Một số giải pháp dạy học chương tổ hợp xác suất

PHẦN MỞ ĐẦU I BỐI CẢNH CỦA GIẢI PHÁP Năm học 2018-2019 năm học tiếp tục đẩy mạnh việc thực đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh Việc đổi phương pháp dạy học không phong trào mà yêu cầu bắt buộc giáo viên Để đổi dạy việc nghiên cứu tài liệu, chuẩn bị dạng tập liên quan đến tiết học góp phần quan trọng vào việc thiết kế học thành công Tổ hợp – xác suất ngành toán học nghiên cứu toán mang cấu trúc rời rạc, tượng ngẫu nhiên xuất phát từ thực tiễn Đây chủ đề toán giàu tiềm cung cấp cho HS hiểu biết mối liên hệ toán học lĩnh vực khoa học khác đời sống Tuy nhiên, tổ hợp – xác suất chủ đề mà việc học tập, tiếp cận kiến thức HS cịn gặp nhiều khó khăn Theo đó, việc GV hướng dẫn HS tự lực tiếp cận kiến thức gặp khó khăn, chủ đề có nhiều thuật ngữ, kí hiệu, khái niệm có nhiều tốn khó Tuy nhiên phần tập trình bày sách giáo khoa sách tập chưa đa dạng Vì việc thiết kế học với tiết dạy chương Tổ hợp – xác suất gặp nhiều khó khăn II LÝ DO CHỌN GIẢI PHÁP Trong nhiều năm giảng dạy chương tổ hợp xác suất nhận thấy HS tiếp nhận kiến thức chương gặp số khó khăn định Thứ HS hay nhầm lẫn khái niệm học chương Thứ hai áp dụng lí thuyết vào tập lúng túng Mặt khác chương học với giáo viên, tài liệu tham khảo để dạy học chương chưa đa dạng Hơn từ Bộ giáo dục đào tạo đổi hình thức thi THPT Quốc gia kiến thức chương đưa vào kì thi Với mong muốn tập hợp lại kinh nghiệm thân trình dạy học chương tổ hợp xác suất làm tài liệu để tiếp tục dạy học năm tiếp theo, đồng thời giúp đồng nghiệp có thêm tài liệu tham khảo dạy chương tổ hợp xác suất nhằm giúp học sinh rèn luyện kĩ giải tập tổ hợp xác suất, khắc sâu phần lí thuyết, từ đạt kết cao giải tốn tổ hợp Đó lí chọn đề tài: “Phương pháp dạy học chương tổ hợp xác suất” Vấn đề cụ thể: - Nêu số giải pháp dạy phần lí thuyết tổ hợp xác suất - Phân dạng toán tổ hợp xác suất III PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Đối tượng nghiên cứu - Học sinh khối 11 bậc trung học phổ thông - Nội dung phần tổ hợp xác suất chương trình tốn THPT Phạm vi nghiên cứu - Chương II: “ Tổ hợp xác suất ” lớp 11 VI MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu số vấn đề liên quan đến nội dung tổ hợp xác suất trình bày số SGK (những năm trước tại) nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn rút kinh nghiệm trình giảng dạy đồng thời nghiên cứu chủ đề để đề xuất vấn đề thuộc phương pháp hướng dẫn học sinh giải toán tổ hợp PHẦN NỘI DUNG I THỰC TRẠNG CỦA GIẢI PHÁP Đà BIẾT Tổ hợp ngành toán học nghiên cứu toán mang cấu trúc rời rạc có tốn đếm Kĩ kiến thức tổ hợp cần thiết cho nhiều ngành khoa học từ kinh tế tới sinh học, tin học, hóa học quản trị kinh doanh.Các kiến thức tổ hợp xác suất mặt cung cấp cho HS hiểu biết toán học ứng dụng, mặt tạo cho HS thói quen vận dụng tốn học, ý thức sử dụng phương pháp toán học tới vấn đề thực tiễn.Tuy nhiên với thời lượng giảng dạy chương 15 tiết, SGK trình bày, dẫn dắt khái niệm tổ hợp, xác suất ngắn gọn tối giản dạng tập chưa phong phú nên học sinh khó tiếp thu q trình học Trong trình giảng dạy nhiều HS hay nhầm lẫn khái niệm Việc áp dụng vào việc giải tốn gặp khó khăn.