Giải phương trình bằng máy tính casio tập 1 đánh giá hàm đơn điệu

[KÍNH LÚP TABLE – TẬP 1] ĐỒN TRÍ DŨNG TƢ DUY CASIO TRONG PT – BPT – HPT VÔ TỶ KÍNH LÚP TABLE VÀ PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG GIẢI TỐN PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ TẬP 1: ĐÁNH GIÁ HÀM ĐƠN ĐIỆU I Nguyên lý  Nếu hàm số f  x  đơn điệu liên tục tập xác định phương trình f  x   a có tối đa nghiệm (Trong a số cho trước)  Nếu hàm số f  x  đơn điệu không liên tục tập xác định phương trình f  x   a có tối đa n  nghiệm (Trong a số cho trước n số điểm gián đoạn đồ thị hàm số)  Nếu hàm số f  x  đơn điệu tăng liên tục tập xác định D f  a   f  b   a  b với a , b nằm tập xác định hàm số  Nếu hàm số f  x  đơn điệu tăng liên tục tập xác định D f  a   f  b   a  b với a , b nằm tập xác định hàm số  Nếu hàm số f  x  đơn điệu giảm liên tục tập xác định D f  a   f  b   a  b với a , b nằm tập xác định hàm số  Nếu hàm số f  x  đơn điệu giảm liên tục tập xác định D f  a   f  b   a  b với a , b nằm tập xác định hàm số   Việc dự đốn hình dáng đồ thị hàm số phân tích chức TABLE máy tính CASIO Nếu f  x  , g  x  đồng biến, dương liên tục tập xác định D h  x   f  x  g  x  k  x   f  x   g  x  hàm số đồng biến liên tục D  Nếu f  x  , g  x  nghịch biến, dương liên tục tập xác định D h  x   f  x  g  x  hàm số đồng biến liên tục D k  x   f  x   g  x  hàm số nghịch biến liên tục tập xác định D  Nếu f  x  đồng biến, dương g  x  nghịch biến, dương tập xác định D h  x   f  x  g  x  hàm số nghịch biến liên tục tập xác định D [KÍNH LÚP TABLE – TẬP 1] ĐỒN TRÍ DŨNG II Bài tập vận dụng Bài 1: Giải phương trình: x3  x2  x  x   Sử dụng công cụ Mode (Table) với: F X X f X  X  X  X  X   3 1  0.5 0.5 1.5 2.5  START =   END =  STEP = 0.5 Ta có bảng giá trị hình bên Từ bảng giá trị ta thấy phương trình có nghiệm x  hàm số đồng biến   1;   Do nghiệm phương trình 4  0.852 1.195 3.5676 7.8973 14.498 25.478 40.242 HÌNH DÁNG HÀM SỐ Thơng qua giá trị TABLE, ta thấy hình dáng hàm số có dạng hình vẽ bên:  Đồng biến tập xác định  Hàm số liên tục  Cắt trục hoành điểm Điều kiện: x  1 Nhận xét: x  1 nghiệm phương trình Do xét f  x   x3  x2  x  x    1;   Ta có: f  x   3x  x    x1   0x   1;   Do hàm số f  x  đồng biến liên tục  1;   Vậy f  x  có tối đa nghiệm Mà x  nghiệm nên nghiệm phương trình Kết luận: Phương trình có nghiệm x  Bài 2: Giải phương trình: 5x   x   x  Sử dụng công cụ Mode (Table) với:    F X X f  X   5X   2X   X  3 0.5 1.5 START = 0.5 END = 4.5 STEP = 0.5 ERROR 2.7442 5.6872 [KÍNH LÚP TABLE – TẬP 1] ĐỒN TRÍ DŨNG Từ bảng giá trị ta thấy phương trình có nghiệm x  hàm số đồng biến    ;     2.5 3.5 4.5 8.8694 12.285 15.924 19.773 23.821 HÌNH DÁNG HÀM SỐ Thơng qua giá trị TABLE, ta thấy hình dáng hàm số có dạng hình vẽ bên:  Đồng biến tập xác định  Hàm số liên tục  Cắt trục hoành điểm Điều kiện: x  Ta có: 5x   x   x   5x   x   x     Xét hàm số f ( x)  5x3   x   x   ;   có:     15x f ( x)     0, x   ;     5x3  3 (2 x  1)2 ; Do phương trình f ( x)  có tối đa nghiệm Do f ( x) đồng biến liên tục Vì f (1)  nên x nghiệm phương trình Kết luận: Phương trình có nghiệm x Bài 3: Giải phương trình:  x2     x   3x  x2       Sử dụng công cụ Mode (Table) với: f  X    2X     X   3X  x2        