Tập hợp biểu diễn số phức trần văn toàn

Mục lục Chương Số phức 1.1 Tập hợp biểu diễn số phức 1.2 Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn 1.3 Bài tập 2 28 28 Chương Tiếp tuyến 2.1 Hàm phân thức 2.2 Hàm bậc ba 31 31 36 Chương Số phức 1.1 Tập hợp biểu diễn số phức Tính chất 1.1 Cho hai số phức z z1 Gọi M điểm biểu diễn cho số phức z, A điểm biểu diễn cho số phức z1 Đại lượng | z − z1 | độ dài đoạn thẳng AM Chứng minh Gọi M ( x, y), A ( x1 , y1 ) Ta có | z − z1 | = ( x − x1 )2 + ( y − y1 )2 Tính chất 1.2 Cho số phức z1 = a + bi, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả | z − z1 | = R đường tròn tâm I (a; b), bán kính R Chứng minh Gọi M ( x, y) Từ giả thiết ta có ( x − a)2 + ( y − b)2 = R Ví dụ 1.1 Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thoả | z + − i | = đường trịn tâm (−2, 1) bán kính R = Ví dụ 1.2 Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thoả | z + i | = đường tròn tâm (0, −1) bán kính R = 1.1 Tập hợp biểu diễn số phức Ví dụ 1.3 Cho số phức z thoả | z + + i | = Tính giá trị biểu thức E = | z + − i |2 + | z + + i | + | z − i |2 + | z − + i | y D A x O T C B Lời giải Gọi M điểm biểu diễn cho số phức z, M thuộc đường trịn tâm T (−3, −1), bán kính R = Xét điểm A (−7, 2), B(−6, −5), C (1, −4), D (0, 3) Ta có E = AM + BM + CM + DM Để ý rằng, ABCD hình vng có đỉnh thuộc đường tròn, nên E = AM + BM + CM + DM = 8R = 200 ♦ Lời bình Cho đa giác A A A n nội tiếp đường trịn (C ) có tâm O , bán kính R Với M điểm tuỳ ý mặt phẳng chứa đường trịn, ta có A M + A M + · · · + A n M = n(R + OM ) ♣ Chương Số phức Ví dụ 1.4 Cho số phức z thoả | z + − i | = Tính giá trị biểu thức E = | z + 12 + i |2 + | z + 10 − i |2 + | z − − i |2 + | z − + i |2 y B C T −12 −10 −4 O −5 A −7 D Lời giải Gọi M điểm biểu diễn cho số phức z, M thuộc đường trịn (C ) có tâm T (−4, 1), bán kính R = x 1.1 Tập hợp biểu diễn số phức Xét điểm A (−12, −5), B(−10, 9), C (4, 7), C (2, −7) Ta có E = AM + BM + CM + DM Để ý rằng, ABCD hình vng ngoại tiếp đường trịn (C ), nên E = AM + BM + CM + DM = AB2 = 600 ♦ Tính chất 1.3 Cho số phức z, z1 , z2 thoả | z − z1 | = R Tập hợp biểu diễn số phức w = z + z2 đường trịn có tâm điểm biểu diễn cho số phức z1 + z2 bán kính R Chứng minh Ta có w = z + z2 , nên w − z2 − z1 = z − z1 Do | w − z2 − z1 | = | z − z1 | Hay |w − ( z1 + z2 )| = R Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn có tâm điểm biểu diễn cho số phức z1 + z2 bán kính R Ví dụ 1.5 Cho số phức z thoả | z+2−3 i | = Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w = z+3+ i Lời giải Ta viết lại giả thiết thành | z − (−2 + i )| = Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w = z + + i đường trịn có tâm điểm biểu diễn cho số phức (−2 + i ) + (3 + i ) = + i Tức có tâm điểm I (1, 4) Bán kính đường trịn R = Ví dụ 1.6 Cho số phức z thoả | z − i | = Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w = z − + i ♦ Chương Số phức Lời giải Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w = z − + i đường trịn có tâm điểm biểu diễn cho số phức i + (−5 + 2i) = −5 + 3i Tức có tâm điểm I (−5, 3) Bán kính đường trịn R = ♦ Ví dụ 1.7 Cho số phức z thoả | z − − i | = Xét số phức w = z + + i Tìm giá trị lớn mơđun w Lời giải Với z1 = + i , z2 = + i Tập hợp điểm biểu diễn cho w đường trịn (C ) có tâm điểm biểu diễn cho số phức z1 + z2 = + i , bán kính R = Phương trình đường trịn (C ) ( x − 3)2 + ( y − 4)2 = 25 Để ý (C ) qua gốc toạ độ O Do đó, |w| lớn |w| đường kính (C ) Vậy max|w| = 10 ♦ Tính chất 1.4 Cho số phức z, z1 , z2 ( z2 = 0), z3 với | z − z1 | = R Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w = z · z2 + z3 đường trịn có tâm điểm biểu diễn cho số phức z1 · z2 + z3 , bán kính | z2 |R Chứng minh Ta có w = z · z2 + z3 ⇔ Dẫn đến Lấy mođun hai vế, ta Hay w − z3 = z z2 w − z3 − z1 = z − z1 z2 | w − z3 − z1 · z2 | = | z − z1 | | z2 | |w − ( z1 · z2 + z3 )| = | z2 |R Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w đường trịn có tâm điểm biểu diễn cho số phức z1 · z2 + z3 , bán kính | z2 |R Ví dụ 1.8 (Câu 34, Đề minh hoạ mơn Tốn kì thi THPT quốc gia 2017 Bộ GD& ĐT) Cho số phức z thoả mãn | z| = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (3 + i ) z + i đường trịn Tính bán kính r đường trịn 1.1 Tập hợp biểu diễn số phức Lời giải Bán kính r = |3 + i | · = 20 ♦ Ví dụ 1.9 Cho số phức z thoả mãn | z + i | = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (4 + i ) z + + i đường trịn Tính bán kính r đường trịn Lời giải Tâm đường tròn biểu diễn số phức w điểm biểu diễn cho số phức (− i )(4 + i ) + + i = − i, tức tâm đường tròn điểm (5, −3) Bán kính đường trịn r = |4 + i | · = 10 ♦ Ví dụ 1.10 Cho số phức z thoả mãn | z + + i | = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (5 + 12 i ) z + − i đường trịn Xác định tâm tính bán kính r đường trịn Lời giải Ta có | z + + i | = ⇔ | z − (−1 − i )| = Tâm đường tròn biểu diễn số phức w điểm biểu diễn cho số phức (−1 − i )(5 + 12 i ) + − i = 22 − 23 i, tức tâm đường tròn điểm (22, −23) Bán kính đường trịn r = |5 + 12 i | · = 39 ♦ Tính chất 1.5 Cho số phức z, z1 , z2 ( z2 = 0), z3 với | z − z1 | = R Tìm tập hợp biểu diễn số phức z z1 w = + z3 đường trịn có tâm điểm biểu diễn cho số phức + z3 , bán kính đường z2 R tròn | z2 | z2 z + z3 đường z2 z1 R trịn có tâm điểm biểu diễn cho số phức + z3 , bán kính đường tròn z2 | z2 | Chứng minh Chứng minh tương tự, tập hợp biểu diễn số phức w = Chương Số phức Ví dụ 1.11 Cho số phức z thoả điều kiện | z − 5| = Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z + − i w= + 4i Lời giải Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w = biểu diễn cho số phức z + − i đường trịn có tâm điểm + 4i 9i +1− i = − + 4i 5 Bán kính đường tròn = |3 + 4i| Đáp số x − + y+ = ♦ Ví dụ 1.12 Cho số phức z thoả điều kiện | z − − 3i| = Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z + + i w= − 12i Tính chất 1.6 Cho hai số phức z, z1 thoả | z − z1 | = R Giá trị lớn | z| | z1 | + R giá trị nhỏ | z| || z1 | − R | Chứng minh Gọi I điểm biểu diễn cho số phức z1 M điểm biểu diễn cho số phức z • Với ba điểm O , I , M , ta có OI + I M | z| | z1 | + R • Mặt khác |OI − I M | OM hay | z1 | + R OM hay || z1 | − R | | z| Do đó, Giá trị lớn | z| Do đó, giá trị nhỏ | z| || z1 | − R | Ví dụ 1.13 Cho số phức z thoả | z + + 12 i | = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ | z| Lời giải Số phức −5 − 12 i có mơđun Giá trị lớn | z| + 13 = 16 Giá trị nhỏ | z| 13 − = 10 52 + 122 = 13 ♦ 1.1 Tập hợp biểu diễn số phức Tính chất 1.7 Cho hai số phức z, z1 thoả | z − z1 | = R Giá trị lớn | z + z2 | | z1 + z2 | + R giá trị nhỏ | z + z2 | || z1 + z2 | − R | Ví dụ 1.14 Cho số phức z thoả | z + + i| = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ | z + + 5i| Lời giải Ta viết lại giả thiết sau: | z + + i| = ⇔ | z − (−3 − i|) = Giá trị lớn | z + + 5i| + |(−3 − i) + + 5i| = + |3 + 4i| = + = Giá trị nhỏ | z + + 5i| |(−3 − i) + + 5i| − = |3 + 4i| − = − = ♦ Ví dụ 1.15: (Thi thử lần IV trường Đại học Vinh, 2016–2017) Cho số phức z thoả mãn số thực số w = nhỏ biểu thức M = | z + − i| z số thực Tìm giá trị + z2 Tính chất 1.8 Cho số phức z, z1 ( z1 = 0), z2 thoả | z · z1 + z2 | = R Giá trị lớn | z| Giá trị nhỏ | z| |R − | z2 || | z1 | Chứng minh Ta có | z · z1 + z2 | = R ⇔ z + R + | z2 | ; | z1 | z2 R = z1 | z1 | Dựa theo Tính chất 1.1, ta có kết Tính chất 1.1 Bài tập Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ | z| trường hợp sau: 1) | z(3 − i ) + i | = 2) |2 z + (5 + 12 i )| = Đáp số | z| 3) | z(4 + i ) + + i | = 10 Đáp số | z| Chương Số phức 10 4) | z(3 + i ) + + 12 i | = 10 Đáp số | z| 23 Tính chất 1.9 Cho số phức z, z1 ( z1 = 0), z2 thoả | z · z1 + z2 | = R Giá trị lớn | z + z3 | R R z2 + | z4 |; Giá trị nhỏ − | z4 | , đây, z4 = z3 − | z1 | | z1 | z1 Chứng minh Ta có | z · z1 + z2 | = R ⇔ z + Hay z + z3 − z3 − Đặt w = z + z3 , z4 = z3 − z2 , ta z1 z2 z1 | w − z4 | = z2 R = z1 | z1 | = R | z1 | R | z1 | Dựa theo Tính chất 1.1, ta có kết Tính chất 1.1 Ví dụ 1.16 Cho số phức z thoả |(8 + 15i) z + + 4i| = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ | z + 3i| Đáp số | z + 3i| 53 17 Ví dụ 1.17 Cho số phức z thoả |(3 − 4i) z + 12 − 5i| = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ | z + 3i| Đáp số 12 | z + 3i| 16 Ví dụ 1.18 Cho số phức z thoả |(3 + 4i) z + + 12i| = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ | z + 4i| Đáp số 18 | z + 4i| 24 Ví dụ 1.19 Cho số phức z thoả |(3 − 4i) z + + 2i| = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ | z − + i| Đáp số | z − + i| 1.1 Tập hợp biểu diễn số phức 23 Đạo hàm hàm số f ( t) f ( t) = Nghiệm phương trình f ( t) = t = − f (−1) = 22, − − 3t + + 3t Ta có, 15 f (1) = 20, f − = 10 15 • Giá trị nhỏ w 20, đạt t = Khi cos ϕ = Dẫn đến z = • Giá trị lớn w 10 5, đạt t = − Khi cos ϕ = − 15 11 11 sin ϕ = − Số phức cần tìm z = − − i 15 15 15 15 ♦ Ví dụ 1.39 Cho số phức z có | z| = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức w = 5| z − − i | + 12| z + + i | Lời giải Vì | z| = 