1 hệ tọa độ TRONG KHÔNG GIAN

Hình Học Tọa Độ Oxyz TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN A - LÝ THUYẾT CHUNG Véc tơ không gian * Định nghĩa Trong không gian, vecto đoạn thẳng có định hướng tức đoạn thẳng có quy định thứ tự hai đầu  Chú ý: Các định nghĩa hai vecto nhau, đối phép toán vecto không gian xác định tương tự mặt phẳng Vecto đồng phẳng D3 c * Định nghĩa: Ba vecto a, b, c khác gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng  Chú ý: D2 b a  n vecto khác gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng  Các giá vecto đồng phẳng đường thẳng chéo D1 ∆3 * Điều kiện để vecto khác đồng phẳng Định lý 1: P ∆2 ∆1 a, b, c đồng phẳng ⇔ ∃m, n ∈ R : a = mb + nc * Phân tích vecto theo ba vecto khơng đồng phẳng  Định lý 2: Cho vecto e1 , e2 , e3 khơng đồng phẳng Bất kì vecto a khơng gian phân tích theo ba vecto đó, nghĩa la có ba số thực ( x1 , x2 , x3 ) a = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3  Chú ý: Cho vecto a, b, c khác : a, b, c đồng phẳng có ba số thực m, n, p không đồng thời cho: ma + nb + pc = a, b, c không đồng phẳng từ ma + nb + pc = ⇒ m = n = p = Tọa độ vecto Trong khơng gian xét hệ trục Oxyz , có trục Ox vng góc với trục Oy O, trục Oz vng góc ( Oxy ) O Các vecto i = (1;0; ) , j = ( 0;1;0 ) , k = ( 0;0;1) a) a = ( a1 ; a2 ; a3 ) ⇔ a = a1 i + a2 j + a3 k b) M ( xM , yM , zM ) ⇔ OM = xM i + yM j + zM k c) Cho A ( xA , y A , z A ) , B ( xB , yB , z B ) ta có: với mặt phẳng đơn vị trục Ox, Oy , Oz Hình Học Tọa Độ Oxyz AB = ( xB − xA ; yB − y A ; z B − z A ) AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) 2  x + x A yB + y A z B + z A  ; ; d) M trung điểm AB M  B  2   e) Cho a = ( a1 ; a2 ; a3 ) b = ( b1; b2 ; b3 ) ta có:  a1 = b1   a = b ⇔  a2 = b2 a = b  3  a ± b = ( a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )  k a = ( ka1 ; ka2 ; ka3 ) ( )  a.b = a b cos a; b = a1b1 + a2b2 + a3b3  a = a12 + a2 + a3 ( )  cos ϕ = cos a; b = a1b1 + a2b2 + a3b3 a1 + a2 + a32 b12 + b2 + b3 (với a ≠ 0, b ≠ )  a b vuông góc: ⇔ a.b = ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = a1 = kb1   a b phương: ⇔ ∃k ∈ R : a = kb ⇔ a2 = kb2 a = kb  Tích có hướng ứng dụng Tích có hướng a = ( a1 ; a2 ; a3 ) b = ( b1; b2 ; b3 ) là:  a a a a aa   a, b  =  ; ;  = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 )    b2b3 b3b1 b1b2  a Tính chất:   a, b  ⊥ a,  a, b  ⊥ b ( )   a, b  = a b sin a, b  a b phương:  a, b  =  a, b, c đồng phẳng ⇔  a, b  c = b Các ứng dụng tích có hướng  Diện tích tam giác: S ABC =  AB, AC   Thể tích tứ diện VABCD =  AB, AC  AD  Thể tích khối hộp: VABCD A ' B 'C ' D ' =  AB, AD  AA' 2 Hình Học Tọa Độ Oxyz Một số kiến thức khác ( ) a) Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MA = k MB ta có: x A − kxB y − kyB z − kz B với k ≠ ; yM = A ; zM = A 1− k 1− k 1− k x + xB + xC y + y B + yC z +z +z b) G trọng tâm tam giác ABC ⇔ xG = A ; yG = A ; zG = A B C 3 xM = G trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ GA + GB + GC + GD = B - CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng A, B, C thẳng hàng ⇔ AB, AC phương ⇔  AB, AC  = Dạng A, B, C ba đỉnh tam giác ⇔ A, B, C không thẳng hàng ⇔ AB, AC không phương ⇔  AB, AC  ≠   Dạng G ( xG ; yG ; zG ) trọng tâm tam giác ABC thì: xG = x A + xB + xC y + yB + yC z +z +z ; yG = A ; zG = A B C 3 Dạng Cho ∆ABC có chân E , F đường phân giác góc A ∆ABC BC Ta có: EB = − Dạng S∆ABC = AB EC , AC FB = AB FC AC    AB, AC   ⇒ diện tích hình bình hành ABCD là: S ABCD =  AB, AC  2 Dạng Đường cao AH ∆ABC : S∆ABC =  AB, AC  2.S ∆ABC   AH BC ⇒ AH = = BC BC Dạng Tìm D cho ABCD hình bình hành: Từ t/c hbh có cặp vecto AB = DC AD = BC ⇒ tọa độ D Dạng Chứng minh ABCD tứ diện ⇔ AB; AC ; AD không đồng phẳng ⇔  AB, AC  AD ≠ Dạng G ( xG ; yG ; zG ) trọng tâm tứ diện ABCD thì: xG = x A + xB + xC + xD y + y B + yC + y D z + z + z + zD ; yG = A ; zG = A B C 4  AB, AC  AD  6 3V Đường cao AH tứ diện ABCD : V = S△ BCD AH ⇒ AH = S△ BCD Dạng 10 Thể tích khối tứ diện ABCD : VABCD = Dạng 11 Dạng 12 Thể tích hình hộp: VABCD A ' B 'C ' D ' =  AB, AD  AA ' Hình Học Tọa Độ Oxyz Dạng 13 Hình chiếu điểm A ( xA ; y A ; z A ) lên mặt phẳng tọa độ trục: Xem lại mục 1, công thức 17, 18 Dạng 14 Tìm điểm đối xứng với điểm A ( x A ; y A ;z A ) qua mặt phẳng tọa độ, trục gốc tọa độ: (Thiếu tọa độ đổi dấu tọa độ đó, có mặt tọa độ để ngun tọa độ đó) ( OXY ) : A1 ( xA ; y A ; − z A ) ( OXZ ) : A2 ( xA ; − y A ; z A ) ( OYZ ) : ( OX ) : A4 ( xA ; − y A ; − z A ) ( OY ) : A5 ( − xA ; y A ; − z A ) ( OZ ) : A3 ( − xA ; y A ; z A ) A6 ( − xA ; − y A ; z A ) Qua gốc O : A7 ( − xA ; − y A ; − z A ) C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho điểm S (1, 2,3) ; A ( 2, 2,3) ; B (1,3,3) ; C (1, 2, ) SABC là: B Hình chóp D Hình thang vng A Tứ diện C Tứ diện Câu 2: Cho bốn điểm S (1, 2,3) ; A ( 2, 2,3) ; B (1,3,3) ; C (1, 2, ) Gọi M , N , P trung điểm BC , CA AB Khi SMNP là: A Hình chóp Câu 3: B Hình chóp C Tứ diện D Tam diện vuông Cho bốn điểm S (1, 2,3) ; A ( 2, 2,3) ; B (1,3,3) ; C (1, 2, ) Xác định tọa độ trọng tâm G hình chóp SABC A ( 5,9,13) Câu 4:  13  B  , 3,  3 3  9 C  1, ,   4  13  D  , ,  4 4  Cho vectơ a = (1,1, −2 ) ; b = ( 2, −1, ) ; c = ( −2,3, −2 ) Xác định vec tơ d thỏa mãn a.d = 4; b.d = 5; c.d = A ( 3, 6,5 ) Câu 5: B ( −3, 6, −5 ) 3 5 C  , 6,  2 2 5  D  3, 6,  2  Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( 2;0; −2 ) , B ( 3; −1; −4 ) , C ( −2;2;0 ) Điểm D mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm cho thể tích khối tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) là: A D ( 0; −3; −1) Câu 6: B D ( 0;2; −1) C D ( 0;1; −1) D D ( 0;3; −1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1; 2; ) , B ( 3; 4;1) , D ( −1;3; ) Tìm tọa độ điểm C cho ABCD hình thang có hai cạnh đáy AB , CD có góc C 45° A C ( 5;9;5 ) B C (1;5;3) C C ( −3;1;1) D C ( 3; 7; ) Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ có A trùng với gốc tọa độ O , đỉnh B ( m; 0; 0) , D (0; m; 0) , A′(0; 0; n ) với m, n > m + n = Gọi M trung điểm cạnh CC′ Khi thể tích tứ diện BDA′M đạt giá trị lớn 245 64 75 A B C D 108 27 32 Câu 8: Cho ba điểm A ( 3;1;0 ) , B ( 0; −1;0 ) , C ( 0;0; −6 ) Nếu tam giác A′B′C ′ thỏa mãn hệ thức A′A + B ′B + C ′C = có tọa độ trọng tâm là: A (1;0; −2 ) Câu 9: B ( 2; −3; ) C ( 3; −2;0 ) D ( 3; −2;1) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm M ( 3;0; ) , N ( m, n, ) , P ( 0;0; p ) Biết MN = 13, MON = 600 , thể tích tứ diện OMNP Giá trị biểu thức A = m + 2n2 + p A 29 B 27 C 28 D 30 Câu 10: Cho hình chóp S ABCD biết A ( −2; 2; ) , B ( −3;1;8) , C ( −1;0; ) , D (1; 2;3) Gọi H trung điểm CD, SH ⊥ ( ABCD ) Để khối chóp S ABCD tích 27 (đvtt) có hai điểm S1 , S2 thỏa mãn u cầu tốn Tìm tọa độ trung điểm I S1S2 A I ( 0; −1; −3) B I (1;0;3) C I ( 0;1;3) D I ( −1;0; −3) Câu 11: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD , B (3; 0;8) , D ( −5; −4; 0) Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) có tọa độ số nguyên, CA + CB bằng: A 10 B 10 C 10 D 10 Câu 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A(2; 4; −1) , B (1; 4; −1) , C (2; 4;3) D (2; 2; −1) Biết M ( x; y; z ) , để MA2 + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ x + y + z A B C D Câu 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A(2; 4; −1) , B (1; 4; −1) , C (2; 4;3) D (2; 2; −1) Biết M ( x; y; z ) , để MA2 + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ x + y + z A B C D Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 4; 2;0 ) , B ( 2; 4; ) , C ( 2; 2;1) Biết điểm H ( a; b; c ) trực tâm tam giác ABC Tính S = a − b + 3c A S = −6 B S = −2 C S = D S = Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 3; −2; ) , B ( −1; 4; −4 ) điểm C ( 0; a; b ) thỏa mãn tam giác ABC cân C có diện tích nhỏ Tính S = 2a + 3b Hình Học Tọa Độ Oxyz A S = 62 25 B S = 73 25 C S = 239 10 D S = 29 Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2; 2;0 ) , B ( 2;0; −2 ) điểm M ( a, b, c ) với a , b, c số thực thay đổi thỏa mãn a + 2b − c − = Biết MA = MB góc AMB có số đo lớn Tính S = a + 2b + 3c 16 15 A S = B S = C S = − 11 11 11 D S = 11 Câu 16: Trong không gian Oxyz cho ba điểm M ( 2;3; −1) , N ( −1;1;1) , P (1; m− 1; ) Tìm giá trị nhỏ số đo góc ∠MNP 6 A arccos B arcsin 85 85 C arccos D arcsin Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1;1;1) , B ( −2;1;0 ) , C ( 2; −3;1) Điểm S ( a; b; c ) cho SA2 + SB + 3SC đạt giá trị nhỏ Tính T = a + b + c A T = B T = −1 C T = −1 D T = −5 Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 4;0;0 ) , B ( a; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với ( a, b, c > ) thỏa mãn độ dài đoạn AB = 10 , góc AOB = 45° thể tích khối tứ diện OABC Tính tổng T = a + b + c A T = B T = 10 C T = 12 D T = 14 Hình Học Tọa Độ Oxyz D - HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Cho điểm S (1, 2,3) ; A ( 2, 2,3) ; B (1,3,3) ; C (1, 2, ) SABC là: A Tứ diện C Tứ diện Hướng dẫn giải: B Hình chóp D Hình thang vuông AB = ( −1;1;0 ) ; BC = ( 0; −1;1) ; AC = ( −1;0;1) ⇒ AB = BC = CA = ⇒ ABC tam giác SA = (1;0;0 ) ; SB = ( 0;1;0 ) ; SC = ( 0;0;1) ⇒ SA = SB = SC = 1 0 D ( SA, SB, SC ) = =1≠ 0 Hay ta tính  SA; SB  SC ≠ ⇒ SA, SB , SC khơng đồng phẳng ⇒ SABC hình chóp đều, đỉnh S Chọn B Câu 2: Cho bốn điểm S (1, 2,3) ; A ( 2, 2,3) ; B (1,3,3) ; C (1, 2, ) Gọi M , N , P trung điểm BC , CA AB Khi SMNP là: A Hình chóp B Hình chóp Hướng dẫn giải: C Tứ diện D Tam diện vng Tam giác: ABC có AB = BC = CA = ⇒ MN = NP = PM = 2 S SA = (1;0;0 ) ; SB = ( 0;1;0 ) ; SC = ( 0;0;1) ⇒ SA.SB = ⇒ SA ⊥ SB Tương tự SA ⊥ SC , SB ⊥ SC Các tam giác vuông SAB , SBC , SCA vuông S, có trung tuyến: AB = = MN = NP = PM 2 Ta có: SP ⊂ ( SAB ) ; SM ⊂ ( SBC ) ; SN ⊂ ( SCA ) SP = SM = SN = ⇒ SP , SM , SN không đồng phẳng ⇒ SMNP tứ diện Chọn C Câu 3: C N M P B Cho bốn điểm S (1, 2,3) ; A ( 2, 2,3) ; B (1,3,3) ; C (1, 2, ) Xác định tọa độ trọng tâm G hình chóp SABC A Hình Học Tọa Độ Oxyz  13  B  , 3,  3 3 A ( 5,9,13)  9 C  1, ,   4  13  D  , ,  4 4  Hướng dẫn giải: Ta có GS + GA + GB + GC ⇔ 4OG = OA + OB + OC + OS   x = ( + + + 1) =   ⇒ G  y = ( + + + 2) = 4  13   z = ( + + + 3) =  Chọn D Câu 4: Cho vectơ a = (1,1, −2 ) ; b = ( 2, −1, ) ; c = ( −2,3, −2 ) Xác định vec tơ d thỏa mãn a.d = 4; b.d = 5; c.d = A ( 3, 6,5 ) B ( −3, 6, −5 ) Hướng dẫn giải:  a.d = x + y − 2z =   b.d = ⇔  x − y + z =    −2 x + y − z = c.d = 3 5 C  , 6,  2 2 5  D  3, 6,  2  (1) ( 2) ( 3) (1) + ( ) : 3x = ⇔ x = ( ) + ( 3) : y = 12 ⇔ y = Chọn D (1) : z = ( x + y + ) = ( + − ) = Câu 5: 5  ⇒ d =  3;6;  2  Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( 2;0; −2 ) , B ( 3; −1; −4 ) , C ( −2;2;0 ) Điểm D mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm cho thể tích khối tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) là: A D ( 0; −3; −1) B D ( 0;2; −1) C D ( 0;1; −1) D D ( 