Số Phức Nâng Cao DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÊN SỐ PHỨC Câu 1: Tính tổng mơ-đun tất nghiệm phương trình: A B ( z + i ) ( z − 1)( z + i ) = C D Câu 2: Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình z − z + = tập số phức Tìm mơ đun số phức ω = ( z1 − 1) 2015 + ( z2 − 1) A ω = 2016 B ω = C ω = D ω = Câu 3: Tìm số thực b, c để phương trình (với ẩn z ) z + bz + c = nhận z = + i nghiệm A b = 2; c = −2 B b = 2; c = C b = −2; c = −2 D b = −1; c = Câu 4: Tìm điều kiện cần đủ số thực m, n để phương trình z + mz + n = khơng có nghiệm thực A m − 4n > m − 4n > B m − 4n < m < n > m − 4n ≥ C m > n > m − 4n ≥ D m − 4n < m > n > Câu 5: Trong mặt phẳng phức, điểm biểu diễn nghiệm phương trình ( iz − 1)( z + 3i ) z − + 3i = điểm sau đây? ( ) A A ( 0; −1) ; B ( 0; −3) ; C ( 2;3) B A (1;0 ) ; B ( 3;0 ) ; C ( 2; −3) C A ( 0; −2 ) ; B ( 0;1) ; C ( −2;3) D A ( 2; −2 ) ; B ( −1;1) ; C ( −1;0 ) Câu 6: Tìm số thực a, b, c cho hai phương trình az + bz + c = 0, cz + bz + a + 16 − 16i = có nghiệm chung z = + 2i A ( a, b, c ) = (1; −2;5 ) B ( a, b, c ) = (1; 2;5) C ( a, b, c ) = ( −1; −2;5 ) D ( a, b, c ) = (1; −2; −5) Câu 7: Tìm số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z ) z + az + bz + c = nhận z = + i làm nghiệm nhận z = làm nghiệm A a = −4; b = 6; c = −4 B a = −4; b = 5; c = −4 C a = −3; b = 4; c = −2 D a = −1; b = 0; c = z +1 Câu 8: Phương trình = có nghiệm z −1 A nghiệm 21 B nghiệm C nghiệm D nghiệm Số Phức Nâng Cao Câu 9: Số nghiệm phức phương trình z + A nghiệm 25 = − 6i là? z B nghiệm C nghiệm D nghiệm Câu 10: Gọi z1; z2 ; z3 ; z4 nghiệm phức phương trình z + ( + m ) z + 4m = Tìm tất giá trị m để z1 + z2 + z3 + z4 = A m = −1 B m = ±2 C m = ±3 D m = ±1 z −1 Câu 11: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 nghiệm phương trình = Tính giá trị biểu thức 2z − i P = ( z12 + 1)( z 22 + 1)( z32 + 1)( z42 + 1) A P = B P = 17 C P = 16 D P = 15 Câu 12: Tìm số thực m = a − b 20 (a, b số nguyên khác 0) để phương trình z + 2(m − 1) z + (2m + 1) = có hai nghiệm phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn z1 + z2 = 10 Tìm a A B C D Câu 13: Có giá trị m để tồn số phức z thỏa mãn z.z = z − + i = m A B C D Câu 14: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để tồn số phức z thỏa mãn z.z = z − − 4i = m Tính tổng phần tử thuộc S A 10 22 B 42 C 52 D 40 Số Phức Nâng Cao HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÊN SỐ PHỨC Câu 1: Tính tổng mơ-đun tất nghiệm phương trình: ( A B C z + i ) ( z − 1)( z + i ) = D Hướng dẫn giải: z = −i z = −i z = ±1 z = −i z = ±1 ⇔ z = i ( z + i ) ( z − 1)( z + i ) = ⇔ z = ±1 ⇔ z = i 3 z − i = z = −i ± z iz + − = Suy tổng mô-đun nghiệm Chọn C Câu 2: Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình z − z + = tập số phức Tìm mơ đun số phức ω = ( z1 − 1) 2015 A ω = + ( z2 − 1) 2016 B ω = C ω = D ω = Hướng dẫn giải: Phương trình z − z + = có ∆ ' = − = −1 = i z = 1− i z = 1+ i Suy phương trình có hai nghiệm z2 = + i z2 = − i 1007 1013 z = 1− i 2015 Thay vào ω ta được: ω = ( −i ) + i 2016 = − ( i ) i + ( i ) = −1 + i z2 = + i 1002 1003 z = 1+ i 2016 Thay vào ω = i 2015 + ( −i ) = ( i ) i + ( i ) = −1 + i z2 = − i Vậy ω = Chọn B Câu 3: Tìm số thực b, c để phương trình (với ẩn z ) z + bz + c = nhận z = + i nghiệm A b = 2; c = −2 B b = 2; c = C b = −2; c = −2 Hướng dẫn giải: Nếu z = + i nghiệm thì: (1 + i ) 23 b + c = b = −2 + b (1 + i ) + c = ⇔ b + c + ( b + ) i = ⇔ ⇔ b + = c = D b = −1; c = Số Phức Nâng Cao Một phương trình bậc hai với hệ số thực, có nghiệm phức z nhận z lam nghiệm Vậy z = + i nghiệm z = − i nghiệm Theo định lý Vi-ét: (1 + i ) + (1 − i ) = −b ⇒ b = −2 (1 + i )(1 − i ) = = c Chọn A Câu 4: Tìm điều kiện cần đủ số thực m, n để phương trình z + mz + n = khơng có nghiệm thực A m − 4n > m − 4n > B m − 4n < m < n > m − 4n ≥ C m > n > m − 4n ≥ D m − 4n < m > n > Hướng dẫn giải: Phương trình z + mz + n = khơng có nghiệm thực trường hợp: TH1: Phương trình vơ nghiệm, tức m − 4n < TH2: Phương trình t + mt + n = 0; ( t = z ) m − 4n ≥ ∆ ≥ có hai nghiệm âm ⇔ S < ⇔ m > P > n > Chọn D Câu 5: Trong mặt phẳng phức, điểm biểu diễn nghiệm phương trình ( iz − 1)( z + 3i ) ( z − + 3i ) = điểm sau đây? A A ( 0; −1) ; B ( 0; −3) ; C ( 2;3) B A (1;0 ) ; B ( 3;0 ) ; C ( 2; −3) C A ( 0; −2 ) ; B ( 0;1) ; C ( −2;3) D A ( 2; −2 ) ; B ( −1;1) ; C ( −1; ) Hướng dẫn giải: z = i = −i iz − = z = −i ( iz − 1)( z + 3i ) z − + 3i = ⇔ z + 3i = ⇔ z = −3i ⇔ z = −3i z = − 3i z − + 3i = z = + 3i ( ) Vậy điểm biểu diễn nghiệm phương trình cho A ( 0; −1) ; B ( 0; −3) ; C ( 2;3) Chọn A Câu 6: Tìm số thực a, b, c cho hai phương trình az + bz + c = 0, cz + bz + a + 16 − 16i = có nghiệm chung z = + 2i 24 Số Phức Nâng Cao A ( a, b, c ) = (1; −2;5 ) B ( a, b, c ) = (1; 2;5) C ( a, b, c ) = ( −1; −2;5 ) D ( a, b, c ) = (1; −2; −5) Hướng dẫn giải: Theo giả thiết phương trình az + bz + c = có nghiệm z = + 2i −3a + b + c = a (1 + 2i ) + b (1 + 2i ) + c = ⇔ −3a + b + c + ( 4a + 2b ) i = ⇔ 4a + 2b = (1) Tương tự phương trình cz + bz + a + 16 − 16i = có nghiệm z = + 2i c (1 + 2i ) + b (1 + 2i ) + a + 16 − 16i = ⇔ c ( −3 + 4i ) + b + 2bi + a + 16 − 16i = a + b − 3c + 16 = ⇔ ( a + b − 3c + 16 ) + ( b + 2c − ) i = ⇔ b + 2c − = ( 2) Từ (1) , ( ) suy ( a, b, c ) = (1; −2;5 ) Chọn A Câu 7: Tìm số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z ) z + az + bz + c = nhận z = + i làm nghiệm nhận z = làm nghiệm A a = −4; b = 6; c = −4 B a = −4; b = 5; c = −4 C a = −3; b = 4; c = −2 D a = −1; b = 0; c = Hướng dẫn giải: z = + i nghiệm (1 + i ) + a (1 + i ) + b (1 + i ) + c = z = ngiệm + 4a + 2b + c = b + c − = (1) Từ ta có hệ phương trình 2a + b + = ( 2) 4a + 2b + c + = ( 3) Từ (1) suy c = − b Từ ( ) suy b = −2 − 2a ⇒ c = − ( −2 − 2a ) = + 2a Thay vào ( ) ta có: 4a + ( −2 − 2a ) + + 2a + = ⇒ a = Với a = −4 ⇒ b = 6; c = −4 Chọn A z +1 Câu 8: Phương trình = có nghiệm z −1 A nghiệm Hướng dẫn giải: 25 B nghiệm C nghiệm D nghiệm Số Phức Nâng Cao z + = 1, (1) z −1 z +1 =1⇔ z −1 z + = −1, ( ) z − z +1 z −1 = z +1 = z −1 i = −i ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ z=0 () z + = −1 z + = − z + z = z − z +1 z −1 = i z + = iz + z =1 ⇔ ⇔ ⇔ ( ) z + = −iz − z = −1 z + = −i z − Vậy nghiệm phương trình là: z = 0; z = 1; z = −1 Chọn C Câu 9: Số nghiệm phức phương trình z + A nghiệm 25 = − 6i là? z B nghiệm C nghiệm D nghiệm Hướng dẫn giải: Giả sử z = a + bi với; a, b ∈ R a, b không đồng thời 1 a − bi Khi z = a − bi; = = z a + bi a + b Khi phương trình 2 2 25 ( a − bi ) 25 a ( a + b + 25 ) = ( a + b ) = − 6i ⇔ a − bi + = − 6i ⇔ z+ 2 2 z a + b2 b ( a + b + 25 ) = ( a + b ) Lấy (1) chia ( ) theo vế ta có b = (1) ( 2) a, vào (1) Ta có a = a = 4 Với a = ⇒ b = (Loại) Với a = ⇒ b = Ta có số phức z = + 3i Chọn B Câu 10: Gọi z1; z2 ; z3 ; z4 nghiệm phức phương trình z + ( + m ) z + 4m = Tìm tất giá trị m để z1 + z2 + z3 + z4 = A m = −1 B m = ±2 C m = ±3 Hướng dẫn giải: z1,2 = ±2i z + ( + m ) z + 4m = ⇔ ( z + )( z + m ) = ⇔ z3,4 = ± −m 26 D m = ±1 Số Phức Nâng Cao z1;2 = ±2i Nếu m ≤ ⇔ m > z3;4 = ±i m 6 = z1 + z2 + z3 + z4 = + −m ⇔ m = −1 Khi m ≤ 6 = z1 + z2 + z3 + z4 = + m ⇔ m =1 Hoặc m > Kết hợp lại m = ±1 thỏa mãn toán Chọn D z −1 Câu 11: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 nghiệm phương trình = Tính giá trị biểu thức 2z − i P = ( z12 + 1)( z 22 + 1)( z32 + 1)( z42 + 1) A P = B P = 17 C P = 16 D P = 15 Hướng dẫn giải: Ta có phương trình ⇔ f ( z ) = ( z − i ) − ( z − 1) = 4 Suy ra: f ( z ) = 15 ( z − z1 )( z − z2 )( z − z3 )( z − z4 ) Vì z12 + = ( z1 − i )( z1 + i ) ⇒ P = f ( i ) f ( −i ) 225 (1) Mà f ( i ) = i − ( i − 1) = 5; f ( −i ) = ( −3i ) − ( i + 1) = 85 Vậy từ (1) ⇒ P = 4 17 Chọn B Câu 12: Tìm số thực m = a − b 20 (a, b số nguyên khác 0) để phương trình z + 2(m − 1) z + (2m + 1) = có hai nghiệm phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn z1 + z2 = 10 Tìm a A B C D Hướng dẫn giải: ∆ ' = m − 6m − ∈ R TH1: ∆ ' > hay m ∈ (−∞;3 − 10) ∪ (3 + 10; +∞) Khi z1 + z2 = 10 ⇔ z12 + z22 + z1 z2 = 10 2m + ≥ m = + 10 (1 − m) = 10 ⇔ (1 − m) − (2m + 1) + 2m + = 10 ⇔ ⇔ 2m + < m = − 20 m − 6m − 11 = 27 (loai) Số Phức Nâng Cao TH2: ∆ ' < hay m ∈ (3 − 10;3 + 10) Khi đó: z1 + z2 = 10 ⇔ Hay − m + i −(m − 6m − 1) − m − i −(m2 − 6m − 1) + = 10 2 (1 − m) + ( − m + 6m + 1) = 10 ⇔ m = Vậy m = m = − 20 Câu 13: Có giá trị m để tồn số phức z thỏa mãn z.z = z − + i = m A B C D Hướng dẫn giải: Gọi z = x + yi , ( x, y ∈ R ) ,ta có hệ: x + y = 1(1) 2 ( x − 3) + ( y + 1) = m ( m ≥ 0) Ta thấy m = ⇒ z = − i không thỏa mãn z.z = suy m > Xét hệ tọa độ Oxy tập hợp điểm thỏa mãn (1) đường trịn (C1 ) có O(0;0), R1 = , tập hợp điểm thỏa mãn (2) đường tròn (C2 ) tâm I ( 3; −1), R2 = m ,ta thấy OI = > R1 suy I nằm (C1 ) Để có số phức z hệ có nghiệm tương đương với (C1 ),(C2 ) tiếp xúc tiếp xúc trong, điều điều xảy OI = R1 + R2 ⇔ m + = ⇔ m = R2 = R1 + OI ⇔ m = + = Câu 14: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để tồn số phức z thỏa mãn z.z = z − − 4i = m Tính tổng phần tử thuộc S A 10 B 42 C 52 D 40 Hướng dẫn giải: Ta có quỹ tích đường trịn tâm O ( 0;0 ) , R = tâm I ( 3, ) , R′ = m Do có hai trường hợp tiếp xúc ngồi R + R′ = OI ⇔ m = OI = R ′ − R ⇔ m = Chọn A 28 ... + z2 = 10 ⇔ z 12 + z 22 + z1 z2 = 10 2m + ≥ m = + 10 (1 − m) = 10 ⇔ (1 − m) − (2m + 1) + 2m + = 10 ⇔ ⇔ 2m + < m = − 20 m − 6m − 11 = 27 (loai) Số Phức Nâng Cao TH2: ∆... phương trình 2 2 25 ( a − bi ) 25 a ( a + b + 25 ) = ( a + b ) = − 6i ⇔ a − bi + = − 6i ⇔ z+ 2 2 z a + b2 b ( a + b + 25 ) = ( a + b ) Lấy (1) chia ( ) theo vế ta có b = (1) ( 2) a, vào... tồn số phức z thỏa mãn z.z = z − + i = m A B C D Câu 14: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để tồn số phức z thỏa mãn z.z = z − − 4i = m Tính tổng phần tử thuộc S A 10 22 B 42 C 52 D