PHÁT HUY NĂNG lực tự học môn TOÁN CHO học SINH THÔNG QUA NGHIÊN cứu bài TOÁN điểm cực TRỊ của hàm số

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Giảng dạy, nghiên cứu hướng dẫn h ọc sinh t ập d ượt nghiên c ứu khoa học nhiệm vụ trọng tâm giáo viên Chính v ậy năm qua, trường THPT Nh Thanh coi trọng vi ệc b ồi dưỡng nâng cao lực nghiên cứu hướng dẫn, tập d ượt nghiên c ứu khoa học cho đội ngũ giáo viên nhà trường thơng qua nhi ều hình th ức như: Đổi sinh hoạt tổ, nhóm chun mơn; phát động phong trào vi ết chuyên đề; sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy; nghiên cứu đ ề tài khoa học sư phạm ứng dụng; tổ chức ngoại khoá Đổi PPDH phải gắn liền với đổi hình th ức t ổ ch ức d ạy h ọc Hình thức tổ chức dạy học phù hợp hút HS tham gia vào n ội dung học, từ HS phát huy tính tích c ực, ch ủ đ ộng trình học, tạo điều kiện cho việc tiếp thu kiến th ức có hiệu h ơn Hình thức tổ chức dạy học phù hợp không tạo điều kiện cho GV HS giao lưu, tranh luận với mà tạo tranh lu ận gi ữa HS v ới HS, nhóm HS với để từ đạt đ ược mục đích v ề ki ến th ức cách tự nhiên Mơn tốn mơn khoa học bản, có vai trị quan trọng s ự phát triển tư duy, kỹ năng, tính sáng tạo HS, v ấn đ ề c ốt lõi c đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THPT là: h ướng dẫn HS học tập tích cực, chủ động, phát huy tính sáng tạo, rèn luy ện kỹ gi ải toán, phát triển tư toán học Để làm điều đòi h ỏi m ối GV trước hết phải có trình độ chun mơn vững vàng, đổi m ới ph ương pháp dạy học theo hướng tích cực, chủ động, lấy học sinh làm trung tâm trình dạy học Trong chương trình tốn lớp 12 THPT, tốn ứng dụng đạo hàm đóng vai trị quan trọng học sinh, khơng khía cạnh thi cử, mà cịn giúp em rèn luyện kỹ sử dụng đạo hàm đ ể gi ải tốn, ứng dụng vào mơn khoa học khác Lý, Hóa, Sinh xa h ơn áp dụng kiến thức, kỹ vào thực tiễn, vào công việc sau Với lý trên, chọn đề tài “ Phát huy lực tự học mơn tốn cho học sinh thơng qua nghiên cứu toán điểm cực tr ị c hàm số” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Rèn luyện tư sáng tạo, lực tự học- tự nghiên cứu d ạy- h ọc toán - Rèn luyện kỹ giải, xây dựng toán điểm c ực tr ị c hàm số hàm số 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý luận phương pháp dạy học tự học- tự nghiên c ứu - Nghiên cứu mở rộng toán điểm cực trị hàm số 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu - Phương pháp thống kê, điều tra 1.5 Điểm kết nghiên cứu - Áp dụng phương pháp dạy học tự học- tự nghiên c ứu thông qua nghiên cứu toán điểm cực trị hàm số - Nghiên cứu toán cực trị hàm số, từ làm c s cho vi ệc h ướng dẫn HS tự học- tự nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Khái niệm PPDH hướng dẫn HS tự học tự nghiên cứu Tự học hình thức hoạt động nh ận th ức c cá nhân nh ằm n ắm vững hệ thống tri thức kỹ thân người h ọc ti ến hành lớp ngồi lớp Có hai hình th ức tự học: - Tự học có hướng dẫn (GV hướng dẫn l ớp h ướng d ẫn hoạt động ngoại khoá) - Tự học khơng có hướng dẫn GV (HS t ự h ọc v ới sách, t ự xây dựng kế hoặch học tập) - Đối với học sinh phổ thông, tập dượt nghiên cứu khoa học thông qua tập nghiên cứu Đó làm, cơng trình nghiên c ứu mang tính chất thực hành sau học chương học, nh ằm đào sâu, mở rộng tri thức, làm bước đầu để học chủ đề đ ể làm phong phú thêm giảng tài liệu sách báo hay thực tế điều tra, tiến hành thử nghiệm Bài tập nghiên cứu GV nêu HS tiến hành tự học, tự nghiên cứu hướng dẫn c GV 2.1.2 Các bước thực dạy học tự học- tự nghiên cứu Trên sở khái niệm PPDH tự học, tự nghiên c ứu ta đưa bước sau để thực hiên việc dạy học tự học, tự nghiên c ứu: a) Xác định vấn đề cần nghiên cứu b) GV hướng dẫn học sinh thực nhiệm vụ c) HS thực nhiệm vụ báo cáo kết d) Đánh giá 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trong giảng dạy lâu trường THPT Như Thanh đa số GV tổ tốn thực tốt cơng tác chun mơn như: Đổi sinh hoạt tổ, nhóm chun mơn; phát động phong trào viết chuyên đề Tuy nhiên chuyên đ ề “ Hướng dẫn Học sinh tự học- tự nghiên cứu ” chưa quan tâm cách mức Trong dạy học theo chủ đề cực tr ị hàm s ố có vai trị quan trọng chương ứng dụng hàm số, việc khai thác c ực trị hàm số hợp khó, phần lớn Giáo viên cho h ọc sinh nghiên cứu vài tập dạng trắc nghiệm, mà ch ưa hệ thống xây dựng chủ đề cách đầy đủ để HS dễ tiếp cận h ơn Đối với HS có số có ý th ức t ự học, ph ần l ại h ọc t ập th ụ động, không sáng tạo, dựa chủ yếu vào thầy-cô giáo Đa số HS cịn ch ưa có ý tứ nghiên cứu toán học Trong học toán phần lớn HS cịn y ếu v ề ph ần tốn ứng dụng nói chung tốn điểm cực trị hàm h ợp nói riêng, hàm mở rộng hàm số Đó điều h ạn chế cách học HS trường THPT Như nói riêng tr ường THPT nói chung Để phần khắc phục điều tác giả m ạnh d ạn áp dụng phương pháp dạy học tự học- tự nghiên cứu vào m ột s ố đ ối t ượng HS khá, giỏi trường 2.3 Giải vấn đề Để hướng dẫn HS tự học- tự nghiên cứu có hiệu tr ước h ết m ỗi GV cần phải nghiên cứu chuyên đề cụ th ể, ho ạt đ ộng đ ặc biệt quan trọng GV dạy tốn, bời ngồi việc rèn luyện tư sáng tạo, cịn làm phong phú thêm kiến thức GV đ ể t m ỗi lên lớp ngày hiệu quả, gương sáng cho HS noi theo đường học tập nghiên cứu tương lai Phần 1: NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG BÀI TOÁN ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Cực trị hàm số Định nghĩa: Cho hàm số điểm • x0 Ỵ (a;b) y = f (x) x Ỵ (x0 - h; x0 + h) • h>0 Nếu tồn số x0 xác định liên tục khoảng (a;b) cho x ¹ x0 f (x) < f (x0) ta nói hàm số f (x) với đạt cực đại Nếu tồn số h>0 cho x ¹ x0 f (x) > f (x0) với x Ỵ (x0 - h; x0 + h) x0 f (x) ta nói hàm số đạt cực tiểu Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: K = (x0 - h; x0 + h) y = f (x) Giả sử hàm số liên tục có đạo hàm • Nếu x0 • f '(x) > K \ {x0} khoảng , với h>0 (x0 - h; x0) điểm cực đại hàm số Nếu x0 K f '(x) < khoảng điểm cực tiểu hàm số f '(x) < f (x) (x0 - h; x0) f (x) (x0; x0 + h) f ¢(x) > (x0; x0 + h) Minh họa bảng biến thiến Xây dựng mở rộng tốn tìm điểm cực trị hàm s ố Bài toán: Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm sau: −∞ x f ′( x) + Tìm điểm cực trị hàm số +∞ − + y = f ( x) Lời giải Từ bảng biến thiên định nghĩa suy hàm số đạt cực đại cực tiểu x=2 x =1 đạt Tìm điểm cực trị hàm số y = −2 f ( x ) Lời giải y = g ( x ) = −2 f ( x ) ⇒ g ′ ( x ) = −2 f ′ ( x ) Ta có Từ bảng xét dấu f ′( x) ta có x + <  x < −1 g ′ ( x ) = −2 f ′ ( x ) < ⇔  ⇔ x + > x > Ta có bảng xét dấu: x −∞ g '( x) Vậy hàm số đạt cực tiểu −1 − x = −1 Tìm điểm cực trị hàm số Ta có +∞ + đạt cực đại − x=0 y = f ( x + 2) Lời giải y = g ( x ) = f ( x + 2) ⇒ g ′ ( x ) = ( x + 2) ′ f ′ ( x + 2) = f ′ ( x + 2) Từ bảng xét dấu f ′( x) ta có x + <  x < −1 g′( x ) = f ′( x + 2) > ⇔  ⇔ x + > x > Ta có bảng xét dấu: x −∞ −1 g '( x) + Vậy hàm số đạt cực đại x = −1 Tìm điểm cực trị hàm số Ta có +∞ − đạt cực tiểu + x=0 y = f ( x + 2) + Lời giải y = g ( x ) = f ( x + 2) + ⇒ g′ ( x ) = ( x + 2) ′ f ′ ( x + 2) = f ′ ( x + 2) Từ bảng xét dấu f ′( x) ta có x + <  x < −1 g′( x) = f ′( x + 2) > ⇔  ⇔ x + > x > Ta có bảng xét dấu: x −∞ −1 g '( x) + Vậy hàm số đạt cực đại x = −1 Tìm điểm cực trị hàm số Ta có +∞ − đạt cực tiểu + x=0 y = − f ( x + 2) Lời giải y = g ( x ) = − f ( x + ) ⇒ g ′ ( x ) = ( x + ) ′ f ′ ( x + ) = −3 f ′ ( x + ) Từ bảng xét dấu f ′( x) ta có x + <  x < −1 g′( x ) = f ′( x + 2) < ⇔  ⇔ x + > x > Ta có bảng xét dấu: x −∞ −1 − g '( x) Vậy hàm số đạt cực tiểu x = −1 Tìm điểm cực trị hàm số Ta có +∞ + đạt cực đại − x=0 y = f ( 2x ) Lời giải y = g ( x ) = f ( 2x ) ⇒ g ′ ( x ) = ( 2x ) ′ f ′ ( 2x ) = f ′ ( 2x ) Từ bảng xét dấu f ′( x) ta có  x< 2 x <  g′( x) = f ′( 2x ) > ⇔  ⇔  2 x > x > Ta có bảng xét dấu: x −∞ g '( x) + x= Vậy hàm số đạt cực đại Tìm điểm cực trị hàm số Ta có +∞ − đạt cực tiểu + x =1 y = − f ( 2x ) Lời giải y = g ( x ) = − f ( x ) ⇒ g ′ ( x ) = −3 ( x ) ′ f ′ ( x ) = −6 f ′ ( x ) Từ bảng xét dấu f ′( x) ta có  x< 2 x <  g ′ ( x ) = −6 f ′ ( x ) < ⇔  ⇔  2 x > x > Ta có bảng xét dấu: −∞ x − g '( x) Vậy hàm số đạt cực tiểu Tìm điểm cực trị hàm số Đặt Cho − đạt cực đại x =1 y = f ( x − x2 ) Lời giải y = g ( x ) = f ( x − x2 ) ⇒ g ′ ( x ) = f ′ x − x2 x − x2 ′ = ( − 2x ) f ′ x − x2 ( )( ) 1 − x =  1 − x = ⇒  x − x = 1( ptvn ) ⇒  ⇔x= x − x = ptvn g′( x) = ( )  f ′ ( x − x ) =  x< Với x> Với + x= +∞ 1 2 thì 1 − x >   1     f ′ −  x − ÷ +  >      1 − x <   1     f ′ −  x − ÷ +  >      nên nên g′( x) > ( ) g′( x) < Ta có bảng xét dấu: x −∞ g '( x) + x= Vậy hàm số đạt cực đại Tìm điểm cực trị hàm số +∞ − y = − f ( x − x2 ) Lời giải Đặt y = g ( x ) = − f ( x − x ) ⇒ g ′ ( x ) = −2 f ′ x − x x − x ′ = − ( − x ) f ′ x − x ( )( g ( x ) = − f ( x − x2 ) Từ ta kết quả: Hàm 1   −∞; ÷ 2  đồng biến khoảng ) ( ) , nghịch biến khoảng 1   ; +∞ ÷ 2  Ta có bảng xét dấu: −∞ x − g '( x ) x= Vậy hàm số đạt cực đại +∞ + 10 Tìm điểm cực trị hàm số y = f ( x3 + 1) Lời giải Đặt Do y = g ( x ) = f ( x3 + 1) ⇒ g ′ ( x ) = ( x3 ) ′ f ′ ( x3 + 1) = 3x f ′ ( x + 1) 3x ≥ nên  x3 + <  x3 < x < g′( x) > ⇔  ⇔ ⇔ x > x +1 > x >1 Ta có bảng xét dấu: x −∞ g '( x) Vậy hàm số đạt cực đại + x=0 − + đạt cực tiểu 11 Tìm điểm cực trị hàm số +∞ x =1 1 1  y = − f  x + x + x + 1÷ 2  Lời giải Đặt 1 1  y = g ( x ) = − f  x + x + x + 1÷ 2  1 1 1 3  ⇒ g ′ ( x ) = −  x + x + ÷ f ′  x + x + x + 1÷ 6 2 2  Do 1 3 −  x + x + ÷ < 0∀x 6 2 nên 1 2 x + x + x +1< 3 x + x + x < g′( x ) > ⇔  ⇔  x3 + x + x + > 3 x + x + x − >   x ( x + x + 1) < x < ⇔ ⇔ ( x − 1) ( x + x + ) > x >  Ta có bảng xét dấu: −∞ x g '( x) Vậy hàm số đạt cực đại + x=0 − đạt cực tiểu 12 Tìm điểm cực trị hàm số +∞ + x =1  x +1 y= f ÷  x −1  Lời giải Đặt  x +1 y = g ( x) = f  ÷ ( x ≠ 1)  x −1  ⇒ g′ ( x) = ( x − 1)  x +1  x −1 < x ⇔  x +1  x +1 1 < x <  >2  x − 10 Ta có bảng xét dấu: −∞ x g '( x) + Vậy hàm số đạt cực đại x=3 +∞ + P − 13 Tìm điểm cực trị hàm số y= f ( x) Lời giải y = g ( x) = f ( x ) = f Đặt ( ) x2 ⇒ g′ ( x) = ( x )′ f ′( x ) = 2 x x f′ ( x) ∀x ≠  x2 =  x = ±1 ⇒ g′( x ) = ⇔  ⇔  x =  x = ±2 Ta có bảng xét dấu: −∞ x g '( x ) −2 − −1 + Vậy hàm số đạt cực đại x = ±1 − − + đạt cực tiểu y = f ( x) x = ±2; x = 14 Tìm điểm cực trị hàm số biết đồ thị hàm số trục hoành điểm phân biệt Lời giải Đặt y = g ( x) = f ( x) = f ( x) ⇒ g′( x ) = y = f ( x) Giả sử đồ thị hàm f ( x) f '( x) f ( x) +∞ + y = f ( x) c x =1 = ⇔ f '( x) = ⇔  x = cắt trục hồnh điểm có hồnh độ a, b, c ( a < b < c ) Ta có bảng xét dấu: 11 −∞ x g '( x ) a − + P − Vậy hàm số đạt cực đại x = 1; x = 15 Tìm điểm cực trị hàm số y = g ( x) = f ( x −1 ) = f Đặt ⇒ g′ ( x) = ( ( x − 1)  ⇒ g′( x) = ⇔    ) f ′( ′ ( ( x − 1) ( x − 1) đạt cực tiểu P + x = a; x = b; x = c y = f ( x −1 ) −1 Lời giải ( x − 1) ( x − 1) − + P +∞ c b 2 )= ) −1 ( x − 1) ( x − 1) f′ ( ( x − 1) ) ∀x ≠  x = −1 x = =1 ⇔ x = =2  x = Ta có bảng xét dấu: −∞ x g '( x ) −1 − + Vậy hàm số đạt cực đại − x = 0; x = P đạt cực tiểu y= f 16 Tìm điểm cực trị hàm số + ( x +1 +∞ − x = ±1; x = + ) Lời giải y = g ( x) = f Đặt ( x +1 ) ⇒ g′ ( x ) = f′ x +1 (  x +1 <  −1 < x < x +1 > ⇔  ⇔ x >  x + > ) Ta có bảng xét dấu: 12 x −1 g '( x) P + Vậy hàm số đạt cực đại − x=0 đạt cực tiểu 17 Tìm điểm cực trị hàm số +∞ y = f ( sinx ) + x=3 đoạn [ 0; 2π ] Lời giải Đặt y = g ( x ) = f ( sinx ) ⇒ g ′ ( x ) = cos xf ′ ( s inx ) s inx < f ′ ( s inx ) > ⇔  s inx > Ta có Suy  π 3π  g ′ ( x ) < ⇔ cos x < ⇔ x ∈  ; ÷ 2   π   3π  g ′ ( x ) > ⇔ cos x > ⇔ x ∈  0; ÷∪  ; 2π ÷  2   Ta có bảng xét dấu: x g '( x ) f ' ( 0) π + π − x= Vậy hàm số đạt cực đại π 18 Tìm điểm cực trị hàm số Đặt y = g ( x ) = f ( 2x ) − đạt cực tiểu + x= 3π f ' ( 0) y = f ( 2x ) Lời giải ⇒ g ′ ( x ) = ln f ′ ( x − f '( 0) 2π 3π x ) 2x < x < >0⇔ x ⇔ x >1 2 > 13 Ta có bảng xét dấu: x −∞ g '( x) + Vậy hàm số đạt cực đại x=0 Đặt − + đạt cực tiểu 19 Tìm điểm cực trị hàm số +∞ x =1 y = f ( log x ) Lời giải y = g ( x ) = f ( log x ) ( x > 0) ⇒ g′ ( x) = log x < 0 < x < f ′ ( log x ) > ⇔  ⇔ x ln x > log x > Ta có bảng xét dấu: x g '( x) P Vậy hàm số đạt cực đại + x=2 +∞ − đạt cực tiểu + x=4 Nhận xét Trên toán phát triển từ toán gốc, toán ta lập bảng biến thiên Trong thực tế ta cịn phát triển toán gốc theo hướng khác như: tìm số cực tr ị hàm số, hay tìm điều kiện tham số để hàm số có cực trị Sau tác giả phát triển số tốn 20 Tìm m để hàm số y = f ( x + m) có điểm cực trị Lời giải Ta có x + m = x = 1− m y = g ( x ) = f ( x + m) ⇒ g′ ( x ) = f ′ ( x + m ) ⇒ g '( x ) = ⇔  ⇔ x + m = x = − m 14 Ta có bảng xét dấu: −∞ x g '( x ) Do − m ≠ − m ∀m 21 Tìm m 1− m + +∞ 2−m − + nên hàm số ln có hai điểm cực trị để hàm số y = f ( x2 − 2x + m) có điểm cực trị Lời giải y = g ( x ) = f ( x2 − 2x + m ) ⇒ g′( x ) = ( 2x − 2) f '( x − 2x + m ) Ta có 2 x − = 2 x − =   ⇒ g ' ( x ) = ⇔  x − x + m = ⇔  x2 − x + m − = (1)  x − x + m =  x − x + m − = (2)   g '( x ) = Để hàm số có điểm cực trị phương trình phải có nghiệm phân biệt Điều xảy phương trình (1) ph ương trình (2) đ ồng thời có hai nghiệm phân biệt khác Ta có 1 − ( m − 1) >  1 − ( m − ) > ⇔ m