80 + 120 = 202 số thỏa yêu cầu toán Bài Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số chẵn có chữ số đơi khác Lấy ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để lấy số lớn 2012 ĐS: 10 Lời giải Gọi số chẵn có chữ số đôi khác lấy từ chữ số 0, 1, 2, 3, abcd Trường hợp 1: Nếu d = có · · = 24 số Trường hợp 2: Nếu d = 4, trường hợp có · · · = 36 số Do có 60 số chẵn theo giả thiết toán Trong 60 số số nhỏ 2012 phải có dạng 1bcd Vì d 0, 2, nên có · · = 18 số vậy, suy số lớn 2012 42 42 = Từ suy xác suất cần tìm 60 10 Bài Gọi M tập tất số tự nhiên có sáu chữ số đơi khác có dạng a1 a2 a3 a4 a5 a6 Chọn ngẫu nhiên số từ tập M Tính xác suất để số chọn số chẵn, đồng thời thỏa mãn 37 a1 > a2 > a3 > a4 > a5 > a6 ĐS: 34020 203 Lời giải n(M ) = · A59 (số có sáu chữ số đơi khác a1 có cách chọn, a2 a3 a4 a5 a6 chỉnh hợp chập phần tử nên có A59 ) Gọi A biến cố “chọn số tự nhiên chẵn từ tập M đồng thời thỏa mãn a1 > a2 > a3 > a4 > a5 > a6 ” Ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: a6 = a1 a2 a3 a4 a5 có C59 = 126 cách chọn Trường hợp 2: a6 = a1 a2 a3 a4 a5 có C57 = 21 cách chọn Trường hợp 3: a6 = a1 a2 a3 a4 a5 có C55 = cách chọn ⇒ n(A) = 126 + 21 + = 148 n(A) 37 148 Do P(A) = = = n(M ) 34020 · A9 Bài Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập tất số tự nhiên có bốn chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên hai số số lập Tính xác suất để hai số chọn có 14299 số lớn 2015 ĐS: 14950 Lời giải Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập · A35 = 300 số tự nhiên có chữ số đơi khác Suy n(Ω) = C2300 = 44850 Số số tự nhiên có bốn chữ số đơi khác lập từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, nhỏ 2015 · A35 + · · · = 63 Gọi A biến cố “trong hai số chọn có số lớn 2015” n A = C263 = 1953 Do n(A) = n(Ω) − n A = 44850 − 1953 = 42897 14299 42897 = Vậy P(A) = 44850 14950 Bài Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Có cách chọn số phân biệt A (khơng tính thứ tự) để hiệu số số có giá trị tuyệt đối không nhỏ ĐS: 56 Lời giải Đặt T = {(a1 ; a2 ; a3 ) |a1 , a2 , a3 ∈ A; a1 < a2 < a3 ; a2 − a1 ≥ 2, a3 − a2 ≥ 2} Với (a1 , a2 , a3 ), xét tương ứng với (b1 , b2 , b3 ) cho b1 = a1 ; b2 = a2 − 1; b3 = a3 − Lúc ta có: ≤ b1 < b2 < b3 ≤ tương ứng tương ứng − do: Với (a1 ; a2 ; a3 ) cho tương ứng với (b1 , b2 , b3 ) công thức b1 = a1 ; b2 = a2 − 1; b3 = a3 − Ngược lại, với (b1 , b2 , b3 ) cho tương ứng với (a1 ; a2 ; a3 ) công thức a1 = b1 ; a2 = b2 + 1; a3 = b3 + Đặt B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Tập (b1 , b2 , b3 ) tập có phần tử B Vậy số tập (a1 ; a2 ; a3 ) cần tìm C38 = 56 Bài Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có chữ số Tính xác suất để số chọn có dạng abcd, ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ ĐS: 0,055 Lời giải Số phần tử không gian mẫu · 10 · 10 · 10 = 9000 • Cách 1: Xét số x = a, y = b + 1, z = c + 2, t = d + Vì ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ (∗) ⇒ ≤ x < y < z < t ≤ 12 Và gồm bốn số (x, y, z, t) chọn từ tập hợp {1; 2; 3; ; 12} ta thu số thỏa mãn (∗) Do đó, số cách chọn số 12 số C412 = 495 số 495 = 0,055 Xác suất cần tìm 9000 • Cách 2: Ta chia trường hợp: 204 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN XÁC SUẤT THI HỌC SINH GIỎI Trường hợp 1: ≤ a < b < c < d ≤ có C49 = 126 cách chọn Trường hợp 2: ≤ a ≤ b < c < d ≤ ≤ a < b ≤ c < d ≤ ≤ a < b < c ≤ d ≤ có · C312 = 252 cách chọn Trường hợp 3: ≤ a ≤ b ≤ c < d ≤ ≤ a < b ≤ c ≤ d ≤ ≤ a ≤ b < c ≤ d ≤ có · C29 = 108 cách chọn Trường hợp 4: ≤ a = b = c = d ≤ có C19 = cách chọn Vậy có tất 126 + 252 + 108 + = 195 cách chọn Xác suất cần tìm 495 = 0,055 9000 DẠNG 0.4 Các toán đếm số phương án, tính xác suất liên quan người, đồ vật Bài Người ta dùng 18 sách bao gồm sách Toán, sách Lý sách Hóa (các sách loại giống nhau) để làm phần thưởng cho học sinh (trong có hai học sinh A B) học sinh nhận sách khác thể loại (khơng tính thứ tự sách) Tính xác suất để hai học sinh A B nhận phần thưởng giống ĐS: 18 Lời giải Để học sinh nhận sách thể loại khác nhau, ta chia phần thưởng thành ba loại: Toán + Lý ; Tốn + Hóa; Lý + Hóa Gọi x, y, z (x, y, z ∈ N) số học sinh nhận phần thưởng Toán + Lý ; Tốn + Hóa; Lý + Hóa Khi đó, ta có hệ sau:     x + y = x = x+z =6 ⇔ y =3     y+z =5 z = Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho học sinh: C49 · C35 · Vậy số phần tử không gian mẫu n(Ω) = C49 · C35 Gọi S biến cố “hai học sinh A B có phần thưởng giống nhau” Trường hợp 1: A B nhận Tốn+Lý có C27 · C35 cách phát Trường hợp 2: A B nhận Tốn+Hóa có C17 · C46 cách phát Trường hợp 3: A B nhận Lý+Hóa có C47 cách phát ⇒ n(S) = C27 · C35 + C17 · C46 + C47 Vậy xác suất biến cố S là: P(S) = C27 C35 + C17 C46 + C47 = 18 C9 C5 Bài Một trường học có 25 giáo viên nam 15 giáo viên nữ có hai cặp vợ chồng Nhà trường chọn ngẫu nhiên người số 40 giáo viên cơng tác Tính xác suất cho C338 − C136 người chọn có cặp vợ chồng ĐS: C40 Lời giải Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = C540 Giả sử có hai cặp vợ chồng (A, B) (C, D) A, C chồng Trường hợp 1: Chọn cặp vợ chồng (A, B) Cần chọn người số 38 người cịn lại (trừ (A, B)) mà khơng có cặp (C, D) – Số cách chọn người 38 người C338 – Số cách chọn người số 38 người mà có cặp (C, D) C136 205 Suy số cách chọn người số 38 người mà khơng có cặp (C, D) C338 − C136 Trường hợp 2: Chọn cặp vợ chồng (C, D) Tương tự ta có số cách chọn C338 − C136 Vậy xác suất cần tìm C338 − C136 C540 Bài Chi đoàn lớp 12A gồm 40 đoàn viên, có người tên An người tên Bình Ban chấp hành chi đồn bao gồm bí thư, phó bí thư n ủy viên bầu từ 40 đoàn viên chi đồn Có thể lập ban chấp hành chi đoàn 12A với số ủy viên n = 7, cịn An Bình người giữ chức vụ bí thư phó bí thư? Một ban chấp hành chi đoàn 12A gọi đạt chuẩn A0 An Bình ủy viên ban chấp hành, đồng thời không giữ chức vụ bí thư phó bí thư Xác định giá trị n, biết xác suất lấy ngẫu nhiên ban chấp hành đạt chuẩn A0 78 ĐS: · A738 , n = Lời giải Số cách chọn An Bình giữ chức vụ bí thư phó bí thư cách Số cách chọn ủy viên A738 Vậy có tất cả: · A738 Số phần tử không gian mẫu A240 · Cn38 Chọn người từ 38 người để giữ chức vụ bí thư phó bí thư có A238 Chọn thêm ủy viên có Cn−2 36 (trừ bí thư, phó bí thư An, Bình) A2 · Cn−2 36 Vậy xác suất để ban chấp hành đạt chuẩn A0 là: 382 = ⇒ n = n 78 A40 · C38 Bài Một đề thi có 10 câu trắc nghiệm, câu có bốn phương án trả lời, phương án trả lời đơi khác nhau, có phương án đúng, ba phương án sai, trả lời câu 1,0 điểm, trả lời sai khơng điểm khơng bị trừ điểm Một thí sinh 10 câu, câu chọn phương 3676 án ngẫu nhiên Tính xác suất để thí sinh đạt từ 7,0 điểm trở lên ĐS: 10 Lời giải Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = 410 Gọi A biến cố “Thí sính đạt từ 7, điểm trở lên” Thí sinh chọn câu, sai câu có C710 · · · · = 3240 cách Thí sinh chọn câu, sai câu có C810 · · · = 405 cách Thí sinh chọn câu, sai câu có C910 · · = 30 cách Thí sinh chọn 10 câu có cách 3676 n(A) = 10 Vậy n(A) = 3240 + 405 + 30 + = 3676 ⇒ P(A) = n(Ω) Bài Một học sinh tham dự kỳ thi mơn Tốn Học sinh phải làm đề trắc nghiệm khách quan gồm 10 cầu hỏi Mỗi câu có đáp án khác nhau, có đáp án Học sinh chấm đỗ trả lời câu Vì học sinh khơng học nên chọn ngẫu nhiên đáp án 20686 10 câu hỏi Tính xác suất để học sinh thi đỗ ĐS: 10 Lời giải 206 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN XÁC SUẤT THI HỌC SINH GIỎI Trong câu xác suất trả lời Trong câu xác suất trả lời sai Học sinh thi đỗ trường hợp sau: Trường hợp 1: câu sai câu Số cách chọn câu 10 câu C610 Suy trường hợp có xác suất P1 = C610 · · Xác suất để trả lời câu đồng thời câu lại trả lời sai là: 4 · Tương tự: 7 · Trường hợp 2: câu sai câu có xác suất là: P2 = C10 Trường hợp 3: câu sai câu có xác suất là: P3 = C810 · Trường hợp 4: câu sai câu có xác suất là: P4 = C910 · Trường hợp 5: 10 câu có xác suất là: P5 = C10 10 · 4 · · · 10 Do trường hợp biến cố biến cố xung khắc nên xác suất để học sinh thi đỗ là: P = P + P2 + P3 + P4 + P5 = 20686 410 Bài Một công ty nhận 30 hồ sơ 30 người muốn xin việc vào cơng ty, có 15 người biết tiếng Anh, người biết tiếng Pháp 14 người tiếng Anh tiếng Pháp Công ty cần tuyển người biết tiếng Anh tiếng Pháp Tính xác suất để người chọn có 15 người biết tiếng Anh tiếng Pháp ĐS: 52 Lời giải Ta có: Số người biết tiếng Anh tiếng Pháp là: 30 − 14 = 16 (người) Số người biết tiếng Anh tiếng Pháp là: 15 + − 16 = (người) Số người biết tiếng Anh tiếng Pháp là: 16 − = (người) Xét phép thử: “5 người chọn biết tiếng Anh tiếng Pháp”, suy n(Ω) = C516 = 4368 Xét biến cố: “Chọn người có người biết tiếng Anh tiếng Pháp”, suy n(A) = C37 · C29 = 1260 n(A) 15 Xác suất cần tìm P(A) = = n(Ω) 52 Bài Thầy X có 15 sách gồm sách Văn, sách Sử sách Địa Các sách đôi khác Thầy X chọn ngẫu nhiên sách để làm phần thưởng cho học sinh 5949 Tính xác suất để số sách cịn lại thầy X có đủ môn ĐS: 6435 Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n (Ω) = C815 Gọi A biến cố: “Số sách lại thầy X có đủ mơn” Suy A biến cố: “7 sách cịn lại thầy X khơng có đủ mơn” Xét khả xảy ra: 207 Khả 1: sách lại có Văn Sử Số cách chọn là: C79 Khả 2: sách cịn lại có Văn Địa Số cách chọn là: C710 Khả 3: sách cịn lại có Địa Sử Số cách chọn là: C711 Vậy P(A) = − P A = − C79 + C710 + C711 5949 = 6435 C15 Bài Một đồn tàu có toa chở khách với toa cịn chỗ trống Trên sân ga có hành khách chuẩn bị lên tàu Tính xác suất để hành khách lên tàu có toa có khách lên, hai 15 toa có khách lên toa khơng có khách lên tàu ĐS: 64 Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n (Ω) = 45 Gọi A biến cố “trong hành khách lên tàu có toa có khách lên, hai toa có khách lên toa khơng có khách nào” Số cách chọn ba khách để xếp lên toa là: C35 = 10 Số cách chọn toa tàu để xếp ba người là: C14 = Số cách xếp hai người (mỗi người toa) vào ba toa lại là: A23 = Suy n (A) = 10 · · = 240 n(A) 240 15 Vậy xác suất cần tìm P(A) = = = n (Ω) 64 Bài Một dãy phố có cửa hàng bán quần áo Có người khách đến mua quần áo, người khách vào ngẫu nhiên năm cửa hàng Tính xác suất để có cửa hàng có nhiều 181 người khách vào ĐS: 625 Lời giải Mỗi người khách có cách chọn cửa hàng để vào Do số phần tử không gian mẫu là: n (Ω) = 55 = 3125 Gọi A biến cố: “có cửa hàng có nhiều người khách vào ” TH1: Một cửa hàng có khách, cửa hàng có khách, ba hàng cịn lại khơng có khách Trường hợp có C15 · C35 · C14 · C22 = 200 khả xảy TH2: Một cửa hàng có khách, hai cửa hàng có khách, ba cửa hàng cịn lại khơng có khách Trường hợp có C15 · C35 · C24 · P2 = 600 khả xảy TH3: Một cửa hàng có khách, cửa hàng có khách, ba cửa hàng cịn lại khơng có khách Trường hợp có C15 · C45 · C14 = 100 khả xảy TH4: Một cửa hàng có khách, cửa hàng khác khơng có khách Trường hợp có C15 = khả xảy Suy n(A) = 200 + 600 + 100 + = 905 Vậy xác suất cần tìm là: P(A) = n(A) 905 181 = = n(Ω) 3125 625 Bài 10 Một khóa số với mật số tăng dần từ đến có tổng 10 Một người không nhớ mật mà nhớ tăng dần nên bấm bừa số tăng dần Khóa bị block q lần bấm sai Tính xác suất để người mở khóa biết người nhớ kết bấm 112 112 111 lần kế trước (trí nhớ ngắn hạn) để tránh kết cho lần sau ĐS: + · + · · 120 120 119 120 119 118 Lời giải Số phần tử không gian mẫu n (Ω) = C310 = 120 có dãy mã để mở khóa gồm; {0; 1; 9}, {0; 2; 8}, {0; 3; 7}, {0; 4; 6}, {1; 2; 7}, {1; 3; 6}, {1; 4; 5} {2; 3; 5} Gọi A biến cố “người mở khóa” Ta có ba trường hợp: 208 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN XÁC SUẤT THI HỌC SINH GIỎI TH1: Khóa mở lần thứ Xác suất biến cố 120 TH2: Khóa mở lần thứ hai Xác suất biến cố 112 · 120 119 TH3: Khóa mở lần thứ ba Xác suất biến cố 112 111 · · 120 119 118 Vậy xác xuất P(A) = 112 112 111 + · + · · 120 120 119 120 119 118 DẠNG 0.5 Các tốn đếm số phương án Tính xác suất liên quan đến đa giác Bài 11 Cho đa giác (H) có n đỉnh (n ∈ N, n > 4) Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh đỉnh (H) khơng có cạnh cạnh (H) gấp lần số tam giác có ba đỉnh đỉnh (H) có cạnh cạnh (H) ĐS: n = 35 Lời giải Số tam giác có đỉnh thuộc (H) C3n Số tam giác có đỉnh thuộc (H) có hai cạnh cạnh (H) n Số tam giác có đỉnh thuộc (H) có cạnh cạnh (H) n(n − 4) Suy số tam giác có ba đỉnh thuộc (H) khơng có cạnh cạnh (H) C3n − n − n(n − 4) n = 35 Theo giả thiết ta có C3n − n − n(n − 4) = 5n(n − 4) ⇔ n = (loại) Bài 12 Cho đa giác lồi 14 đỉnh Gọi X tập hợp tam giác có đỉnh đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên X tam giác Tính xác suất để tam giác chọn khơng có cạnh 15 cạnh đa giác cho ĐS: 26 Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n (Ω) = C314 = 364 Gọi A biến cố: “Tam giác chọn X khơng có cạnh cạnh đa giác ” Suy A biến cố: “Tam giác chọn X có cạnh cạnh đa giác” TH1: Nếu tam giác chọn có cạnh cạnh đa giác có 14 tam giác thỏa mãn TH2: Nếu tam giác chọn có cạnh cạnh đa giác có 14 · 10 = 140 tam giác thỏa mãn Suy n A = 14 + 140 = 154 Vậy số phần tử biến cố A là: n (A) = n (Ω) − n A = 210 210 15 Suy P (A) = = 364 26 Bài 13 Cho đa giác lồi A1 A2 A3 A10 Gọi X tập hợp tam giác có ba đỉnh đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên X tam giác Tính xác suất để tam giác chọn khơng có cạnh cạnh đa giác cho ĐS: 12 Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n (Ω) = C310 = 120 Gọi A biến cố: “Tam giác chọn khơng có cạnh cạnh đa giác cho” Các tam giác tập X có ba loại: Tam giác khơng có cạnh cạnh đa giác, tam giác có cạnh cạnh đa giác, tam giác có hai cạnh cạnh đa giác Ứng với cạnh đa giác có 10 − đỉnh đa giác tạo thành tam giác có cạnh cạnh đa giác nên số tam giác có cạnh cạnh đa giác là: 10(10 − 4) = 60 Có 10 tam giác có hai cạnh cạnh đa giác Do n (A) = 120 − 60 − 10 = 50 50 Vậy xác suất cần tìm P (A) = = 120 12 209 Bài 14 Cho (H) đa giác 2n đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O (n ∈ N∗ , n ≥ 2) Gọi S tập hợp tam giác có ba đỉnh đỉnh đa giác (H) Chọn ngẫu nhiên đa giác thuộc tập S, biết xác suất chọn tam giác vuông tập S Tìm n ĐS: n = 20 13 Lời giải Số phần tử tập S là: C32n Nên số phần tử không gian mẫu n (Ω) = C32n Gọi A biến cố: “Chọn tam giác vuông ” Đa giác 2n đỉnh có n đường chéo qua tâm O Mỗi tam giác vuông tạo hai đỉnh nằm đường chéo qua tâm O 2n − đỉnh lại Suy số tam giác vuông n(2n − 2) n(2n − 2) Theo đề ta có: P (A) = = ⇒ n = 20 13 C2n Bài 15 Cho đa giác có 15 đỉnh Gọi M tập hợp tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên tam giác thuộc M , tính xác suất để tam giác chọn tam giác cân 18 tam giác ĐS: 91 Lời giải Số phần tử tập M là: C315 = 455 Số phần tử không gian mẫu: C1455 = 455 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác Xét đỉnh A đa giác: Có cặp đỉnh đối xứng với qua đường thẳng OA, hay có tam giác cân đỉnh A Như với đỉnh đa giác có tam giác nhận làm đỉnh tam giác cân 15 Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác = tam giác Tuy nhiên, tam giác cân xác định có tam giác đều, tam giác cân đỉnh nên tam giác đếm ba lần Suy số tam giác cân khơng phải tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho là: · − · = 90 90 18 Vậy xác suất để chọn tam giác cân tam giác từ tập M P = = 455 91 Bài 16 Cho đa giác H có 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên đỉnh hình H Tính xác suất để đỉnh chọn tạo thành hình chữ nhật khơng phải hình vng ĐS: 161 Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n (Ω) = C424 Gọi A biến cố: “4 đỉnh chọn tạo thành hình chữ nhật khơng phải hình vng” Gọi O tâm đa giác Vì đa giác có số đỉnh chẵn, nên có 12 cặp điểm đối xứng qua O, tạo thành đường kính, lấy đường kính chúng đường chéo hình chữ nhật Do số hình chữ nhật C212 Suy n (A) = C212 C2 Vậy P (A) = 412 = 161 C24 Bài 17 Cho đa giác lồi (H) có 22 cạnh Gọi X tập hợp tam giác có ba đỉnh ba đỉnh (H) Chọn ngẫu nhiên tam giác X Tính xác suất để chọn tam giác có cạnh cạnh 748 đa giác (H) tam giác khơng có cạnh cạnh đa giác (H) ĐS: 1195 Lời giải Đầu tiên ta xét loại tam giác tạo thành Số tam giác có đỉnh lấy từ đỉnh H là: C322 = 1540 tam giác, bao gồm loại sau: Loại tam giác có cạnh cạnh (H), loại tam giác có cạnh cạnh (H), loại tam giác khơng có cạnh cạnh (H) Cứ đỉnh (H) với đỉnh liên tiếp (kề bên) tạo thành tam giác loại nên có 22 tam giác loại 210 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN XÁC SUẤT THI HỌC SINH GIỎI Mỗi cạnh (H) với đỉnh số 22 − = 18 đỉnh lại (trừ hai đầu mút cạnh xét hai đỉnh kề hai bên cạnh này) tạo thành tam giác loại Do có 22 · 18 = 396 tam giác loại Do số tam giác loại 1540 − (22 + 396) = 1122 tam giác Số phần tử không gian mẫu là: n (Ω) = C21540 = 1185030 Gọi A biến cố “Chọn tam giác có cạnh cạnh đa giác (H) tam giác khơng có cạnh cạnh đa giác (H) ” Suy n (A) = 396 · 1122 = 444312 444312 748 Vậy P(A) = = 1185030 1195 Bài 18 Một đa giác 24 đỉnh, tất cạnh đa giác sơn màu xanh tất đường chéo đa giác sơn màu đỏ Gọi X tập hợp tất tam giác có ba đỉnh đỉnh đa giác Người ta chọn ngẫu nhiên từ X tam giác, tính xác suất để chọn tam giác có ba cạnh 190 màu ĐS: 253 Lời giải Số phần tử không gian mẫu là: n (Ω) = C324 = 2024 Gọi A biến cố “chọn tam giác có ba cạnh màu ” Tức ba cạnh màu đỏ Mỗi cạnh màu xanh đa giác với đỉnh 24 − = 20 đỉnh lại (trừ hai đầu mút cạnh xét hai đỉnh hai bên cạnh này) tạo thành tam giác có cạnh màu xanh Do có 24 · 20 = 480 tam giác loại Mỗi đỉnh đa giác với hai cạnh hai bên tạo thành tam giác có cạnh màu xanh Do có 24 tam giác loại Do số tam giác khơng có cạnh màu xanh 2024 − 480 − 24 = 1520 Do n (A) = 1520 1520 190 Vậy xác suất P (A) = = 2024 253 Bài 19 Cho đa giác 2n đỉnh, lấy ngẫu nhiên đường chéo đa giác này, xác suất để đường chéo chọn có độ dài lớn Tìm hệ số số hạng chứa x5 khai triển n ĐS: 480 x + +2 x Lời giải Số đường chéo đa giác 2n cạnh C22n − 2n Đường chéo có độ dài lớn đường chéo qua tâm đa giác đều, có n đường chéo Từ giả thiết ta có: n n 1 = ⇔ = ⇔ = ⇔ n = (2n − 1)n − 2n 2n − C2n − 2n i k−i có số hạng tổng quát là: Ck6 · Cik · 26−k x3 · = Ck6 · Cik · 26−k · x3k−4i x   3k − 4i = i=1 Số hạng chứa x khai triển ứng với i, k thỏa mãn hệ: ≤ i ≤ k ≤ ⇒  k =  i, k ∈ N Hệ số số hạng chứa x5 C36 · C13 · 23 = 480 Xét khai triển x3 + +2 x Bài 20 Có năm đoạn thẳng có độ dài 1, 3, 5, 7, Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng từ năm đoạn thẳng Tính xác suất để ba đoạn chọn xếp thành hình tam giác ĐS: Lời giải Số phần tử không gian mẫu: C35 = 10 Để ba đoạn thẳng xếp thành tam giác có bốn cách chọn sau: {3, 5, 7}; {3, 7, 9}, {5, 7, 9}, {3, 5, 9} Gọi A biến cố: “chọn ba đoạn thẳng xếp thành hình tam giác ” Ta có n (A) = 4 Vậy xác suất P (A) = = 10 211 Bài 21 Trong không gian có 2n điểm phân biệt (n > 4; n ∈ N), khơng có ba điểm thẳng hàng 2n điểm phân biệt có n điểm thuộc mặt phẳng Tìm tất giá trị n cho từ 2n điểm có 505 mặt phẳng phân biệt ĐS: n = Lời giải Số cách chọn ba điểm từ 2n điểm phân biệt C32n Trong 2n điểm phân biệt có n điểm thuộc mặt phẳng nên có C3n mặt phẳng trùng Vậy số mặt phẳng tạo từ 2n điểm phân biệt C32n − C3n + Ta có phương trình: C32n − C3n + = 505 2n (2n − 1) (2n − 2) n (n − 1) (n − 2) ⇔ − = 505 1·2·3 1·2·3 ⇔ 7n3 − 9n2 + 2n − 3024 = ⇔ n = Vậy n = DẠNG 0.6 Các toán đếm, xếp liên quan đến vị trí, xếp chỗ Bài 22 (Đề thi học sinh giỏi Bến Tre lớp 12 năm học 2017 − 2018) Trong lớp học có 2n + học sinh gồm An, Bình, Chi 2n học sinh khác Khi xếp tùy ý học sinh vào dãy ghế đánh số từ đến 2n + 3, học sinh ngồi ghế xác suất để số ghế Bình trung bình 12 cộng số ghế An số ghế Chi Tính số học sinh lớp ĐS: 25 575 Lời giải Số phần tử không gian mẫu số cách xếp 2n + học sinh vào 2n + chỗ ngồi đánh số Suy n(Ω) = (2n + 3)! Gọi A biến cố “số ghế Bình trung bình cộng số ghế An số ghế Chi ” ta có: + Xếp Bình ghế số ghế thứ 2n + cách có · 2! cách xếp An Chi + Xếp Bình ghế số ghế thứ 2n + cách có · 2! cách xếp An Chi + Xếp Bình ghế số ghế thứ 2n cách có · 2! cách xếp An Chi + Xếp Bình ghế số n + ghế thứ n + cách có n · 2! cách xếp An Chi + Xếp Bình ghế số n + cách có (n + 1) · 2! cách xếp An Chi Suy 2(1 + + + · · · + n) · 2! + (n + 1) · 2! = (n + 1)2 · 2! cách xếp để số ghế Bình trung bình cộng số ghế An Chi Với cách xếp có (2n)! cách xếp học sinh cịn lại Vậy ta có n(A) = 2(n + 1)2 · (2n)! Theo giả thiết ta có phương trình  n = 11 2(n + 1) · (2n)! 12  = ⇔ 48n − 479n − 539 = ⇔ 49 (2n + 3)! 575 n=− (loại) 48 Suy số học sinh · 11 + = 25 Bài 23 (Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 11 năm học 2017 − 2018) Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm học sinh lớp 11A học sinh lớp 11B học sinh lớp 11C thành hàng ngang Tính xác suất để khơng có học sinh lớp đứng cạnh ĐS: 126 212 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN XÁC SUẤT THI HỌC SINH GIỎI Lời giải Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = 10! Gọi D biến cố thỏa mãn yêu cầu toán + Xếp học sinh lớp 11C vào hàng có 5! cách (Sau xếp có vị trí trống (4 hai đầu), chẳng hạn (1C2C3C4C5C6) + Nếu xếp xen kẽ học sinh lớp A B từ phía tận bên trái (12345) có 5! cách xếp, tương tự xếp từ phía bên phải (23456) có 5! cách xếp Suy n(D) = 5! · · 5! = 28800 Vậy xác suất biến cố D P(D) = n(D) 28800 = = n(Ω) 10! 126 Bài 24 (Đề thi học sinh giỏi Bắc Giang lớp 12 năm học 2016 − 2017) Một nhóm học sinh gồm bạn nam, có bạn Hải bạn nữ có bạn Minh xếp vào 13 ghế hàng ngang Tính xác suất để hai bạn nữ có ba bạn nam, đồng thời bạn Hải bạn Minh nêu không ngồi cạnh ĐS: 858 Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 13! Đánh số ghế hàng ngang theo thứ tự từ đến 13 Các bạn phải ngồi vào ghế số 1, 5, 9, 13 Gọi A biến cố “Giữa hai bạn nữ ngồi gần có ba bạn nam, đồng thời bạn Hải bạn Minh không ngồi cạnh ” Xét trường hợp sau: * Bạn Minh ngồi ghế số – Số cách xếp ba bạn nữ cịn lại 3! – Có cách xếp vị trí bạn Hải – Có 8! cách xếp tám bạn nam vào vị trí cịn lại Suy số cách xếp · 3! · 8! * Ban Minh ngồi ghế số 13 có số cách xếp · 3! · 8! * Bạn Minh ngồi ghế số (tương tự bạn Minh ngồi ghế số 9) – Xếp bạn nữ cịn lại có 3! – Có cách xếp vị trí Hải – Có 8! cách xếp bạn nam cịn lại Do số cách xếp · 3! · 8! Số phần tử biến cố A n(A) = · 3! · · 8! + · 3! · · 8! = 7257600 n(A) 7257600 Vậy xác suất biến cố A P(A) = = = n(Ω) 13! 858 Bài 25 (Đề thi học sinh giỏi Thành phố Hồ Chí Minh lớp 12 năm học 2017 − 2018) Trong phịng học, có 36 bàn rời đánh số từ đến 36, bàn dành cho học sinh Các bàn xếp thành hình vng có kích thước × Cô giáo xếp tùy ý 36 học sinh lớp có hai em Hạnh Phúc vào bàn Tính xác suất để Hạnh Phúc ngồi hai bàn xếp cạnh theo hàng dọc hàng ngang ĐS: 21 Lời giải Số cách xếp 36 học sinh vào 36 bàn lớp số phần tử khơng gian mẫu nên n(Ω) = 36! Gọi A biến cố “Hạnh Phúc ngồi hai bàn xếp cạnh theo hàng dọc hàng ngang ” * Nếu Hạnh Phúc ngồi cạnh theo hàng ngang 213 + Có cách chọn dãy bàn nằm ngang để hai bạn ngồi cạnh + Coi hai bạn Hạnh Phúc ngồi cạnh nhóm X nên có nhóm X khác có cách xếp chỗ cho nhóm X + Có 34! cách xếp chỗ cho 34 học sinh lại vào 34 bàn Vậy trường hợp có · · · 34! = 60 · 34! cách xếp * Nếu Hạnh Phúc ngồi cạnh theo hàng dọc Tương tự ta có 60 · 34! cách xếp Số phần tử A n(A) = 120 · 34! n(A) 120 · 34! Xác suất biến cố A P(A) = = = n(Ω) 36! 21 Bài 26 (Đề thi học sinh giỏi Chu Văn An lớp 11 năm học 2015 − 2016) Trong thi chọn học sinh giỏi toán khối 11 trường THPT Chu Văn An, có 52 học sinh đăng ký dự thi có em tên Thành em tên Đạt Dự kiến ban tổ chức xếp làm phịng thi (phịng phịng có 18 thí sinh, phịng có 16 thí sinh) Nếu phịng thi xếp cách ngẫu nhiên, tính 71 xác suất để Thành Đạt ngồi chung phịng ĐS: 221 Lời giải 18 Khơng gian mẫu có số phần tử n(Ω) = C18 50 · C34 18 Nếu Thành Đạt ngồi chung phòng phịng n(A1 ) = · C16 50 · C34 18 18 Nếu Thành Đạt ngồi chung phịng n(A2 ) = C50 · C32 Gọi A biến cố “Thành Đạt ngồi chung phòng ” n(A) = n(A1 ) + n(A2 ) ⇒ P(A) = 18 18 18 · C16 n(A) 71 50 · C34 + C50 · C32 = = 18 18 n(Ω) 221 C50 · C34 Bài 27 (Đề thi học sinh giỏi Chuyên Bắc Ninh lớp 11) Có viên bi gồm viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Hỏi có cách xếp viên bi thành hàng cho khơng có hai viên bi màu xếp cạnh nhau? ĐS: 30 Lời giải 6! = 90 (cách) 23 Kí hiệu: A1 tập hợp viên bi xanh cạnh nhau; A2 tập hợp hai viên bi đỏ cạnh nhau; A3 tập hợp hai viên bi vàng cạnh Số cách xếp không hợp lệ (có viên bi màu cạnh nhau) Tổng số cách xếp viên bi thành hàng C26 · C24 = n(A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = n(A1 ) + n(A2 ) + n(A3 ) − (n(A1 ∩ A2 ) + n(A1 ∩ A3 ) + n(A2 ∩ A3 )) + n(A1 ∩ A2 ∩ A3 ) 5! = 30 22 n(A1 ∩ A2 ) = n(A1 ∩ A3 ) = n(A2 ∩ A3 ) = C24 · C12 = 12 n(A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 3! = Suy n(A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = 90 − · 12 + = 60 Vậy số cách xếp hợp lí n(A1 A2 A3 ) = 90 − 60 = 30 Với n(A1 ) = n(A2 ) = n(A3 ) = C25 · C23 = Bài 28 (Đề thi học sinh giỏi Triệu Sơn lớp 11 năm học 2017 − 2018) Từ 2012 số nguyên dương lấy số xếp thành dãy số có dạng u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 Hỏi có dãy số có dạng biết u1 , u2 , u3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng ĐS: 2012 · 1005 · A32009 Lời giải u1 , u2 , u3 lập thành cấp số cộng u1 + u3 = 2u2 Do u1 , u3 chẵn lẻ Số tất cấp số cộng theo thứ tự số cặp số (có thứ tự) (u1 , u3 ) Chọn u1 có 2012 cách chọn, chọn u3 có 1005 cách chọn số chẵn lẻ với u1 u1 + u3 Khi u2 = có cách chọn Cịn lại 2009 số, ta chọn số xếp có thứ tự để hồn tất việc chọn Vì số kết 2012 · 1005 · A32009 214 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN XÁC SUẤT THI HỌC SINH GIỎI Bài 29 (Đề thi kì Yên Phong - Bắc Ninh lớp 12 năm học 2017 − 2018) Có xe xếp cạnh thành hàng ngang gồm: xe màu xanh, xe màu vàng xe màu đỏ Tính xác suất để hai xe màu không xếp cạnh ĐS: Lời giải Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = 6! = 720 Gọi A biến cố hai xe màu khơng xếp cạnh Ta tính n(A) Xe màu đỏ nhiều nên ta trước để tránh trường hợp chúng cạnh nhau, ta xếp sau: Đ Đ + TH1: Đ Có 3! cách xếp xe màu đỏ, thỏa mái xếp xe lại nên có 3! cách xếp xe cịn lại Vậy trường hợp có 3! · 3! = 36 cách Đ Đ Đ + TH2: Có 3! cách xếp xe màu đỏ, thỏa mái xếp xe cịn lại nên có 3! cách xếp xe cịn lại Vậy trường hợp có 3! · 3! = 36 cách Đ Đ + TH3: Đ Có 3! cách xếp xe màu đỏ, có · = cách xếp xe màu xanh vàng vào hai ô trống liền kề ô lại xếp xe màu vàng lại Vậy trường hợp có 3! · = 24 cách Đ Đ + TH4: Đ Có 3! cách xếp xe màu đỏ, có · = cách xếp xe màu xanh vàng vào hai ô trống liền kề ô lại xếp xe màu vàng cịn lại Vậy trường hợp có 3! · = 24 cách Vậy tổng cộng ta có n(A) = 36 · + 24 · = 120 120 n(A) = = Do xác suất biến cố A là: P(A) = n(Ω) 720 Bài 30 (Đề thi học sinh giỏi Phú Thọ lớp 12 năm học 2017 − 2018) Cho lưới ô vuông gồm 16 ô vuông nhỏ, ô vuông nhỏ có kích thước × (mét) hình vẽ bên Con kiến thứ vị trí A muốn di chuyển lên vị trí B, kiến thứ hai vị trí B muốn di chuyển xuống vị trí A Biết kiến thứ di chuyển ngẫu nhiên phía bên phải lên trên, kiến thứ hai di chuyển ngẫu nhiên phía bên trái xuống (theo cạnh hình vng) Hai kiến xuất phát thời điểm có vận tốc di chuyển mét/phút Tính xác suất để hai kiến gặp đường A B ĐS: Lời giải Nhận xét: Để di chuyển đến đích, kiến phải có hành trình 8m Vì hai kiến xuất phát thời điểm vận tốc di chuyển nên chúng gặp kiến di chuyển 4m (sau phút) Do chúng gặp giao điểm đường chéo chạy từ góc bên trái đến góc bên phải (A1 A5 ) C0 Xác suất để sau phút, kiến thứ đến vị trí A1 P1 (A1 ) = 44 ; C04 Xác suất để sau phút, kiến thứ hai đến vị trí A1 P2 (A1 ) = Xác suất để hai kiến gặp vị trí A1 A1 C04 P(A1 ) = P1 (A1 ) · P2 (A1 ) = 256 Tương tự xác suất để hai kiến gặp vị trí A2 , A3 , A4 , A5 35 128 B A2 A3 A4 A A5 215 2 2 C14 C24 C34 C44 P(A2 ) = , P(A3 ) = , P(A4 ) = , P(A5 ) = 256 256 256 256 Vậy xác suất hai kiến gặp P(A) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) + P(A4 ) + P (A5 ) = C04 + C14 2 + C24 + C34 256 + C44 = 35 128 Bài 31 (Đề thi học sinh giỏi Hà Tĩnh lớp 11 năm học 2016 − 2017) Mỗi lượt, ta gieo súc sắc (loại mặt, cân đối) đồng xu (cân đối) Tính xác suất để lượt gieo vậy, có lượt gieo kết súc sắc xuất mặt chấm, đồng thời đồng xu xuất mặt 397 sấp ĐS: 1728 Lời giải Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = 63 · 23 = 1728 Số trường hợp xảy để lượt tung thu súc sắc mặt chấm đồng xu mặt sấp Số trường hợp xảy để lượt tung có lượt súc sắc mặt chấm đồng xu sấp · · · 11 = 33 Số trường hợp xảy để lượt tung có lượt súc sắc mặt chấm đồng xu mặt sấp · · 11 · 11 = 363 + 33 + 363 397 Vậy xác suất cần tìm là: P = = 1728 1728