Các chuyên đề luyện thi THPT quốc gia môn toán nguyễn văn lực

PHẦN ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1.1 Sự đồng biến – nghịch biến hàm số Câu Cho hàm số y  (m  m) x  2mx  3x  Tìm m để hàm số đồng biến Tập xác định: D  Đạo hàm: y '  (m  m) x  4mx  Hàm số đồng biến  y '  x  m  m  Trường hợp 1: Xét m2  m    + Với m  , ta có y '   0, x  , suy m  thỏa + Với m  , ta có y '  x    x   , suy m  khơng thỏa m  , đó: m  Trường hợp 2: Xét m2  m    y '  x  3  m   '  m  3m       3  m  m  m  m   m  Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm 3  m  Câu Cho hàm số y  x  3mx  3(m2  1)x  2m  Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng 1;2  Tập xác định: D  Đạo hàm: y '  3x  6mx  3(m  1) Hàm số nghịch biến khoảng 1;2   y '  x  1;  Ta có  '  9m  9(m  1)   0, m Suy y ' ln có hai nghiệm phân biệt x1  m  1; x2  m  ( x1  x2 )  x1  m      1 m  x  m     Do đó: y '  x  1;   x1    x2   Vậy giá trị m cần tìm  m  Câu Xác định m để hàm số sau đồng biến khoảng (0; +∞): xm y x2  + TXĐ: D = R + y’ = mx  ( x  1) x  Hàm số ĐB (0; +∞) y’ ≥ x  (0; +∞) -mx + ≥ x  (0; +∞) (1) m = (1) m > : -mx + ≥ x ≤ 1/m Vậy (1) không thỏa mãn m < 0: -mx + ≥ x ≥ 1/m Khi (1) 1/m ≤ t/m Giá trị cần tìm là: m ≤ Câu Cho hàm số y  x  3x  mx  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng  0;   Tập xác định: D  Đạo hàm: y '  x  x  m Hàm số đồng biến khoảng  0;    y '  , x   0;    3x  x  m  , x   0;    x  x  m , x   0;   Xét hàm số f ( x) 3x (*) x , x   0;   , ta có: f '( x) 6x ; f '( x) x Bảng biến thiên: x f '( x ) f ( x) Từ BBT ta suy ra: (*) Vậy giá trị m cần tìm m m 3 (có dấu bằng) Câu Tìm m để hàm số ln nghịch biến: y   x3  (3  m) x  2mx  12 + Tập xác định: D  + Đạo hàm: y '  3x  2(3  m) x  2m + Để hàm số ln nghịch biến y '  x 3  a     '  9  m  6m  (3)(2m)   m  12m     3  m   3 Câu Cho hàm số y  định Tập xác định: D  Đạo hàm: y '  mx  7m  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng xác xm \ m m  7m   x  m Dấu y ' dấu biểu thức  m  m  Hàm số đồng biến khoảng xác định y '  , x  D (khơng có dấu bằng) m2  7m   Vậy giá trị m cần tìm m m Câu Tìm m để hàm số nghịch biến x : y  mx3  3x  3x  + Tập xác định: D  + Đạo hàm: y '  3mx  x  + Để hàm số ln nghịch biến x y '  x  3mx  x   x 1 + TH : m  (1)  6 x    x  3  x ( không thỏa x ) + TH : m  a  3m  m  m  (1)       m  1   9  9m  9m  9 m  1 + Vậy m  1 hàm số thỏa đề 1.2 Cực trị hàm số Câu Tìm cực trị của hàm số y  x  x  x  Cách * Tập xác định:R  x  1 x  Ta có: y '  x  x  2; y '    * Bảng biến thiên: x   y’ y –1 + – + Vậy hàm số đạt cực đại x = -1 giá trị cực đại yCĐ  y  1  Hàm số đạt cực tiểu x = giá trị cực tiểu yCT  y    19 4 Cách * Tập xác định:  x  1 x  Ta có: y '  x  x  2; y '    * y ''  x  1, y ''  1  3  nên hàm số đạt cực đại điểm x = -1 giá trị cực đại 19 * y ''     nên hàm số đạt cực tiểu x = giá trị cực tiểu yCĐ  y  1  Câu Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số y  x3  3x  Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số y  x3  3x  * Tập xác định: x  y '  3x  x, y '    x  Bảng xét dấu đạo