1, nên đặt z = cos ϕ + i sin ϕ, ϕ ∈ [0, 2π] Khi đó, w = cos ϕ + i sin ϕ − − i + 12 cos ϕ + i sin ϕ + + i Lấy mô đun số phức trên, ta w = (cos ϕ − 3)2 + (sin ϕ − 4)2 + 12 (cos ϕ + 3)2 + (sin ϕ + 4)2 Hay w = 26 − cos ϕ − sin ϕ + 12 26 + cos ϕ + sin ϕ Đặt t = cos ϕ + sin ϕ, ý −10 t 10, ta thu f ( t) = 26 − t + 12 26 + t, Ta có f ( t) = − 26 − t 238 + −10 26 + t t 10 Giải phương trình f ( t) = 0, ta t = Giá trị không thoả điều kiện −10 13 Mặt khác, f (−10) = 78, f (10) = 92 t 10 Chương Số phức 24 • Giá trị lớn f ( t), giá trị lớn w 92, đạt t = 10 Để tìm số phức z, ta giải hệ  6 cos ϕ + sin ϕ = 10, cos2 ϕ + sin2 ϕ = Số phức z z =   cos ϕ = , ⇔  sin ϕ = + i 5 • Giá trị nhỏ f ( t), giá trị nhỏ w 78, đạt t = −10 Để tìm số phức z, ta giải hệ  6 cos ϕ + sin ϕ = −10, cos2 ϕ + sin2 ϕ =   cos ϕ = − , ⇔  sin ϕ = − 5 Số phức z z = − − i ♦ Bài tập Cho số phức z có | z| = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau: 1) w = 4| z + 1| + 3| z − 1| Đáp số max w = 10, z = 2) w = 5| z − i | + 12| z + i | 24 − i, 25 25 w = 6, z = − i 120 119 + i, 169 169 w = 10, z = − i Đáp số max w = 10, z = − i , w = −24, z = i Đáp số max w = 26, z = − 3) w = 5| z − i | − 12| z + i | 4) w = 3| z + − 12 i | + 4| z − + 12 i | Đáp số max w = 92, z = − 5) w = | z + + 12 i | + | z − − 12 i | Đáp số max w = 66, z = − Đáp số 90 12 + i, 13 13 92 12 w = 90, z = − i 13 13 12 − i, 13 13 w = 64, z = w 12 + i 13 13 Tính chất 1.16 Cho (C ) đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD M điểm (C ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ tổng S = AM + BM + CM + DM 1.1 Tập hợp biểu diễn số phức 25 Ví dụ 1.40 Cho số phức z thoả mãn điều kiện | z − − i | = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ tổng S = | z − + i | + | z − − i | + | z − + i | + | z − − i | Tính chất 1.17 Với hai số phức z1 , z2 tuỳ ý, ta có 1) | z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 = | z1 |2 + | z2 | ; 2) (| z1 | + | z2 |)2 | z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 Dấu đẳng thức xảy | z1 | = | z2 | Chứng minh Đặt z1 = a + bi , z2 = c + di Gọi M (a, b), N ( c, d ) điểm biểu diễn cho z1 z2 Ta có | z1 | = OM , | z2 | = ON Ta có z1 + z2 = a + c + ( b + d ) i Gọi C (a + c, b + d ) điểm biểu diễn cho số phức z1 + z2 Khi đó, | z1 + z2 | = OC Mặt khác z1 − z2 = a − c + ( b − d ) i # » # » # » # » Để ý N M = (a − c, b − d ), nên | z1 − z2 | = MN Ta có OC = OM + ON , nên tứ giác OMCN hình bình hành Do OC + MN = 2(OM + ON ), (1.2) hay | z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 = 2(| z1 |2 + | z2 |)2 Mặt khác, ta có (OM + ON )2 2(OM + ON ) (1.3) Dấu xảy OM = ON Từ (1.2) (1.3), suy (OM + ON )2 OC + MN , hay (| z1 | + | z2 |)2 | z + z |2 + | z − z |2 Lời bình Ta chứng minh đẳng thức | z + z |2 + | z − z | = | z | + | z | Chương Số phức 26 sau: | z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 = (a + c)2 + ( b + d )2 + (a − c)2 + ( b − d )2 = 2(a2 + b2 + c2 + d ) = | z |2 + | z | ♣ Ví dụ 1.41 Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thoả | z − − i |2 + | z + + i |2 = 150 Lời giải Đặt z1 = + i Giả thiết cho viết lại thành | z − z1 |2 + | z + z1 |2 = 150 Tương đương | z1 |2 + | z|2 = 150 ⇔ 25 + | z|2 = 150 ⇔ | z|2 = 50 Vậy tập hợp cần tìm đường trịn có tâm gốc toạ độ, bán kính R = ♦ Ví dụ 1.42 | z − z |2 Cho số phức z, z1 , z2 số thực k thoả k > Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thoả | z − z1 |2 + | z − z2 |2 = k Lời giải Cách Gọi M , A , B điểm biểu diễn cho số phức z, z1 , z2 Từ giả thiết dẫn đến AM + BM = k Gọi I trung điểm đoạn AB Áp dụng công thức đường trung tuyến tam giác M AB, ta có I M2 = AM + BM AB2 k AB2 − = − 4 Từ đây, tập hợp điểm M đường tròn tâm I , bán kính R = k | z − z |2 − Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có tâm điểm biểu diễn cho số phức z1 + z2 , bán kính R = k | z − z |2 − 1.1 Tập hợp biểu diễn số phức 27 Cách Đặt t= ( z − z1 ) + ( z − z2 ) z1 + z2 = z− , 2 hay z = t+ Ta có z1 + z2 z1 + z2 z1 − z2 − z1 = t − , 2 z1 + z2 z1 − z2 z − z2 = t + − z2 = t + 2 z − z1 = t + Từ giả thiết, ta có t− z1 − z2 2 Dẫn đến, | t |2 + Suy + t+ z1 − z2 z1 − z2 2 = k = k k | z − z |2 | t| = − Tập hợp điểm biểu diễn số phức t đường tròn tâm O (0, 0), bán kính R = k | z − z |2 − z1 + z2 , nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có tâm điểm z1 + z2 k | z − z |2 biểu diễn cho số phức , bán kính R = − ♦ 2 Mà z = t + Bài tập Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z, biết 1) | z − 4|2 + | z + 4|2 = 40; Đáp số x2 + y2 = 2) | z − i |2 + | z + 2|2 = 12; Đáp số ( x + 1)2 + ( y − 1)2 − = 3) | z − 6|2 + | z + i |2 = 68; Đáp số ( x − 3)2 + ( y + 4)2 − = 4) | z − 2|2 + | z + 2|2 = 26; Đáp số x2 + y2 = 5) | z − i|2 + | z + 3|2 = 13 Đáp số x + 2 + y− Ví dụ 1.43: (Thi thử lần III, THPT Lương Thế Vinh, Hà Nôi, 2016 – 2017) Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn | z − z | = 1, Tìm giá trị lớn | z1 | + | z2 | | z + z | = − = Chương Số phức 28 Ví dụ 1.44: (Thi thử lần IV, Đại học Vinh, 2016 – 2017) Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn | z | = | z | = | z − z | = Tính | z1 + z2 | Ví dụ 1.45: (Thi thử lần II, Đại học Vinh, 2017 – 2018) Cho z1 , z2 hai số số phức thoả mãn | z − + i | = | z1 − z2 | = Tìm mơđun số phức w = z1 + z2 − + i 1.2 Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn Ví dụ 1.46: (Thi thử lần II, THPT chun Lương Thế Vinh, Đồng Nai, 2017 – 2018) Có số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: z − 10 + i = z + − 14 i z − − 10 i = 5? Lời giải Gọi M ( x; y) biểu diễn cho z, ta có hệ  3 x − y + 12 = 0, ( x − 1)2 + ( y − 10)2 = 25 Để ý đường thẳng x − y + 12 = tiếp xúc với đường tròn ( x − 1)2 + ( y − 10)2 = 25, nên có số phức ♦ Ví dụ 1.47 Cho hai số phức z1 , z2 đồng thời thoả mãn hai điều kiện: | z − 1| = 34, | z + + mi | = | z + m + i |, đó, m ∈ R cho | z1 − z2 | lớn Khi đó, giá trị | z1 + z2 | bao nhiêu? 1.3 Bài tập Bài tập Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z, biết rằng: 1) | z + i + 1| = | z − 3i|; Đáp số x − y − = 1.3 Bài tập 29 Đáp số x + y + = 2) | z − + i| = | z + − 3i|; 3) z+i = z − 5i + Đáp số x − 12 y + 25 = Bài tập 10 Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z, biết rằng: 1) z · z + (1 + i ) · z + (1 − i ) z + = 0; Đáp số ( x + 1)2 + ( y + 1)2 − = 2) z · z + (2 + i ) · z + (2 − i ) z = 4; Đáp số ( x + 2)2 + ( y + 1)2 − = 3) z · z + (3 + i ) · z + (3 − i ) z = Đáp số ( x + 3)2 + ( y + 1)2 − 16 = Bài tập 11 Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z, biết rằng: Đáp số ( x + 1)2 + ( y + 1)2 − = 1) |2 z + i| = | − z + i + 3|; 2) | z + − 2i| = |2 z − 2i + 1|; Đáp số x − 3 z + + 3i 3) = 2z + i − Đáp số x + 2 + y+ + y− − 29 = − 58 = 25 Bài tập 12 Cho số phức z thoả mãn điều kiện cho trước Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w, biết 1) | z + − 2i| = 1, w + z = −2 − 5i; Đáp số ( x + 1)2 + ( y + 7)2 = 2) | z + + 5i| = 3, w − z = + 2i; Đáp số ( x + 1)2 + ( y + 3)2 = 3) | z + − 2i| = 4, w = i z + 2; 4) | z + − 3i| = 2, Đáp số x2 + ( y + 3)2 = 16 Đáp số x + 2w − z = −2 + 3i + ( y − 3)2 = 16 Bài tập 13 Cho số phức z Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w, biết 1) w = i z + i − 1, 2) w = i z + − 2i, 3) w = i z + − i, | z − 2i| 2; | z + 2i + 4| |2 z + i|2 Đáp số Hình trịn ( x + 3)2 + ( y − 2)2 Đáp số Hình trịn ( x − 1)2 + ( y + 6)2 3; 4; Đáp số x − 4) w = z + − i, | z + i| − z · z − 2 + ( y + 1)2 − 0 Đáp số ( x − 3) + y + Bài tập 14 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z, biết 16 Chương Số phức 30 1) | z + 3i| = | z + z + 2i|; Đáp số Parabol y = 2) |5 z + i + 1| = |2 z − z + 2i|; Đáp số Parabol y = x2 − 10 12 x2 + x − Đáp số Parabol y = x2 + x − 3) | z + i − 2| = |2 z + z + 1| Đáp số Hai đường thẳng y = − ∨ y = − 4) | z − i| = |2 z − z + 2i| Bài tập 15 Tìm số phức z có modul nhỏ trường hợp sau: 1) | z + 3i + 4| = | z − 5i + 10| Đáp số z = −3 + 4i 2) | z − 3i + 4| = | z + 5i + 10|; Đáp số z = −3 − 4i 3) | z + + i| = | z + + 2i|; Đáp số z = −2 + 2i 4) | z + 2i − 3| = | z − i − 8|; Đáp số z = + i 5) | z + 3i + 2| = | z − i + 8| Đáp số z = −3 + 2i Bài tập 16 Tìm số phức z có modul nhỏ nhất, lớn biết 1) | z − 3i + 4| = 5; 2) | z − 3i − 4| = 10; Đáp số z = 0, z = −8 + 6i Đáp số z = −3 − 4i, z = + 12i Đáp số z = −10 + 24i, 3) | z − + 12i| = 39; z = 20 + 48i 4) | z − i + 1| = · 2; Đáp số z = − i, 5) | z − − 2i| = · 2; Đáp số z = −2 − 2i, z = + 6i Đáp số z = − i, z = − 3i 6) | z − + 2i| = 2; Đáp số z = −3 − 3i, 7) | z + + 4i| = z = −3 + 3i z = −5 − 5i Bài tập 17 Cho số phức z thoả mãn | z + i| = Biết tập hợp biểu diễn số phức w = (3 + 4i) z − 2i đường trịn Tính bán kính đường trịn Đáp số 15 Bài tập 18 Cho số phức z thoả mãn | z − + i| = Biết tập hợp biểu diễn số phức w = (3 + 4i) z đường trịn Xác định tâm bán kính đường trịn Đáp số Tâm I (7; 1), R = 35 Bài tập 19 Xét số phức z thoả mãn | z + − i | + | z − − i | = Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn | z − + i | Tính m + M Đáp số + 73 Chương Tiếp tuyến 2.1 Hàm phân thức