Kỹ thuật phân tính tìm số hạng tổng quát của dãy số truy hồi cấp một.

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Năm học 2019-2020 năm học tiếp tục thực vận động Bộ Giáo dục đề ra, tiếp tục với chủ đề "Năm học đổi quản lý nâng cao chất lượng giáo dục" với phong trào xây dựng "Trường học thân thiện, học sinh tích cực" Nghị TW khóa VIII khẳng định " Đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ chiều, rèn luyện nếp tư cho người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, ứng dụng cộng nghệ thơng tin vào q trình dạy học" Căn vào nhiệm vụ mục tiêu giáo dục, vào thực trạng dạy học nay, cần phải đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; bồi dưỡng khả tự học, sáng tạo, khả vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại say mê, hứng thú học tập cho em Để đạt điều trình giảng dạy người thầy phải giúp học sinh nắm vững tri thức Từ thúc đẩy ham học hỏi, khám phá rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp cho thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao lực chuyên môn, phương pháp giảng dạy - Giúp cho học sinh rèn luyện kỹ phân tích, nắm quy luật biết tổng hợp dạng toán Từ phát triển tư lơgic, khái qt hố vấn đề - Rèn luyện cho học sinh lực hoạt động trí tuệ, rèn đức tính cần thiết cho tương lai, phát triển tư sáng tạo 1.3 Đối tượng nghiên cứu Tìm số hạng tổng quát dãy truy hồi cấp Hệ thống đầy đủ phân loại dạng tập thường gặp sách nâng cao, tài liệu tham khảo, các đề thi học sinh giỏi đề thi thử TNTHPTQG phù hợp với trình độ học sinh Học sinh lớp 11-`12 trường THPT Thiệu Hóa 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp đặt vấn đề, giải vấn đề - Phương pháp nghiên cứu dựa sơ lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn thực tiễn giảng dạy DÃY SỐ - CẤP SỐ VÀ GIỚI HẠN DÃY tượng thực tế đời sống khoa học 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Dãy số nội dung quan trọng chương trình tốn THPT; sở cho việc nghiên cứu nội dung mơn Giải tích Giới hạn, Đạo hàm, Tích phân… , giúp giải nhiều toán khoa học thực tiễn mà ta giải dùng kiến thức Đại số Nội dung địi hỏi học sinh có cách tiếp cận kiến thức khác với kiến thức học trước đây, yêu cầu em có kiên trì, tư lơgic chặt chẽ, tư tích cực, độc lập sáng tạo, kĩ phân tích tổng hợp vấn đề Mặt khác biết thời lượng dạy phân phối chương trình có tiết gồm ba bài: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân Đề thi TNTHQG khai thác tập dạng đơn giản ứng dụng kiến thức cho nội dung khác Chính điều đó, nhiều giáo viên dạy “sơ sài”, học sinh “bỏ qua” kiến thức tảng Trong đó, kì thi học sinh giỏi tập phong phú, đa dạng, phần lớn mức độ vận dụng cao Tài liệu tham khảo dành cho học sinh trường chuyên nên học sinh khơng chun khó tự tìm tịi nghiên cứu khơng có định hướng giáo viên Từ thực tiễn giảng dạy đó, qua q trình tự bồi dưỡng chun mơn trao đổi với đồng nghiệp tơi mạnh dạn trình bày đề tài “ Một số kỹ thuật phân tính tìm số hạng tổng quát dãy