hàm x Từ bảng y  +  - + xét đấu đạo hàm ta có Hàm sớ đạt cực đại tại x  và giá trị cực đại y  ; đạt cực tiểu tại x  và giá trị cực tiểu y  Vậy điểm cực đại đồ thị hàm số M  0;  , điểm cực tiểu đồ thị hàm số N  2;  Câu Tìm điểm cực trị hàm số y  x  x  TXĐ: D  y '  x -8x  x ( x -1) x  D x  y'     x  1 Bảng xét dấu y’: x y’ - + - -1 0 + - + Kết luận: Hàm số đạt cực đại x = ycd  y (0)  1 Hàm số đạt cực tiểu x = ± yct  y ( 1)  3 Câu Cho hàm số y  x3  3mx   m2  1 x  2, m tham số Tìm tất giá trị m để hàm số cho đạt cực tiểu x  Ta có: y '  3x  6mx  m  1; y ''  x  6m  y '(2)   y ''(2)  Hàm số cho đạt cực tiểu x    m2  12m  11   m 1  12  6m  Vậy với m = thỏa mãn u cầu tốn Câu 23 Cho hàm số y  x3  3mx  3(m2  1) x  m3  m (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O Ta có y  3x  6mx  3(m2  1) Hàm số (1) có cực trị PT y  có nghiệm phân biệt  x2  2mx  m2   có nhiệm phân biệt     0, m Khi đó, điểm cực đại A(m  1;2  2m) điểm cực tiểu B(m  1; 2  2m)  m  3  2 Ta có OA  2OB  m2  6m      m  3  2 y Câu Tìm m để hàm số y Tìm m để hàm số m  x  1   m   x đạt cực tiểu điểm x = m  x  1   m   x đạt cực tiểu điểm x = y '  m  x  1  m  Điều kiện cần y ' 1   m  Thử lại m = : y '   x  1 đổi dấu từ âm sang dương qua x = Vậy nhận m = Câu Tìm m để hàm số: y  x3   m2  m   x   3m  1 x  m  đạt cực tiểu x  2 y  x   x   m  m   x  3m   y  x   x   m  m   Để hàm số đạt cực tiểu x   m  4m    y  2    m  1 m  3     m3        y   m m   m  m       2 Câu Cho hàm số y  x  3(m  1) x  x  m , với m tham số thực Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x2 cho x1  x2  x x 2 Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x2 cho Ta có: y'  3x  6(m  1) x  Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 , x  Phương trình y '  có hai nghiệm pb x1 , x  Pt x  2(m  1) x   có hai nghiệm phân biệt x1 , x   '  (m  1)    m  1   (1)  m  1  Với ĐK (1), theo định lý Viet ta có: x1  x2  2(m  1); x1 x2  x1  x2    x1  x2   x1 x2    m  1  12   (m  1)   m  3  m  (2)  m  3  Từ (1) (2) ta được:  m  TMYCBT Câu Cho hàm số: y  x3  3(m  1) x  x  m , với m tham số thực.Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x2 cho x1  x2   Ta có y '  3x  6(m  1) x   Hàm số có cực đại, cực tiểu x1, x2  PT y’ = có hai nghiệm phân biệt x1, x2  x  2(m  1) x   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2   '  (m  1)    m  1   m  1  (1) Theo đề ta có: x1  x2    x1  x2   x1x2  (*) Theo định lý Viet ta có: x1  x2  2(m  1); x1 x2  (*)   m  1  12   (m  1)2   3  m  (2) Từ (1) (2) suy giá trị m cần tìm là: 3  m  1  1   m  Câu 10 m để hàm số f  x   mx3   m  1 x   m   x  đạt cực trị x1, x2 thỏa 3 mãn x1  x2  Hàm số có CĐ, CT  f   x   mx   m  1 x  3 m    có nghiệm phân biệt  m  0m 1  3m m  2     m    (*) 2 Với điều kiện (*) f   x   có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm số f (x) đạt cực trị     x1, x2 Theo định lý Viet ta có: x1  x2  m  ; x1 x2  m  m m     Ta có: x1  x2   x2   m    m ; x1  m    m  3m  m m m m m m      m  3m   m     m  3m    3m  m     m  m m m  Cả giá trị thỏa mãn điều kiện (*) Vậy x1  