Ví dụ 2.1 ax + b với ad − bc = c = Biện luận số tiếp tuyến qua điểm cx + d M ( m, n) đồ thị (C ) Cho hàm số y = Lời giải Gọi ∆ đường thẳng qua M (m, n) với hệ số góc k Phương trình ∆ có dạng y = k( x − m) + n Xét hệ phương trình      ax + b = k( x − m) + n, cx + d ad − bc    = k  (ax + b)2 (2.1a) (2.1b) Thay k từ phương trình (2.1b) vào phương trình (2.1a), ta thu phương trình c(a − cn) x2 + c( b − d ) x + adm − bcm − d n + bd = ( cx + d )2 (2.2) Với điều kiện cx + d = 0, (2.2) tương đương với c(a − cn) x2 + c( b − d ) x + adm − bcm − d n + bd = Biệt thức (2.3) ∆ = −4 c(ad − bc)( b + am − dn − cmn) Để ý (2.3) có nghiệm − d c (ad − bc)( d + cm) = ⇔ d + cm = c Ta có khả sau: 31 (2.3) Chương Tiếp tuyến 32 1) Qua M vẽ hai tiếp tuyến đến (C ) Điều xảy (2.3) có hai d c nghiệm phân biệt khác − Hay     c(a − cn) = 0,    − c(ad − bc)( b + am − dn − cmn) > d + cm = 0, (2.4a) (2.4b) (2.4c) • (2.4a) có nghĩa M khơng thuộc tiệm cận ngang (C ) • Từ (2.4b) suy M không thuộc tiệm cận đứng (C ) • Từ (2.4c), ta lại xét hai khả xảy – Nếu ad − bc > 0, tức hàm số đồng biến khoảng xác định, b + am − dn − cmn < ⇔ am + b < n( cm + d ), tương đương    cm + d > 0, am + b   n cm + d Điều có nghĩa là, M nằm bên phải tiệm cận đứng, M phải nằm phía nhánh đồ thị (C ) bên phải tiệm cận đứng M nằm bên trái tiệm cận đứng, M phải nằm phía nhánh đồ thị (C ) bên trái tiệm cận đứng 2) Qua M vẽ tiếp tuyến đến (C ) Điều xảy (2.3) có d c nghiệm phân khác − ♦ Ví dụ 2.2 Cho hàm số y = x−1 Biện luận số tiếp tuyến qua điểm M (a, b) đồ thị (C ) x+1 Lời giải Gọi ∆ đường thẳng qua M (a, b) với hệ số góc k Phương trình ∆ có dạng y = k( x − a) + b Xét hệ phương trình x−1 = k( x − a) + b, x+1    = k ( x + 1)2     (2.5a) (2.5b) Thay k từ phương trình (2.5b) vào phương trình (2.5a), ta thu phương trình ( b − 1) x2 + 2( b + 1) x + − 2a + b = (2.6) 2.1 Hàm phân thức 33 Số tiếp tuyến qua M số nghiệm khác −1 phương trình (2.6) Để ý định thức (2.6) ∆ = 8(1 − a + b + ab) x = −1 nghiệm (2.6) a = −1 Các khả xảy sau: • (2.6) có hai nghiệm phân biệt khác −1     b = 1, b − = ,       ⇔ a = −1, a = −1,        b(a + 1) > a − ∆ > Điều tương đương với    b = 1,    a > −1,   a−1   b > a+1    b = 1,    a < −1,   a−1   b < a+1 Hệ thứ có nghĩa M khơng nằm tiệm cận ngang (C ) (b = 1), M nằm phía bên phải đường tiệm cận đứng (a > −1), M phải nằm phía (C ) b > a−1 a+1 Hệ thứ hai có nghĩa M không nằm tiệm cận ngang (C ) ( b = 1), M nằm phía bên trái đường tiệm cận đứng (a < −1), M phải nằm phía (C ) b < a−1 a+1 Từ điều trên, ta có kết là, qua M kẻ hai tiếp tuyến đến (C ) M thuộc miền không bị gạch không thuộc hai đường tiệm cận (C ) • Trường hợp Phương trình (2.6) có nghiệm khác −1 – (2.6) phương trình bậc hai có nghiệm kép khác −1   b − = 0, ∆ = ⇔   b = 1,  b(a + 1) = a −    b = 1, ⇔ a−1  b = a+1 Hệ sau có nghĩa M không thuộc tiệm cận ngang M thuộc (C ) Ta cần M thuộc (C ) đương nhiên M không thuộc tiệm cận ngang – (2.6) có hai nghiệm phân biệt, đó, có nghiệm −1   b = 1,    b(a + 1) > a − 1,    a = −1 Điều có nghĩa M thuộc đường tiệm cận đứng (C ) không trùng với giao điểm hai tiệm cận Chương Tiếp tuyến 34 – (2.6) phương trình bậc có nghiệm khác −1 Dẫn đến   b = 1, a = −1 Điều có nghĩa M thuộc đường tiệm cận ngang (C ) không trùng với giao điểm hai tiệm cận Từ điều trên, suy rằng, qua M kẻ tiếp tuyến đến (C ) M thuộc (C ) M thuộc đường tiệm cận (C ) không trùng với giao điểm hai tiệm cận • Qua M khơng kẻ tiếp tuyến đến (C ) M thuộc miền bị gạch M trùng với giao điểm hai tiệm cận y O x ♦ Lời bình Kết cho hàm số có dạng y = ax + b với ad − bc = 0, c = cx + d ♣ Ví dụ 2.3 −x + có đồ thị (C ) điểm A (a; 1) Gọi S tập hợp tất giá trị x−1 thực a để có tiếp tuyến (C ) qua A Tính tổng giá trị phần tử Cho hàm số y = S Lời giải (C ) có phương trình tiệm cận đứng x = phương trình tiệm cận ngang y = −1 Điểm A thuộc đường thẳng ∆ có phương trình y = 1, ∆ song song với tiệm cận ngang Yêu cầu toán xảy A giao điểm đồ thị (C ) ∆ A giao điểm đường tiệm cận đứng ∆ 2.1 Hàm phân thức 35 • Hệ phương trình    y = −x + , x−1  y =   x = , ⇔   y = Do đó, toạ độ giao điểm đồ thị (C ) ∆ ;1 • Dễ thấy, toạ độ giao điểm đường tiệm cận đứng ∆ (1, 1) Như vậy, a = 3 a = Do đó, S = , Tổng phần tử S + = 2 2 ♦ Ví dụ 2.4 Cho hàm số y = −x − có đồ thị (C ) x+1 1) Tìm toạ độ điểm đường thẳng ∆ : y = x + mà từ kẻ tiếp tuyến đến (C ) 2) Có điểm thuộc đường trịn có phương trình ( x − 1)2 + ( y − 1)2 = 25 mà từ kẻ tiếp tuyến đến (C )? Lời giải 1) (C ) có tiệm cận đứng x = −1 tiệm cận ngang y = −1 Giao điểm hai tiệm cận I (−1, −1) không thuộc ∆ Các điểm cần tìm giao điểm ∆ (C ) tiệm cận Đáp số {(−4, 1), (−2, 5), (−1, 7), (−5, −1)} 2) Đáp số (−4, 1), (−2, 5), (1, −4), (5, −2), (1 − 21, −1), (1 + 21, −1), (−1, − 21), (−1, + 21) ♦ Chương Tiếp tuyến 36 2.2 Hàm bậc ba y O x Ta có kết sau: Cho hàm số y = x3 − x2 + có đồ thị (C ) ∆ : y = − x tiếp tuyến (C ) điểm uốn (điểm có hồnh độ nghiệm phương trình y = Tập hợp điểm mặt phẳng cho từ kẻ • tiếp tuyến với (C ) miền bị gạch điểm uốn (C ); • hai tiếp tuyến với (C ) điểm nằm (C ) điểm nằm ∆ khơng kể điểm uốn (C ); • ba tiếp tuyến với (C ) điểm thuộc miền khơng bị gạch Ví dụ 2.5 Cho hàm số y = x3 − x2 + có đồ thị (C ) 1) Qua điểm P (−2, −18) kẻ tiếp tuyến đến (C )? 2) Tìm điểm đường thẳng ( ) : y = x + mà từ kẻ hai tiếp tuyến đến (C ) Lời giải Ta có y = x2 − x, y = x − Nghiệm phương trình y = x = Khi đó, y = Điểm uốn (C ) A (1, 0) Tiếp tuyến ∆ A (1, 0) có phương trình y = y (1)( x − 1) + ⇔ y = − x 1) Để ý điểm P thuộc (C ) không điểm uốn (C ), nên qua A có hai tiếp tuyến đến (C ) 2.2 Hàm bậc ba 37 2) Đường thẳng ( ) không qua điểm điểm uốn (C ), nên tập hợp điểm cần tìm giao điểm ( ) (C ) giao điểm ( ) ∆ Phương trình x3 − x2 + = x + có ba nghiệm x = −1 ∨ x = ∨ x = phương trình x + = − x có nghiệm x = Vậy có bốn điểm đường thẳng ( ) mà từ điểm kẻ hai tiếp tuyến đến (C ) ♦ Đồng Nai, năm học 2018 – 2019, Sắp chữ LATEX Trần Văn Toàn, Giáo viên trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai