Bài giảng toán 8

Phần I ĐẠI SỐ Chương PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA Chủ đề CÁC ĐA THỨC 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC Trọng tâm kiến thức A Các quy tắc nhân đơn thức với đa thức nhân đa thức với đa thức: A · (B + C ) = A · B + A · C ( A + B)(C − D ) = A · C − A · D + B · C − B · D B Các dạng tập phương pháp giải Dạng 1: Làm tính nhân Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức nhân đa thức với đa thức Lưu ý quy tắc dấu phép nhân thu gọn hạng tử đồng dạng ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Làm tính nhân a) x x − x − 10 ; b) −3 x2 x3 − x2 + x − Ƙ Ví dụ Thực phép tính b) (2 x − 1) x2 − x + a) ( x + 8)( x − 4); Ƙ Ví dụ Tìm hệ số x3 kết phép nhân x2 − x · x2 + x − Dạng 2: Rút gọn biểu thức tính giá trị biểu thức • Thực phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, bỏ dấu ngoặc, thu gọn hạng tử đồng dạng • Thay giá trị biến vào biểu thức rút gọn thực phép tính ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Chương 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC Ƙ Ví dụ Rút gọn biểu thức A = x( x − 2) − x2 − x − − x2 Ƙ Ví dụ Rút gọn biểu thức B = 2( x − 5)( x + 1) + ( x − 3) x + x2 Ƙ Ví dụ Rút gọn biểu thức A = ( x + 5)(2 x − 3) − x( x + 3) − ( x − 15) Ƙ Ví dụ Cho biểu thức A = x2 (3 x − 2) − (4 x + 7) x2 − x − x − x3 Rút gọn tính giá trị biểu thức B với x = − Ƙ Ví dụ Cho biểu thức C = x x + x3 + ( x − 1) x2 + x3 + Rút gọn biểu thức C chứng tỏ với hai giá trị đối x biểu thức C có giá trị Dạng 3: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị biến Biến đổi biểu thức cho biểu thức khơng chứa biến ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến: A = (2 x − 3)( x + 7) − x( x + 5) − x Ƙ Ví dụ Cho biểu thức B = 10 − x( x − 1, 2) + x(2, x − 3) Chứng minh giá trị biểu thức ln ln khơng đổi Ƙ Ví dụ Cho biểu thức C = x( x − y) + y( x + y) − ( x + y)( x − y) − y2 Với giá trị x y giá trị biểu thức C số âm hay số dương? Dạng 4: Chứng minh đẳng thức Biến đổi vế thành biến đổi hai vế biểu thức ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Chứng minh đẳng thức ( x − y) x3 + x2 y + x y2 + y3 = x4 − y4 Ƙ Ví dụ Chứng minh đẳng thức ( x + y)( x + y + z) − 2( x + 1)( y + 1) + = x2 + y2 Ƙ Ví dụ Cho ab = Chứng minh đẳng thức a(b + 1) + b(a + 1) = (a + 1)(b + 1) Dạng 5: Tìm giá trị x thỏa mãn đẳng thức cho trước • Thực phép nhân đa thức thu gọn dạng ax = b • Suy x = b (nếu a = 0) a ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Tìm x biết ( x + 1) x2 + x − − x2 ( x + 3) = Ƙ Ví dụ Tìm x biết ( x + 1) x2 + x − − x2 (3 x + 4) = Trang Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ Ƙ Ví dụ Tìm x biết 3( x − 2)( x + 3) − x(3 x + 1) = ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Ƙ Bài Làm tính nhân a) −4 x3 x2 − x + ; b) − x2 x3 + 10 x2 − 15 x Ƙ Bài Làm tính nhân b) x2 − x x2 + x − a) (2 x + 7)(3 x − 1); Ƙ Bài Tính giá trị biết thức A với x = 999 A = x6 − x5 ( x − 1) − x4 ( x − 1) + x3 ( x − 1) + x2 ( x + 1) − x( x − 1) + Ƙ Bài Cho biểu thức A = x(1 + x) − x2 (1 − x) + x3 x2 − Chứng minh với hai giá trị đối x biểu thức A có hai giá trị đối Ƙ Bài Tìm x biết ( x − 3) x + x2 + 2( x − 5)( x + 1) − x3 = 12 Ƙ Bài Cho x y = Chứng minh x2 + y2 a2 + b2 = (ax + b y)2 a b Chủ đề A 2: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ Trọng Tâm Kiến Thức Bảy đẳng thức đáng nhớ ứng dụng, đặc biệt ba đẳng thức ( A + B)2 = A + AB + B2 ( A − B)2 = A − AB + B2 ( A − B)( A + B) = A − B2 ( A + B)3 = A + A B + AB2 + B3 ( A − B)3 = A − A B + AB2 − B3 ( A + B) A − AB + B2 = A + B3 ( A − B) A + AB + B2 = A − B3 B Các Dạng Bài Tập Phương Pháp Giải Dạng 1: Vận dụng đẳng thức để tính Xem biểu thức cho thuộc dạng đẳng thức vận dụng đẳng thức để khai triển ngược lại ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group Trang Chương 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC Ƙ Ví dụ Tính a) (4 x + 7)2 ; b) x − y ; c) x2 − x y3 x2 + x y3 Ƙ Ví dụ Tính 3 a) x2 + y ; c) x + b) x3 − x y ; 36 x2 − x + ; d) x − y2 x2 + x y2 + 25 y4 Ƙ Ví dụ Viết đa thức sau dạng bình phương hay lập phương tổng hiệu a) 25 x2 − x y + y2 ; b) x3 − 12 x2 y + x y2 − y3 Ƙ Ví dụ Điền đơn thức thích hợp vào trống a) x− x b) x+ 2 = x2 − + ; x2 x − + 1 y = x3 + y 27 Dạng 2: Rút gọn biểu thức tính giá trị biểu thức • Vận dụng đẳng thức đáng nhớ để khai triển lũy thừa, khai triển tích rút gọn • Thay giá trị biến x vào biểu thức rút gọn thực phép tính ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Rút gọn biểu thức a) (7 x + 4)2 − (7 x + 4)(7 x − 4); b) ( x + y)3 − x y( x + y); c) (3 x + y) x2 − x y + y2 − (3 x − y)3 − 27 x2 y Ƙ Ví dụ Cho biểu thức A = 5( x + 3)( x − 3) + (2 x + 3)2 + ( x − 6)2 Rút gọn tính giá trị biểu thức A với x = − Ƙ Ví dụ Cho biết x + y = 15 x y = −100 Tính giá trị biểu thức B = x2 + y2 Ƙ Ví dụ Tính nhanh giá trị biểu thức a) C = 392 + 78 · 61 + 612 ; Trang b) D = 502 − 49 · 51 Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ Dạng 3: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến Vận dụng đẳng thức để biến đổi biểu thức cho thành biểu thức khơng chứa biến ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến A = (3 x + 2) x2 − x + − x3 − Ƙ Ví dụ Giá trị biểu thức sau có phụ thuộc vào giá trị biến không? B = ( x + 1)3 − ( x − 1) x2 + x + − x( x + 1) Dạng 4: Chứng minh đẳng thức Vận dụng đẳng thức để biến đổi vế thành vế biến đổi hai vế biểu thức ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Chứng minh đẳng thức ( x + y)2 − ( x − y)2 = x y Ƙ Ví dụ Chứng minh đẳng thức x2 + y2 + z2 − ( x − y)2 − ( y − z)2 − ( z − x)2 = ( x + y + z)2 Dạng 5: Tìm x thỏa mãn đẳng thức • Vận dụng đẳng thức đáng nhớ để khai triển thu gọn dạng ax = b • Suy x = b a = 0; ∀ x ∈ R a = b = 0; khơng có x a = 0, b = a ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Tìm x biết (2 x + 1)(1 − x) + (2 x − 1)2 = 22 Ƙ Ví dụ Tìm x biết ( x − 5)2 + ( x − 3)( x + 3) − 2( x + 1)2 = Dạng 6: Chứng minh chia hết Vận dụng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi số cho dạng a = k · b(k = 0) Lúc a k ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Chứng minh hiệu bình phương hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group Trang Chương 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC Dạng 7: Chứng minh giá trị biểu thức luôn dương (hay âm) với giá trị biến • Muốn chứng minh giá trị biểu thức luôn dương với giá trị biến, ta vận dụng đẳng thức A ± AB + B2 = ( A ± B)2 , để biến đổi biểu thức dạng [ f ( x)]2 + k với k > • Muốn chứng minh giá trị biểu thức luôn âm với giá trị biến, ta biến đổi biểu thức dạng − [ f ( x)]2 + k với k < ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Chứng minh giá trị biểu thức P = x2 − x + luôn dương với x Ƙ Ví dụ Chứng minh giá trị biểu thức Q = x − x2 − 10 luôn âm với giá trị x Dạng 8: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức • Muốn tìm giá trị nhỏ biểu thức P ( x), ta vận dụng đẳng thức A ± AB + B2 = ( A ± B)2 để biến đổi P ( x) dạng [ f ( x)]2 + k ( k số) Vì [ f ( x)]2 ≥ nên P ( x) ≥ k Do giá trị nhỏ P ( x) k (ta phải tìm x để f ( x) = 0) Ta viết P ( x) = k • Muốn tìm giá trị nhỏ biểu thức P ( x), ta vận dụng đẳng thức A ±2 AB +B2 = ( A ±B)2 để biến đổi P ( x) dạng − [ f ( x)]2 + k ( k số) Vì − [ f ( x)]2 ≤ nên P ( x) ≤ k Do giá trị lớn P ( x) k (ta phải tìm x để f ( x) = 0) Ta viết max P ( x) = k ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + 10 x + 28 Ƙ Ví dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = x2 − 10 x Ƙ Ví dụ Tìm giá trị lớn biểu thức P = x − x2 − ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Ƙ Bài Tính: a) x+4 ; b) (7 x − y)2 ; c) x2 + y2 y2 − x2 Ƙ Bài Tính a) (5 x + 1)3 ; b) ( x − y)3 ; c) (4 x + 5) 16 x2 − 20 x + 25 ; d) x − Trang 36 x2 + x + Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG Ƙ Bài Rút gọn biểu thức sau a) (2 x + 3)2 + (2 x − 3)2 − x2 − ; b) ( x + 2)3 + ( x − 2)3 + x3 − x( x + 2)( x − 2) Ƙ Bài Rút gọn tính giá trị biểu thức sau với x = −19 A = (3 x + 2)2 + (2 x − 7)2 − 2(3 x + 2)(2 x + 5) B = (3 x − 1)2 − ( x + 7)2 − 2(2 x − 5)(2 x + 5) Ƙ Bài Rút gọn tính giá trị biểu thức sau với x = Ƙ Bài Chứng minh đẳng thức ( x + y)3 − ( x − y)3 = y x2 + y2 Ƙ Bài Tìm x biết a) ( x + 1)3 + ( x − 2)3 − x2 ( x − 1, 5) = 3; b) ( x + 2) x2 − x + − ( x − 2) x2 + x + = −65 Ƙ Bài Chứng minh (2 n + 3)2 − (2 n − 1)2 chia hết cho với n ∈ Z Ƙ Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = x2 − 12 x + 10; b) B = x − x2 − Ƙ Bài 10 Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca Chứng minh a = b = c Ƙ Bài 11 Cho x − y = 1, tính giá trị biểu thức M = x3 − y3 − x2 + y2 Chủ đề 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG A Trọng tâm kiến thức a) Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức b) Phương pháp đặt nhân tử chung Nếu tất hạng tử đa thức có nhân tử chung đặt nhân tử chung ngồi dấu ngoặc theo cơng thức: AB + AC − AD = A (B + C − D ) Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group Trang Chương 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC B Các dạng tập phương pháp giải Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung • Bước 1: Chọn nhân tử chung gồm: – Hệ số ƯCLN hệ số; – Phần biến gồm tất biến chung, biến lấy với số mũ nhỏ hạng tử • Bước 2: Viết nhân tử lại số hạng vào dấu ngoặc ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử b) x2 + 12 x − 4; a) x − 15 y; c) −5 x2 − 25 x y + 10 y2 Ƙ Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử a) x3 − x2 y + x y2 ; b) x y2 z − x y3 z + x y; c) x5 y2 − x4 y3 − x3 y4 + x2 y5 Ƙ Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử a) 35 x2 y3 − 14 x2 y2 + 49 x2 y; b) −18 x4 y2 − 27 x3 y3 − 45 x2 y4 Ƙ Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử a) x(a + b) + y(a + b); b) 5a( x − y) + b( y − x); c) x( x − y) − x + y Ƙ Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử a) ( x + 1)( y − 2) − (2 − y)2 ; b) ( x − 5)3 − y(5 − x)2 ; c) (2 x − 6)(4 x2 + 1) − (2 x − 6)(7 x + 3) − (2 x − 6)( x + 12) Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Phương pháp giải: • Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung • Thay biểu thức giá trị chúng thực phép tính ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Tính nhanh Trang 10 Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group Chương 4: HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG HÌNH CHĨP ĐỀU • Song song: Nếu chúng nằm mặt phẳng khơng có điểm chung Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với • Chéo nhau: Nếu chúng không nằm mặt phẳng Ví dụ: đường thẳng AB đường thẳng CC IV ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG HAI MẶT PHẲNG SONG SONG • Khi đường thẳng AB khơng nằm mặt phẳng ( A B C D ) mà AB ∥ A B AB ∥ ( A B C D ) • Mặt phẳng ( ABCD ) chứa hai đường thẳng cắt AB AD ; mặt phẳng ( A B C D ) chứa hai đường thẳng cắt A B A D Nếu AB ∥ A B AD ∥ A D ( ABCD ) ∥ ( A B C D ) • Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng chúng khơng có điểm chung ! • Hai mặt phẳng song song khơng có điểm chung • Hai mặt phẳng phân biệt mà có điểm chung chúng có chung đường thẳng qua điểm chung (gọi giao tuyến hai mặt phẳng) Ta nói hai mặt phẳng cắt B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Xác định vị trí hai đường thẳng khơng gian • Để chứng tỏ hai đường thẳng cắt nhau, ta điểm chung chúng • Để chứng tỏ hai đường thẳng song song, ta chứng tỏ chúng hai cạnh đối hình bình hành, hình chữ nhật, chứng tỏ chúng song song với đường thẳng thứ ba ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ A Cho hình hộp chũ nhật ABCD.A B C D a) Cạnh AB cạnh cắt nhau? c) Cạnh AB chéo với cạnh nào? Trang 150 C D b) Cạnh AB song song với cạnh nào? B A D B C Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group HÌNH HỘP CHỮ NHẬT Ƙ Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D Gọi M , N trung điểm DD CC Chứng minh rằng: a) MN ∥ AB b) AM ∥ BN Ƙ Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D Gọi O giao điểm AC BD ; O giao điểm A C B D a) Điểm O có thuộc mặt phẳng ( ABCD ) khơng? Vì sao? b) Điểm O có thuộc đường thẳng DD khơng? Vì sao? c) OO song song với đường thẳng nào? Dạng 2: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Chứng minh hai mặt phẳng song song • Nếu a ∉ mp(P ), b ∈ mp(P ) mà a ∥ b a ∥ mp(P ) • Để chứng minh mp(P ) ∥ mp(Q ) ta cần hai đường thẳng cắt mp(P ) song song với mp(Q ) ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D a) CD song song với mặt phẳng nào? b) AC song song với mặt phẳng nào? Ƙ Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D Gọi M , N , P , Q trung điểm A A , BB , CC , DD Chứng minh rằng: a) NP ∥ mp( A B C D ) b) mp( MNPQ ) ∥ mp( A B C D ) Dạng 3: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Để tìm giao tuyến hai mặt phẳng ta hai điểm chung hai mặt phẳng Giao tuyến đường thẳng qua hai điểm chung ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D Hãy: a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( ABCD ) (DCC D ) b) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( ACC A ) (DBB D ) Ƙ Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D Hai mặt phẳng (BCD ) (B CD ) cắt theo giao tuyến nào? ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group Trang 151 Chương 4: HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG HÌNH CHĨP ĐỀU Ƙ Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D Hãy kể tên cặp mặt phẳng song song Ƙ Bài Trong hình hộp chữ nhật kể tên: a) Các cạnh song song? b) cặp cạnh chéo nhau? Ƙ Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D Gọi E , F , M , N trung điểm AB, CD , A B C D Chứng minh ( AMND ) ∥ (EB C F ) Ƙ Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D Chứng minh bốn đường chéo AC , BD , C A DB đồng quy Ƙ Bài Một hình lập phương cạnh dài đơn vị tạo thành 125 hình lập phương nhỏ cạnh dài đơn vị Người ta sơn mặt hình lập phương lớn Hỏi có hình lập phương nhỏ: a) sơn mặt b) sơn mặt c) sơn mặt d) không sơn mặt Chủ đề A 4: THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT TRỌNG TÂM KIẾN THỨC I ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG a) Khi đường thẳng a vng góc với hai đường thẳng a cắt b c (P ) ta nói a ⊥ (P ) b b) Lưu ý: Nếu đường thẳng vng góc với mặt A phẳng điểm A vng góc với đường c thẳng qua A nằm mặt phẳng II HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC Khi hai mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cịn lại hai mặt phẳng vng góc với Q a Nếu a ∈ (Q ) a ⊥ (P ) (Q ) ⊥ (P ) P III THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT V = abc (a, b, c ba kích thước) Đặc biệt: Thể tích hình lập phương cạnh a V = a3 Trang 152 Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh đường thẳng a ⊥ (P ) ta chứng minh a vng góc với hai đường thẳng cắt nằm (P ) ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D Chứng minh rằng: a) CC ⊥ ( A B C D ) b) CD ⊥ ( ADD A ) Ƙ Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D Chứng minh tứ giác DBB D ACC A hình chữ nhật Dạng 2: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc Để chứng minh hai mặt phẳng vng góc ta chứng minh có đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D Giải thích mặt phẳng (BB C C ) ( A A D D ) vuông góc với ( A B C D ) Ƙ Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có đáy ABCD hình vng Chứng minh hai mặt phẳng ( ACC A ) (DBB D ) vng góc với Dạng 3: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thể tích số yếu tố khác hình hộp chữ nhật • Diện tích xung quanh = Tổng diện tích bốn mt bờn = Chu vi ỏy ì chiu cao ã Diện tích tồn phần = Diện tích xung quanh + Diện tích hai đáy • Thể tích = Tích ba kích thước ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c Gọi d độ dài đường chéo Chứng minh d = a2 + b2 + c2 Ƙ Ví dụ Đường chéo hình lập phương 12 Tính thể tích hình lập phương Ƙ Ví dụ Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước 4, 5, Tính a) Thể tích hình hộp chữ nhật b) Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group Trang 153 Chương 4: HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG HÌNH CHĨP ĐỀU Ƙ Ví dụ Một hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh 180 cm2 , chiều cao m Biết cạnh đáy dài m Tính thể tích hình hộp chữ nhật Ƙ Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D Biết AB = 5, AD = AC = 15 Tính diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Ƙ Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D Các khẳng định sau hay sai? a) DD ⊥ D B b) BB ⊥ ( ABCD ) c) (BCC B ) ⊥ ( ABCD ) Ƙ Bài Một hình lập phương có diện tích tồn phần 24 cm2 Tính thể tích Ƙ Bài Thùng chở hàng xe tải có kích thước bên 1,8 × 3,0 × 1, m Người ta xếp đầy vào thùng xe thùng gỗ nhỏ hình lập phương cạnh dm Tính số thùng gỗ nhỏ mà xe chở tối đa Ƙ Bài Tình thể tích hình lập phương biết cạnh giảm cm diện tích tồn phần giảm 1050 cm2 Ƙ Bài Hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có chu vi đáy 40 cm A A = cm đường chéo AC = 17 cm a) Tính thể tích hình hộp chữ nhật Chủ đề A 5: b) Tính diện tích tồn phần HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG TRỌNG TÂM KIẾN THỨC I MƠ TẢ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG • Hai mặt phẳng chứa hai đáy hai mặt phẳng song song C A mp ( ABC ) ∥ mp A B C B • Hai đáy hai đa giác có số cạnh • Các cạnh bên vng góc với hai mặt phẳng đáy Độ dài C A cạnh bên gọi chiều cao: A A ⊥ mp( A B C ) B • Các mặt bên vng góc với hai mặt phẳng đáy Đặc biệt: ! • Hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành gọi hình hộp đứng • Hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật hình hợp chữ nhật Trang 154 Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG II DIỆN TÍCH XUNG QUANH CỦA HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG • S xq = · p · h ( p nửa chu vi đáy, h chiều cao) • S = S xq + · S (S diện tích đáy) III THỂ TÍCH CỦA HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG V =S·h B (S diện tích đáy, h chiều cao) CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: TÌM SỐ MẶT, SỐ ĐỈNH, SỐ CẠNH CỦA HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG Xác định xem đâu đáy, đếm số cạnh đáy Suy số mặt, số đỉnh, số cạnh lăng trụ đứng theo công thức đây: Số cạnh đáy Số mặt Số đỉnh Số cạnh n n+2 2n 3n ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Hình bên hình lăng trụ đứng Hãy cho biết số C C mặt, số đỉnh, số cạnh A A B B Ƙ Ví dụ Một hình lăng trụ đứng có 10 đỉnh Tính số mặt số cạnh Ƙ Ví dụ Một hình lăng trụ đứng có tổng số mặt, số đỉnh số cạnh 32 Hỏi hình lăng trụ có mặt bên? Dạng 2: TÌM CÁC YẾU TỐ SONG SONG VNG GĨC TRONG HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG Phương pháp giải: Dựa vào tính chất sau: • Các cạnh bên song song với vng góc với đáy • Các mặt đáy song song với • Các mặt bên vng góc với đáy ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC đáy tam giác ABC vuông A Chứng minh rằng: Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group Trang 155 Chương 4: HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG HÌNH CHÓP ĐỀU a) BB ⊥ mp A B C b) AB ⊥ mp ACC A c) mp ABB A ⊥ mp ACC A Ƙ Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy hình thang vuông A = D = 90◦ Hãy cho biết: a) Các cạnh song song với AB b) Các cạnh vng góc với AB A c) Các cạnh song song với mp DCC D d) Các cạnh vng góc với mp DCC D e) Mặt phẳng song song với mp DCC D Dạng 3: TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH, DIỆN TÍCH TỒN PHẦN, THỂ TÍCH VÀ MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG Phương pháp giải Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình lăng trụ đứng ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Một hình hộp đứng có chiều cao 9cm Đáy hình thoi có đường chéo 6cm 8cm Tính: a) Diện tích tồn phần hình hộp b) Thể tích hình hộp Ƙ Ví dụ Một lều trại có dạng hình lăng trụ đứng ABC.A B C AB = AC Thể tích phần khơng gian bên lều 3m2 Biết chiều dài CC lều 2,5m, chiều rộng BC lều 1,6m Tính: a) Chiều cao AH lều b) Diện tích vải bạt dùng để căng hai mái lều Ƙ Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có diện tích xung quanh 288m2 chiều cao 12cm Độ dài cạnh đáy (tính centimet) ba số chẵn liên tiếp Tính thể tích hình lăng trụ đứng Ƙ Ví dụ Một hình lăng trụ đứng có tất cạnh, độ dài cạnh 10cm Tính: a) Diện tích xung quanh b) Thể tích Trang 156 Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group HÌNH CHĨP ĐỀU Ƙ Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C , đáy tam giác ABC vuông A, AB = 3cm, AC = 4cm Biết diện tích tồn phần lần tổng diện tích hai đáy Tính chiều cao hình lăng trụ đứng ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Ƙ Bài Xét hình trụ đứng, khẳng định sau khẳng định đúng, khẳng định sai? a) Số mặt bên số cạnh đáy b) Số đỉnh số cạnh c) Hai mặt bên liên tiếp vng góc với Ƙ Bài Một lều trại có dạng hình lăng trụ đứng, đáy tam giác cân (xem hình a) Hai mái lều vải bạt hình vng cạnh 5m tạo Chiều cao lều 1,5m Tính diện tích mặt đất mái lều che phủ A A 15 A C C H B A C C H B Hình a 12 H Hình b Ƙ Bài Tính diện tích tồn phần thể tích hình lăng trụ đứng biểu diễn hình b (đơn vị cm) Ƙ Bài Hình c đáy biểu diễn hình lăng trụ đứng tích 300cm3 Hãy tìm độ dài x B C 10 B C 10 B C 12 B A C D A x A x D 2x D Hình c A D Hình d Ƙ Bài Tính thể tích hình lăng trụ đứng biểu diễn hình d (đơn vị tính cm) Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group Trang 157 Chương 4: HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG HÌNH CHĨP ĐỀU Chủ đề A 6: HÌNH CHĨP ĐỀU TRỌNG TÂM KIẾN THỨC I MƠ TẢ HÌNH CHĨP ĐỀU S • Đáy đa giác • Các mặt bên tam giác cân nhau, có chung đỉnh (gọi đỉnh hình chóp) D A Trong hình bên, SH đường cao ( H tâm đường M H tròn qua đỉnh mặt đáy) SM trung đoạn hình chóp ( M trung điểm B C cạnh đáy) II HÌNH CHĨP CỤT ĐỀU S Cắt hình chóp mặt phẳng song song với đáy hình chóp nằm mặt phẳng mặt phẳng đáy hình chóp gọi hình chóp cụt C A B C A G B III DIỆN TÍCH XUNG QUANG CỦA HÌNH CHĨP ĐỀU S xq = p · d ( p nửa chu vi đáy; d trung đoạn) IV Thể tích hình chóp ·S·h (S diện tích đáy; h chiều cao) V= B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: TÍNH SỐ MẶT, SỐ ĐỈNH, SỐ CẠNH, CỦA MỘT HÌNH CHĨP ĐỀU Phương pháp giải: Trước hết số cạnh mặt đáy suy số mặt, số đỉnh, số cạnh hình chóp theo cơng thức đây: Trang 158 Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group HÌNH CHĨP ĐỀU Số cạnh đáy Số mặt Số đỉnh Số cạnh n n+1 n+1 2n ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Cho hình chóp lục giác Hỏi có mặt, đỉnh cạnh? Ƙ Ví dụ Một hình chóp có tổng số mặt số đỉnh 12 Tính số cạnh đa giác đáy Ƙ Ví dụ Gọi M số mặt, D số đỉnh C số cạnh hình chóp Chứng minh M + D − C = Dạng 2: CHỨNG MINH CÁC QUAN HỆ SONG SONG, VNG GĨC BẰNG NHAU TRONG HÌNH CHĨP ĐỀU Phương pháp giải * Vận dụng dấu hiệu nhận biết quan hệ song song, vng góc * Chú ý hình chóp - Các cạnh đáy - Các cạnh bên - Các trung đoạn ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC Gọi M , N , D E trung điểm AB, AC , SB SC Gọi O giao điểm BN CM a) Chứng minh tứ giác EDMN hình bình hành; b) SO ⊥ mp( ABC ); c) SOB = SOC = SO A Ƙ Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , đường cao SO Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: a) AD ∥ mp(SBC ); b) mp(SOM ) ⊥ mp(SBC ); c) mp(S AC ) ⊥ mp( ABCD ); d) mp(S AC ) ⊥ mp(SBD ) Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group Trang 159 Chương 4: HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG HÌNH CHĨP ĐỀU Ƙ Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi E , F , M trung điểm S A , SD BC Chứng minh rằng: a) CF ∥ EM ; b) Tứ giác FEBC hình thang cân Dạng 3: TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH, DIỆN TÍCH TỒN PHẦN, THỂ TÍCH VÀ MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA HÌNH CHĨP ĐỀU Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thể tích hình chóp Bạn nên nhớ số kết sau - Đường chéo d hình vng cạnh a d = a - Đường cao h tam giác cạnh a h = - Diện tích tam giác cạnh a S = a a2 ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Một hình chóp tứ giác có cạnh bên cạnh đáy 10cm Hãy tính a) Diện tích xung quanh hình chóp b) Thể tích hình chóp Ƙ Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC tích 3cm3 , đường cao SH = 2cm Hãy tính độ dài: a) Mỗi cạnh đáy b) Mỗi cạnh bên Ƙ Ví dụ Một hình chóp tứ giác có diện tích đáy 100cm2 , cạnh bên dài 13 cm Tính diện tích tồn phần hình chóp Ƙ Ví dụ Một hình chóp tam giác đều, cạnh đáy 6cm cạnh bên 4cm Hãy tính a) Chiều cao hình chóp b) Thể tích hình chóp Trang 160 Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group ƠN TẬP CHƯƠNG Ƙ Ví dụ Một hình chóp tam giác hình chóp tứ giác có chiều cao độ dài cạnh đáy Tính tỉ số diện tích hai hình chóp ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Ƙ Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC Gọi G H thứ tự trọng tâm tam giác ABC , SBC a) Chứng minh GH ∥ S A b) GH song song với mặt phẳng nào? c) Tính độ dài GH biết BC = 6cm diện tích xung quanh hình chóp 36cm2 Ƙ Bài Một hình chóp tam giác có cạnh a Tính diện tích tồn phần hình chóp Ƙ Bài Một hình chóp tứ giác có chiều cao 8cm độ dài cạnh đáy 12cm Hãy tính: a) Thể tích hình chóp b) Diện tích xung quanh hình chóp đó? Ƙ Bài Một hình chóp tứ giác cạnh đáy 6cm, diện tích xung quanh 60 cm2 Tính thể tích hình chóp Ƙ Bài A 2cm D Tính diện tích xung quanh hình chóp cụt biểu diễn hình bên 2,5cm C B D A 5cm B Chủ đề A 7: C ÔN TẬP CHƯƠNG TRỌNG TÂM KIẾN THỨC I Một số khái niệm hình học khơng gian: • Điểm, đường thẳng mặt phẳng khơng gian • Ba vị trí tương đối hai đường thẳng phân biệt khơng gian • Đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song • Đường thẳng vng góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group Trang 161 Chương 4: HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG HÌNH CHĨP ĐỀU II Một số vật thể khơng gian hình hộp chữ nhật, hình lăng trụ đứng, hình chóp • Các khái niệm đỉnh, mặt bên, cạnh bên, cạnh đáy • Các cơng thức tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thể tích hình B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Xác định vị trí đường thẳng với mặt phẳng, hai mặt phẳng Dựa vào dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng vng góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, hai mặt phẳng vng góc ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A B C D đáy hình thang vng ( A = D = 90◦ ) a) Tìm cạnh song song với CD b) CD song song với mặt phẳng nào? c) CD vuông góc với mặt phẳng nào? Ƙ Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D , đáy ABCD hình vng Gọi O giao điểm AC BD Gọi O giao điểm A C B D Chứng minh rằng: a) mp(BB C C ) ∥ mp( A A D D ) b) mp(BB C C ) ⊥ mp(CDD C ) c) OO ⊥ mp( A B C D ) d) mp(BB D D ) ⊥ mp( ACC A ) Dạng 2: Tính số mặt, số đỉnh, số cạnh hình lăng trụ đứng, hình chóp Dựa vào nhận xét bảng sau: Hình Số mặt Số đỉnh Số cạnh Lăng trụ có đáy đa giác n cạnh n+2 2n 3n Hình chóp có đáy đa giác n cạnh n+1 n+1 2n ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Một hình lăng trụ đứng hình chóp có số cạnh đáy mặt đáy Biết tổng số cạnh hai hình 25 Tính số mặt đỉnh hình Ƙ Ví dụ Số cạnh đáy hình lăng trụ đứng số cạnh đáy hình chóp số đỉnh hình lăng trụ đứng nhiều số đỉnh hình chóp Hỏi mặt đáy hình có cạnh? Trang 162 Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group ƠN TẬP CHƯƠNG Dạng 3: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thể tích số yếu tố hình hộp chữ nhật, hình lăng trụ đứng, hình chóp Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thể tích hình nói ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C , đáy tam giác cạnh cm biết diện tích xung quanh 60 cm2 Tính thể tích hình lăng trụ Ƙ Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , AB = a, đường cao SO = diện tích đáy hình chóp diện tích xung quanh a Chứng minh Ƙ Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh AB = a Gọi O giao điểm AC BD a) Chứng minh hình chóp O.A B C D hình chóp b) Tính thể tích hình chóp O.A B C D Ƙ Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên cạnh đáy Chứng minh diện tích đáy ABCD tổng diện tích hai mặt chéo (S AC ) (SBD ) Ƙ Ví dụ Hình bên biểu diễn hình chóp cụt tam giác Biết C B M cạnh đáy lớn dài gấp hai lần cạnh đáy nhỏ MM = cm diện tích xung quanh hình chóp cụt A B C 90cm Tính độ dài cạnh đáy nhỏ M A I Bài tập tự luyện Ƙ Bài Xem hình đay cho biết a) b) c) d) a) Hình hình hộp chữ nhật; b) Hình lăng trụ đứng Ƙ Bài Một hình chóp tứ giác đều, độ dài cạnh đáy 6m, độ dài cạnh bên 5m Tính diện tích tồn phần khối chóp Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group Trang 163 Chương 4: HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG HÌNH CHĨP ĐỀU Ƙ Bài Một hình chóp tứ giác tích 304cm3 có chiều cao 8cm tính độ dài cạnh đáy Ƙ Bài Một hình chóp tam giác có chu vi 36m cạnh bên dài 7m Tính thể tích hình chóp Ƙ Bài 10 Cho hình lập phương ABCD.A B C D , độ dài cạnh a a) Chứng minh hình chóp C.DBC hình chóp b) Tính diện tích tồn phần hình chóp C.DBC c) Tính chiều cao hình chóp C.DBC Trang 164 Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group ... + k Hãy tính giá trị tổng: + a + a + + a Ƙ Bài Tính với k ≥ 1 986 2 − 1992 · 1 986 2 + 3972 − · 1 987 1 983 · 1 985 · 1 988 · 1 989 Ƙ Bài Đặt a + b + c = p Chứng minh 1 1 abc + + − = p − a p − b... 2004 − · (2003 · 20 08 + 4) 2004 · 2005 · 2006 · 2007 · 20 08 Ƙ Ví dụ Cho a , a , a , , a 2007 , a 20 08 20 08 số thực thỏa mãn 2k + với k = 1, 2, , 20 08 k2 + k Tính tổng S20 08 = a + a + a + a... HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Tính nhanh a) 41 · 24 − 41 · 14 + 59 · 24 − 59 · 14 b) 2 ,83 · 5, 68 − 2, 83 · 4, 68 + 1,17 · 5, 68 − 1,17 · 4, 68 Ƙ Ví dụ Tính nhanh Trang 16 Sưu tầm & biên soạn: Math and LATEX Group