Đa số HS trung bình dễ mắc sai lầm kiến thức, kĩ giải tập chưa hiểu cách thấu đáo, chưa phân biệt tình sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, công thức tính số hốn vị, số tổ hợp, số chỉnh hợp; dễ nhầm lẫn khái niệm công thức với nhau, kĩ nhận biết biến cố hay việc phân tích biến cố phức tạp thành nhiều biến cố đơn giản HS chưa tốt Nhìn chung, việc đặt vấn đề khơng khó giải vấn đề HS không dễ Phần kiến thức xác suất đưa vào kì thi THPT Quốc Gia, nhiều học sinh không hiểu chất kiến thức nên không nhớ sâu, nhớ lâu dẫn đến làm thi phần không II NỘI DUNG SÁNG KIẾN Bản chất giải pháp Nêu phương pháp giúp GV q trình dạy lí thuyết tập chương tổ hợp xác suất Đối với phần lí thuyết nêu giải pháp cụ thể sử dụng q trình giảng dạy chương tổ hợp xác suất Về phần tập có phân dạng tập cụ thể tương ứng với chương, phân tích sai lầm mà HS hay gặp phải làm tập 1.1 Một số phương pháp dạy phần lí thuyết tổ hợp xác suất 1.1.1 Sử dụng dụng cụ trực quan Trong chủ đề Tổ hợp – Xác suất, đặc biệt làm quen với hai quy tắc tính bản, HS khó phân biệt tình dùng cơng thức tổ hợp, chỉnh hợp, quy tắc cộng, quy tắc nhân GV sử dụng dụng cụ trực quan giúp HS vượt qua khó khăn Cụ thể sau: + Khi dạy quy tắc đếm GV sử dụng viên bi, bóng… để học sinh thực hành phần đếm số cách chọn đồ vật mà đề GV yêu cầu + Khi dạy hốn vị cho học sinh thực hành số cách xếp chỗ ngồi cho bạn lớp + Với xác suất biến cố cho HS gieo súc sắc, đồng tiền, rút quân để tính số phần tử cho biến cố Thơng qua phần thực hành HS nhớ kiến thức lâu hơn, biết áp dụng tình tương tự 1.1.2 Khái quát hóa Chúng ta khái quát công thức bậc nhỏ để đưa công thức tổng qt Ví dụ 1: Có HS, muốn ghép hai HS thành đội để chơi trò chơi Hỏi có cách ghép Vấn đề đặt thay người thành 100 người, người thành n người thay người thành k người có cách ghép Từ việc khái qt hóa tốn cụ thể để đưa cơng thức tính số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử Ví dụ 2: Từ đẳng thức  a  b   a  2ab  b  a  b   a  3a 2b  3ab  b3 Hãy biểu thị hệ số khai triển theo tổ hợp chập k n phần tử Vậy: n  a  b  viết khai triển bao nhiêu? Nhờ có số tổ hợp Cnk ta khái quát hóa đẳng thức trên, từ thiết lập cơng thức khai triển nhị thức Niu-tơn Các hệ số khai triển  a  b  theo thứ tự từ trái qua phải là:  C20 ;2  C21 ;1  C22 tức  a  b  C20a  C21ab  C22b Các hệ số khai triển  a  b  theo thứ tự từ trái qua phải là:  C30 ;3  C31;3  C32 ;1  C33 tức  a  b   C30a  C31a 2b  C32ab  C33b 3 Vậy  a  b   C a  C a b   C a n n n n 1 n k n n k n k n k k b   C b  �Cn a b k n n n k 0 (quy ước a  b  ) 1.1.3 Xây dựng kiến thức từ giải toán biết Để tạo cho HS thói quen tự phát hiện, giải vấn đề, GV đưa tốn để HS tự tìm kiến thức Ví dụ : Trong lớp có 20 HS nam 15 HS nữ Thầy giáo chủ nhiệm cần chọn HS nam HS nữ tham gia chiến dịch “Mùa hè xanh” Đoàn Thanh niên Cộng sản Hồ Chí Minh Hỏi có cách chọn bạn tham gia không tham gia chiến dịch này? Từ rút tính chất số Cnk Lời giải - Số cách chọn bạn tham gia chiến dịch: Ta có số cách chọn HS nam số 20 HS nam là: 20.19.18.17 C204   4845 1.2.3.4 15.14.13  455 Số cách chọn HS nữ số 15 HS nữ là: C15  1.2.3 Theo quy tắc nhân, số cách chọn bạn tham gia là: C204 C153  2204475 - Số cách chọn bạn không tham gia chiến dịch: Số cách chọn bạn nam không tham gia chiến dịch số 20 bạn nam là: 20! 20! 17.18.19.20 16 C20     4845 16!(20  16)! 16!4! 1.2.3.4 Số cách chọn bạn nữ không tham gia chiến dịch số 15 bạn nữ là: 15! 15! 13.14.15 C1512     455 12!(15  12)! 12!3! 1.2.3 16 C1512  2204475 Số cách chọn bạn không tham gia chiến dịch là: C20 Như số cách chọn bạn tham gia chiến dịch số cách chọn bạn không tham gia chiến dịch, chi tiết số cách chọn bạn nam (nữ) tham gia chiến dịch số cách chọn bạn nam (nữ) không tham gia chiến dịch 16  C20204 ; C153  C1512  C15153 Khi ta có C204  C20 Từ ta suy tính chất số Cnk : Cho số nguyên dương n số nguyên k với �k �n Khi Cnk  Cnnk 1.1.4 Xem xét tương tự Để giúp HS thấy liên kết, tương tự tri thức với tri thức kia, GV tạo tình có vấn đề dựa vào việc xem xét, tương tự kiến thức học Ví dụ : Dựa vào ngơn ngữ lý thuyết tập hợp hợp giao hai tập hợp cho HS phát biểu khái niệm biến cố hợp, biến cố giao - Biến cố hợp: Cho hai biến cố A B Biến cố “A B xảy ra”, Kí hiệu A �B , gọi hợp hai biến cố A B - Biến cố giao: Cho hai biến cố A B Biến cố “Cả A B xảy ra”, kí hiệu AB, gọi giao hai biến cố A B Ví dụ 2: Hai xạ thủ bắn vào bia Kí hiệu Ak biến cố: “ người thứ k bắn trúng”, k = 1, Hãy biểu diễn biển cố sau qua biến cố A1, A2 A: “ Không bắn trúng” B:” Cả hai bắn trúng” Lời giải Ta có: A  A1 �A2 ; B  A1 �A2 1.1.5 Cho HS trao đổi, thảo luận, tự tìm quy tắc, công thức, lời giải GV nên HS tự làm, tự xoay sở, tự đưa giải pháp, sở GV phân tích, góp ý Qua HS có kinh nghiệm giải toán, thấy sai cách nghĩ, cách giải vấn đề, tránh sai lầm Bởi lẽ, điều nhanh nhớ chóng qn, kinh nghiệm tự có nhớ suốt đời, học nhiều qua sai lầm Ví dụ : Một tổ có nam nữ Người ta cần chọn em tổ tham dự thi HS lịch trường Yêu cầu em chọn, phải có em nữ Hỏi có cách chọn? Với tốn dạy GV nên cho HS thực hoạt động nhóm Khi chữa nhấn mạnh vào sai lầm mà HS hay mắc phải để khắc sâu kiến thức Kinh nghiệm thân dạy phần cho thấy HS thường lầm tưởng có em nữ có em nữ nên suy số cách chọn em nữ nữ C21 (cách) số cách chọn em nam em nam C84 (cách) Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn là: C21 C84 =140 (cách) Đây sai lầm HS GV cho HS thấy tính chất em nữ tính chất địi hỏi em phải tranh luận, bàn bạc tìm ý tưởng tìm số phần tử tập B khơng có tính chất A lại dễ Từ đó, tìm số phần tử có tính chất A 1.1.6 Nhấn mạnh vào dấu hiệu đặc trưng Trong hệ thống kiến thức, GV cần nhấn mạnh vào dấu hiệu đặc trưng Chẳng hạn: - Công việc thực qua đủ hai cơng đoạn dùng quy tắc nhân - Cơng việc hồn thành hai phương án dùng quy tắc cộng - Từ tập ban đầu lấy tập mà khơng xét thứ tự dùng tổ hợp, xét thứ tự dùng chỉnh hợp, Ví dụ : Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vng, tròn, elip) bốn kiểu dây (kim loại, da, vải, nhựa) Hỏi có cách chọn đồng hồ gồm mặt dây? GV hướng dẫn HS cần nhấn mạnh vào câu hỏi đề đưa gì? Nhấn mạnh cho HS biết cách chọn đồng hồ phải thực qua hai công đoạn chọn mặt chọn dây? Vậy từ HS hình dung cần sử dụng quy tắc nhân để giải tập 1.1.7 Gắn vào toán thực tế Để làm cho HS thấy ý nghĩa thực tiễn học, có ý thức, khả sử dụng kiến thức học vào giải toán thực tiễn, GV cần thiết kế hướng dẫn HS tự thiết kế tập có nội dung liên quan tới vấn đề thực tiễn Các tập hướng vào việc tính tốn, tìm hiểu vấn đề có thật phạm vi Chẳng hạn, tính xem số thuê bao điện thoại cố định, số biển đăng kí tơ, xe máy tỉnh với cách quy định cấu trúc biển số Những tốn cịn giúp GV triệt để khai thác, xây dựng tình gợi vấn đề xuất phát từ thực tiễn Ví dụ: Biển số xe máy tỉnh A (nếu không kể mã số tỉnh) có kí tự, kí tự vị trí chữ (trong bảng 26 chữ tiếng Anh), kí tự vị trí thứ hai chữ số thuộc tập  1,2, ,9 , kí tự bốn vị trí chữ số thuộc tập  0,1, ,9 Hỏi dùng mã số tỉnh tỉnh A làm nhiều biển xe máy khác Hướng dẫn: Theo quy tắc nhân có: 26.9.10.10.10.10 = 2340000 1.2 Phương pháp phân dạng tập tổ hợp xác suất 1.2.1 Hai quy tắc đếm DẠNG TOÁN 1: Sử dụng quy tắc để thực toán đếm số phương án Phương pháp áp dụng Để sử dụng quy tắc cộng toán đếm, ta thực theo bước: Bíc 1: Tách phương án thành k nhóm độc lập với nhau: H1, H2, , Hk  Nếu: H1 có n1 cách khác Hk có nk cách khác Bíc 2: Khi đó, ta có tất n1 + + nk phương án Để sử dụng quy tắc nhân toán đếm, ta thực theo bước: Bíc 1: Tách hành động H thành k công việc nhỏ liên tiếp: H1, , Hk  Nếu ta có: n1 cách khác để thực H1 Một thực xong H1, , Hk  1, ta có nk cách thực Hk Bíc 2: Khi ta có tất cả: n1   nk cách để thực hành động H Trong nhiều trường hợp cần kết hợp hai quy tắc để thực tốn đếm Ví dụ 1: Có đường nối thành phố X Y, có đường nối thành phố Y Z Muốn từ X đến Z phải qua Y a) Hỏi có cách chọn đường từ X đến Z ? b) Có cách chọn đường từ X đến Z lại X đường khác nhau? Phân tích: Khi gặp toán đa số HS làm tốt câu a Ở câu b nhiều em sai lầm lấy kết 20.20 = 400 Mà không để ý đến điều kiện toán đường khác Bài giải: a) Có cách chọn đường từ X đến Y Tiếp theo, có cách chọn đường từ Y đến Z Do đó, có tất cả:  = 20 cách chọn đường từ X đến Z qua Y b) Theo kết câu a) có 20 cách chọn đường Khi trở về: Từ Z đến Y đường để chọn, có cách Tiếp theo, từ Y lại X cách chọn Do đó, có tất cả:  = 12 cách chọn đường từ Z đến X qua Y Vậy, có tất cả: 20  12 = 240 cách chọn đường tuyến X  Z qua thành phố Y đường khác Ví dụ 2: Mỗi người sử dụng hệ thống máy tính có mật dài từ sáu tới tám ký tự, ký tự chữ hoa ( bảng chữ tiếng Anh) hay chữ số Mỗi mật phải chứa chữ số Hỏi có mật ? Phân tích: Đây tốn mà nhiều HS thấy khó khăn Thực tế giảng dạy nhiều em chưa biết tách thành ba trường hợp Có HS tách ba trường hợp tính cịn sai tập hợp số chữ đề khơng nêu rõ Vì dạy tốn hội để hướng dẫn học sinh sử dụng thành thạo quy tắc cộng quy tắc nhân Bài giải: Gọi P tổng số mật P 6, P7, P8 tương ứng số mật dài, 6, 7, ký tự Theo quy tắc cộng ta có: P = P6 + P7 + P8 Bây tính P6, P7, P8  Tính trực tiếp P6 khó Để tìm P dễ ta tính số xâu dài ký tự chữ in hoa chữ số, bớt số xâu dài ký tự chữ in hoa không chứa chữ số Theo quy tắc nhân số xâu dài ký tự 366 số xâu không chứa chữ số 26 Vì vậy:P6 = 366 – 266 = 1867866560 7  Hoàn toàn tương tự ta có: P7 = 36 – 26 = 70332353920 P8 = 368 – 268 = 2612282842 880 Vậy, ta được: P = P6 + P7 + P8 = 2684 483063360 Ví dụ 3: Bài tập trắc nghiệm a) Nhãn ghế hội trường gồm hai phần: phần đầu chữ (trong bảng 24 chữ tiếng Việt), phần thứ hai số nguyên dương nhỏ 26 Hỏi có nhiều ghế ghi nhãn khác nhau? A 624 B 48 C 600 D 26 b) Biển số xe máy tỉnh A (nếu khơng kể mã số tỉnh) có kí tự, kí tự vị trí chữ (trong bảng 26 tiếng Anh), kí tự vị trí thứ hai chữ số thuộc tập {1;2; ;9} , kí tự bốn vị trí chữ số thuộc tập { 0;1;2; ;9} Hỏi dùng mã số tỉnh tỉnh A làm nhiều biển số xe máy khác nhau? A 2340000 B 234000 C 75 D 2600000 Bài giải a) Một nhãn gồm phần đầu chữ phần thứ hai �{1;2; ;25} �Có 24 cách chọn phần đầu, Có 25 cách chọn phần thứ hai Vậy theo qui tắc nhân ta có 24�25 = 600 cách Chọn đáp án C b) Giả sử biển số xe a1a2a3a4a5a6 Có 26 cách chọn a1 , có cách chọn a2 , có 10 cách chọn a3 , 10 cách chọn a4 , có 10 cách chọn a5 , 10 cách chọn a6 Vậy theo qui tắc nhân ta có 26�9�10�10�10�10 = 2340000 biển số xe Chọn đáp án A DẠNG TOÁN 2: Đếm số số hình thành từ tập A Phương pháp áp dụng a) Sử dụng quy tắc nhân để thực toán đếm số số gồm k chữ số hình thành từ tập A, ta thực theo bước: Bíc 1: Một số gồm k chữ số hình thành từ tập A có dạng: 1  k , với i  A, i = 1, k 1  Bíc 2: Đếm số cách chọn cho i, i = 1, k (không thiết phải theo thứ tự), giả sử ni Bíc 3: Khi đó, số số gồm k chữ số phân biệt hình thành từ tập A bằng: n1.n2…nk b) Sử dụng quy tắc cộng quy tắc nhân để thực tốn đếm số số hình thành từ tập A, ta thực theo bước: Bíc 1: Chia tập số cần đến thành tập H 1, H2, … độc lập với (khơng giao nhau) Bíc 2: Sử dụng quy tắc nhân đếm số phần tử tập H 1, H2, …, giả sử k1, k2, … Bíc 3: Khi đó, số số hình thành từ tập A bằng: k1 + k2 + Ví dụ 1: Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} a) Từ tập A lập số gồm có chữ số khác ? b) Từ tập A lập số gồm có chữ số khác chia hết cho ? c) Từ tập A lập số chẵn gồm có chữ số khác ? Bài giải Một số chữ số phân biệt ký hiệu:  = a1a a , với a1E , i = 1,9  aj, i  j a Ta có a1, a2, …, a9 phân biệt thứ tự chọn từ A, hốn vị phần tử Vậy, từ A lập được: P9 = 9! = 36280 số thoả mãn điều kiện đầu b Số  chia hết cho 5, đó:  a9 = 5, tức có cách chọn  a1, a2, …, a8 phân biệt thứ tự chọn từ A\{5} hốn vị phần tử, có P8 cách chọn Theo quy tắc nhân, số số gồm chữ số phân biệt chia hết cho hình thành từ tập A, bằng: 1.P8 = 40320 số c Số  số chẵn, đó:  a9  {2, 4, 6, 8}, tức có cách chọn  a1, a2, …, a8 phân biệt thứ tự chọn từ A\{a 9} hốn vị phần tử, có P8 cách chọn Theo quy tắc nhân, số số chẵn gồm chữ số phân biệt hình thành từ tập A, bằng: 4.P8 = 161280 số Ví dụ Có chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi khác lập từ số 0,1,2,4,5,6,8 Phân tích: Đối với toán đếm số số thỏa mãn điều kiện cho trước thường có hai cách làm: đếm trực tiếp đếm thông qua phần bù - Khi lấy ví dụ dạng GV nên yêu cầu HS giải hai cách sau so sánh ưu nhược điểm cách để học sinh vận dụng tập sau Bài giải: Gọi x  abcd; a,b,c,d � 0,1,2,4,5,6,8 Cách 1: Tính trực tiếp: Vì x số chẵn nên TH 1: d  0� có cách chọn Với cách chọn d Với cách chọn a,d Với cách chọn a,b,d ta có cách chọn Với cách chọn a� 1,2,4,5,6,8 \  d d, ta có b � 1,2,4,5,6,8 \  a cách chọn 1.6.5.4  120 c� 1,2,4,5,6,8 \  a,b số có cách chọn d a �0 nên ta có cách chọn Với cách chọn a,d Với cách chọn a,b,d ta có cách chọn ta có Suy trường hợp có Vậy có tất a � 1,2,4,5,6,8 ta có cách chọn d �0 � d � 2,4,6,8 � d Suy trường hợp có TH 2: d � 0,2,4,6,8 120  400  520 b � 1,2,4,5,6,8 \  a cách chọn 4.5.5.4  400 c� 1,2,4,5,6,8 \  a,b số số cần lập Cách 2: Tính gián tiếp ( đếm phần bù) Gọi A  { số số tự nhiên có bốn chữ số đơi khác lập từ số 0,1,2,4,5,6,8 } B  { số số tự số 0,1,2,4,5,6,8 } nhiên lẻ có bốn chữ số đôi khác lập từ C { số số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi khác lập từ số 0,1,2,4,5,6,8 } Ta có: C  A  B Ta tính B ? x  abcd số lẻ Dễ dàng tính được: � d � 1,5 � d A  6.6.5.4  720 có cách chọn 10 Số hạng chứa Từ tìm xm ứng m  np k p q với giá trị k thỏa: np  pk  qk  m Vậy hệ số số hạng chứa xm là: Cknank bk với giá trị k tìm Nếu k khơng ngun k  n khai triển khơng chứa xm , hệ số phải tìm Chú ý: Xác định hệ số số hạng chứa xm khai triển  P  x  a  bxp  cxq  n viết dạng a0  a1x   a2nx2n Ta làm sau: * Viết  P  x  a  bxp  cxq  n  �C knank  bxp  cxq  ; n k k * Viết số hạng tổng quát khai triển số hạng dạng  bx p  cxq  k thành đa thức theo luỹ thừa x * Từ số hạng tổng quát hai khai triển ta tính hệ số xm Ví dụ Tìm hệ số khơng chứa x khai triển sau (x3  )n , biết x C nn1  C nn  78 với x  Bài giải Ta có: � n Cnn1  Cnn2  78 � n! n!   78 (n  1)!1! (n  2)!2! n(n  1)  78 � n2  n  156  � n  12 12 � � 12 k (2)k x364k Khi đó: f(x)  �x3  �  �C12 x � � k Số hạng không chứa x ứng với k :36  4k  � k  9  112640 Số hạng không chứa x là: (2)9 C12 Nhận xét: Với dạng toán đa số HS trung bình làm tốt Tuy nhiên khai triển có tới ba số hạng nhiều em cịn lúng túng phép biến đổi.Trong dạy tùy vào đối tượng HS để nâng cao trường hợp có ba số hạng Ví dụ 2.Tìm hệ số cuả x8 khai triển đa thức f(x)  � 1 x2  1 x � � � Bài giải: Cách 1: � 1 x2  1 x �  C80  C18x2  1 x  C82x4  1 x  C38x6  1 x � �  C84x8  1 x  C85x10  1 x  C88x16  1 x Trong khai triển ta thấy bậc x số hạng đầu nhỏ 8, bậc x số hạng cuối lớn Do x8 có số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: C83.C23 , C84.C04 20 Vậy hệ số cuả khai triển đa thức x8 � 1 x2  1 x � � � là: a8  C83.C 32  C84.C04  238 Cách 2: Ta có: � 1 x2  1 x �  � � �C8nx2n  1 x n  n n n0 k �C8n �Ckn  1 k x2n k với �k �n �8 Số hạng chứa x8 ứng với 2n  k  � k   2n số chẵn Thử trực tiếp ta k  0;n  k  2,n  Vậy hệ số x8 C83.C32  C84.C40  238 Bài tập tương tự: Bài 1: Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển nhị thức Newton n �1 7� �  x �, �x � n 20 C12n1  C22n1   C2n    biết  210 Đáp số: hệ số chứa x26 là: C10 Bài 2: Tìm hệ số x5 khai triển đa thức của: x 1 2x  x2  1 3x 10 Đáp số: hệ số chứa x5 là: C 45  2  C10 33  3320 Bài tập trắc nghiệm: Bài Tìm số hạng khơng chứa A x khai triển B 24C62 �2 2� � x + � � � � � � x� C 22C62 - 24C64 D - 22C64 40 Bài Tìm số hạng chứa x31 khai triển � 1� � � x+ � � � � � x � A - C4037x31 B C4037 x31 C C402 x31 Bài Tìm hệ số x9 khai triển ( 1thỏa mãn A - C18 D C404 x31 2n 3x) , biết n số nguyên dương 14 + 3= Cn 3Cn n ( 3) B - C18 ( 3) x9 C C18 ( 3) D x9 Bài Tìm số tự nhiên n , biết hệ số số hạng thứ C18 khai triển � 1� � � x- � � � � � 3� A B 17 C Hướng dẫn: Bài 1: Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có k D 6 �2 2� 2� k k 6- k � � � � x + � = C x = C6k ( 2) x12- 3k � � ( ) � � � � � � � � � � � � x x k=0 k=0 Số hạng không chứa x ứng với 12- 3k = � k = 4 4 �� � số hạng cần tìm C6 = C6 Chọn A Bài 2: Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 21 theo số mũ giảm dần n x ( 3) 40 k 40 40 � 1� 1� k 40- k � k � � � x+ � = C x = C40 x40- 3k � � � � � � 40 � � � x � � � � � x k=0 k=0 Hệ số x31 ứng với Bài 3: Từ phương Với n= 9, ta có ( 1- 40- 3k = 31 � k = �� � số 14 � n = trình C + 3C = n �� n n ) 3x 2n ( = 1- ) 3x 18 18 ( k = �C18 k=0 hạng cần tìm ) k 18 ( k 3x = �C18 k=0 � hệ số cần tìm - C ( 3) Hệ số x ứng với k = �� Bài 4: Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 18 n 37 31 C40 x ) Chọn B k xk Chọn A n � 1� � 1� � n- � 1� � n- � 1� � � x- � = Cn0xn +Cn1 � - � x +Cn2 � - � x + +Cnn � - � � � � � � � � � � � � � � � 3� � 3� � 3� � 3� �� � số hạng thứ theo số mũ giảm dần x � 1� n- Cn2 � - � � � �x � � 3� Yêu cầu toán Do n�� nên � 1� n! �= � � Cn2 � - � = �� � n = � � � � 3� 2!( n- 2) ! ta chọn n= tha Chn C Dạng toán 3: Rỳt gn tính giá trị biểu thức Phương pháp áp dụng Sử dụng dạng khai triển Niutơn, kết hợp với việc:  Lựa chọn giá trị thực phù hợp  Các phép biến đổi đại số VÝ dơ 1: Tính giá trị biểu thức sau: a S = C6  C6  C6   C6 b T  C50  2C15  22 C52  23 C35  24 C54  25 C55 Giải a Ta có: (1 + x)6 = C06 + C16 x + C62 x2 + + C66 x6 (1) Thay x = vào (1), ta được: 26  C06  C16  C62  C36  C64  C56  C66  S = 26 = 64 b Ta có: (1 + x)5 = C50 + C15 x + C52 x2 + + C55 x5 (2) Thay x = vào (2), ta được: 35  C05  2C15  22 C52  23 C35  24 C54  25 C55  T = 35 = 243 Nhận xét: Như vậy, lời giải ví dụ trên: Trong câu a), sử dụng lại khai triển Newton dạng (1 + x)6 Tuy nhiên, sử dụng kết biết là: C0n + C1n + C2n + + Cnn = 2n k Trong câu b), tốn tử viết dạng tổng quát k C5 tương ứng với C5k xk, xuất phát khai triển (1 + x) thay x = Như vậy: k  Nếu toán tử biểu thức có dạng tổng quát Cn ak ta sử dụng khai triển dạng (1 + x)n thay x = a 22  Nếu toán tử biểu thức có dạng tổng quát (1)k Ckn ak ta sử dụng khai triển dạng (1  x)n thay x = a k  Nếu toán tử biểu thức có dạng tổng quát Cn an  k ta sử dụng khai triển dạng (x + 1)n thay x = a  Nếu toán tử biểu thức có dạng tổng quát (1)k Ckn an  k Giải phương trình: VÝ dơ 2: C x 1 x C x 2 x ta sử dụng khai triển dạng (x  1)n thay x = a C x 3 x   C xx 8  Cxx 9  Cxx 10  1023 Giải Điều kiện Với 10  x  N Biến đổi phương trình dạng: (*) C xx  C xx 1  C xx 2  Cxx 3   C xx 8  Cxx 9  C xx 10  1024  C0x  C1x  C2x  C3x   C8x  C9x  C10x  1024  2x = 1024  x = 10 Vậy, phương trình có nghiệm x = 10 Tính giá trị biểu thức sau: VÝ dô 3: n a S1 = 2n Cn + 2n-2 Cn + 2n-4 Cn + + Cn n b S2 = 2n-1 Cn + 2n-3 Cn + 2n-5 Cn + + Cn Giải Ta có: n (2 + 1)n = �Cn i n 1 i 0 n (2-1) = n  �Cn i n 1 = 3n i 0 n n �Cin 2n 1 (1)i  �Cn i0 i n 1 ( 1)i i 0 (1) = (2) Suy ra:  (1) + (2), ta được: n Cn n-2 C n n-4 C n + + Cnn 2n-1 Cn + 2n-3 Cn + 2n-5 Cn + + Cnn +2 +2 = 3n  (3) = 3n  (4)  (1)-(2), ta được: Bài tập: Bài 1: Rút gọn biểu thức: A = C12n  C32n   C2n2n 1 b B = C02n  C2n2   C2n2n Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau: 2000 k 2001 k 2001 S = C02002 C2001 2002 + C 2002 C 2001 + + C 2002 C 2002  k + + C 2002 C1 Hướng dẫn: 1 2n 1 2n (1  x) 2n  C02n  C12n x   C 2n  C 2n Bài 1: Ta có: 2n x 2n x 1 2n 1 2n (1  x) 2n  C02n  C12n x   C 2n  C2n 2n x 2n x 23 (1) (2) Thay x = vào (1) (2), ta được: 1 22n  C02n  C12n   C2n  C2n 2n 2n 2n 1 2n  C2n  C2n   C2n  C2n Trừ (1) cho (2) vế theo vế, ta được: 2n 1 2(C12n  C32n   C2n )  2n  A = 22n  Cộng (1) cho (2) vế theo vế, ta được: 2( C02n  C2n2   C2n2n ) = 22n  B = 22n  (3) (4) Bài 2: Ta xét k Ck2002 C2001 2002  k = = 2002! (2002  k)! k!.(2002  k)! (2001  k)! 2002.2001! k!.(2001  k)! = 2002! k!.(2001  k)! = 2002 Ck2001 Từ S viết lại dạng: 2001 S = 2002( C02001 + C12001 + + C2001 = 1001.22002 2001 ) = 2002(1 + 1) 1.2.4 Biến cố xác suất biến cố Mô tả biến cố Phương pháp áp dụng Yêu cầu chuyển thành đếm số phần tử tập hợp, từ mơ tả tập hợp phng phỏp lit kờ Dạng toán 1: Gieo mt súc sắc cân đối đồng chất a Mô tả không gian mẫu  b Xác định biến cố sau: A: "Số chấm mặt xuất số lẻ" B: "Xuất mặt có số chấm lớn 4" C: "Xuất mặt có số chấm chia hết cho 3" Giải a Không gian mẫu phép thử "Gieo súc sắc" tập hợp:  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b Với biến cố:  A: "Số chấm mặt xuất số lẻ" mô tả tập hợp: A = {1, 3, 5}    B: "Xuất mặt có số chấm lớn 4" mơ tả tập hợp: B = {5, 6}    C: "Xuất mặt có số chấm chia hết cho 3" mô tả tập hợp: A = {3, 6}   Nhận xét: Trên thực tế tốn liên quan tới xác suất dạng mơ tả không gian mẫu cách cụ thể Mà đa số tính số phần tử biến cố không gian mẫu VÝ dô 1: 24 Tớnh xỏc sut ca bin c Dạng toán 2: õy dạng toán phong phú Thực chất quy toán đếm số phần tử tập hợp Vì nắm phần quy tắc đếm, hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp toán đơn giản Phương pháp áp dụng - Sử dụng định nghĩa cổ điển xác suất - Các tính chất xác suất - Các quy tắc tính xác suất VÝ dơ 1: Một hộp đựng viên bi đỏ viên bi xanh Chọn ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để: a Chọn viên bi màu b Chọn viên bi khác màu Giải a Gọi:  A biến cố " Chọn viên bi đỏ"  B biến cố " Chọn viên bi xanh"  C biến cố " Chọn viên bi màu" Khi đó: C = AB biến cố A, B xung khắc với Ta có: P(A) = C 24 C92 = , 36 P(AB) = P(A) + b C52 10 P(B) = C2 = 36 , 10 16 P(B) = + = 36 36 36 = Biến cố "Chọn viên bi khác màu" P( C ) =  P(C) =  = C, từ suy ra: Nhận xét:  Trong lời giải có kết từ câu a) nên nhanh chóng nhận kết cho câu b)  Như vậy, toán yêu cầu thực câu b) lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Thực ví dụ Cách 2: Ta có:  Khơng gian mẫu  có số phần tử C9 = 36  Biến cố C mô tả tập hợp C có số phần tử 4.5 = 20 Khi đó: P(C) = | A | || = 20 36 = Ví dụ 2: Gọi A tập hợp số tự nhiên có chín chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A số chia hết cho 25 ... KIẾN Bản chất giải pháp Nêu phương pháp giúp GV q trình dạy lí thuyết tập chương tổ hợp xác suất Đối với phần lí thuyết nêu giải pháp cụ thể sử dụng trình giảng dạy chương tổ hợp xác suất Về phần... - Học sinh khối 11 bậc trung học phổ thông - Nội dung phần tổ hợp xác suất chương trình tốn THPT Phạm vi nghiên cứu - Chương II: “ Tổ hợp xác suất ” lớp 11 VI MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu số. .. tương ứng với chương, phân tích sai lầm mà HS hay gặp phải làm tập 1.1 Một số phương pháp dạy phần lí thuyết tổ hợp xác suất 1.1.1 Sử dụng dụng cụ trực quan Trong chủ đề Tổ hợp – Xác suất, đặc biệt