0;3; −1) Hướng dẫn giải: → D ( 0; b; c ) với c < Do D ∈ ( Oyz )  c = 1( loai )  → D ( 0; b; −1) Theo giả thiết: d  D, ( Oxy )  = ⇔ c = ⇔  c = −1 Ta có AB = (1; −1; −2 ) , AC = ( −4;2;2 ) , AD = ( −2; b;1) Suy  AB, AC  = ( 2;6; −2 )  →  AB, AC  AD = 6b − Hình Học Tọa Độ Oxyz Cũng theo giả thiết, ta có: VABCD = b =  AB, AC  AD = b − = ⇔    b = −1 Chọn D Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1; 2; ) , B ( 3; 4;1) , D ( −1;3; ) Tìm tọa độ điểm C cho ABCD hình thang có hai cạnh đáy AB , CD có góc C 45° A C ( 5;9;5 ) B C (1;5;3) C C ( −3;1;1) D C ( 3;7; ) Hướng dẫn giải: Chọn D Cách AB = (2; 2;1)  x = −1 + 2t  Đường thẳng CD có phương trình CD :  y = + 2t z = + t  Suy C ( −1 + 2t;3 + 2t ; + t ) ; CB = (4 − 2t;1 − 2t; −1 − t ), CD = (−2t; −2t; −t ) Ta có cos BCD = Hay (4 − 2t )(−2t ) + (1 − 2t )( −2t ) + ( −1 − t )( −t ) (4 − 2t ) + (1 − 2t ) + (−1 − t ) ( −2t ) + ( −2t ) + ( −t ) (4 − 2t )(−2t ) + (1 − 2t )(−2t ) + (−1 − t )(−t ) (4 − 2t ) + (1 − 2t ) + (−1 − t ) (−2t )2 + (−2t )2 + (−t ) = (1) Lần lượt thay t 3;1; −1; (tham số t tương ứng với toạ độ điểm C phương án A, B, C, D), ta thấy t = thoả (1) Cách Ta có AB = (2; 2;1), AD = (−2;1; 2) Suy A B AB ⊥ CD AB = AD Theo giả thiết, suy DC = AB Kí hiệu C ( a; b; c ) , ta có DC = (a + 1; b − 3; c − 2) , AB = (4; 4; 2) Từ C (3; 7; 4) D C Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 7: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxy , cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ có A trùng với gốc tọa độ O , đỉnh B ( m; 0; 0) , D (0; m; 0) , A′(0; 0; n ) với m, n > m + n = Gọi M trung điểm cạnh CC′ Khi thể tích tứ diện BDA′M đạt giá trị lớn 245 64 75 A B C D 108 27 32 Hướng dẫn giải: z A' n  Tọa độ điểm C (m; m;0), C ′(m; m;; n), M  m; m;   2 B' D' C' n n  BA′ = ( − m;0; n ) , BD = ( −m; m;0 ) , BM =  0; m;   2 A≡O D  BA′, BD  = ( −mn; −mn; −m VBDA′M = ) B m x m C y m2 n  BA′, BD  BM = 256  m + m + 2n  512 Ta có m.m.(2n) ≤  ⇒ m2 n ≤  = 27 27   ⇒ VBDA′M ≤ 64 27 Chọn C Câu 8: Cho ba điểm A ( 3;1;0 ) , B ( 0; −1;0 ) , C ( 0;0; −6 ) Nếu tam giác A′B′C ′ thỏa mãn hệ thức A′A + B ′B + C ′C = có tọa độ trọng tâm là: A (1;0; −2 ) C ( 3; −2;0 ) B ( 2; −3; ) D ( 3; −2;1) Hướng dẫn giải: Chọn A * Cách diễn đạt thứ nhất: Gọi G, G’ theo thứ tự trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’ Với điểm T không gian có: (1) : A ' A + B ' B + C ' C = ⇔ (TA − TA ') + (TB − TB ') + (TC − TC ') = ⇔ TA + TB + TC = TA ' + TB ' + TC ' ( 2) Hệ thức (2) chứng tỏ Nếu T ≡ G tức TA + TB + TC = ta có TA ' + TB ' + TC ' = hay T ≡ G ' hay (1) hệ thức cần đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có trọng tâm 10 Hình Học Tọa Độ Oxyz  + + −1 + 0 + −  ; ; Ta có tọa độ G là: G =   = (1; 0; −2 ) 3   Đó tọa độ trọng tâm G’ ∆A ' B ' C ' * Cách diễn đạt thứ hai: Ta có: AA ' + BB ' + CC ' = (1) ( ) ( ) ( ) ⇔ A ' G ' + G ' G + GA + B ' G ' + G ' G + GB + C ' G ' + G ' G + GC = ( ) ( ) ⇔ GA + GB + GC + A ' G ' + B ' G ' + C ' G ' + 3G ' G = (2) Nếu G, G’ theo thứ tự trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’ nghĩa GA + GB + GC = A ' G ' + B ' G ' + C ' G ' ( ) ⇔ G ' G = ⇔ G ' ≡ G Tóm lại (1) hệ thức cần đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có trọng tâm  + + −1 + 0 + −  ; ; Ta có tọa độ G là: G =   = (1; 0; −2 ) Đó tọa độ trọng 3   tâm G’ ∆A ' B ' C ' Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm M ( 3;0; ) , N ( m, n, ) , P ( 0;0; p ) Biết MN = 13, MON = 600 , thể tích tứ diện OMNP Giá trị biểu thức A = m + 2n2 + p A 29 B 27 C 28 Hướng dẫn giải: OM = ( 3;0; ) , ON = ( m; n;0 ) ⇒ OM ON = 3m OM ON = OM ON cos 600 ⇒ MN = ( m − 3) OM ON OM ON = 1 m ⇒ = 2 2 m +n + n2 = 13 Suy m = 2; n = ±2   OM , ON  OP = p ⇒ V = 6 p = ⇒ p = ± Vậy A = + 2.12 + = 29 11 D 30 Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 10: Cho hình chóp S ABCD biết A ( −2; 2; ) , B ( −3;1;8 ) , C ( −1;0; ) , D (1; 2;3) Gọi H trung điểm CD, SH ⊥ ( ABCD ) Để khối chóp S ABCD tích 27 (đvtt) có hai điểm S1 , S2 thỏa mãn u cầu tốn Tìm tọa độ trung điểm I S1S2 A I ( 0; −1; −3) B I (1;0;3) C I ( 0;1;3) D I ( −1;0; −3) Hướng dẫn giải: Ta có AB = ( −1; −1; ) , AC = (1; −2;1) ⇒ S ABC = 3  AB, AC  =   2 DC = ( −2; −2; ) , AB = ( −1; −1; ) ⇒ DC = AB ⇒ ABCD hình thang S ABCD = 3S ABC = Vì VS ABCD = SH S ABCD ⇒ SH = 3 Lại có H trung điểm CD ⇒ H ( 0;1;5) Gọi S ( a; b; c ) ⇒ SH = ( − a;1 − b;5 − c ) ⇒ SH = k  AB, AC  = k ( 3;3;3) = ( 3k ;3k ;3k ) Suy 3 = 9k + 9k + 9k ⇒ k = ±1 +) Với k = ⇒ SH = ( 3;3;3) ⇒ S ( −3; −2; ) +) Với k = −1 ⇒ SH = ( −3; −3; −3) ⇒ S ( 3; 4;8 ) Suy I ( 0;1;3) Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vng ABCD , B (3; 0;8) , D ( −5; −4; 0) Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) có tọa độ số nguyên, CA + CB bằng: A 10 B 10 C 10 D 10 Hướng dẫn giải: Ta có trung điểm BD I (−1; −2; 4) , BD = 12 điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy ) nên A( a; b; 0)  AB = AD 2 2 2 (a − 3) + b + = (a + 5) + (b + 4)  ABCD hình vng ⇒  1  ⇔ (a + 1) + (b + 2) + 42 = 36   AI =  BD  2   12 Hình Học Tọa Độ Oxyz 17  a=  a = b = − a   17 −14   ;0   ⇒ A(1; 2; 0) A  ; ⇔ ⇔ 2 − 14 5   b = ( a + 1) + (6 − 2a ) = 20 b =  (loại) Với A(1; 2; 0) ⇒ C (−3; −6;8) Câu 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A(2; 4; −1) , B (1; 4; −1) , C (2; 4;3) D (2; 2; −1) Biết M ( x; y; z ) , để MA2 + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ x + y + z A B C D Hướng dẫn giải:  14  Gọi G trọng tâm ABCD ta có: G  ; ;0  3  Ta có: MA2 + MB + MC + MD = MG + GA2 + GB + GC + GD  14  ≥ GA2 + GB + GC + GD Dấu xảy M ≡ G  ; ;0  ⇒ x + y + z = 3  Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 4; 2;0 ) , B ( 2; 4; ) , C ( 2; 2;1) Biết điểm H ( a; b; c ) trực tâm tam giác ABC Tính S = a − b + 3c A S = −6 B S = −2 C S = D S = Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: HA = ( − a; − b; − c ) , HB = ( − a; − b; − c ) , BC = ( 0; −2;1) , AC = ( −2; 0;1) ⇒  BC , AC  = ( −2; −2; −4 ) ⇒  BC , AC  HA = ( a − ) + ( b − ) + 4c = 2a + 2b + 4c − 12 Vì H trực tâm tam giác ABC nên:  a=   HB AC = 2 ( a − ) − c =  2a − c =      ⇔ 2 ( b − ) − c = ⇔ 2b − c = ⇔ b = ⇒ S = a − b + 3c =  HA.BC =  2a + 2b + 4c − 12 = a + b + 2c =     BC AC HA = ,      c =  Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A ( a; 0;0 ) , B (1; b;0 ) , C (1;0; c ) với a , b, c số thực thay đổi cho H ( 3; 2;1) trực tâm tam giác ABC Tính S = a+b+c A S = Hướng dẫn giải Chọn B 13 B S = 19 C S = 11 D S = Hình Học Tọa Độ Oxyz  AH BC =  Để H ( 3; 2;1) trực tâm tam giác ABC  BH AC =  H ∈ ( ABC )  AH = ( − a; 2;1) , BC ( 0; −b; c ) BH ( 2; − b;1) , AC (1 − a; 0; c ) Ta có AH BC = ⇔ −2b + c = ⇔ c = 2b BH AC = ⇔ (1 − a ) + c = , thay c = 2b ta a = b + Khi AB = ( −b; b; ) ⇒ AB phương với u ( −1;1; ) , AC ( −b; 0; 2b ) ⇒ AC phương với v ( −1; 0; ) Ta có u , v  = ( 2; 2;1) Để H ∈ ( ABC ) u, v, AH đồng phẳng ⇔ u, v  AH = ⇔ ( − a ) + + = ⇔ a = 11 ⇒ b = ,c = 2 Vậy a + b + c = 19 Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 3; −2; ) , B ( −1; 4; −4 ) điểm C ( 0; a; b ) thỏa mãn tam giác ABC cân C có diện tích nhỏ Tính S = 2a + 3b A S = 62 25 B S = 73 25 C S = 239 10 D S = 29 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: AB = ( −4; 6; −8 ) , AC = ( −3; a + 2; b − )  a + −3 ≠   a ≠ −4 ⇔ Điều kiện để A, B, C ba đỉnh tam giác là:   b − ≠ −3 b ≠  −8 −4 Gọi I trung điểm AB ta có: I (1;1;0 ) Tam giác ABC cân C nên CI ⊥ AB ⇔ CI AB = ⇔ ( −4 ) + (1 − a ) + ( −b ) ( −8 ) = ⇔ −6 a + 8b + = ⇔ 3a − 4b − = ⇒ b = 3a − (1) Diện tích tam giác ABC là: S ∆ABC = CI AB Do diện tích tam giác ABC nhỏ CI nhỏ Khi đó: CI = + (1 − a ) + ( − b ) = + a − 2a + b2 ( ) 14 Hình Học Tọa Độ Oxyz Thay (1) vào (2) ta có: 2 25a − 38a + 33  19  464 29  3a −  = = ≥ CI = + a − 2a +    5a −  + 16  5 25 20   Vậy CI nhỏ a = 19 62 ⇒b= ⇒ S = a + 3b = 25 25 25 Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2; 2;0 ) , B ( 2;0; −2 ) điểm M ( a, b, c ) với a , b, c số thực thay đổi thỏa mãn a + 2b − c − = Biết MA = MB góc AMB có số đo lớn Tính S = a + 2b + 3c 16 15 A S = B S = C S = − 11 11 11 D S = 11 Hướng dẫn giải: Chọn B Vì MA = MB nên M thuộc mặt phẳng trung trực ( P ) đoạn AB b + c =  c = −b Ta có ( P ) : y + z = nên  ⇔ a + 2b − c − = a = − 3b MA = (1 + 3b; − b; b ) , MB = (1 + 3b; −b; −2 + b ) ⇒ cos AMB = = MA.MB MA MB (1 + 3b ) + 2b ( b − ) 2 2 (1 + 3b ) + ( b − ) + b2 (1 + 3b ) + ( b − ) + b 2 = 9b + 6b + + 2b − 4b 11b + 2b + = 9b + 6b + + 2b − 4b + 11b + 2b + Xét f ( b ) = ( 22b + ) 11b + 2b + −1 có f ′ ( b ) = =0⇒b= 2 11b + 2b + 11b + 2b + 11 Nhận thấy f ( b ) nhỏ b = − Nên a + 2b + 3c = 14 ⇒ a = ,c = 11 11 11 14 15 − + = 11 11 11 11 Câu 16: Trong không gian Oxyz cho ba điểm M ( 2;3; −1) , N ( −1;1;1) , P (1; m− 1; ) Tìm giá trị nhỏ số đo góc ∠MNP 6 2 A arccos B arcsin C arccos D arcsin 9 85 85 Hướng dẫn giải: Chọn A cosMNP = 15 NM NP 2m = NM NP 17 m − 4m + Hình Học Tọa Độ Oxyz Để số đo góc ∠MNP nhỏ cosMNP = Khi cosMNP = Xét hàm số f ( m) = cosMNP = NM NP 2m số dương lớn = NM NP 17 m − 4m + 2m NM NP = = NM NP 17 17 m − 4m + m2 m − 4m + 1 m2 = = ≤ 2 m − 4m + − +1  −  + 5   m2 m m 3 2m NM NP = = NM NP 17 17 m2 − 4m + m2 ≤ m − 4m + 85 Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1;1;1) , B ( −2;1;0 ) , C ( 2; −3;1) Điểm S ( a; b; c ) cho SA2 + SB + 3SC đạt giá trị nhỏ Tính T = a + b + c Hướng dẫn giải: B T = −1 A T = C T = −1 D T = −5 Chọn D 1 2 Gọi G điểm cho GA + 2GB + 3GC = ⇔ G  ; −1; 2 ( ) −1    ( ) ( SA2 + 2SB + 3SC = SA + 2SB + 3SC = SG + GA + SG + GB + SG + GC ) = 6SG + GA2 + 2GB + 3GC −1  1 −5 SA2 + SB + SC nhỏ S ≡ G hay S  ; −1;  Nên T =  2 Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 4;0;0 ) , B ( a; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với ( a, b, c > ) thỏa mãn độ dài đoạn AB = 10 , góc AOB = 45° thể tích khối tứ diện OABC Tính tổng T = a + b + c A T = B T = 10 Hướng dẫn giải: C T = 12 D T = 14 Chọn D 1 1 VOABC = SOAB OC = OA.OB.OC sin AOB = a + b = ⇔ c ( a + b ) = 288 6 Lại có AB = ( a − 4) + b = 10 ⇔ ( a − ) + b = 40 Theo định lí hàm số cơ-sin ta có: 16 Hình Học Tọa Độ Oxyz AB = OA2 + OB − 2.OA.OB.cos 45° = 16 + a + b − ( a + b2 ) = 40 ⇔ a + b = 72 ⇒ c = Vậy T = + + = 14 17 288 = ⇒ c = ; −8a + 16 + 72 = 40 ⇔ a = ⇒ b = 72 ... + 11 b + 2b + Xét f ( b ) = ( 22b + ) 11 b + 2b + ? ?1 có f ′ ( b ) = =0⇒b= 2 11 b + 2b + 11 b + 2b + 11 Nhận thấy f ( b ) nhỏ b = − Nên a + 2b + 3c = 14 ⇒ a = ,c = 11 11 11 14 15 − + = 11 11 11 11 ... số đo lớn Tính S = a + 2b + 3c 16 15 A S = B S = C S = − 11 11 11 D S = 11 Câu 16 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm M ( 2;3; ? ?1) , N ( ? ?1; 1 ;1) , P (1; m− 1; ) Tìm giá trị nhỏ số đo góc... phẳng tọa độ trục: Xem lại mục 1, công thức 17 , 18 Dạng 14 Tìm điểm đối xứng với điểm A ( x A ; y A ;z A ) qua mặt phẳng tọa độ, trục gốc tọa độ: (Thiếu tọa độ đổi dấu tọa độ đó, có mặt tọa độ để