x2   m   m  2 Câu 11 Cho hàm số: y  x  2(m  1) x  (1) Tìm giá trị tham số m để hàm số (1) có điểm cực trị thỏa mãn giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn y’ = 4x3 – 4(m2+1)x x  y’ =    x   m   hàm số (1) ln có điểm cực trị với m xCT   m2   giá trị cực tiểu yCT  (m2  1)2  Vì (m  1)   yCT  max( yCT )   m2    m  Câu 12 Cho hàm số y   x  3mx  (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị A, B cho tam giác OAB vuông O ( với O gốc tọa độ ) y '  3x  3m  3  x  m  y '   x  m   * Đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị  PT (*) có nghiệm phân biệt  m  **   Khi điểm cực trị A  m ;1  2m m , B  m ;1  2m m  Tam giác OAB vuông O  OA.OB   4m3  m    m  Vậy m  ( TM (**) ) 2 Câu 13 Cho hàm số f ( x)  x4  2(m  2) x2  m2  5m  (Cm) Tìm m để (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân Hàm số có CĐ, CT m < Toạ độ điểm cực trị là: A(0; m  5m  5), B(  m ;1  m), C (  m ;1  m) Tam giác ABC cân A  ABC vuông A m = Câu 14 Cho hàm số y 2x 3x 1 Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d : y 2x với đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc d với hai điểm cực trị đồ thị (C) tạo thành tam giác vuông M Xét phương trình hồnh độ giao điểm d : y  x  đồ thị (C) là: x  x   x   x  x  x  (*) Giải phương trình (*) ta ba nghiệm phân biệt x  0, x  2, x     2  Vậy d cắt (C) ba điểm phân biệt A(0;1), B(2;5),C   ;   M  d : y  2x   M (t;2t  1) , tọa độ điểm cực trị (C) D(0;1),T (1; 0) M với hai điểm cực trị đồ thị (C) tạo thành tam giác vuông M  DM TM  0(**) , mặt khác ta có DM  (t;2t ),TM  (t  1;2t  1)  (**)  5t  t   t  t   t   M (0;1)  D (loại); t    3  M  ;   5 Câu 15 Cho hàm số y  x  2m2 x   Cm  (1) Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác vng cân x  Ta có: y '  x3  4m x  x  x  m      m  (*) x  m  Với điều kiện (*) hàm số (1) có ba điểm cực trị Gọi ba điểm cực trị là: A  0;1 ; B  m;1  m  ; C  m;1  m  Do ba điểm cực trị tạo thành tam giác vng cân, đỉnh A Do tính chất hàm số trùng phương, tam giác ABC tam giác cân rồi, để thỏa mãn điều kiện tam giác vng, AB vng góc với AC  AB   m; m4  ; AC   m; m  ; BC   2m;0  Tam giác ABC vuông khi: BC  AB  AC  4m  m  m8   m  m8   2m2  m4  1  0;  m4   m  1 Vậy với m = -1 m = thỏa mãn yêu cầu toán Câu 16 Cho hàm số y  x4  2m2 x2  (1).Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C diện tích tam giác ABC 32 (đơn vị diện tích) x  +) Ta có y’ = 4x3 – 4m2x ; y’ =   ; ĐK có điểm cực trị: m  x  m  +) Tọa độ ba điểm cực trị: A(0 ; 1), B(- m ; – m4), C(m ; – m4) ; +) CM tam giác ABC cân đỉnh A Tọa độ trung điểm I BC I(0 ; – m4) +) S ABC  AI BC  m4 m  m  32  m  2 (tm) Câu 17 Cho hàm số y  x  2mx  m  (1), với m tham số thực Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp x  y '  x3  4mx  x  x  m     x  m Hàm số cho có ba điểm cực trị  pt y '  có ba nghiệm phân biệt y ' đổi dấu x qua nghiệm  m   Khi ba điểm cực trị đồ thị hàm số là: Câu Cho x, y, z ba số dương có tổng Tìm giá trị lớn biểu thức sau: P   x   y   z + Áp dụng BĐT AM-GM, ta có 1  x   3   3x 1 x  + Tương tự, ta thu 1  x   1  y   1  z   3x  y  3z    2 6 + Suy P  + Dấu xảy x  y  z  Câu Cho x, y số thực dương thỏa mãn xy  x  y  Tìm giá trị lớn y biểu thức x -8 -6 -4 -2 -5 Đặt t  x  y  xy   t ; x  y   x  y   xy  t    t   t  2t  x y Ta có xy     3t  t  t    Suy P   x2  y    x  y  xy  x  y  Xét hàm số f  t   t  t  Ta có f '  t   2t    xy 12   x  y   t  t   x y t 12  với t  t 2  0, t  Suy hàm số f  t  nghịch biến với t  t2  P  f t   f  2  Vậy giá trị lớn P x  y  Câu Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn abc = Tìm giá trị lớn biểu 1   2 a  2b  b  2c  c  2a  1 1   có a2+b2  2ab, b2 +  2b  a  2b  a  b  b   2 ab  b  1 1 1  ,  Tương tự 2 2 b  2c  bc  c  c  2a  ca  a  thức Ta P P 1 1 1 ab b  1           ab  b  bc  c  ca  a    ab  b  b   ab  ab  b  P a = b = c = Vậy P đạt giá trị lớn Câu Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: a = b = c = yz zx xy    Tìm giá trị lớn x y z 1   1 x 1 y 1 z yz zx xy Ta có : a, b, c > vµ a  b2  c  Ta có: ,b  ,c  x y z biểu thức: A  Đặt a  A 1 bc ca ab Ta có:    3    bc  ca  ab  bc  ca  ab b  c  b  c c2    b2      b2  c2 b2  a  c2  a 2  b2  a c  a  1 ca  c2 a2  ab  a2 b2  Tương tự có:        vµ   ca  c  b a  b   ab  a  c b  c  bc   bc Từ đó: A    Dấu xảy x = y = z =1/3 2 Câu Cho a, b, c số thực dương a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  abc 3  ab  bc  ca 1  a 1  b 1  c  Áp dụng Bất đẳng thức: ( x  y  z )  3( xy  yz  zx) , x, y , z   ta có: (ab  bc  ca)  3abc(a  b  c)  9abc   ab  bc  ca  abc Ta có: (1  a)(1  b)(1  c)  (1  abc )3 , a, b, c  Thật vậy: 1  a 1  b 1  c    (a  b  c)  (ab  bc  ca)  abc   3 abc  3 (abc)2  abc  (1  abc )3 Khi đó: P  abc  Q (1) 3(1  abc )  abc  abc   1   Đặt abc  t ; a, b, c > nên  abc   2t  t  1  t  1 t2  , t   0;1  Q(t )   0, t   0;1 Xét hàm số Q  2 3(1  t )  t  t  t    Do hàm số đồng biến  0;1  Q  Q  t   Q 1  Vậy maxP = 1 (2) Từ (1) (2): P  6 , đạt và chi : a  b  c  Câu Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a2009 + b2009 + c2009 = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = a4 + b4 + c4 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2005 số số a2009 ta có:     a 2009  a 2009  a 2009  a 2009  2009.2009 a 2009 a 2009 a 2009 a 2009  2009.a (1) 2005 Tương tự:     b 2009  b 2009  b2009  b2009  2009.2009 b2009 b2009 b2009 b2009  2009.b4 (2) 2005     c 2009  c 2009  c 2009  c 2009  2009.2009 c 2009 c 2009 c 2009 c 2009  2009.c (3) 2005 Từ (1), (2), (3) ta được: 6015  4(a2009  b2009  c2009 )  2009(a4  b4  c4 )  6027  2009(a4  b4  c4 ) Từ suy P  a4  b4  c4  Mặt khác a = b = c = P = nên giá trị lớn P = Câu Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn 5(x x Tìm giá trị lớn biểu thức P y z (x y2 z2) 9(xy 2yz y z )3 Theo giả thiết ta có 5(x  y  z )  9(xy  2yz  zx )  5(x  y  z )2  9(xy  2yz  zx )  10(xy  yz  zx )  5(x  y  z )2  19x (y  z )  28yz  19x (y  z )  7(y  z )2  x  19x x  5  1  7    x  2(y  z ) y z y  z  y z Mặt khác ta có (y  z )2  2(y  z )  y  z  (y  z )2 2(y  z ) Vì P     y  z 27(y  z )3 2(y  z )  y  z (y  z )2   (6t  1)2 (2t  1)  16  16 Đặt t  y  z   P     t 27t 27t   x  2(y  z )  x  Vậy P  16 ; dấu đạt y  z   y  z  1 y  z   12  zx ) x  y 1  xy  x  y Tìm giá trị xy 3x 3y 1 lớn biểu thức: M     2 2 y ( x  1) x( y  1) x  y x y Từ giả thiết ta suy ln( x  y  1)  3( x  y  1)  ln(3xy )  3.3xy Xét hàm số g (t )  ln t  3t Câu 10 Cho số thực dương x, y thỏa mãn  ln t (0; ) , ta có g '(t )    với t  , suy g (t ) đồng biến (0; ) , từ g ( x  y  1)  g (3 xy )  x  y   xy (*) Theo (*) ta có 3xy   x  y  xy Đặt t  xy  3t  t    t  3x 3y 3x ( y  1)  y ( x  1) 36t  27t     y ( x  1) x( y  1) xy ( xy  x  y  1) 4t (2) 1 x2  y (3t  1)  2t 36t  32t        (3) x2 y x2 y t2 4t  Theo Cô si 5t  1 1    (4) Từ (2), (3), (4) ta có M  4t 2 x  y xy Xét hàm số f (t )  5t  [1;+) , ta có 4t 5.4t  (5t  1)8t  5t   0t  , suy f (t ) nghịch biến [1;+) , 16t 4t 3  max f (t )  f (1)   t   x  y  [1;  ) f '(t )  M max Câu 11 Cho ba số thực không âm x, y, z Tìm giá trị lớn biểu thức P x y z (x y ) (x 2z )(y 2z ) (y z ) (y 2x )(z 2x ) Với mo ̣i số thực không âm x, y, z Ta có: (x  2z )(y  2z )  x  y  4z x  y  4z  (x  y ) (x  2z )(y  2z )  (x  y ) 2 x  y  4z x  y  2xy  4yz  4zx   2(x  y  z )(1) 2 Vì 2xy  x  y 2; 4yz  2(y  z ); 4zx  2(z  x ) Mặt khác ta có: (x  y) y  z  4x  2(x  y  z ) (2) 4   2 2 2 x  y  z  2(x  y  z ) 2(x  y  z ) Tương tự ta có (y  z ) (y  2x )(z  2x )  (y  z ) Từ (1) và (2) ta suy P  Hay P  x  y2  z  Khi đó P   Đă ̣t t  x  y  z  , t  2 2(x  y  z ) 9 Xét hàm số f (t )   ,t 2  t 2t  t 2t  4 9t (4  t )(4t  7t  4t  16) ; f '(t )   t  f '(t )     (t  4)2 t t (t  4)2 (do t > nên 4t  7t  4t  16  4(t  4)  t(7t  4)  Lâ ̣p bảng biế n thiên của hàm số f(t) Dựa vào bảng biế n thiên ta có MaxP  x  y  z  Câu 12 Cho x  y  thỏa điều kiện x  y  Tìm giá trị lớn biểu xy  thức P  xy  x y Ta có  xy    1   Đặt t  xy , điều kiện  t  Pt t (t  2)   P/  1 t 1 t  1 (t  1) x P/ 0 + P Vậy GTLN P  Khi x  1; y  Câu 13 Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: xy   y Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x y x  xy  y  2y  x 6( x  y ) x y 1 1  1  Do x  0, y  0, xy  y  nên           y y y y  y 2 x t 1 t 2 t 1 1 Đặt t    t  Khi P      y t  t  6t  t  t  2(t  1)  3t Ta có P '(t )  t  t  3  2(t  1) Vì  t   t  t   t (t  1)   3;7  3t  6; t   ,  3t t  t  3   3t 1 1  ;    P '(t )   0 2 3 2(t  1) Vậy P (t ) đồng biến  0;  , suy P(t )  P      4   30 7 Khi x  ; y  ta có P    MaxP    x  ; y  2 30 30 Câu 14 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn 8(a2 +b2+c2)=3(a+b+c)2 Tìm giá trị lớn biểu thức P = a(1 – a3) + b(1 – b3) + c +) Từ giả thiết ta có: 5c2 – (a+b)c + (a+b)2   ( a  b)  c  a  b +) Ta có a  b4  (a  b)4 a, b => P  2(a  b)  (a  b) t4 +) Xét f (t )  2t  +) BBT:… t t3 (t  0), f '(t )   ; f '(t )   t  + f’(t) + f(t) - 33  33 a  b   +) MaxP =  c  Câu 15 Cho số thực không âm x, y, z thoả x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị lớn biểu thức M = xy + yz + zx + Đặt t= x+y+z ĐK t > t2   xy+yz+zx = 2 x  y2 x2  z z2  y2 ;0  xz  ;0  zy  Ta có  xy  2 x yz Suy  xy  yz  zx  x  y  z t2  3  3t 3 t2   Ta có M= t t2   Xét hàm số f(t) = với