số truy hồi cấp một” Việc nhằm giúp em học sinh bậc THPT khơng chun phần có cách tiếp cận vấn đề cách xuyên suốt, lôgic, bước đầu yêu thích tạo tiền đề cho say mê, nghiên cứu sau 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm - Qua nghiên cứu sách giáo khoa sách tập ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 ban CƠ BẢN, ban NÂNG CAO thấy số đặc điểm nội dung chương trình DÃY SỐ sau: - Phân phối chương trình có tiết Bài tập mức độ vận dụng phần lớn giảm tải Các tốn liên quan gần khơng xuất kì thi TN, tuyển sinh ĐH CĐ, TNTHPTQG - Nhưng mặt khác tốn dãy số có mặt hầu hết đề thi HỌC SINH GIỎI từ cấp trường, cấp tỉnh -Qua trao đổi với số giáo viên toán số trường THPT, tìm hiểu thực trạng việc dạy học nội dung DÃY SỐ trường THPT, tơi có vài nhận xét sau: - Đa số giáo viên đồng ý với quan điểm toán dãy số có vị trí quan trọng mơn Giải tích, mặt khác phát triển lực sáng tạo cho học sinh, tạo tiền đề tảng cho việc theo học bậc học cao sau em - Mặt khác, toán tốn khó học sinh lớp đại trà, giáo viên giảng dạy lớp đại trà thường không trọng nhiều cho học sinh vấn đề Ở lớp định hướng nhóm bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên cho học sinh giải toán mức độ vận dụng - Hầu hết giáo viên cho có hệ thống tốn có phương pháp truyền đạt phù hợp khơng nâng cao hiệu việc giảng dạy nội dung mà giúp cho học sinh giỏi tiếp cận tốt với tốn khó DÃY SỐ + Qua tìm hiểu em học sinh số trường THPT thấy rằng: - Hầu hết em học sinh khơng muốn làm tốn khó dãy số cho tốn không xuất đề thi TNTHQG - Các em học sinh chưa trang bị phương pháp tiếp cận giải toán Một số học sinh khá, giỏi trường THPT bước đầu làm quen với số toán dạng đơn giản - Từ vấn đề tìm hiểu thấy việc dạy học toán vận dụng DÃY SỐ trường THPT cịn nhiều hạn chế, tốn dạng chưa quan tâm mức Chính việc khai thác toán cần quan tâm mức 2.3 Các giải pháp thực - Tóm tắt phần kiến thức cần áp dụng - Phân dạng tập cách đưa hệ thống tập minh họa, sau rút phương pháp giải tổng quát, chứng minh phương pháp nhằm phát huy tối đa tư sáng tạo học sinh, cuối tập tự luyện - Áp dụng tập ôn thi HSG Khi tham khảo, học sinh biết nhận dạng lựa chọn phương pháp phù hợp để giải tập tổng hợp, tự luyện đưa ra, đồng thời phát triển tư cho đơn vị kiến thức khác, cho môn học khác đặc biệt thấy đơn vị kiến thức có mối liên hệ lơgic chịu khó nghiên cứu I CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC DÃY SỐ 2.1 Định nghĩa [1]  Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương N * gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u : N * → R n a u ( n) Dãy số thường viết dạng khai triển u1 , u2 , u3 ,…, un ,… Trong un = u ( n ) gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số  Mỗi hàm số u xác định tập M = { 1,2,3,…, m} với m ∈ N * gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1 , u2 , u3 ,…, um u1 số hạng đầu, um số hạng cuối  Dãy số ( un ) gọi là: - Dãy đơn điệu tăng un+1 > un , với n = 1,2,… - Dãy đơn không giảm un+1 ≥ un , với moi n = 1, 2,… - Dãy đơn điệu giảm un+1 < un , với n = 1, 2,… - Dãy đơn điệu không tăng un+1 ≤ un , với n = 1,2,…  Dãy số ( un ) gọi là: - Dãy số bị chặn tồn số M cho un < M , với n = 1,2,… … - Dãy số bị chặn tồn số m cho un > m , với n = 1,2,… … - Dãy số bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn 2.2 Cách cho dãy số[1] - Dãy số cho công thức số hạng tổng quát Ví dụ: Dãy số ( un ) n 1 xác định bởi: un =  ÷ + 2n − 3; n ≥ 1; n ∈ ¥ 2 - Dãy số cho phương pháp truy hồi Ví dụ: Dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = 1, u2 = 17  un+1 = 9un + 5un−1 − 2019; n = 2,3,4 Một vài dãy số đặc biệt[2] 3.1 Cấp số cộng  Định nghĩa: Dãy số u1 , u2 , u3 ,… gọi cấp số cộng với công sai d un = un –1 + d với n = 2,3,…  Tính chất un = u1 + ( n – 1) d uk = uk −1 + uk +1 với k = 2,3,… Nếu cấp số cộng hữu hạn phần tử u1 , u2 ,…, un u1 + un = uk + un – k ; ∀ k ≥ 2, k ∈ ¥ S n = u1 + u2 + …+ un = n n (u1 + un ) =  2u1 + ( n − 1) d  2 3.2 Cấp số nhân [1]  Định nghĩa: Dãy số u1 , u2 , u3 ,… gọi cấp số nhân với công bội q un = un –1.q với n = 2,3,…  Tính chất un = u1q n –1 với n = 2,3, … uk2 = uk −1uk +1 với k = 2, 3, … S n = u1 + u2 + …+ un = u1 ( q n − 1) với q ≠ q −1 II KỸ THUẬT PHÂN TÍCH TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT PHẦN 1: HAI DÃY CƠ BẢN - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN [2]  Chúng ta biết học sinh thường “lúng túng” trước dãy số cho dạng truy hồi phần lớn khơng có “định hướng” phương pháp giải Các hoạt động sau giúp học sinh điều  Các hoạt động thực theo hoạt động sau: Hoạt động Học sinh nhận nhiệm vụ Hoạt động Học sinh khám phá: + Các nhóm tìm kiếm, khám phá, huy động vốn tri thức kinh nghiệm cũ, quy nạp để tự giải vấn đề, tìm tri thức + Trong lúc đó, GV quan sát, thấy học sinh gặp khó khăn GV đưa định hướng Hoạt động Báo cáo kết trước lớp toàn lớp thảo luận Hoạt động + Giáo viên tổng kết đưa kết luận cho toán Giáo viên xác hóa kết học sinh + Củng cố lại phương pháp + Giáo viên cho tập tương tự Trước hết từ lý thuyết sách giáo khoa ta có hai kết sau: KẾT QUẢ 1: Cấp số cộng [1] u1 = α Dãy số ( un ) xác định  có số hạng tổng quát un = α + ( n − 1) b KẾT QUẢ 2: Cấp số nhân [1] un = un−1 + b (n ∈ ¥ ; n ≥ 2) u1 = α có số hạng tổng quát un = a.un−1 (n ∈ ¥ ; n ≥ 2) Dãy số ( un ) xác định  un = α a n−1 Ta xét ví dụ minh họa cho hai kết Ví dụ 1: Xác định số hạng tổng quát dãy số ( un ) xác định bởi: u1 =  un = un−1 − 2020; n ≥ 2, n ∈ ¥ Lời giải Ta thấy dãy ( un ) cấp số cộng có số hạng đầu u1 = , công sai d = −2020 Áp dụng kết ta có: un = − 2020 ( n − 1) = −2020n + 2022 Ví dụ 2: Xác định số hạng tổng quát dãy số ( un ) xác định u1 = 2020  un = 2un −1; n ≥ 2, n ∈ ¥ Lời giải Ta thấy dãy ( un ) cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2020 , cơng bội q = Áp dụng kết ta có: un = u1.q n−1 = 2020.2 n−1 = 505.2n +1 PHẦN 2: MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG [4] Trong khuôn khổ đề tài xin đề xuất mở rộng từ hai dãy cho số dãy sau: u1 = α với α , a, b un = q.un −1 + b ∀n ∈ ¥ , n ≥ 1) Dãy số ( un ) xác định bởi:  số cho trước u1 = α với α , q un = q.un −1 + f ( n ) ∀n ∈ ¥ , n ≥ 2) Dãy số ( un ) xác định bởi:  số cho trước, f ( n ) đa thức ẩn n u1 = α 3) Dãy số ( un ) xác định bởi:  n un = q.un −1 + g ( n ) a ∀n ∈ ¥ , n ≥ với α , a, q số cho trước, g ( n ) đa thức ẩn n Tính đặc biệt dãy kỹ thuật áp dụng Từ dãy đầu tiên, ta quan sát thấy q = đơn cấp số cộng Vậy với hai dãy sau có tính chất đặc biệt Trước hết ta xét hai ví dụ sau: Ví dụ 3: u1 = 2020 un = un −1 + − 2n ∀n ∈ ¥ , n ≥ Xác định số hạng tổng quát dãy số ( un ) :  Lời giải  Đặt vấn đề: Trong toán gặp khó khăn dãy ( un ) cấp số cộng hay cấp số nhân! Vấn đề đặt biểu thức ( − 2n ) thay đổi theo n  Hướng giải quyết: Dãy cấp số cộng, nhiên đồng dạng với cấp số cộng ta giải vấn đề thay đổi từ biểu thức ( − 2n ) sau: Biểu diễn số số hạng đầu dãy (khơng thực tính tốn): u2 = u1 + − 2.2 u3 = u2 + − 2.3 un = un −1 + − 2.n Cộng theo vế ta được: u2 + u3 + + un −1 + un = u1 + u2 + + un −1 + ( n − 1) − ( + + + n ) ⇔ un = u1 + ( n − 1) − ( + + + n ) = u1 + n + − ( + + + + n ) n ( n + 1) = u1 + − n 2 Vậy un = 2021 − n ; n ∈ ¥ * ⇔ un = u1 + n + − Ví dụ 4: u1 = −2020 Xác định số hạng tổng quát dãy số ( un ) :  n un = un −1 + 3.2 ∀n ∈ ¥ , n ≥ Lời giải  Đặt vấn đề: Trong toán gặp khó khăn dãy ( un ) cấp số cộng hay cấp số nhân! Cũng ví dụ , vấn đề đặt biểu thức 3.2n thay đổi theo n  Hướng giải quyết: Cũng với ý tưởng trên, ta thực biểu số hạng dãy: u2 = u1 + 3.22 u3 = u2 + 3.23 un = un −1 + 3.2n n Cộng theo vế ta được: u2 + u3 + + un −1 + un = u1 + u2 + + un −1 + ( + + + ) − 2n ⇔ un = u1 + ( + + + + ) − = u1 − + 3.2 = u1 − 12 + 6.2 n = −2032 + 3.2 n +1 1− n +1 * Vậy un = −2032 + 3.2 ; n ∈ ¥ n TÔNG QUÁT u1 = α u ( ) Dãy số n xác định bởi:  α u = u + P n ; n ∈ ¥ , n ≥ ( )  n n −1 số cho trước, P ( n ) biểu thức có chứa n a n Khi số hạng tổng quát n un = u1 + ∑ P ( k ) tính theo cơng thức: k =2 Ví dụ 5: u1 = Xác định số hạng tổng quát dãy số ( un ) :  n un = un −1 + 2n + 5.3 ∀n ∈ ¥ , n ≥ Lời giải Áp dụng tốn tổng qt ta có: n un = u1 + ∑ ( 2k + 5.3k ) = u1 + ( + + + n ) + ( 32 + 33 + + 3n ) k =2 = u1 − 17 + ( + + + + n ) + ( 31 + 32 + 33 + + 3n ) = u1 + n) n ( − 3n n+1 43 − 17 + + 5.3 = + n + n − 1− 2 Ví dụ 6: [4] (HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2011 – 2012) Cho dãy số ( un ) thỏa u1 = un Hãy tìm lim un+1 un +1 = un + n; n ≥ mãn  Lời giải Áp dụng tốn tổng qt ta có: n −1 un = u1 + ∑ k = u1 + ( + + + + ( n − 1) + n ) − n = u1 + k =1 Suy ra: un +1 = un + n = Vậy lim un un+1 n ( 1+ n) − n = ( n2 − n + 2) 2 n − n + 2) + n = ( n2 + n + 2) ( 2 2 1− + n − n + 2) ( n −n+2 n n =1 = lim = lim = lim 2 n +n+2 n + n + 2) 1+ + ( n n BÀI TẬP RÈN LUYỆN [3] 10 Bài 1: Tìm số hạng tổng quát dãy số ( un ) cho bới công thức truy hồi sau: u1 =  un = un−1 + n − 2n; n ≥ Lời giải Áp dụng tốn tổng qt ta có: n un = u1 + ∑ ( k − 2k ) = u1 + ( 22 + 32 + + n ) − ( + + + n ) k =2 = u1 + ( 12 + 22 + 32 + + n2 ) − ( + + + + n ) + = 0+ n ( n + 1) ( 2n + 1) n ( 1+ n) 1 −2 + = n3 − n − n + 6 u1 = n un+1 = un + 3n − − 2.5 ; n ≥ Bài 2: Tìm số hạng tổng quát dãy số ( un ) :  Lời giải Áp dụng tốn tổng qt ta có: n −1 un = u1 + ∑ ( 3k − − 2.5k ) = u1 + 1 + + + ( n − 1)  − ( n − 1) − 51 + 52 + + 5n −1  k =1 = u1 + 1 + + + ( n − 1) + n  − 3n − ( n − 1) − 51 + 52 + + 5n −1  = u1 + n ( n + 1) − 5n −1 1 − 4n + − 2.5 = ( 3n − 5n + 19 ) − 5n 1− 2 Kỹ thuật phân tích quy dãy tìm số hạng tổng quát Ví dụ 7: [5] (HSG VĨNH LONG 2014-2015) Tìm số hạng tổng quát dãy số u = 11 (un ) xác định bởi:  un+1 = 10un + − 9n, ∀n ∈ ¥ Lời giải Ta có : un +1 = 10un + − 9n ⇔ un +1 − ( n + 1) = 10 [ un − n ] v1 = u1 − = 10 vn = 10vn −1 ; n ∈ ¥ , n ≥ Đặt : = un − n, n ∈ ¥ * Ta có :  Khi ( ) cấp số nhân có số hạng đầu v1 = 10 , công bội q = 10 Theo dãy ta có : = v1.q n −1 = 10.10n−1 = 10n Vậy un = 10n + n , n ∈ ¥ * Ví dụ 8: Tìm số hạng tổng quát dãy số ( un ) : u1 = 2018   n  un = u n−1 + ( n − 3) ; n ≥ Lời giải n n n Ta có: un = un−1 + ( n − 3) ⇔ un = un−1 + n.2 − 3.2 11 ⇔ un + ( − n ) 2n +1 = un−1 +  − ( n − 1)  2n Đặt = un + ( −n + ) ⇒ v1 = u1 + ( −1 + ) = 2030 = vn−1 Suy ( ) cấp số nhân có v1 = 2030 , cơng bội q = ⇒ = v1.q n−1 ⇒ = 2030 mà = un + ( − n + ) 2n+1 ⇒ un = 2030 + ( n − ) 2n+1 n +1 n +1 Vậy số hạng tổng quát dãy số un = ( n − ) + 2030 Ví dụ 9: Xác định số hạng tổng quát dãy ( un ) xác định bởi: u1 = −2020  un = 5un−1 − 2; n ≥ 2, n ∈ ¥ Lời giải   Ta có: un = 5un−1 − ⇔ un − =  un−1 − ÷ 2 1   4039  v1 = Từ (1) suy = 5vn−1 ∀n ≥ Đặt = un − ⇒   vn = 5un−1 Vậy ta có dãy ( ) cấp số nhân công bội q = 4039 n−1 4039 n Từ có un = + = + ∀n = 1,2, , 2 2 Tuy nhiên làm phân tích −2 = − + ? hai VD7, VD8 Biểu 2 ⇒ = v1.q n−1 = thức kèm không đơn giản phải dãy tách được! Các ví dụ mang tính chất minh họa, học sinh thấy khó khănàkhi chưa biệt cách giải ta giải cho học sinh thấy khơng khó em nghĩ ! Hướng giải vấn đề u1 = 11 un+1 = 10un + − 9n, ∀n ∈ ¥ Ví dụ 7: Dãy số (un ) xác định bởi:  Ta quan sát biểu thức f ( n ) = − 9n đa thức bậc Vậy ta tìm đa thức bậc F ( n ) = an + b ẩn n cho: un +1 = 10un + − 9n ⇔ un +1 − F ( n + 1) = 10 un − F ( n )  ⇔ F ( n + 1) − 10 F ( n ) = − 9n ( *) Thay n = 1, n = vào ( *) ta có hệ:  F ( ) − 10 F ( 1) = −8 2a + b − 10 ( a + b ) = −8 8a + 9b = a = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 17 a + 9b = 17 b =  F ( 3) − 10 F ( ) = −17 3a + b − 10 ( 2a + b ) = −17 12 Vậy biểu thức cần tìm F ( n ) = n ta có lời giải u1 = 2018  n u = u + n − ; n ≥ ( )  n n −  Ví dụ 8: Dãy số ( un ) :  Lời giải Ta quan sát biểu thức g ( n ) = n − đa thức bậc Vậy ta tìm đa thức bậc G ( n ) = an + b ẩn n cho: un = un−1 + ( n − 3) 2n ⇔ un − G ( n ) 2n+1 = un −1 − G ( n − 1) 2n ⇔ G ( n ) 2n +1 − G ( n − 1) 2n = ( n − 3) 2n ⇔ G ( n ) − G ( n − 1) = ( n − 3) ( *) Thay n = 1, n = vào ( *) ta có hệ: G ( 1) − G ( ) = −2 2 ( a + b ) − b = −2 2a + b = −2 a = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ b = −4 G ( ) − G ( 1) = −1 2 ( 2a + b ) − a − b = −1 3a + b = −1 Vậy biểu thức cần tìm G ( n ) = n − ta có lời giải Với VD9 sao, đơn giản nhiều Hàm F ( n ) ta số Đặt F ( n ) = k , làm tương tự ta có k = Ta thực cách giải với ví dụ sau: Ví dụ 10: Tìm số hạng tổng quát dãy số ( un ) cho công thức truy hồi: u1 = 2002  un+1 = 9un + 8n + 14n + 1; n ≥ Lời giải Từ đề suy f ( n ) = 8n + 14n + đa thức bậc hai ẩn n nên ta xét đa thức F ( n ) = an + bn + c cho un+1 + F ( n + 1) = un + F ( n )  ⇒ un+1 + a ( n + 1) + b ( n + 1) + c = un + an + bn + c  ⇒ un+1 = 9un + 8an + ( 8b − 2a ) n + 8c − b − a Mà un+1 = 9un + 8n + 14n + nên ta phải có 8an + ( 8b − 2a ) n + 8c − b − a = 8n + 14n + ; ∀n ≥ 1; n ∈ ¥ 8a =  ⇔ 8an + ( 8b − 2a ) n + 8c − b − a = 8n + 14n + 1; ∀n ≥ 1; n ∈ ¥ ⇒ 8b − 2a = 14 8c − b − a =  1 ⇔ a = 1; b = 2; c = ; suy F ( n ) = n + 2n + 2 2 13   Do ⇒ un+1 + ( n + 1) + ( n + 1) + = un + n + 2n +  ; ∀n ≥ 1; n ∈ ¥ 2  1 4011 = u n + n + 2n + ; ∀n ≥ 1; n ∈ ¥ ⇒ v1 = u1 + = 2 ∀n ≥ 1; n ∈ ¥ 4011 Suy ( ) cấp số nhân có v1 = , công bội q = 4011 n−1 4011 n −2 ⇒ = v1.q n−1 ⇒ = = ; ∀n ≥ 1; n ∈ ¥ 2 Đặt vn+1 = 9vn ; Lại có: = un + n + 2n + ∀n ≥ 1; n ∈ ¥ 1  4011 n− 2  ⇒ un = −  n + 2n + ÷ = − n − 2n − ; 2 2  Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un = ∀n ≥ 1; n ∈ ¥ 4011 n−2 − n − 2n − ; 2 Ví dụ 11: u1 = 9677 n un+1 = 3un + 2n + − ( n − 1) ; n ≥ Tìm số hạng tổng quát dãy số ( un ) :  Lời giải Theo đề ta có hệ số a = , đa thức f ( n ) = 2n + có bậc 1, đa thức g ( n ) = n − có bậc nên: n Xét F ( n ) = an + b + n ( cn + d ) cho: un+1 + F ( n + 1) = u n + F ( n )  un+1 + a ( n + 1) + b + ( n + 1) c ( n + 1) + d  3n+1 = u n + an + b + n ( cn + d ) 3n  ⇒ un+1 = 3u n +2an + 2b − a + ( −6cn − 3d − 3c ) 3n  2a = 2b − a =  n Mà un+1 = 3un + 2n + − ( n − 1) nên ta phải có:  −6c = −1 −3d − 3c = 1 ⇔ a = 1; b = 1; c = ; d = − 1 1 ⇒ F ( n ) = n + + n  n − ÷3n un+1 + F ( n + 1) = u n + F ( n )  2 6 Đặt = u n + F ( n ) ⇒ v1 = u + F ( 1) = 9678 vn+1 = 3vn Do ( ) cấp số nhân có cơng bội q = nên = v1q n−1 = 9678.3n−1 ⇒ 9678.3n−1 = u n + F ( n ) ⇒ un = 9678.3n−1 − F ( n ) 14 1 n 1 n −1 Vậy số hạng tổng quát dãy số cho u n = 9678.3 − n − − n  n − ÷3 6 2 TƠNG QT 1) Tìm số hạng tổng quát dãy số cho công thức truy hồi sau:  u1 = α α , q số cho, f ( n ) đa thức bậc  un+1 = qun + f ( n ) ; n ≥  k theo biến số n Phương pháp Ta phân tích: un +1 = qun + f ( n ) ⇔ un − F ( n ) = q un−1 − F ( n − 1)  Nếu q ≠ F ( n ) = g ( n ) (với g ( n ) đa thức bậc với f ( n ) ) Nếu q = F ( n ) = n.g ( n ) (với g ( n ) đa thức bậc với f ( n ) ) u1 = α 2) Vậy tổng quát sau dãy số  n un+1 = q.un + f ( n ) a ; n ≥ Phương pháp n n n −1 Ta phân tích: un+1 = q.un + g ( n ) a ⇔ un − G ( n ) a = q u n−1 − G ( n − 1)  a Nếu q ≠ a G ( n ) = g ( n ) (với g ( n ) đa thức bậc với f ( n ) ) Nếu q = a G ( n ) = n.g ( n ) (với g ( n ) đa thức bậc với f ( n ) ) Ví dụ 12: u1 = n un+1 = 3un + 2n + − ( n − 1) ; n ≥ Tìm số hạng tổng quát dãy số ( un ) :  Lời giải Theo đề ta có hệ số a = , đa thức f ( n ) = 2n + có bậc 1, đa thức g ( n ) = n − có bậc nên: n Xét F ( n ) = an + b + n ( cn + d ) cho: un +1 − F ( n + 1) = u n − F ( n )  ⇔ un +1 = 3un + F ( n + 1) − 3F ( n ) ⇔ F ( n + 1) − 3F ( n ) = 2n + − ( n − 1) 3n ⇔ −2an + a − 2b + ( 6cn + 3c + 3d ) 3n = 2n + − ( n − 1) 3n Đồng hai vế ta được: a = −1; b = −1; c = − ; d = 1  F ( n ) = −n − + n  − n + ÷3n 2  Đặt = u n − F ( n ) ⇒ v1 = u − F ( 1) = vn+1 = 3vn Vậy Do ( ) cấp số nhân có cơng bội q = nên = v1q n −1 = 3.3n −1 = 3n 15     2 n Suy ra: un = + F ( n ) = − n − +  − n + n + 1÷3     n Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un = − n − +  − n + n + 1÷3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: [4] (HSG VĨNH LONG 2014-2015) Tìm số hạng tổng quát dãy số u1 = 11 (un ) xác định bởi:  un+1 = 10un + − 9n, ∀n ∈ ¥ Bài Tìm số hạng tổng qt dãy số ( un ) cho công thức truy hồi u1 = 2002  un+1 = 9un + 8n + 14n + 1; n ≥ u1 = 2020  Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số ( un ) :  n un = 3un−1 + ; n = 2,3, Bài [5] HSG CỤM THPT THẠCH THẤT – QUỐC OAI – HÀ NỘI KHỐI 11 -2017-2018 u1 = n n un = 2un −1 + − 6.5 + 2; n ≥ Tìm số hạng tổng quát dãy ( un ) :  u1 = 1970 n un+1 = un + 3n − − 2.5 ; n ≥ Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số ( un ) :  2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường a Hiệu qủa hoạt động giáo dục: -Khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, đại đa số học sinh giỏi lúng túng làm tập, dừng lại tập dễ, toán 16 phải sẵn dạng quen thuộc làm học sinh theo dạng làm được, chưa có suy luận logic, phân tích tốn hợp lý để giải tốn mà chưa có sẵn dạng quen thuộc Nếu có tập nâng cao làm xong biết cách làm khơng biết cách suy luận để chuyển toán dạng làm, giải, khơng biết mở rộng tốn làm - Còn sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy thấy kết thu khả quan Kết giúp học sinh có tư nhạy bén, bớt thời gian làm toán, tạo điều kiện thời gian làm công việc khác Khi có tư nhạy bén làm việc nhanh hiệu b Hiệu với thân, đồng nghiệp nhà trường: -Với thân: Hiểu sâu nội dung đề tài, vận dụng linh hoạt đề tài không sách mà thực tiễn Từng bước hồn thiện để đạt mục tiêu ln Tự học – Tự sáng tạo - Với đồng nghiệp: Để hồn thiện đề tài, thơng qua trao đổi, góp ý để rút kinh nghiệm, xây dựng môi trường học hỏi lẫn nhau, nâng cao chuyên môn nguồn tài liệu chung để vận dụng vào công tác giảng dạy sau - Với nhà trường: Góp phần làm phong phú thêm kho tài liệu tham khảo cho nhà trường lĩnh vực ôn thi học sinh giỏi, nâng cao chất lượng đội tuyển năm Thầy, giáo có thêm tài liệu tham khảo hiệu trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi TNTHPTQG theo theo tinh thần đổi Bộ Giáo dục c.Kết ban đầu: - Khi áp dụng đề tài cho em học sinh, đồng thời trọng phát huy tính tích cực sáng tạo học sinh thu số kết ban đầu: có học sinh đậu thủ khoa đại học năm học 2018-2019 nhiều em đạt 17 điểm trở lên kì thi đại hoc Thời gian tiến hành áp dụng cho đội tuyển học sinh giỏi năm học 2019-2020 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sau áp dụng kinh nghiệm vào giảng dạy thấy: - Đã tạo điều kiện cho học sinh khả tư thành thói quen, suy nghĩ, phân tích nội dung yêu cầu toán cách cẩn thận, xác trước giải tốn học nói riêng tốn nói chung -Tạo nếp suy nghĩ, nếp khai thác chiều sâu, hay mở rộng toán 18 -Tạo nếp tự học, độc lập suy nghĩ đại đa số học sinh, đồng thời có ý thức tham khảo ý kiến, cách làm hay em học sinh khác để từ rút lời giải hay q trình giải tốn -Giúp học sinh say mê, hứng thú trình học tập mơn tốn nói riêng mơn khoa học khác nói chung -Sáng kiến đề xuất cách tiếp cận số toán dãy số đề thi học sinh giỏi không chuyên giải kỹ thuật phân tích quy lạ quen (ứng dụng cấp số cộng, cấp số nhân) nhằm nâng cao hiệu dạy học nội dung cho học sinh có khiếu tốn học -Tôi cho đề tài nên tiếp tục nghiên cứu để mở rộng thêm cho nhiều dạng phức tạp dãy số ( dãy truy hồi cấp hai, dãy có chứa phân thức, dãy chứa căn, ) 3.2 Kiến nghị - Các dạng tốn nói chung đa dạng phong phú Mỗi tốn có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt kiến thức học làm cho học sinh phát triển tư sáng tạo Chuyên đề mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy tính tích cực sáng tạo thân Để đạt kết cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm tài liệu tham khảo liên quan -Một tốn có nhiều cách giải, song việc tìm lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị độc đáo việc không dễ dàng Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm kiến thức bản, sau cung cấp cho học sinh cách nhận dạng tốn, thể tốn từ học sinh vận dụng linh hoạt kiến thức bản, phân tích tìm hướng giải toán tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu -Để cho đề tài áp dụng rộng rãi cho học sinh có lực học Khá trở lên Vì vậy, tơi kiến nghị BGH nhà trường dành thêm thời gian, phụ đạo cho đối tượng học sinh khá, giỏi có nguyện vọng thi THPTQG đạt điểm -10 Mặc dù tập trung nghiêm túc q trình thực đề tài này, tơi đưa 19 ví dụ, toán minh họa số tập luyện tập Rất mong đóng góp ý kiến độc giả đồng nghiệp để đề tài ngày tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2020 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Trần Tuấn Ngọc 20 ... số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số  Mỗi hàm số u xác định tập M = { 1,2,3,…, m} với m ∈ N * gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1 , u2 , u3 ,…, um u1 số hạng đầu, um số hạng. .. + − 2.5 = ( 3n − 5n + 19 ) − 5n 1− 2 Kỹ thuật phân tích quy dãy tìm số hạng tổng quát Ví dụ 7: [5] (HSG VĨNH LONG 2014-2015) Tìm số hạng tổng quát dãy số u = 11 (un ) xác định bởi:  un+1... VĨNH LONG 2014-2015) Tìm số hạng tổng quát dãy số u1 = 11 (un ) xác định bởi:  un+1 = 10un + − 9n, ∀n ∈ ¥ Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số ( un ) cho công thức truy hồi u1 = 2002  un+1