START =   END =  STEP = 0.5 Từ bảng giá trị ta thấy phương trình có nghiệm x  hàm số nghịch biến X 2  1.5 1  0.5 0.5 1.5 F X 44 26.928 14.052 5.3232  5.474  15.66  32.35  56 [KÍNH LÚP TABLE – TẬP 1] ĐỒN TRÍ DŨNG HÌNH DÁNG HÀM SỐ Thơng qua giá trị TABLE, ta thấy hình dáng hàm số có dạng hình vẽ bên:  Nghịch biến tập xác định  Hàm số liên tục  Cắt trục hoành điểm Điều kiện: Ta có: x2    x2   x2    x2 x2   0 Do đó: x   3x  x2      Để đánh giá sát điều kiện phương trình, ta sử dụng TABLE để khảo sát nhóm biểu thức  3x  x2  Sử dụng công cụ Mode (Table) với: F X X f  X    3X  2X   START =   END =  STEP = 0.5 Từ bảng giá trị ta thấy rõ ràng biểu thức  3x  x2  nhận giá trị dương Vậy để dễ dàng tìm điều kiện x hơn, ta chứng minh:  3x  x   2  1.5 1  0.5 0.5 1.5 19 15.261 11.856 9.2979 12.297 17.856 24.261 31 Ta có: 2x2   3x  x2  3x  x  3x  x  3x  Do x   3x  x2     x    Ta có:  x2     x   3x  x2        3x  x  x x   x    Xét hàm số f ( x)  3x2  x  x x2   x2   0;   ta có:  x2  6x  f ( x)  x    x2     2x2   x2    f '  x   6x   32 x2  x  x2   0x  [KÍNH LÚP TABLE – TẬP 1] ĐỒN TRÍ DŨNG Suy hàm số f ( x) đồng biến liên tục 0;   Do phương trình f ( x)  có tối đa nghiệm Vì f (0)  nên x  nghiệm phương trình Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x  Bài 4: Giải phương trình:  x  1  x   ( x  5) x   3x  31  Sử dụng công cụ Mode (Table) với: F X X f  X    X  1  X  8.5 9.5 10 10.5 11 11.5 12 ( X  5) X   3X  31 6.8334 2.9418  2.928  5.904  8.946  12.05  15.24  18.5  START =  END = 12  STEP = 0.5 Từ bảng giá trị ta thấy nhìn thấy phương trình có nghiệm x  đồng thời hàm số nghịch biến, nghiệm Tuy nhiên vấn đề tốn có chứa nhiều thức khác loại với Chính ta đặt ẩn phụ để giảm thiểu số thức cách tối đa Do ta định hướng đặt t  x  HÌNH DÁNG HÀM SỐ Thơng qua giá trị TABLE, ta thấy hình dáng hàm số có dạng hình vẽ bên:  Nghịch biến tập xác định  Hàm số liên tục  Cắt trục hoành điểm Điều kiện: x  Đặt t  x   x  t    t  Khi ta có:  x  1  x   ( x  5) x   3x  31   t  2t  (t  4) t   3t  28   3t  t  2t  28  (t  4) t   Nhận xét: t  nghiệm phương trình Xét hàm số f (t)  3t  t  2t  28  (t  4) t  f (t )  (9t  2t  2)  3t t    0, t t (t  4) (t  7)   ;  ta có:  0, t    ;  [KÍNH LÚP TABLE – TẬP 1] ĐỒN TRÍ DŨNG Do hàm số f (t ) đồng biến liên tục   ;  Do phương trình f  t   có tối đa nghiệm Vì f (2)   t   x  nghiệm phương trình Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x   Bài 5: Giải phương trình:  x  1 x   x   x  (Trích đề thi Học sinh giỏi tỉnh Thái Bình năm 2010) Điều kiện: x  Do x  không nghiệm phương trình nên xét x  (1; )   Ta có:  x  1 x   3 x   x   x   3 x   Sử dụng công cụ Mode (Table) với: X6 f  X   X   33 X   X 1  START =  END =  STEP = 0.5 Từ bảng giá trị ta thấy hàm số đồng biến phương trình có nghiệm x  x6 x 1 X 1.5 2.5 3.5 4.5 F X ERROR  7.713 2.9053 4.5686 5.716 6.594 7.3109 7.9219 HÌNH DÁNG HÀM SỐ Thơng qua giá trị TABLE, ta thấy hình dáng hàm số có dạng hình vẽ bên:  Đồng biến tập xác định  Hàm số liên tục  Cắt trục hoành điểm x6 Xét hàm số f  x   x   3 x   (1; ) ta có: x 1 1 f ( x)     0, x  (1; ) x 1 x   x  12 Do hàm số f ( x) đồng biến liên tục (1; ) Vậy phương trình f  x   có tối đa nghiệm Mà x  nghiệm phương trình Do nghiệm Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x  [KÍNH LÚP TABLE – TẬP 1] ĐỒN TRÍ DŨNG Bài 6: Giải phương trình: x  x  x2   Sử dụng công cụ Mode (Table) với: F X X f  X   X  X  X2   2  1.5 1  0.5 0.5 1.5  START =   END =  STEP = 0.5 Từ bảng giá trị ta thấy hàm số đồng biến phương trình có nghiệm x   8.165  7.08 6  4.89  2.732  0.715 0.4981 0.874 HÌNH DÁNG HÀM SỐ Thơng qua giá trị TABLE, ta thấy hình dáng hàm số có dạng hình vẽ bên:  Đồng biến tập xác định  Hàm số liên tục  Cắt trục hoành điểm Điều kiện: x  x  x2     x   x2    x  Xét hàm số f  x   x  x  x2   với x  Ta có: f  x  1 3 x2  f ' x  x x2   f ' x  3 x2  x2   x x2  3  0x    x x   x   x   Do f  x  hàm số đồng biến liên tục tập xác định Vậy phương trình  f  x   có tối đa nghiệm Mặt khác f 1  x  nghiệm phương trình Kết luận: Phương trình có nghiệm x  Chú ý: Việc thực phép quy đồng:  x x2   x2   x x2  để chứng minh hàm số f  x  đồng biến công việc thực cách ngẫu nhiên dựa cảm tính Nếu học sinh làm nhiều dạng tập việc phát cách quy đồng khơng khó khăn Tuy nhiên muốn đưa cách thức tổng quát, ta làm sau: [KÍNH LÚP TABLE – TẬP 1] ĐỒN TRÍ DŨNG Xét F  X   X F X X với: X 3  START:  (Vì x  )  END:  STEP: 0,5 Dựa vào bảng giá trị, ta thấy: X Max 1 X2  Do sử dụng phép quy đồng nêu trên, ta chắn chứng minh f  x  đồng biến 2  1.5 1  0.5 0.5 1.5  0.755  0.654  0.5  0.277 0.2773 0.5 0.6546 0.7559 Ghi nhớ:  Nếu tìm MinG  x   a ta có G  x   a   Nếu tìm MaxG  x   a ta có a  G  x   Bài 7: Giải phương trình: x  x  1    x    x  4 Sử dụng công cụ Mode (Table) với: F  X   X  X  1    X   X  4 F X X  START =  END =  STEP = 0.5 Từ bảng giá trị ta thấy hàm số đồng biến phương trình có nghiệm nằm khoảng  3.5;  SHIFT CALC với x  3.8 ta thu nghiệm x  3.791287847 Thay nghiệm x  3.791287847 vào thức ta được: 1.5 2.5 3.5 4.5  16.18  18.02  18.69  17.44  13.52  6.164 5.3725 21.843 44 x   2.791287847  x  Do nhân tử cần xác định x   x  phương trình có  21 Do  2;   hàm số có dấu hiệu tính đồng biến nên nghiệm x   x   x  điều kiện x  ta có khả chứng minh hàm số đơn điệu hàm số cắt trục hoành điểm HÌNH DÁNG HÀM SỐ [KÍNH LÚP TABLE – TẬP 1] ĐỒN TRÍ DŨNG Thơng qua giá trị TABLE, ta thấy hình dáng hàm số có dạng hình vẽ bên:  Đồng biến  2;     Hàm số liên tục Cắt trục hoành điểm Điều kiện: x  x  1    x    x    x3  x2   x   x     x   x2   x   x     x  Xét hàm số sau: f  x   x3  2x2    x   x  với x  2;   x  Để chứng minh f '  x   hay hàm số f  x  đồng biến điều đơn giản Vì để chắn định hướng tốn ta sử dụng cơng cụ TABLE để khảo sát hàm f '  x   3x2  x  x4: F X X Xét F  X   3X  4X  X  với: 2 0,3257  START: (Vì x  ) 2,5 4,9257  END: 11,031  STEP: 0,5 3,5 18,642 Dựa vào bảng giá trị, ta thấy: 27,757  Hàm số f '  x  hàm số đơn 4,5 38,376 điệu tăng  2;   50,5 5,5 64,126 hàm số không đơn điệu 79,257 tập xác định f '  x   x   Ta có: f '  x   3x2  x  Vậy ta tiến hành xét f "  x  HÌNH DÁNG HÀM SỐ Thơng qua giá trị TABLE, ta thấy hình dáng hàm số có dạng hình vẽ bên:  Đồng biến  2;     Hàm số liên tục Cắt trục hoành điểm Xét f "  x   x   x4  f "  x    x    4x  x4 [KÍNH LÚP TABLE – TẬP 1] ĐỒN TRÍ DŨNG  f " x   x  2  16 x x   x4   x  2  256 x  1024 x   x  16 x x    Vì x  nên 256x3   256x3  1024x2   f "  x   0x  Khi f '  x  hàm đơn điệu tăng liên tục  2;    Vậy f  x  hàm đơn điệu tăng liên tục   21   21  2;   Mặt khác ta có f  nghiệm   x    2   phương trình Do f '  x   f '      21  x  3 Kết luận: Phương trình có nghiệm x  Bài 8: Giải phương trình: x12 4 x  x2  18 (Trích đề thi thử Đại học Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2013) Sử dụng công cụ Mode (Table) với: F X X  X  3 1  3.472 f X  X    X  2X  18  0.5  2.589  START =   2.166  END = 0.5  1.841  STEP = 0.5  1.549 Nghiệm: Phương trình có nghiệm 1.5  1.247 x   0.904 Tính đơn điệu: Hàm số đơn điệu tăng 2.5  0.496 3.5 0.6482 2.136 HÌNH DÁNG HÀM SỐ Thông qua giá trị TABLE, ta thấy hình dáng hàm số có dạng hình vẽ bên:  Đồng biến tập xác định  Hàm số liên tục  Cắt trục hoành điểm Điều kiện: 1  x  Nhận xét: x  1, x  nghiệm phương trình ta có điều kiện x   1;  10 [KÍNH LÚP TABLE – TẬP 1] ĐỒN TRÍ DŨNG 5( x  3) với x   1;  x2  18 10 x2  x  Xét hàm số f  x   x    x  Ta có: f '  x   x1  4x   2x    18  Đến đây, để chứng minh chắn hàm số f  x  đồng biến ta cần sử dụng chức TABLE để kiểm tra nhóm hàm số: 1 10 X  6X  F X   GX  X 1 4X 2X  18   F X X 1  0.5 0.5 1.5 2.5 3.5   G X X 1  0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 ERROR 1.1785 0.9427 0.9309 0.9486 0.9957 1.0837 1.25 ERROR     0.05  0.168  0.277  0.343  0.35  0.311  0.251  0.19  0.138  0.098 10 x  x   1  1 Ta nhận thấy Min      , Min 2 4x   x1 x  18     10 x2  x  1 Do ta đánh giá:   (*),   (**) 2 x1 4x 2 x  18 1 Chứng minh đánh giá (*): Cách 1: Sử dụng khảo sát hàm số: 1 Xét g  x     g ' x   x1 4x    g ' x   x    x      g' x         x1  1 x   x1   4x   3   4x   11 x   x    x    x   x   x    3  x    x  x  4x      [KÍNH LÚP TABLE – TẬP 1] ĐỒN TRÍ DŨNG Do g '  x    x    Lập bảng biến thiên  g  x   g   1  1  Cách 2: Sử dụng đánh giá bất đẳng thức AM – GM: 1 Theo bất đẳng thức AM – GM ta có:   x1 4x x1 4 x Cũng theo bất đẳng thức AM – GM ta có: x   x   x   x  1 2 Do đó:     x1 4x 2 x1 4x Nhận xét: Đánh giá bất đẳng thức ngắn đơn giản, nhiên với học sinh yếu bất đẳng thức giải phương pháp đánh giá tính đơn điệu hàm số lập bảng biến thiên Chứng minh đánh giá (**):  15  1206 x  46  x    23  23 x  46 x  60 x  72 10 x  x   Xét    0 2 2 x2  18 x  18 x2  18   Vậy f '  x      x1  4x   2x  10 x  x    18   0   Do f  x  hàm số đồng biến liên tục x   1;  Vậy phương trình f  x   có tối đa nghiệm Mặt khác f    x  nghiệm phương trình Kết luận: Phương trình có nghiệm x  Bài 9: Giải phương trình: x2  15  3x   x2  Sử dụng công cụ Mode (Table) với: X 2 f  X   X  15  3X   X   START =   END = 3.5  STEP = 0.5 Nghiệm: Phương trình có nghiệm x  Tính đơn điệu: Hàm số đơn điệu giảm 12 F X 1  0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5328 3.0445 1.5328  1.548  3.105  4.665  6.224  7.775 [KÍNH LÚP TABLE – TẬP 1] ĐỒN TRÍ DŨNG HÌNH DÁNG HÀM SỐ Thơng qua giá trị TABLE, ta thấy hình dáng hàm số có dạng hình vẽ bên:  Đồng biến tập xác định  Hàm số liên tục  Cắt trục hoành điểm Điều kiện: 2  x2  15  3x   x2   3x   x2  15  x   ;   3  2  Xét hàm số f  x   3x   x2   x2  15 với x   ;   3    1 x x Ta có: f '  x     f '  x   x      x2  15  x2  x2  15  x 8  x2  15  x2     f '  x   x   x2  15 x2     7x 2   f '  x    0x   ;   2 2 3  x  15  x  x  15 x    Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x  13