t t3  f’(t) = >0 ;  t  t f( )= 5/ ; f(3)=14/3  0 3t 3 Vậy Max f(t) = 14/3 với  t  Dấu “=” xảy x=y=z=1 Vậy Max A = 14/3 x=y=z =1 Câu 16 Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn: 2   (x  y)(x  z) 3x  2y  z  3x  2z  y  2(x  3)2  y  z  16 Tìm giá trị lớn biểu thức: P   2x  y  z (x  y  x  z)2 (2x  y  z)2  Ta có: (x  y)(x  z)  4   1 2    3x  2y  z  3x  2z  y   3(2x  y  z)  (2x  y  z)2  Từ giả thiết suy ra: 3(2x  y  z)  Đặt 2x  y  z  t (t  0)  t2   (t  2)(3t  8t  16)  3t   t   2x  y  z  2 Mà:  (2x  y  z)2  (22  12  12 )(x  y  z )  x  y  z   2x  y  z  12x  12x  Ta có: P   1 2 2 2x  y  z x  x2  y2  z2  1 12x  36x   1 2 3x  x2  Xét hàm số: f(x)   36x  với x  3x   x  1 (loaïi) 36(3x  x  2)  , f '(x)    Ta có: f '(x)  2 2 x  f    10 (3x  2)  3 Bảng biến thiên: x  y  ' 10 y  Suy ra: f(x)  10  P  10 3 Vậy giá trị lớn P 10 Dấu “=” xảy khi: x  ,y  z   Câu 17 Cho x, y, z số thực thuộc đoạn 0;1 Tìm giá trị lớn biểu thức P  2( x3  y3  z3 )  ( x2 y  y z  z x) Đặt f ( x)  x3  yx  z x  2( y3  z )  y z Ta có: 6 xét: x1   0;1 , lập bảng biến thiên ta thấy x2   0;1 hay x2   0;1 f ' ( x)  x  yx  z ; f ' ( x)   x  x1  ( y  y  z ); x  x2  ( y  y  z ) Nhận Max f ( x)  Max  f (0); f (1) x0;1 Mà f (0)  2( y  z )  y z  2( y  z )  y z  (2  y  z )  f (1) (1)  f ( x)  f (1)  y3  zy -y  z  z  Lại đặt g ( y)  y3  zy - y  z  z  , 6 g ' ( y)  y  zy  1; g ' ( y)   y  y1  ( z  z  6); y  y2  ( z  z  6) Nhận xét tương tự suy Max g ( y)  Max  g (0); g (1) y 0;1 Lại có g (0)  z   z  z   z  (1  z)  g (1) Suy g ( y)  g (1)  z3   z  (1  z)  z  z  z  Cuối đặt h( z )  z  z  z  với z   0;1 , h' ( z )  z  z  h' ( z )   z1  (2) 1 1 Lập bảng biến thiên suy ra: Max h( z)  h(1)  (3) ; z2  z0;1 6 Dấu xảy (1), (2), (3) x = y = z = Vậy giá trị lớn P đạt x = y = z = 11.3 Tìm GTNN, GTLN biểu thức Câu Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số f ( x)  5x  8x  32  3x  24 x  3x  12 x  16 Ta có TXĐ: D  [0;8] Đặt : g ( x)  5x2  8x  32, h( x)  3x 12 x  16 Ta dễ dàng xác định x  [0;8] ,  g (2)  g ( x)  g (8)  12 2,  h(2)  h( x)  h(8)  x  3x  24 x  ( 3x  24 x    ) x  8( x  2)2 Do f ( x)   3x  12 x  16   h( x)   x  [0;8] 2 x  x  32  3x  24 x Đẳng thức xảy x =  f ( x)  x= Ta có f ( x)  5x2  8x  32  3x  24 x  3x  12 x  16  g ( x)  h( x)  12   x [0;8] Đẳng thức xảy x =  max f ( x)  12  x= Vậy f ( x)  x= max f ( x)  12  x= Câu Cho x, y số thực thỏa mãn GTNN biểu thức P  x  y  3x y x2  y   x2  y   3x y   x  y Tìm GTLN  x  y    x  y     x  3x y 2 * Mà  x2  3x2 y    x2  y    x2  y2    ; * Từ giả thiết ta có: * Đặt t  x2  y  t  3t     t  *Ta P x  y  3x y x2  y    Xét hàm số   x  y  x  3x y x2  y  f (t )  t2  t  t 1   x2  y    x2  y2    t  t  , t 1;2 t 1 x2  y   x   f (t )  f (1)   P  1,   1;2   y  1   , t  1;2   4  x   m ax f (t )  f (2)    m ax P  ,   1;2    y    Câu 3: Cho x,y số thực thỏa mãn x +16y4 +  2xy+1 =2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau : P=x  x +3 +2y  4y +3 2 2 Theo đề : 1   x   2y    1  2xy   x   2y    2xy   x  2y    2xy   x  2y   x  2y   1   x  2y   ( từ (1)   x  16y  16x y  xy    2xy  ) 2 : P  f  t   t   t  1 t  3t  2t  6t : t  3  1 MaxP  Maxf (t)  f 1  (t  1khi  x, y    0,  hay  x, y   1,  )  2 Đặt t = x+2y : 2xy = t -1 : t  1  MinP  Minf (t)  f  1  4 (t  1khi  x, y    0,   hay  x, y    1,  ) 2  Câu Cho ba số thực x, y, z thoả mãn: x2  y  z  x  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức T  2( x  z )  y x  y  z  x  y    x  1   y    z  2 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Xét mặt cầu: 2  S  :  x  1   y    z  Có tâm I 1; 2;0  ,bán kính R  Xét mp   : x  y  z  T  G/s M  x; y; z  Từ 1 có điểm M nằm bên  S  kể mặt cầu  S   d  I ,     R  T   2  T  10  Với T  2 M giao điểm mp    : x  y  z   Và đường thẳng  qua I      x   2t   :  y  2  t  z  2t   4  M  ; ;   3 3 Với T  10 Tương tự M  ;  ;  3 3 Vậy T  2   x    y  z    max T  10  x    y     z   11.4 Chứng minh bất đẳng thức Câu Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: a  b2  c2  1 1      2 4b 4c 4a ab bc ca Ta có:  a2   b2   c2  VT              4b 4b   4c 4c   4a 4a  a b c 1 a b c   2 2   2 2 2 2b 2c 2a 2b c a  a b Mặt khác:   ;   ; b a b c2 b c a b Cộng theo vế BĐT ta được:   b c c   a2 c a c 1    a2 a b c Suy ra:  1   1   1   1   VT                    a b c   a b   b c   c a   1 4  1         VP  a  b b  c c  a a  b b  c c  a Đẳng thức xảy khi: a  b  c  Câu Cho a  , b  , c  Chứng minh a2   b2 b2   c2 c2   a2  1  1  1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn u  a;  , v  b;  , w  c;   b  c  a Từ bất đẳng thức u  v  w  u  v  w suy 1 a   b2   c   b c a a  b  c  1 1     a b c  111 1 1  abc   a  b  c      abc a b c     3 2 Dấu xảy a  b  c  2 Câu Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  Chứng minh rằng: 1 1    2  a (b  c)  b (c  a )  c (a  b) abc Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có:  ab  bc  ca  3 (abc)2  abc  Suy ra:  a (b  c)  abc  a (b  c)  a(ab  bc  ca)  3a  Tương tự ta có: 1  (1)  a (b  c) 3a 1 1  (2),  (3)  b (c  a) 3b  c (a  b) 3c Cộng (1), (2) (3) theo vế với vế ta có: ab  bc  ca 1 1 1 1    (   )  2  a (b  c)  b (c  a)  c (a  b) c b c 3abc abc Dấu “=” xảy abc  1, ab  bc  ca   a  b  c  1, (a, b, c  0) Câu Cho x, y, z ba số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = Chứng minh với a  ta ln có : 1 x y z  y  z  x y z x a a a a a a * Vì a = ta thấy BĐT * Ta xét a > t Hàm số y= y  1    nghịch biến với t  R , a > at  a  Khi ta có Ta có : ( x  y )( 1 x y x y  y )  0, x, y  R Suy x  y  y  x (1) x a a a a a a Chứng minh tương tự y z z y  z  y  z (2) y a a a a Cộng vế với vế (1) ,(2) vµ (3) ta 2( Cộng vế (4) với biểu thức 3( z x x z  x  z  x (3) z a a a a x y z yz zx x y  y  z )  x  y  z (4) x a a a a a a x y z  y  z ta x a a a x y z x yz x yz x yz 1  y  z)    ( x  y  z )( x  y  z ) x x y z a a a a a a a a a Suy 1 x y z  y  z  x  y  z ( x + y + z = ) x a a a a a a Đẳng thức xảy x = y = z = (đpcm) Câu Cho a,b,c là các số dương thỏa mañ a + b + c = Chứng minh rằng: *Biến đổi a b b c c a   3 ab  c bc  a ca  b a b 1c 1c   ab  c ab   b  a (1  a )(1  b ) *Từ VT  1c 1b 1a   (1  a )(1  b ) (1  c )(1  a ) (1  c )(1  b ) Do a,b,c dương a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương *áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta 1c 1b 1a =3 (đpcm) (1  a )(1  b ) (1  c )(1  a ) (1  c )(1  b ) VT  3 Đẳng thức xảy a  b  c  Câu Cho số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3xyz xy yz zx    2 2 2 x y x zy z y z y xz x z x z yx y 1 Ta có : xy + yz + zx = 3xyz     x y z 1 1  (  ) ;x2 + y2 ≥ 2xy Với x >0; y > 0; z > ta có x3 + y3 ≥ xy(x + y) ; x y x y Chứng minh : 3  xy xy xy  1      2 2 x  y  x z  y z xy(x  y)  (x  y )z  xy(x  y) (x  y )z  3  xy 1 xy     2 x  y  x z  y z  (x  y) (x  y )z  1  1    1            (1)   x y  2z  16  x y  8z  3 Chứng minh tương tự : yz 1 1 (2)     2 y  z  y x  z x 16  y z  8x zx 1 1     (3) 3 2 z  x  z y  x y 16  z x  8y 3 Công (1) ; (2); (3) theo vế ta đpcm Đẳng thức xảy x = y = z = 1 1      (x  y) 2z  Câu Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: a a 2a b c      3a  b 3a  c 2a  b  c 3a  c 3a  b +) Vì a, b, c cạnh tam giác nên ta có: a  b  c; b  c  a; c  a  b +) Đặt x  VT = ab ca ;y ; z  a ( x, y, z  0) Ta có: x  y  z; y  z  x; z  x  y 2 ac ab 2a 2x 2y 2z x y z         3a  b 3a  c 2a  b  c y  z z  x x  y y  z z  x x  y 2z z  x yz x y x 2x y 2y  (2);  (3) yz x yz zx x yz Lại có: x  y  z  z ( x  y  z )  2z( x  y )  CM tương tự ta có: Từ (1),(2) (3) ta có x y z 2x  y  2z    2 yz zx x y x yz (1)  (đpcm) Câu Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:   a b c 2a 3b c    a  b  c 1 a b c  Bất đẳng thức tương đương với   a  2a   b  3b   c  c  a b c  6 a b c         a  b  c  a b c        a    b    c  1  a  b  c    a   b   c  1 a  b  c   a  2  b  3  c  1  a  b  c  6  2 a 2 2 b3 2 c 1 2  a b c  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có                 a 2  b   c 1    a  b  c   VP VT   a b c  a 2  b   c 1  Dấu xảy a  2;b  3;c  Vậy bất đẳng thức (2) Do bất đẳng thức (1) chứng minh Câu Cho a, b, c ba số thuộc đoạn [0; 1] Chứng minh: a b c    (1  a )(1  b)(1  c)  b  c 1 a  c 1 a  b 1 Do vai trò a, b, c nên giả sử a  b  c, đó: Đặt S = a + b + c + => b + c +1 = S – a  S – c a + c +  S – c; a+b+1  S-c Ta có ( – a)(1 – b) ( +a +b)  (*) ( –a – b + ab) ( +a +b ) –  - a2 – b2 – ab + a2b + ab2  b( a + b)( a – 1) – a2  a, b  [0; 1] Vậy (*) Mà (*) ( – a)(1 – b) ( S - c)  ( – a)(1 – b)  S c 1 – a 1 – b  (1  c)  Do đó: a b c    (1  a)(1  b)(1  c) b  c 1 a  c 1 a  b 1 a b c 1 c S  c đpcm      1 S c S c S c S c S c 1 c S c ... x3  3x  (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thi (C) giao điểm (C) với đường thẳng d: y   x  biết tọa độ tiếp điểm có hồnh độ dương Hồnh độ giao điểm (C) d nghiệm phương trình:  x  x ... giả thi? ??t: S =  x2  x1  4;   '  4;  m2  m    m2  m   Kết luận: với m thỏa mãn: m  2  m   m  (chọn) 1.6 Tương giao đồ thị Câu Cho hàm số y  x3  x  x  a) Khảo sát biến thi? ?n... Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (D) : 2x   x   x2 – 2x = x 1  x = hay x = suy y = -1 hay y = Câu 10 Tìm tọa độ giao điểm đường cong (C): y  y  x2 Phương trình hồnh độ giao điểm: Điều kiện: