Chuyen de TO HOP luyện thi đại học
Trang 1Chuyén đề TO HOP-XAC SUAT pHin1: TO HOP A Tóm tắt kiến thức I Quy tac dém
1 Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thê tiến hành theo một trong hai phương án A và B Phương án A có thê thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách
2 Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A có thê thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thê thực hiện bởi m cách Khi đó công việc được thực hiện bởi n.m cách
H Hoán vị — Chỉnh hợp — Tổ hợp
1 Hoún vị:
a Định: nghĩa: Cho tập A có n phần tử Môi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phân tử của tập A
b Định {ÿ: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử
„ kí hiệu P, là: P„ = n! = 1.2.3 n
2 Chỉnh hợp:
a Định: nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử Xét số keNma 1<k<n Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chinh hợp chập k của n phần tử b Định {ÿ: Số phép chinh hợp chập k của n phân tử, rz1*^ k dạ k n! ki hiéu A; 1a: Ay =n.(n-1) (n-k+1)= ca 3 Tổ hợp: a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số keN mà 1<k<n Một tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tô hợp chập k của n phần tử b Định {ÿ: Số tô hợp chập k của n phân tử, kí hiệu C* là: C* = nt! _ n(n-1) (n—k+1) 5 "_ kl(n-k)! k! c Hai tinh chat co ban cia té hop: Choa, k €N’: e CC =C?* (0<k<n)
e CE, =CE+CE* (1<k<n) (DL pascan)
II Khai triển nhị thức Newton
(a+b) = S°Cša” *bẺ
k=0
= Ca" +C}a*" 'b+ +C}la° *b* + + C?b° Nhận xét:
— Trong khai triên nhị thức Newton có n +1 số hạng
— Trong một số hạng: tông số mũ của a và b bằng n — Các hệ số của khai triêu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau
- Số hạng tông quát thứ k + 1 kí hiệu Tẹ.; thì: T,., =Cka* *b* k+1 — C?+C +C + +C?) =2" — Cơ —CÍ +C? —CÔ + +(—1)° CỄ + +(—1)” CỆ =0 Chú ý: — (a+b) = >°Cka**b* là khai triển theo số mũ k=0
cua a giam dan
— (a+b}'=S `C‡a'b"* là khai triển theo số mũ k=0 của a tang dan Dac biét: n & n *(a—b)" =[a+(-b)]' => Cha"* (-b) =>(-1) cha *b* k=0 k=0 * (1+x)"= ch * =C?)+CÌx+ +C?”.x" k=0 # (1~x}! =CẺ (1 x' =C9=C!x+ +(—L)Ỷ Cÿx" k=0 B Các dạng toán cơ bản Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm
Phương pháp giải: Cân phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B đề chọn quy tắc cộng, hoặc bao gôm công đoạn A và B đề chọn quy tắc nhân
Vi dul: Ban X vào siêu thị để mua một áo so mi, thoe cỡ 40 hoặc 41 Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau Hỏi X có bao nhiêu cách chọn? Giải Bạn X có hai phương án đề chọn: Phương án A cỡ 40: Có 3 cách chọn (chọn theo 3 mau): Phương án B cỡ 41: Có 4 cách chọn Vậy X có 3 + 4= 7 cách chọn
Vĩ dụ 2: Cho tập A = {0;1;2;3;4} Có bao nhiêu số chăn
mà môi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các
phân ti cua A?
Giải
Trang 2BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC www.VIETMATHS.com Phân 5 ĐẠI SỐ I1 Chọn ae A \{0} : có 4 cách chọn Chọn be A \{a} : có 4 cách chọn Chọn cc A \{a,b} : có 3 cách chọn Vậy có: 4.4.3 = 48 số có 3 chữ số lập từ A (1) e Số lẻ có ba chữ số khác nhau lập từ A là: abc(c phải là số lẻ) Chọn c e{1;3} : có 2 cách chọn Chọn ae A \ {c,0} : có 3 cách chọn Chon be A\ {a,c}: c6 3 cach chon Vậy có: 2.3.3 = 18 số lẻ có ba chữ số lập từ A (2) Từ (L) và (2) ta suy ra: Số chăn có ba chữ số lập từ A là: 48— 18 = 30 số Ví dụ 2: Từ tập A ={0,1,2,3,4,5} cd thê lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
Vĩ dụ 3: Từ tập A ={1,2,3,4,5} hỏi có thê lập được
bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lân, còn các chữ sô khác xuât hiện một lân? Giải: Gọi số cần tìm là abcd Có aeA'\{0}: có 5 cách chọn bcd là một chỉnh hợp chập 3 của tập A\{a}: có A) Vậy có 5.A3 = 300 số Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phân tử: CỀ = kía-K) (0<k<n) Gidi Số có 7 chữ số nên có 7 vị trí
Vậy ta lấy các phần tử của A cho vào các vị trí này sao cho thỏa mãn đề bài
Cho số 2 vào 7 vị trí: ta có 7 cách chọn Cho số 3 vào các vị trí còn lại: có 6 vị trí chọn Cho số 4 vào các vị trí còn lại sau khi cho số 2, 3: có 5 vị trí đê chọn Cho số 5 vào các vị trí còn lại sau khi đã cho số 2, 3, 4: có 4 vị trí đê chọn Còn lại 3 số 1 và 3 vị trí còn lại có 1 cách chọn Vậy có: 7.6.5.4 1 = 840 số Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị
Vi du: Cho 7 diém phan biệt không tôn tại ba điêm
thăng hàng Từ 7 điêm trên có thê lập được bao
nhiêu tam giác?
; Giải ;
Một tam giác gôm 3 định (không cân thứ tự) chọn trong 7 điểm Như vậy đề tạo một tam giác xem như chọn một tập còn gôm 3 phân tử trong sô 7 phân tử ! Số tam giác là số tô hợp chập 3 của 7: CỶ “35 (tam giác) Dang Š:Tìm trong phương trình chứa B,,A „Ca Phương pháp giải: * Sử dụng phép xếp đặt của n phân tử có thứ tự: P; = n! =1.2.3 n
* Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân
Phương pháp giải: Dùng các công thức: P,=n! (n>l); AT =n(n-1) (n- K+) = (l<k<n); Ck= ile 5) (0<k<n)
Ví dụ: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?
Giải
Day là bài toán hoán vi
Xếp 2 bạn nam vào hai ghế kề nhau:có2!cách xếp Xếp ba bạn nữ vào ba ghế kê nhau: có 3! cách xếp Xếp theo nhóm nam, nữ: có 2! cách xếp Vậy số cách xếp là: 2!.(2!3!) = 24 cách Ðzzze 3: Thực hiện phép chỉnh hợp Phương pháp : Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phân tử: Ak =n.(n-1) (n-k +1) = —— (n = Fe = a (1) n-l Vi du 1:Tim neN’, néu co: Giải Điêu en n>3 ()© (a= aoa 1)(a-2)© 2=(n-1)(n-2) n=0 (loi) ân`-3n=0ôâ n =3 (tháa m-n) Vậy n= 3
Vi dul: Trong mặt phăng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M,N khác nhau Có bao nhiêu vectơ nối hai diém trong các điêm đó? Giải Mỗi vectơ là một chinh hợp chập 2 của tập hợp gồm 7 diém Số vectơ muốn tìm là số chỉnh hợp chập 2 của 7: A> =7.6=42 (vectơ) Ví dụ 2: Tìm ne Ñ”, nếu có: 6ón—-6+CỶ > CỶ (2) Giải Điêu kiện: n >3 (2)© 6n-6+Cj > CỆ +Cỷ © 6n-6> C} ©6(n-1)> n! ©n°-l13n+12<0©l<n<12 (3) 2!(n-2)! Từ (2) và (3) ta có: 3<n<12 Vay n € {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
> BAI TAP NGUYEN LY DEM — HOAN VI —
CHINH HOP — TO HOP
Trang 3
Bài 1: (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999) Cho tap hop A = {1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8}
a) Có bao nhiêu tập con X của tập A thoả điều kiện X chứa 1 và không chứa 2
b) Có bao nhiêu số tự nhiên chăn gồm 5 chữ
số đôi một khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bởi 123
a) Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau
b) Bât cứ 2 học sinh nào ngôi đôi diện nhau thì
khác trường với nhau Giải a) Gọi X là tập cần tìm ,ta có XCA X={}v lcX â Y c{3,.4,5,6,7,8} 2ÂX * Do đó số các tập X bằng số các tập con Y của tap hop {3.4,5,6,7,8} Ma sé cdc tap con Y của {3.4,5,6,7,8} la: 2° = 64 b) Goi * m là số các số tự nhiên chăn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ A
* n là số các số tự nhiên chăn gồm 5 chữ số đôi một
khác nhau lấy từ A và bắt đầu bởi 123
* p là số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề bài Ta cân tính p Hiền nhiên p= m—n e Tính m: Lap một số chắn a;a4a3a7a, gồm 5 chữ số khác nhau aI, Lấy a2 a3 a4 a5 từ 7 số còn lại của A = cd A} =7.6.5.4= 840 cach Do d6: m= 4.840 = 3360 ¢ Tinh n: Lap mét sé chan 123a,a, bắt đầu bởi 123; al.a2 © A: al #a2 Lay a, tir {4,6.8} => có 3 cách Lấy a, từ A \ {1,2,3,a1} = có 4 cách Do đó: n=3.4= 12 Vậy: số p cần tìm là: p = 3360 — 12 = 3348 * Vậy có 64 tập con X của A chứa 1 và không chứa 2 Giải a) Giai đoạn 1: Xếp chô ngồi cho hai nhóm học sinh, có 2 cách xếp: ABABAB BABABA BABABA ABABAB Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A, có 6! cách xếp các em vào 6 chô Tượng tự, có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách b) Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế đề ngồi
Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối điện với học sinh thứ nhất trường A: có 6 cách chọn học sinh trường B Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ đề chọn, chọn học sinh trường B ngôi đối diện với học sinh thứ hai trường A: có 5 cách chọn, v.v Vay: c6 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1= 2° 6!.6!= 33177600 cach Bài 4: (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)
bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X
(chữ số đâu tiên phải khác 0) trong mỗi trường hợp sau: a) n là số chăn b) Một trong ba chữ số đâu tiên phải bằng 1 Bài 2: (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999) Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Văn và
6 cuốn sách Anh Hỏi có bao nhiêu
cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài,
nếu các cuốn sách cùng môn được xếp ké nhau?
Giải
Bước l1: Đặt 3 nhóm sách lên kệ dài: 3! cách Bước 2: Trong môi nhóm ta có thê thay đôi cách xếp đặt sách: Nhóm sách Toán: 2! cách Nhóm sách Văn: 4! cách Nhóm sách Anh: 6! cach Kêt luận: có 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 cách Bài 3: (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999) Một bàn đài có hai dãy ghế đối diện nhau, môi dãy
có 6 ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6;học sinh trường B vào bản nói
trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau: Giải a) Xem các số chắn hình thức abcde (kể cảa = 0), có 4 cách chọn ec {0.2.4.6} vì là số chăn Sau đó chọn a, b, c, đ từ X \{e}.số cách chọn là: A?=840 Vậy: có 4.840 = 3360 số chăn hình thức Ta loại những số có dạng 0bcde.Có 3cách chọn e, và A¿ cách chọn b, c, d từ X \ {0,e}
Vậy có : 3 A$ =360 số chăn có dạng 0bcde
Trang 4BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC www.VIETMATHS.com Phén 5 DAISO 11
Kết luận: số các số n thoả yêu cầu đề bài là:
2520 — 240 = 2280 sé
Bài 5: (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)
Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên
bi vàng Người ta chọn ra 4 viên bị từ hộp đó Hỏi
có bao nhiêu cách chọn đề trong số bi lấy ra không có đủ cả 3 màu? Giải Số cách chọn 4 bi trong số 15 bi là: Ci = 1365 Các trường hợp chọn 4 bị đủ cả 3 màu là: *2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có C?.C‡.C¿ * 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng: có C¿.C?.C¿ #1 đỏ + 1 trắng + 2 vàng: có CÌ CÌC2 =300 Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720 Vậy số cách chọn đề 4 bi lấy ra không đủ 3 màu là: 1365 — 720 =645
Bài 6: (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)
Người ta xếp ngâu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ
tự từ 1 đến 5 cạnh nhau
a) Có bao nhiêu cách xếp đề các phiếu số chăn
luôn ở cạnh nhau?
b) Có bao nhiêu cách xếp đề các phiếu phân thành
hai nhóm chăn lẻ riêng biệt (chăng hạn 2.4, 1,3,5)? Giải
a) * Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 có 4! = 24 cách
* Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách Vậy: có 2.24 = 4§ cách xếp theo yêu câu đề bài b) * Khi nhóm chăn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải
Số cách xếp cho2 số chăn là 2! cách Số cách xếp cho
3 số lẻ là: 3! cách Vậy có 2.6 = 12 cách
* Tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chăn ở
bên phải, nhóm lẻ ở bên trái Vậy: có 12 + 12 = 24 cách
Bài 7: (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999) Người ta viết các chữ số 0, 1, 2 3, 4, 5 lên các tấm
phiếu,sau đó xếp thứ tự ngâu nhiên thành một hàng
a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành? b)Bao nhiêu sô chăn gôm 6 chữ sô được sắp thành? Giải Số có 6 chữ số khác nhau có dạng: abcdef với a 40 a) Vì số tạo thành là số lẻ nên f € {1, 3, 5} Do đó: fcó 3 cách chọn a có 4 cách chọn (trừ 0 và b có 4 cách chọn (trừ a và ƒ) c có 3 cách chọn (trừ a b, d có 2 cách chọn (trừ a, b, c, e có 1 cách chọn (trừ a, b, c, d, f) Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 28§ số
b) Vì số tạo thành là số chăn nên f € {0, 2, 4}
* Khi f= 0 thi (a,b,c,d,e) la mét hoan vi cua (1,2,3,4,5) Do đó có 5! số * Khi f € {2, 4} thi: f có 2 cach chon a có 4 cách chọn b có 4 cách chọn c có 3 cách chọn d có 2 cách chọn e có 1 cach chon Do đó có 2.4.4.3.2.1 = 192 số Vậy: có 120 + 192 = 312 số chăn Bai 8: (HV Ngân hàng TPHCM 1999) Xét những số gồm 9 chữ só, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn là 2, 3, 4, 5 Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu: a) Năm chữ số 1 được xếp kề nhau b) Các chữ số được xếp tuỳ ý Giải a) Gọi 11111 là số a Vậy ta cần sắp các số a 2, 3, 4, 5 Do đó số có 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 đứng liền nhau là: 5! = 120 số
b) Lập một số có 9 chữ số thoả mãn yêu cầu; thực
chất là việc xếp các số 2, 3, 4, 5 vào 4 vị trí tuỳ ý
trong 9 vị trí (Š vị trí còn lại đương nhiên dành cho
chữ số 1 lặp 5 lần)
Bà¿i9: (ĐH Hàng hải 1999)
Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn học sinh A, B,
C D, E vào một chiếc ghế dài sao cho: a) Bạn C ngồi chính giữa b) Hai bạn A và E ngôi ở hai đâu ghê Giải a) Xếp C ngồi chính giữa: có 1 cách Xếp A B, D, E vào 4 chỗ còn lại: có 4! = 24 cách
Vậy: có 24 cách xếp thoả yêu câu
b) Xếp A và E ngồi ở hai đầu ghế: có 2! = 2 cách
Xêp B, C, D vào 3 chô còn lại: có 3! =6 cách Vậy: có 2.6 = 12 cách xêp thoả yêu câu Bài 10: (HV BCVT 1999) được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và 1 ; ; Giải * Sô các sô có 6 chữ sô khác nhau là: 4Š —Aj; =9.9.8.7.6.5= 136080 * Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 0 là: A; = 9.8.7.6.5.4 = 60480 * Số các sô có 6 chữ số khác nhau và đêu khác 1 là: 4§ —4 = 8.8.7.6.5.4= 53760 * Vậy sô các sô có 6 chữ sô khác nhau trong đó đêu có mặt 0 và 1 là: 136080 — 60480 — 53760 = 21840 số > BÀI TẬP TƯƠNG TƯ Bài 1: (ĐH khối B 2005)
Một đội thanh niên tình nguyện có l5 người, gồm
12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công
đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền
núi, sao cho môi tỉnh có 4 nam và 1 nữ
Trang 5
DS: 207900 cach phan
Bài 2: (ĐH khối A 2005 dự bị 1)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, §, 9 có thê lập được
bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tông các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng
ngàn bằng 8 ÐS: 720 + 720 = 1440 số x
Bài 3: (ĐH khối B 2005 dự bị 1)
Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ
Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ DS: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cach
Bài 4: (ĐH khối B 2005 dự bị 2)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thê lập được
bao nhiêu số tự nhiên, môi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 1, 5
DS: 20.60 = 1200 sé Bài 5: (ĐH khối D 2006)
Đội thanh niên xung kích của một trường phô thông
có 12 học sinh, gôm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc
không quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách
chọn nhưvậy? #ØS: 495 - 270 =225 cách
Bài 6: (CÐ GTVT II khối A 2006)
Từ một nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh
khối B, 5 học sinh khối C, chon ra 15 hoc sinh sao
cho có ít nhất 5 học sinh khối A va đúng 2 học sinh khối C Tính số cách chọn DS: 51861950
Bai 7: (CD Tai chinh— Hai quan A 2006)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó chữ
số 0 có mặt đúng 2 lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần
và hai chữ số còn lại phân biệ? DS:
Bai 8: (CD X4y dựng số 3 khối A 2006)
Có bao nhiêu số tự nhiên chăn gồm hai chữ số khác
nhau? Tính tông của tất cả các số đó
8S: 45.54— 220 =2210
Bài 9: (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
Cho 2 đường thăng đỊ, d2 song song với nhau Trên đường thăng dỊ cho 10 điểm phân biệt, trên đường thăng d2 cho § điểm phân biệt Hỏi có thê lập được bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của mỗi tam giác lấy
từ 1§ điểm đãcho DS: 640 tam giac
Bài 49: (ĐH khối B 2004)
Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác
nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi đề Từ 30 câu hỏi đó có thê lập được bao
nhiêu đề kiểm tra, môi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau và
nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dé) và số câu hỏi đê không it hon 2
DS: 23625 + 10500 + 22750 = 56875 dé
Bài 11: (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)
Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu môi loại theo
các số 1, 2 3, 4,5 Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả
các thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng
mau khéng nam liénnhau DS: 5!5!+5!5!
Bai 12: (DH Sư phạm HN 2 khối A 2000) Có thể lập được bao nhiêu số gồm § chữ số từ các chữ số: 1, 2, 3, 4.5, 6 trong đó các chữ số 1 va 6 đều có mặt 2 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần DS: 10080
Bài 13 (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)
Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho
tông các chữ số của môi số là một số chăn
DS: 45.10°
Bai 14 (DH Su pham Vinh khéi DGM 2000)
Tim tat cả các sô tự nhiên có đúng 5Š chữ sô sao cho
trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước DS: 126
Bài 1Š (HV Kỹ thuật quân sự 2000)
Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người Trong ngày,
cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2
người ở địa điêm B, còn 4 người thường trực tại đôn Hỏi có bao nhiêu cách phân công? Ø$: 1260
Bai 16 (DH GTVT 2000)
Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người ổđi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao cho trong 3
người đó có ít nhất một cánbộlớp., DS: 324
Bài 17(HV Quân y 2000)
Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ô trống Hỏi:
1 Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
2 Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên
bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau? ĐS:1)§S40 : 2) 6.3!
Bai 18: (DH Canh sat khéi G CPB 2000)
Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữsó, chia hết cho 92 DS: 50000 Bài 19: (ĐH Cảnh sát G CB 2000) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500000? DS: 40320+ 16800 = 57120 Bai 20: (CDSP Nha Trang 2000) Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thẻ thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 0 Ø,$; 300 — 120 = 180 Bài 21: (CĐÐSP Nhà trẻ - MG TƯ 12000)
Một lớp học sinh mâu giáo gồm 15 em, trong đó có
9 em nam, 6 em nữ Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn một nhóm 5 đề tham dự trò chơi gồm 3 nam
và 2 em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn? DS: 1260
Bài 22: (ĐH An ninh khối D 2001)
Cho các chữ só 0 1, 2, 3, 4 Hỏi có thê thành lập
được bao nhiêu số có bảy chữ số từ những chữ số
trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng3 lần, còn các chữ số khác có mạt đúng 1 lần DS: 6.20.6 =720
Bài 23: (ĐH Can Tho 2001)
Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3
nữ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên
Trang 6BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC www.VIETMATHS.com Phân 5 ĐẠI SỐ I1
Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4
nam
1 Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai
nhóm có số người bằng nhau và môi nhóm có số nữ
như nhau
2 Có bao nhiêu cách chọn ra Š người mà trong đó không có quá 1 nam DS: 1) 120 2)6+60= 66 Bài 25: (ĐH Giao thông vận tải 2001) Cho § chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4 DS: 2520 + 10800 = 13320
Bai 26: (DH Hué khéi ABV 2001)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần?
DS: 9000 — 324 = 8676
Bài 27: (ĐH Huế khối DHT 2001)
Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ra 5 em tham dự lễ mittinh tại trường
với yêu cầu có cả nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách
chọn? ÐS: 1287 - (21 +6)= 1260
Bai 28: (HV Kỳ thuật quân sự 2001)
Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, § trung bình Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó
thành 2 tô, môi tơ có § người sao cho ở môi tô đều
có học sinh giỏi và môi tô có ít nhất 2 học sinh khá
DS: 1680 + 2100 = 3780 cach
Bài 29: (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)
Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được
bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác
nhau và trong đó phải có chữ so 5Š DS: 960 + 600 = 1560 số Bài 30: (HV Ngân hàng TPHCM - A 2001) 1 Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một? 2 Từ các chữ số 0 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thê lập được bao nhiêu số chăn có 5 chữ số đôi một khác nhau? DS: 840 + 2160 = 3000 Bai 31: (DH Ngoai thuong TPHCM - A 2001) Từ các chữ số 1 2 3, 4 5, 6 có thẻ thiết lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? #ÐS: á720 — 240 = Bài 32: (Nông nghiệp I HN khối A 2001)
Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng đọc Hỏi cobao nhiêu cách xếp đê có đúng 2
học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ (Khi đôi
chô 2 học sinh bất kì cho nhau ta được một cách
xếp mới) DS: 5.3!.6! = 21600 cách
Bai 33: (HV Quan hé quéc té2001)
Từ các chữ sô 1 2 3, 4, 5, 6, 7, §, 9 có thê lập được bao nhiêu số có 9 chữ số mà chữ số 9 đứng ở vị trí
chính giữa? DS: 8! =40320
Bai 34: (DH Quéc gia TPHCM 2001)
1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một
khác nhau trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có 2 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ só, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần DS: 11760 — 420 = 11340 sé Bai 35: (DHSP HN II 2001) Tính tông tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8 DS: 3732960 Bai 36: (DHSP TPHCM khéi DTM 2001) Cho A là một hợp có 20 phân tử
1 Có bao nhiêu tập hợp con của A?
2 Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có
số phân tử là số chăn?
Bài 37: (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
1 Có bao nhiêu số chăn có ba chữ số khác nhau
được tạo thành từ các chữ số 1, 2.3 4.5 éđĐ 24
2 Cú bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được
tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các số đó
nhỏ hơn số 345 DS: 40+ 10
Bai 38: (DH Van Lang 2001)
Một lớp có 10 học sinh nam va 10 học sinh nữ Cần
chọn ra 5 học sinh đề đi làm công tác “Mùa hè
xanh” Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học
sinh đó phải có ít nhất:
1 Hai học sinh nữ và hai học sinh nam 2 Một học sinh nữ và một học sinh nam DS: 15000 cach Bai 39: (DH Y HN 2001) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thẻ lập được bao nhiêu sô chăn có ba chữ sô khác nhau và không lớn hơn 7§9? ÐS: 105 + 18 + 42 +6 = 171 Bài 40: (ĐH khối D dự bị 1 2002)
Đội tuyên học sinh giỏi của một trường gồm 18 em,
trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khôi 10 Hỏi có bao nhiêu cách cử
§ học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho môi khối
co ít nhất một em được chọn ĐS:
Bài 41: (ĐH khối A 2003 dự bị 2)
Từ các chữ số 0 1, 2, 3, 4, 5 có thê lập được bao
nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau
và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3
DS:2(P5 — P4) =192 sé
Bài 42: (ĐH khối B 2003 dự bị 1)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 có thê lập được bao nhiêu số tự nhiên mà môi số có 6 chữ số và thoả
mãn điều kiện: sáu chữ số của môi số là khác nhau
và trong môi số đó tông của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tông của 3 chữ số cuối một đơn vị #Ø$: 3.3!.3! =108
Bài 43: (ĐH khối B 2003 dự bị 2)
Từ một tô gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần
Trang 7Bài 45: (CĐ Sư phạm khối A 2002)
1 Tìm số giao điểm tối đa của: a) 10 đường thăng
phân biệt b) 6 đường tròn phân biệt
2 Từ kết quả của câu 1) hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp các đường nói trên
#ØS: 1) 45 điểm ; 2) 45 + 30 + 120 = 195 điểm Bài 46: (CÐ Sư phạm khối A 2002 dự bị)
Cho đa giác lồi n cạnh Xác định n đề đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh DS: n=7
Bai 47: (CD X4y dung s6 3 — 2002)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thê lập được bao
nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 245 ĐS: 6 + 2 =§ số
Bai 48: (CD Sư phạm Quảng Ngãi 2002)
Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 có thể lập được bao nhiêu số lẻ, môi số gồm 4 chữ số khác nhau.Ð$: 3.3.3.2 = 54 Bài 49: Tìm n biết: C7 —C” =7(n+3) Bài 50: (ĐHBKHN-2000) Giải bất phương trình: s4 =4 <9 C410 ø& xe{3;4} x Bai 51: (DH Hang hai 99) Giải bất phương trình: oF ` 1 4# “1P And 3 DS: ne {3, 4, 5} Dane 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai tri n của (a + b)” tock 3 k ¡ Môk 3 * Ta = Cũ (24x) |-+| = Cị, 2x TT 10-k ZT 20-5k x = CK 2k (_3)f k [= CK IF (_3)F§ x 5ˆ 2 x 20-5k _
Đề số hạng không chứa x thi 0©k=4
Vậy số hạng không chứa x là: Cjÿ2“(~3)” = 4354560
(Chis: Ye" =a) Vi du 3:Tim hệ số của xŸ trong khai triển [1+x° (1—x)} Giải § Ta có: [i+x? (I-x)Ï = CE [ x? (1 -x)} k= ` 2 rt < " i = >`C§x” (l-x) = Si Chx* FC (-x) k=0 k= i= 8 k oe =>} C§Cj, (-1) x*" (0 <i<k <8) tam Dé xX =xÌ`© 2k+i=8e k= TT”, k và ¡ là các số nguyên thỏa mãn(0 <¡<k<§)— 1= 0; k= 4 vài= 2:k=3 Vậy hệ số của số hạng chứa xỶ là: C(-1`+CC(-1 =2 Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triên của nhị thức Newton: (a +b} = X.n, k=0
=C§a" +C)a*b+Cˆa* ?b? + + C*a" *b* + +C?b° (khai triên theo lũy thừa của a tang, b giảm)
(Chú ý: (a+b)` =S°Cša"b°* khai triển theo lũy thừa
k=0
của a giảm dân, b tăng dân)
Trang 8BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC www.VIETMATHS.com Ví dụ 5: (ĐH SPHN-2001) Cho khai triên nhị 10 thức: (F+25) =đ,+đx+ +dx) + aax'9 Hãy tìm số hạng a, lớn nhất Giải: Ta có: ZT ™ Wale -E Ww] bo + 8! o án oO 10 (1+2x)" = so Ce (2%) k=0 Ta có ay đạt được max St |e ce k — “k-1 10 —™10 210! ` 2.210! k!(10—#)! (k+1)!(9—*)! 2.2110! ` 2”110! k!{10—#)! (k-1)!(11-k)! 1 >— 2 „|10—E k+1, 19, 22 2 1 3 3 <> ik 11-k =k=7(kÑ,k e[0.10]) _ 2? Vay max a, = = 30 ¬ > BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1 Tìm số hạng không chứa x trong khai triên nhị (x>0) mn) Bai 2:(DH HCQG, 2000) 1 thức Niu-tơn: [2s + 12 : - 1 a)Tìm hệ sô x trong khai trién 1 vn s) x Bài 3: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển: (2-3x)” Bài 4:(Đại học Thuỷ lợi cơ sở II, 2000) Khai triển và rút gọn đa thức: Q(x)= (I+x)” +{ +)” + +(1+x)” Ta được đa thức: Q(x) =aạ,+a,x+ +a,x” Xác định hệ số 4, DS: a,= 3003 Bài 5 Tìm hệ số của x trong khai triên biêu thức P=x(1-2x}`+x'(I+3x)” Bài 6 Tìm hệ số của x trong khai triên thành đa thức của biêu thức P = [1 +x (1 — x)]
Phân 5 ĐẠI SÔ 11
Bài 7 Tìm các số hạng không chứa x trong khai
1
: 1
triển nhị thức Niu-tơn n-|[#+£) x>0
x
Bai 8 Tim hệ số của số hạng chứa x trong khai trién nhi thức Niu-tơn (5+ dể) , biét rang
Cr, - CL; = =7(n+3)
Bài 9 Biết rằng tông tất cả các hệ số của khai triên
nhị thức (x” +1) bằng 1024 Hãy tìm hệ số của số
hạng chứa x” trong khai trién trén
Bai 10.Goi @},@2, , @,; 1a hé s6 trong khai trién:
(x +1)" (x+2)=x" +a,x° +a,x° + 4a x+a,
Tìm hệ số as
Bài 11 Với n là số nguyên dương, gọi đ,„; là hệ số của x Ở trong khai triển thành đa thức của (x? +1)" (x+2}” Tìm» để a,,„; = 26n Bai 12 HVKTQS, 2000) Khai triên đa thức: P(x)=(+2*x) = ay +a,x+ + a„x'” Tìm max ( đạ đ,„ đ; đ,- ) HD: Goi a, là hệ số lớn nhất của khai triên suy ra: đ, > đ,_¡ Từ đây ta có hệ phương trình Bài 13 Khai triển (3x+2) =a +ãX+a,Ý + +a 3# Tìm mâX {đạ đị,đ; đ; } s a‘C* liên quan đến (1+a)° s%€ x Cj liên quan đến so sánh hệ số của (1+x)*.(1+x)™ = (1+x)*™ % k.C} liên quan đến đạo hàm của(1+x}? +, ~~ Cc liên quan đến tích phân của(1+x? 1 k+ 1
1 Thuan nhi thirc Newton
Dấu hiệu nhận biết: Khi các số hạng của tông đó
có dạng C*a"*b* thi ta sé dùng trực tiếp nhị thức
Newton: (a+b) = > Cia *b* Việc còn lai chi k=0
là khéo léo chọn a.b
Trang 9
1+1) =C +C +C + +C —>S=2 (1+1) =C? +C; + C 7 >8,=2° Chon x = — 1 ta co: (1-1) =Cÿ‡—C} +C?— +(—1)” CỆ+ +(—1)” Cỷ =S,=0 Vĩ dụ 2: Tính tông: S, =C$) +C? +CŸ‡ + +C?°: S,=C), + C3, + 4C37 Gidi Ta co: 2n 0 1 2 3 2n-1 2n (I+x)} =C¡,+(C;,+C;, +C,+ +C" '+C" x=l ©2”=C; +C) +C? +C) +Cí + +C?"!+C2" x=-l=0 =C? —-C),+C? —C), +Cí, — —C?2?"'!+C2" =2” =2(C?, +C?, +Cš, + + C22 ) ©S, =C? +C?,+C? + +C?? =2” Lại có: x=l=2”=C? +C) +C? +Ci +Cƒ + +C?°!+C?" x=-l=0=Cj?,—C), +C?, C2, +C?,T— —C2? + C2? 2* =2(C}, +C3, + C3, + + C2") © $8,=Cl,+C3,+.4+C27=27" Vĩ dụ 3: Tính tông: T =C¿ -2C)} +2”Cÿ -2ÌC} + +(—2)” C? Giải Ta có: (1+x)” = Cj +C)x+CỆx” + + Cšx + + C?x" Chọn x =—2 được: (1-2)° =C$ -2C) +2°C2 -2°C3 + 4+(-2)' C2 >T =(-1) |7 đạ 4: Tính tổng 35C? -3°C.+3"C +c - Giải:
Dê dàng thây tông trên có dạng như dâu hiệu nêu trên Ta sẽ chon a=3, b=-1
Khi đó tông trên sẽ bằng (3-1)'°=2"° Ví dụ 5: (ĐH Hàng Hải-2000) Chứng minh: C?,+3?CŒ?, +3!Cÿ,+ +3°”C?” = 277 (2” T 1) Giải: (1+x)” =C$, +} x+ C2 x? + +C?71x21 + C2"x?" (1) L (1-x)" =C8 Cre ee (2) ay (1) + (2) ta được: (1+ x)" +(1-x)" = 2[ C$, + C3? +24 CPx" | Chon x = 3 suyra: > BÀI LẬP TƯƠNG TƯ Bài 1: Tính các tông sau: S=Ch,+C],4+C,4+C,4+C$+C} Bài 2: Tim hé sé cua x’? trong khai triên nhị thức (2 ~ x)" , biét rang 3C? -37}Œ) +3 ?C? -3 3Œ) + +(-1)" C” = 2048 Bai 3: Tim hệ số của số hạng chứa x° trong khai triên nhị thức Niu-tơn của l2 x | ,biết răng x =2”-I Bài 4: Tìm số nguyên dương n sao cho C?+2CŒ}) +2?C +2? C? + +2"C? =243 Bài 5: Cho khai triển: (l+2v)`=a +đx+ +a,” +Cˆ + +CŒ? 2m+1 2m1 C 2m1 trong đó ne N”* va cac hé sé A):,; -,a,, thoa ~ ˆ < a, a, › £ 1z mãn hệ thức a) +—+ +— = 4096 Tim sô lớn 2 2 nhất trong các số q,.đ, ; đ, Bài 6: Chứng minh 8) C?C? + C) C}!+ +C?C?”® = C) b) (Cc?) +(C}} + +(CjŸ =C3, HD: a)So sánh hệ số của x” ở hai về đăng thức: (1+x)?.(1+x)” và (1+x)?”” b) So sánh hệ số của x° ở hai về đăng thức: (1+x)°.(1+x)? và (1+x}” 2.Sir dung dao ham cấp 12 a.Dao ham cấp 1
Dâu hiệu: Khi hệ số đứng trước tô hợp tang dan hoặc giảm dân từ 1,2,3 n hay n 3.2.1 tức là
số hạng đó có dạng kCj hoặc kCja”“b”” thì ta
có thê dùng đạo hàm cấp 1 đề tính Cụ thê:
(a+x)” =C?a" +2C}a*”x + +nC?ax”"
Lấy đạo hàm hai về theo x ta được:
n(a+ x)" =CŒ1a*}+2C2a*” + +nC?ax*”(L)
Đến đây thay xa bằng hằng số thích hợp ta được tông cân tìm Ví dụ 1:(ĐH BKHN-1999) Tính tông C} ~2C? +3CỆ ~4C‡ + +(—1)”” nC? Giải:
Ta thấy tông cần tính có dạng như VP(1) Việc còn lại chi can chon a=1.x—-1 ta tính được tông băng 0 Cách khác: Sử dụng đăng thức &Cj = „#Cj” ta tính được tông bằng: nC?—nC} ,+nC2,+ +(—1)””nC?} =n(1-1) “` =0 Ví dụ 2:Tính tông: 2008C%,, + 2007C;,,; + + Cần Giải:
Hệ số trước tô hợp giảm dân từ 2008,2007 ,1 nên
Trang 10BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC www.VIETMATHS.com Phân 5 ĐẠI SỐ I1 Bây giờ nếu đạo lấy đạo hàm thì chỉ được 2007Cÿ,„x?? trong khi đó đề đến 2008 do đó ta phải nhân thêm với x vào đăng thức trên rồi mới dùng đạo hàm: x(x+ iy” - Cyoo7 8 + Cor OO Et Cũ; X = (x+1)“”(2008x+1) = 200§C?;x””” + 2007Cja;x””95 + + C2,
Thay x = 1 vào ta tìm được tông là 2009.2°°%%
b.Dao ham cap 2 +(n+1)nC? =n(n+1)2”° Dâu hiệu: Khi hệ số đứng trước tô hợp có dạng 1.2,2.3, ,(n-1)n hay (n-1)n, ,3.2,2.1 hay 1°,2’, n° (khong ké dau) tire co dang
k(k -1)C*a"™ hay tong quat hon
k(k - 1) Cia"*b* thi ta co thé dùng đạo hàm đến
cấp 2 đề tính Xét đa thức
(a+bx)” = C? +Cja*}bx + + C?b"x"
Khi đó đạo hàm hai về theo x ta được:
bn(a+ bx)" = Cla" 'b+2C.a"*b*x 4nCrb"x”"
Đạo hàm lần nữa:
b’n(n- 1(a+ bx?)
= 2.1C2a*"?b° + + n(n—1)C?b*x"” (2)
Đên đây ta gân như giải quyêt xong ví dụ toán chỉ việc thay a.b.x bởi các hăng sô thích hợp nữa thôi Ví dụ 3: (ĐH AN-CS Khối A 1998) Cho f (x)=(1+x)" (2<n<Z) a.Tinh #0) b.Chứng minh rằng: 2.1C? +3.2C2 + +(n—1)nC? = n(n—1)2”° 3.Sử dung tích phân Giải: a ƒ”(x)= n{+x)”” => f"(x)=n(n- 1)(1+x)"~ > f"(=n(n-1)2”° b Ta có f (x)=(1+x)" = Ci: "=C)+Cx+ > Cix! k=1 k=2 f'(x)=C,+ YkCix k=2 f"(x)=k(k-1) Cie k=2 =/7()= Ÿ`#(k~1)C‡ =n(n—1)2? k=1 —=2.1Œ}+3.2Cÿ + +(p+1)Cÿ + +(n+1)nC? =n(n-1)2”* (DPCM) Với bài toán này ta giải như sau: Xét nhị thức: (1+ x)” = C2 +Cj;x + + C7x”
Nhân 2 về của đăng thức với x # 0 đồng thời lấy
đạo hàm câp 2 hai vê theo biên x ta được :
2n(1+ x)" +n(n-1)x(1+ x)
=2Œ;x+3.2C2x+ +(n+1)nC?x""
Cho x=2 ta được ĐPCM
> BAI TAP TUONG TU
Bai 1:(CDSP Bén Tre Khéi A-2002) Chứng minh rang: Cũ +C}, + + Co =2° Bài 2:(CĐÐ Khối T-M-2004)Chứng minh rằng : 39+] 2 Bài 3:(ĐHKTQD-2000) Chứng minh: (2+x)” =1.27'Œ+2.273.Œÿ? + + nC? =n.3”'(VI<neZ) Bài 4: Rút gọn tông: 1° Cop 2708 + 27 Chy9 279" + + 2009° C0 Bài 5: Với z là số nguyên dương, chứng minh rằng: a) C; +2C? +3) + +(n—1) C?” +nC? =n.2*1 b) 2.1.C +3.2.C + +(n—1)nŒ? =n(n—1).2”? c) C2 +2C) +3C2 + +(n—1)C? =(n—2)2*”+1 đ) CÍ.+ 2 C?2+ +(n—1)CP"!,+nC?,=n.2"! e) 2.1 C?„ + 3.2 CẢ, + +n(n— 1)C®, = n(n-1)2°7 Chng +2” Cũng + + 2” C2 = : 1 Dâu hiệu: Khi biêu thức có dạng xaiG „ hoặc + 1 , oo Cc thi ta sé lay tich phan hai vé, sau (k+1)(k +2) đó khéo léo chon a, 5 sao cho phù hợp Ví dụ 4: Chứng minh rằng: 2.1C) +3.2C; + +(n +1) pC? + Vi du 1(TSA- 2007) Chimg minh 1, 1; 1; 1 „ị¡ 2”~-1 —CŒ;„+—C2„+—C2„+ +——C„ = 2 =4 7 6ˆ so 2n~1 Giải: Ta có : (I+xỷ”-(-x}Ÿ”=2(ŒC„x+Œ„x +C„x + +C? 1v!) 1 2m /1 x\}# 1 "¬ | - [eee =|(Gx+G# $C ck 0 “ 2
© te sie sie 44 tom-2 2! 2" 4°" 6° n ~2n
> BÀI TẬP TƯƠNG TƯ
Trang 111) 1+ }ct+k 2 3 “nh + "| Bai 3: 2.Chứng minh rằng : cs„2 =le:, 2-1 H n 2 Bai 5: 2 Chứng minh rằng to + 2c! + 3 6 9 3 Tinh tong sau: 1 Co + ] 2 3 Cˆ+ +—E_C"= n+l 1Ý 50-26 Hạng ha ) C= Bai 4: cho w là số nguyên dương Tính tông ———C „+ n 4 2”71_1 n+Ì _})" 2) 2C°- 2? C1 +2° C2 + 4) ) ymicn n+l 1.Tính tích phân J = [x(-x y dx 0 2"- Lan n - 1 1 Tính tích phan J =[x (1+x°) dx 0 1 „27-1 + Œ= 3n4+3 " 3n+3 s=-.c7+1 C+ le yl 14 +e n+l PHAN 2: XÁC SUÁT CỦA BIẾN CÓ L/ PHÉP THU VA BIEN CO
1.Phép thử ngẫu n hiên: là phép thừ mà ta khơng
đốn trước được kiết quả của nó,mặc dù biết được
tập hợp tất cả kết quả có thê có của phép thử đó
2 Không gian mẫu: Là tập hợp các kết quả có thê sảy ra của một phép thử
3.Biến cố: là tập con của không gian mẫu + Tập Ø là biến cố không thể (biến có khơng) + Tập © cịn gọi là biến cố chắc chắn 4 Phép toán trên các biến cố
Biến cô đối: A= @\A Biến cô hợp: C= A B Biến cô giao: C = Aí\ B
Biến cỗ xung khắc: Nếu A í\ B_= Ø thì ta nói A và B xung khắc H./ ĐINH NGHĨA CÔ ĐIỂỄN CỦA XÁC SUAT 1./ Định nghĩa: Định nghĩa: Giả sử A là biến cỗ liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả n(4) n(
năng xuât hiện Ta gọi ty sô là xác suât của
biến cố A, kí hiệu là P(A) lí A)= sai)
n(Q)
Chứ ý: n(A) là số phần tử của A hay cũng là số các
kết quả thuận lợi cho biến cố A, còn n( © ) là số các
kêt quả có thê xảy ra của một phép thử
Vi dul: Gieo ngau nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất làm hai lần Tính xác suất của các biến cố: a./ A: “Mat sap xuất hiện hai lần” : b./ B: “ mặt sấp xuất hiện đúng một lần” c./ C: “Mặt sắp xuất hiện ít nhất một lần” Giải:
Khơng gian mẫu © = {SS, SN, NS,NN} n(©) = 4
Vì đồng tiền cân đối đồng chất và việc gieo là ngâu nhiên nên các kết quả đồng chất xuất hiện Ta có: a/A= {SS) n(A) = 1, ta có: p(A)— "9 _ 1 n(Q) 4 b./B = {SN, NS}, n(B) = 2, ta cd: mA) _2 1 PŒ)= CC =“= n(Q) 4 2 c./ C = {SS,SN, NS}, n(C) = 2, ta có: P(C) = n(A) _ 3 n@O)_ 4`
Ill./ TINH CHAT CUA XAC SUAT
Trang 12BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC www.VIETMATHS.com Phân 5 ĐẠI SỐ I1
đồng khả năng xuất hiện Khi đó ta có định lý sau đây:
a) P(Ø)=0,P(O)= 1
b) 0 < P(A)< 1, với mọi biến cố A
e) Nếu A và B xung khắc,thì P(A t 2B) = P(A)+P(®)
(cơng thức cộng xác suất)
Hệ quả :Với mọi biến cô A thì P(4) = 1 — P(A)
Vĩ dụ : Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên bi trắng và 7 viên bi vàng Nguời ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó Tính xác suất đê số bi lấy ra không có đủ cả ba màu?
Giải:
* Không gian mâu là tập hợp mà môi phân tử là chinh hợp chập 3 của 1§ viên bi : n(@)= C1s= * Gọi biến cố A:” Cả 4 bi lấy ra đều có đủ 3 màu “ Xét 3 khả năng: +) 2 viên đỏ, viên trăng và 1 viên vàng : Có CÿC¿C; cách +) lviên đỏ,2 viên trắng và 1 viên vàng : Có C¿CCC) cách +) lviên đỏ,1 viên trắng và 2 viên vàng : Có C‡C¿C? cách Vậy theo quy tắc cộng ta có: n(A) = C?C‡C) +C‡C£¿C) +C)C¿C)
*Gọi biến cố B:” số bi lấy ra không có đủ cả ba màu” ~Sô cách chọn thoả mãn yêu c âu là: nŒ) = Cá —(C?C¿C) + C)C¿C) + C‡C¿C?) =1485 - Và Vậy P(B) ¬@) - ") _ 1485 CÁCH 2: “HS T1 _,_ nA) CóB= 4= P(B)=1-P(A) = 1 x(©)
IV./ CAC BIEN CO DOC LAP, CONG THUC
NHAN XAC SUAT
Ví dụi Bạn thứ nhất có một đồng tiền, bạn thứ hai có
con súc sắc (đều cân đối đồng chất) Xét phép thử “Ban thứ nhất gieo đồng tiền, sau đó bạn thứ hai gieo con súc sắc”
a) Mô tả không gian mâu của phép thử này
b) Tính xác suất các biến cố sau: A: “Đồng tiền xúat hiện mặt sấp” B: “Con súc sắc xuất hiện mặt sap” C: “Con súc sắc xuất hiện mặt lẻ”
c)CMR: P(A.B)=P(A).P(B); P(A.C) = P(A).P(C)
Giai:
Tổng quát: A và B là hai biến cô độc lập khi và chỉ
khi: P(A.B) = P(A).P(B) BÀI TẬP THEO CHỦ ĐÈ Bài 1: Gieo 1 con xúc xắc đối xứng và đồng chất Tìm xác suất đề được: a) Mặt 6 chấm xuất hiện
b) Mặt có số chấm là số chăn xuất hiện
HD: Gọi A.B lần lượt là các biến cố "Mặt 6 cham
xuất hiện” và "Mặt có số chấm là số chăn xuất hiện".Ta có : P(4) = =:P(B) = ~
Bài 2: Có 100 tấm bìa hình vuông được đánh số từ 1 đến 100.Ta lấy ngâu nhiên 1 tắm bìa.Tìm xác suất
đê lấy được:
a) Một tắm bìa có số không chứa chữ số 5 (P= 0,8) b) Một tấm bìa có số chia hết cho 2 hoặc 5 hoặc cả 2
và Š (P;= 0.6)
Bài 3: Một hộp có chứa a quả cầu trắng và b quả
câu đen.Lấy ra lần lượt từ hộp từng quả cầu(một cách ngâu nhiên).Tìm xác suất đề
a) Quả câu thứ 2 là trắng
b) Quả cầu cuối cùng là trắng Đáp số: P„= Pẹ = a/(a+b)
Bài4: Gieo đồng thời 2 đồng xu.Tìm xác suất đề có: a) Hai mặt cùng sắp xuất hiện (P=0.25)
b) Một mặt sắp,một mặt ngửa (P=0.5 )
e) Có ít nhất 1 mặt sắp (P=0.75 )
Bài5: Gieo đồng thời 2 xúc xắc đối xứng và đồng
chất Tìm xác suất đề được:
a) Tông số chấm xuất hiện bằng 7 (P=1/6) b) Tông số chấm xuất hiện nhỏ hơn 8 (P=7/12)
€) Có ít nhất 1 mặt 6 chấm xuất hiện (P=1 1/36) Bài 6: Thang máy của 1 toà nhà 7 tầng xuất phát từ
tắng 1 với 3 khách.tìm xác suất đê :
a) Tất cả cùng ra ở tầng 4 (P=1/216)
b) Tât cả cùng ra ở một tâng (P=1/36)
c) Méi người ra ở một tầng khác nhau (P=5/9) Bài 7: Môi vé xô sô kí hiệu bởi 1 sô có 5Š chữ số Tìm xác suất đê 1 người mua 1 vé được:"
a/Vé có 5 chữ số khác nhau (P=0,3024) b/Vé có 5 chữ số đều chăn (P=0.03125) Bài §: 5 người A,B.C.,D,E ngồi một cách ngâu nhiên
vào 1 chiếc ghế dài.Tìm xác suất đề:
a) Người C ngồi chính giữa (P=0,2)
b) Hai người A.B ngồi ở2đầu (P=0,1)
Bài 9: Trong một chiếc hộp có n quả cầu được đánh số từ 1 đến n.Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 2 quả cầu.Tính xác suất đề người đó lấy được 1 quả có số hiệu lớn hơn k và một quả có số hiệu nhỏ hơn k
(đáp số: p_ 2&Œ~1@—È) )
nín —Ì)
Bài 10:* Có 10 người khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quây.Hỏi xác suất đề 3 người cùng đến quây số 1 là bao nhiêu?
HD: Mỗi khách có 3 khả năng như nhau dé dén 3
quây.Số biến cố đồng khả năng là: 3'' Còn số biến
Cạ.2'
310
Bài 11: Có n người (trong đó có m người trùng tên) xếp ngâu nhiên thành hàng ngang.Xác suất đê m người trùng tên đó đứng cạnh nhau là bao nhiêu? cố thuận lợi là: C;.2' suyra P=
` 2 > - - >2 QẤ- n—-—m+1)!m!
PHAN 1: BAI TAP SU DUNG CAC DINH NGHIA Đáp sơ: p= ¬
Trang 13PHAN 2: SU DUNG CAC ĐỊNH LÝ XÁC SUÁT Bai 1: Một chỉ tiết máy được lấy ngâu nhién.Chi tiét
loại 1(chi tiết A);chi tiết loại 2(chi tiết B);chi tiết loại 3(chi tiết C).Hãy mô tả các biến cố sau đây
a) AUB : b) A+B: c)(41B) C: d)AC Bai 2: Ba ngudi cing ban vao mét muc tiéu.Goi A,
là biến cố người thứ ba bắn trúng mục tiêu
(k=1.2.3).Các biến cố sau đây được viết bằng kí hiệu ra sao? a) Chi có người thứ nhất bắn trúng mục tiêu b) Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu c) Chi có hai người bắn trúng mục tiêu đ) Có ít nhất một người bắn trúng mục tiêu
Bài3: Khi kiêm tra theo thứ tự một lô hàng có 10 sản
phâm(các sản phâm đều thuộc 1 trong 2 loại tốt hoặc xấu).Gọi Ay là biến cố "sản phẩm thứ k là loại xấu" Viết bằng kí hiệu các biến có sau: a) Cả 10 sản phâm đều xấu
b) Có ít nhất 1 sản phâm xấu
e) Sáu sản phâm đầu là tốt còn lại là xấu
đ) Các sản phâm kiêm tra theo thứ tự chăn là tốt.thứ
tự lẻ là xấu
Bai4: Có 2 hộp đựng bi:hộp 1 đựng 3 bi trắng,7 bi
đỏ,15 bi xanh ; hộp 2 đựng 10 bi trắng.6 bi đỏ,9 bị xanh Ta lấy ngâu nhiên từ môi hộp 1 viên bi.Tìm xác
suất đề 2 viên bi lấy ra cùng mau (P= 207/625)
Bèi5: Bắn liên tiếp vào 1 mục tiêu đến khi viên đạn
đầu tiên trúng mục tiêu thì dừng Tính xác suất sao cho phải bắn đến viên đạn thứ 6.Biết rằng xác suất trúng mục tiêu của môi viên đạn là 0.2 Và các lần
bắn độc lập với nhau (P=0.065536)
Bài6: Gieo 2 con xúc xắc đối xứng và đồng chất.Gọi
A là biến cố tông số chấm xuất hiện là số lẻ.B là biến cố được ít nhất một mặt một chấm.Hãy tinh
a)P(AUB) (P=23/36) b) P(AB) (P=1/6)
Bai7: Co 2 bong dién voi xac suat hong 1a 0,1 va 0,2 (Việc chúng hỏng là độc lập với nhau).Tính xác suất đê mạch không có điện do bóng hỏng nếu
a/Chúng được mắc song song P=0,02
b/Chúng được mắc nối tiếp P=0,28
PHAN 3 : BT VE BIEN NGAU NHIEN ROI RAC
Bai 1: Mot hộp có 3 quả cầu trắng và 2 quả cầu den.Lé Lay ngâu nhiên từng quả câu cho đến khi lấy được quả câu trắng Hãy lập bảng phân phối xác suất của các quả cầu được lấy ra
Bài 2: Trong một bình có 3 quả cầu đen khác nhau và 4 quả cầu đỏ khác nhau Lấy ra 2 quả cầu Tính xác suất đề :
a) Hai quả cầu lấy ra màu đen b) Hai quả cầu lấy ra cùng màu
Bài 3: Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập
với nhau.Xác suất trong thời gian t các bộ phận bị hỏng tương ứng là: 0.4 ; 0,2 ; 0.3.Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong thời gian †
a) Lập bảng phân bố xác suất của X
b) Xác suất đề trong thời gian t có không quá 2 bộ phận bị hỏng là bao nhiêu?
Bài 4: Một người đi từ nhà đến cơ quan phải qua 3 ngã tư.Xác suất đề người đó gặp đèn đỏ ở các ngã tư
tương ứng là : 0,2 : 0.4 ; 0,5.Môi khi gặp đèn đỏ
người ấy phải dừng lại 3 phút.Hỏi thời gian trung bình mà người đó phải dừng lại trên đường là bao
nhiêu? (Đáp số: khoảng 3.3 phút)
Bai 6: Hai xạ thủ cùng bắn vào một bia Mỗi người
bắn một viên đạn , xác suất bắn trúng bia của người
thứ nhất là 0.7 và của người thứ hai là 0,8 Tinh xac
suất đề có đúng một viên đạn trúng bia Bài 7: Có Š nam 3 nữ được sắp xêp ngôi xung quanh một bàn tròn Tính xác suất đê không có hai bạn nữ ngồi cạnh nhau
Bài 8: Kết quả (b,c) của việc gieo hai con xúc xắc cân đối hai lần, được thay vào phương trình x”+ bx+ c =0 Tính xác suất đê : a) Phương trình vô nghiệm b) Phương trình có nghiêm kép c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt
BAI TAP TONG HOP
Bài 1: ¡ Trong đề cương môn học gom 10 câu hỏi lý thuyết và 30 bài tập Môi đề thi gồm có 1 câu hỏi lý thuyết và 3 bài tập được lấy ngâu nhiên trong đề cương Một học sinh A chỉ học 4 câu lý thuyết và 12 câu bài tập trong đề cương Khi thi học sinh A chọn 1 đề thị một cách ngâu nhiên Với giả thiết học sinh A chỉ trả lời được câu lý thuyết và bài tập đã học Tính xác suất đề học sinh A :
a) Không trả lời được lý thuyết b) Chỉ trả lời được 2 câu bài tập
ce) Đạt yêu cầu Biết rằng muốn đạt yêu câu thì phải trả lời được câu hỏi lý thuyết và ít nhất 2 bài tập Bài 2 : Một khách sạn có 6 phòng trọ phục vụ khách, nhưng có tất cả 10 khách đến xin nghỉ trọ, trong đó có 6 nam và 4 nữ Khách sạn phục vụ theo nguyên tắc “ai đến trước phục vụ trước và môi phòng nhận 1 người”
a) Tìm xác suất đề cho cả 6 nam đều được nghỉ trọ b) Tìm xác suất đề 4 nam và 2 nữ được nghỉ trọ c) Tìm xác suất sao cho ít nhất 2 trong số 4 nữ được
nghỉ trọ
Bài 3 : Ở một bàn hỏi thi có 6 phiếu hỏi thi Với mỗi
phiếu thi có 3 cách trả lời Học sinh khi chọn được một phiếu thì chọn một trong 3 cách trả lời với cùng một khả năng
Tìm xác suất đề học sinh có thê trả lời đúng ít nhất 4 trong số 6 phiếu đó, biết rằng trong 3 cách trả lời chỉ có một cách trả lời đúng
Bài 4: Có 2 lô hàng :
Lô1:Có 90 sp đạt tiêu chuân và10 phế phâm
Lơ2:Có §0 sp đạt tiêu chuân và 20 phế phâm
Lấy ngâu nhiên mỗi lô hàng một sản phâm Tính xác suất :
a) Có một sản phâm đạt tiêu chuẩn b) Có hai sản phâm đạt tiêu chuẩn c) Có ít nhất một sản phâm dat tiêu chuân
Bai 5 : Giả sử có 10 khách hàng vào một cửa hàng
Trang 14BỘ TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC
c) Có 4 người đến quây 1 và 3 người đến quây 2 Bài 6 Có 5 khách hàng không quen biết nhau và cùng vào mua hàng ở một cửa hàng có 4 quây hàng Biết sự lựa chọn quây hàng của các khách hàng là độc lập và như nhau Hãy tìm xác suất của các sự kiện sau:
a) Cả 5 khách hàng vào cùng 1 quây hàng b) Có 3 người vào cùng 1 quây
©) Có 5 người vào 2 quây tức là có đúng 2 quây có khách
d Môi quây đều có người tới mua
Bài 7 : Một cơ quan ngoại giao có 25 nhân viên trong đó có l6 người biết nói tiếng Anh, 14 người biết nói tiếng Pháp, 10 người biết nói tiếng Nha, 10 người biết nói tiếng Anh và Pháp, 5 người biết nói tiếng Anh và Nga.3 người biết tiếng Pháp và Nha,
không có ai biết nói cả 3 thứ tiếng trên Có 1 người
trong cơ quan ấy đi công tác.Tính xác suất đê người ây :
a) Biết nói tiếng Anh hay Pháp
b) Biết nói ít nhất 1 ngoại ngữ trong 3 ngoại ngữ trên c) Chi biết nói 1 ngoại ngữ trong 3 ngoại ngữ trên Bài 8 : Ba người cùng bắn vào một mục tiêu Xác
suất bắn trúng đích của người thứ 1, 2, 3 lần lượt là
0.5 ; 0,6 ; 0.7 Gọi Ai là sự kiện chỉ người thi i ban trúng mục tiêu ¡ = 1, 2, 3 Hãy biều diễn các sự kiện sau theo các sự kiện Ai, ; ¡= 1, 2, 3 và tính xác suất của các sự kiện đó
a) A:”Sự kiện chỉ có một người bắn trúng đích” b) B:”Sự kiện có nhiều nhất 1 người bắn trúng đích” ce) C:”Sự kiện mục tiêu (đích) bị bắn trúng”
Bài 9: Ta kiêm tra theo thứ tự một lô hàng có 10 sản
phâm Các sản phâm đều thuộc một trong hai loại : tốt hoặc xấy Ta ký hiệu Ak (k = 1.10) là biến cố chỉ sản phâm kiêm tra thứ k thuộc loại xấu Viết bằng ký hiệu các biến cố sau đây :
a) Có 10 sản phâm đều xấu
b) Có ít nhất một sản phâm xấu
c) Co 6 san phâm kiểm tra đầu là tốt, các sản phâm còn lại là xấu
d) Cac sản phâm kiểm tra theo thứ tự chăn là tốt, còn các sản phâm kiêm tra theo thứ tự lẻ là xấu
Bài 10 : Xác suất đê 1 sản phâm của nhà máy A bị
hỏng là 0,05, khi kiểm tra một lô hàng gồm các sản phâm của nhà máy A, người ta lấy ngâu nhiên n sản phâm trong lô hàng, lô hàng bị loại nếu có ít nhất k phế phâm trong n sản phâm lấy ra Tính xác suất đê lô hang bi loai voi: a/n=3:k=1 b/n=5:k=2 Bài 11 : Một mạng điện gồm một ngắt điện K và hai bóng điện ĐI, Ð2 được ghép nối tiếp Mạng điện bị tắt nếu ít nhất một trong ba bộ phận trên bị hỏng Tìm xác suất đề cho mạng điện bị tắt, biết rằng xác suất bị hỏng tương ứng K, ĐI, Ð2, là 0,4 ; 0,5 : 0,6 và các bộ phận đó hỏng hóc một cách độc lập với nhau
Bài 12: Một máy bay gồm có ba bộ phận có tầm
quan trọng khác nhau Muốn bắn rơi máy bay, thì chỉ cần có một viên đạn trúng bộ phận thứ nhất, hoặc hai www.VIETMATHS.com Phân 5 ĐẠI SỐ I1 b) Có 4 người đến một quây nào đó; viên đạn trúng bộ phận thứ hai, hoặc ba viên đạn trúng bộ phận thứ ba Xác suất đề một viên đạn trúng bộ phận thứ nhất, thứ hai, thứ ba với điều kiện viên đạn đó đã trúng
máy bay tương ứng bằng 0.15 ; 0,30 và 0,55
Tìm xác suất đê máy bay bị bắn rơi khi a) Có một viên đạn trúng máy bay ; b) Có hai viên đạn trúng máy bay: c) Có ba viên đạn trúng máy bay: đ) Có bến viên đạn trúng máy bay
Bài 13: Hai máy bay lần lượt ném bom vào một mục tiêu đã định Môi máy bay có mang theo ba quả bom và mỗi lần lao xuống chỉ ném một quả Xác suất trúng đích của một quả bom ở máy bay thứ nhất
bằng 0.4 còn của máy bay thứ hai là 0,5 Mục tiêu bị