Bài giảng toán thống kê đh nông nghiệp hà nội

TRƢỜNG ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI Bài giảng TOÁN THỐNG KÊ Mục lục Chương NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN MỞ ĐẦU VỀ THỐNG KÊ I TỔNG THỂ VÀ MẪU 1.1 Tổng thể 1.2 Mẫu 1.3 Các phƣơng pháp lấy mẫu II BỐ TRÍ MẪU VÀ PHÂN PHỐI MẪU 2.1 Sắp xếp số liệu 2.2 Biểu diễn hình học mẫu III CÁC SỐ ĐẶC TRƢNG CỦA MẪU 3.1 Trung bình mẫu 2.2 Phƣơng sai mẫu 2.3 Phƣơng sai hiệu chỉnh mẫu IV MẪU NGẪU NHIÊN 4.1 Mẫu ngẫu nhiên 4.2 Các đặc trƣng mẫu ngẫu nhiên 4.3 Thống kê V MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT DÙNG TRONG TOÁN THỐNG KÊ 5.1 Các định lý phân phối chuẩn 5.2 Phân phối khi-bình phƣơng (2) 5.3 Phân phối Student 5.4 Phân phối Fisher-Snedecor 10 5.5 Phân vị mức –  10 BÀI TẬP CHƢƠNG 11 Chương ƢỚC LƢỢNG THAM SỐ 12 Khái niệm toán ƣớc lƣợng tham số 12 I ƢỚC LƢỢNG ĐIỂM 12 1.1 Định nghĩa 12 1.2 Các loại ƣớc lƣợng 12 1.3 Các ƣớc lƣợng điểm thƣờng gặp 13 a-/ Trung bình mẫu ngẫu nhiên: 13 b-/ Phƣơng sai mẫu ngẫu nhiên hiệu chỉnh: 13 c-/ Tần suất 14 II ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG 14 2.1 Khoảng tin cậy Độ tin cậy 14 2.2 Ƣớc lƣợng kỳ vọng (giá trị trung bình) phân phối chuẩn 15 a) Trƣờng hợp biết phƣơng sai D(X) = 2 15 b) Trƣờng hợp phƣơng sai 2 16 2.3 Ƣớc lƣợng phƣơng sai phân phối chuẩn 17 2.4 Ƣớc lƣợng xác suất (tỷ lệ) 17 2.5 Kích thƣớc mẫu cần thiết 19 BÀI TẬP CHƢƠNG 20 ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI Chương KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ 22 I GIẢ THUYẾT, ĐỐI THUYẾT 22 1.1 Giả thuyết, đối thuyết 22 1.2 Quy tắc kiểm định giả thuyết 22 1.3 Các loại sai lầm 23 II CÁC BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH THAM SỐ 23 2.1 Kiểm định kỳ vọng biến chuẩn 23 a) Trƣờng hợp biết phƣơng sai 2 23 b) Trƣờng hợp chƣa biết phƣơng sai 2 24 c) Chú thích: 25 2.2 Kiểm định xác suất (tỷ lệ) 27 2.3 Kiểm định kỳ vọng hai biến chuẩn, mẫu độc lập 28 a) Trƣờng hợp biết σ 2x σ 2y 28 b) Trƣờng hợp σ 2x σ 2y 29 c) Chú ý 30 2.4 Kiểm định kỳ vọng hai biến chuẩn, mẫu theo cặp 31 2.5 Kiểm định phƣơng sai hai biến chuẩn 32 2.6 Kiểm định hai xác suất (so sánh hai tỷ lệ) 33 III MỘT VÀI KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ 34 3.1 Kiểm định luật phân phối xác suất 34 a) Trƣờng hợp pi biết 35 b) Trƣờng hợp pi phụ thuộc tham số chƣa biết 36 3.2 Kiểm định độc lập hai đặc tính định tính 37 BÀI TẬP CHƢƠNG 40 Chương TƢƠNG QUAN VÀ HỒI QUY TUYẾN TÍNH 45 I MẪU THỐNG KÊ HAI CHIỀU 45 1.1 Biến ngẫu nhiên hai chiều 45 1.2 Mẫu thống kê hai chiều 45 a) Nếu mẫu nhỏ (n nhỏ) 45 b) Nếu mẫu lớn có nhiều số liệu trùng 45 c) Nếu mẫu lớn số liệu trùng 45 II HỆ SỐ TƢƠNG QUAN 46 2.1 Sự liên hệ tƣơng quan 46 2.2 Hệ số tƣơng quan lý thuyết 46 2.2 Hệ số tƣơng quan mẫu 47 2.3 Kiểm định tƣơng quan 48 III HỒI QUY TUYẾN TÍNH 49 3.1 Hàm hồi quy lý thuyết 49 3.2 Hàm hồi quy tuyến tính mẫu 50 3.3 Dự báo theo phƣơng trình hồi quy 52 BÀI TẬP CHƢƠNG 54 CÁC BẢNG SỐ 57 Bảng1: Giá trị hàm phân phối chuẩn tắc: 57 Bảng 2: Phân vị Student: 58 Bảng 3: Phân vị bình phƣơng 59 Bảng 4: Phân vị Fisher – Snedecor mức 0,05 60 Bài giảng Toán Thống kê Chương NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN MỞ ĐẦU VỀ THỐNG KÊ I TỔNG THỂ VÀ MẪU 1.1 Tổng thể Trong thực tế khoa học thƣờng phải khảo sát tập hợp có nhiều phần tử Chẳng hạn khảo sát chiều cao niên Việt nam niên Việt nam đối tƣợng cần khảo sát hay khảo sát nang suất giống lúa A đối tƣợng khảo sát ruộng trồng giống lúa A Trong lý thuyết toán thống kê, ngƣời ta gọi tập hợp tổng thể (còn gọi tập hợp đám đông) Số lƣợng cá thể tổng thể gọi kích thƣớc tổng thể, thƣờng ký hiệu chữ in hoa N 1.2 Mẫu Do tổng thể lớn, có nhiều nghiên cứu phải phá huỷ đối tƣợng nghiên cứu, chẳng hạn định lƣợng hàm lƣợng loại thuốc chữa bệnh phƣơng pháp hoá học Bởi cần chọn n phần tử tổng thể để nghiên cứu, n phần tử đƣợc chọn gọi mẫu có kích thƣớc n (hay mẫu có dung lƣợng n) Kích thƣớc mẫu thƣờng nhỏ so với kích thƣớc tổng thể (n 2(, n) ) = , với  cho 2 ~ 2(n) phải tìm 2(, n) (hay 2, n) f(q) n1 n2  O 2(,n2) q2 Đồ thị hàm mật độ biến 2 n bậc tự (n1 < n2) Khi số 2(,n) đƣợc tìm bảng phân phối khi-bình phƣơng giao cột , dòng n Thí dụ: 2(0,05; 4) = 9,488; 2(0,95; 10) = 3,94 5.3 Phân phối Student Định nghĩa: Nếu X, X1, X2, …, Xn biến ngẫu nhiên chuẩn tắc độc lập với X biến ngẫu nhiên T  có phân phối Student với n bậc tự Ký hiệu T ~ t(n) n  Xi n i 1 ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI Phân phối Student phân phối đối xứng (đƣờng cong mật độ xác suất đối xứng qua trục tung) Đồ thị hàm mật độ xác suất biến Student có dạng giống nhƣ đồ thị hàm mật độ xác suất biến chuẩn tắc, nhƣng nhọn (n lớn đƣờng cong mật độ xác suất nhọn) f(t) n1 n2 /2 /2 -t(/2,n1) O t(/2,n1) tT Đồ thị hàm mật độ biến Student Trong toán thống kê thƣờng gặp biểu thức xác suất: n bậc tự (n1 > n2) P(|T| > t(/2, n) ) = , với  cho T ~ t(n) phải tìm t(/2, n) (hay t/2, n) Khi số t(/2, n) đƣợc tìm bảng phân phối Student giao cột , dòng n Thí dụ: t(0,025; 15) = 2,131; t(0,05; 15) = 1,753 Ngƣời ta chứng minh đƣợc n lớn phân phối Student n bậc tự xấp xỉ phân phối chuẩn tắc Trong thực tế, n > 30 phân phối Student n bậc tự đƣợc coi phân phối chuẩn tắc Vi thế: t(0,025; 31) = t(0,025;35) = t(0,025; n) = 1,96, n31 (tra dòng cuối bảng Student) t(0,05; 31) = t(0,05;35) = t(0,05; n) = 1,645, n31 (tra dòng cuối bảng Student) 5.4 Phân phối Fisher-Snedecor Định nghĩa: Nếu X1, X2, …, Xn Y1, Y2, …, Ym biến ngẫu nhiên chuẩn tắc độc n lập với biến ngẫu nhiên F  m Xi2 i 1 m n i 1 gọi biến ngẫu nhiên Fisher với n, m bậc tự Yi2 (Quy luật phân phối xác suất F gọi quy luật Fisher với n, m bậc tự do, ý bậc tự tử số đọc trƣớc) ký hiệu F ~ F(n, m) Trong toán thống kê thƣờng gặp biểu thức xác suất: P(F > F(,n,m) ) = , với  cho F ~ F(n,m) phải tìm F(,n,m) (hay F, n, m) Khi số F(,n,m) đƣợc tìm bảng phân phối khi-bình phƣơng giao cột n, dòng m, bảng  Thí dụ: F(0,05; 9; 12) = 2,796 F(0,05; 12; 9) = 3,073 f(f) n1,m1 n2,m2 O  F(,n1,m1) fF Đồ thị hàm mật độ biến Fisher n,m bậc tự 5.5 Phân vị mức –  Phân vị mức –  biến ngẫu nhiên X số X thỏa mãn: P( X < X)  –   P(X  X) Nếu F(x) hàm phân phối X, từ tính chất hàm phân phối, ta có: F(X)  –   F(X0 ) Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) thì: F(X )  X  f (x)dx     Các số u() ;  (, n); t(, n); F(, n, m) phân phối phân vị mức –  phân phối tƣơng ứng Chú ý phân vị ký hiệu tƣơng ứng: u; 2, n ; t, n; F, n, m 10 Bài giảng Toán Thống kê Vậy có t2D(X) + 2t.cov(X,Y) + D(Y) ≥ 0, t  ’ = [cov(X,Y)]2 – D(X)D(Y) ≤  cov(X, Y)  D(X).D(Y)    cov(X, Y) D(X).D(Y) 1 Tính chất 3:  =  X, Y có quan hệ tuyến tính, nghĩa là:  =  A, B cho Y = A + BX C, D cho X = C + DY Thật vậy,  =  ’ = nên tam thức (*) có nghiệm kép t = t0, vậy: E[t0(X – x) + (Y – y)]2 =  t0(X – x) + (Y – y) = hay Y = t0X + (y + t0x) Đặt t0 = B y + t0x = A Y = A + BX, nghĩa X, Y có quan hệ tuyến tính Từ tính chất suy ý nghĩa hệ số tương quan là:  = (X,Y) dùng để đánh giá mức độ quan hệ tuyến tính X Y: - Khi || =1 X, Y có quan hệ tuyến tính - Khi  = không kết luận đƣợc Khi X, Y độc lập (nếu X, Y biến ngẫu nhiên chuẩn) có quan hệ, nhƣng có quan hệ quan hệ tuyến tính 2.2 Hệ số tƣơng quan mẫu Hệ số tƣơng quan mẫu X Y, ký hiệu r (hay rXY) ƣớc lƣợng điểm hệ số tƣơng quan lý thuyết (X,Y) từ mẫu thống kê hai chiều (x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn) (X,Y) đƣợc tính theo công thức:  n i 1 r=  x  xi  x yi  y n i 1 x i   y n i 1  y i n  , x  n  xi i 1 n y , y i 1 n i (7.1) Biến đổi công thức (7.1) đƣợc công thức sau: n x y r= i 1 i  i n  2  2  2 x  n x y  n y   i i      i 1   i 1  n n n i 1 i 1 n  x i y i   x i  y i  n x y n = i 1  n  n  n  x i    x i   i 1   i 1 2   n  n    n  y i    y i    i 1     i 1 (7.2) Hoặc rút gọn hơn: r= đó: xy  n n xy  x y   xiyi ; x  i 1 (7.2a)  x  x   y  y      n n  xi ; y  i 1 n n  yi ; x2  i 1 n n  x 2i ; y  i 1 n n y i 1 i Công thức (7.2) hay đƣợc dùng để tính hệ số tƣơng quan mẫu r thuận tiện ý dùng nhiều phép chia để tính sai số tính toán lớn Chú ý: Khi tính tổng x, x2, y, y2, xy mẫu có tần số phải lấy tích tần số giá trị tƣơng ứng biến số hạng tổng Thí dụ: Khảo sát chi phí sản suất X (triệu đồng) sản lƣợng Y (nghìn tấn) xí nghiệp sản suất loại sản phẩm đƣợc kết quả: 47 ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI X Y ni 100 40 104 45 106 44 109 49 114 51 Hãy tính hệ số tƣơng quan giƣã X Y Giải: Trƣớc hết phải tính dung lƣợng mẫu tổng x, x2, y, y2, xy Có hai cách tính: Cách thứ nhất: Lập bảng tính: xi yi 100 40 104 45 106 44 109 49 114 51 Tổng ni 2 10 nixi nixi2 200 20000 312 32448 106 11236 218 23762 228 25992 1064 113438 niyi niyi2 80 3200 135 6075 44 1936 98 4802 102 5202 459 21215 nixiyi 8000 14040 4664 10682 11628 49014 Cách thứ hai: Dung lƣợng mẫu: n = + + + + = 10 x = 2.100 + 3.104 + 106 + 2.109 + 2.114 = 1064 x2 = 2.1002 + 3.1042 + 1062 + 2.1092 + 2.1142 = 113438 y = 2.40 + 3.45 + 44 + 2.49 + 2.51 = 459 y2 = 2.402 + 3.452 + 442 + 2.492 + 2.512 = 21215 xy = 2.100.40 + 3.104.45 + 106.44 + 2.109.49 + 2.114.51 = 49014 10.49014  1064.459 r= = 0,963 (10.113438  1064 )(10.21215  459 ) Hệ số tương quan mẫu có đầy đủ tính chất ý nghĩa hệ số tương quan lý thuyết  ≤ r ≤  Hệ số tƣơng quan mẫu r để đánh giá mức độ quan hệ tuyến tính X Y:  Khi r gần phía 1 quan hệ X Y đƣợc coi tuyến tính nên xấp xỉ hệ thức Y = X +   Khi r gần phía coi nhƣ X, Y tƣơng quan tuyến tính Khi |r| > 0,7 X Y đƣợc coi có quan hệ tuyến tính mạnh; |r| ≤ 0,4 coi X, Y quan hệ tuyến tính  Nếu r > 0, tƣơng quan X Y gọi tƣơng quan dƣơng, X Y đồng biến  Nếu r < 0, tƣơng quan X Y gọi tƣơng quan âm, X Y nghịch biến 2.3 Kiểm định tƣơng quan Nhƣ biết,  = X, Y không tƣơng quan tuyến tính, nhiên,  = X, Y biến chuẩn X, Y độc lập Vì vậy, cần (khi hệ số tƣơng quan mẫu r gần 0) phải kiểm định cặp giả thuyết H0:  = với đối thuyết H1:   mức  từ mẫu thống kê hai chiều (x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn) (X,Y) Ngƣời ta chứng minh đƣợc: Nếu H0 (X, Y) biến ngẫu nhiên chuẩn hai chiều thống kê: 48 Bài giảng Toán Thống kê Z= R n2 R n2 , 1 R2 1 r2 có phân phối Student với n–2 bậc tự (trong R hệ số tƣơng quan X Y không gian mẫu thống kê (X,Y)) Vậy có: Quy tắc kiểm định giả thuyết H0:  = với đối thuyết H1:   0, mức : - Tính hệ số tƣơng quan mẫu r - Tính thống kê thực nghiệm: ZT = r - So sánh ZT với t(/2; n – 2) tra bảng Student để kết luận: Nếu |ZT| ≤ t(/2; n – 2) chấp nhận H0:  =  X, Y tƣơng quan tuyến n 2 r2 tính Nếu |ZT| > t(/2; n – 2) chấp nhận H1:    X, Y có quan hệ tuyến tính Thí dụ: Từ mẫu thống kê dung lƣợng 25 biến ngẫu nhiên (X,Y) tính đƣợc hệ số tƣơng quan mẫu r = 0,325 Với mức 0,05, coi X, Y có tƣơng quan tuyến tính với không? Giải: Là toán kiểm định giả thuyết H0:  = với đối thuyết H1:   Theo giả thiết có: ZT = 0,325 25    0,325  = 1,648 Tra bảng đƣợc: t(0,025; 23) = 2,069 Vậy, chấp nhận H0, nghĩa X, Y tƣơng quan tuyến tính III HỒI QUY TUYẾN TÍNH 3.1 Hàm hồi quy lý thuyết Xét biến ngẫu nhiên hai chiều (X,Y), có biến chủ động Việc phát mối quan hệ hàm số X Y vấn đề quan trọng công tác dự báo Tuy nhiên việc khó khăn phức tạp Vì ngƣời ta tìm hàm f(X) thay cho Y cho thay tốt theo nghĩa Trong thống kê, thƣờng tìm hàm f(X) thay tốt theo hai nghĩa sau: 1/ E[Y – f(X)]2  E[Y – g(X)], g(X) (7.5a) 2/ (Y, f(X)]  (Y, g(X)], g(X) (7.5b) Định nghĩa: Nếu cho X = x, Y đại lƣợng ngẫu nhiên nên có kỳ vọng, kỳ vọng đƣợc ký hiệu E(Y/X=x) gọi kỳ vọng có điều kiện Y X = x Cho x thay đổi, E(Y/X) = f(X), hàm Y = f(X) gọi hàm hồi quy lý thuyết Y theo X Tƣơng tự, E(X/Y) = f(Y) hàm X = f(Y) gọi hàm hồi quy lý thuyết X theo Y Ta thừa nhận hàm hồi quy lý thuyết định nghĩa nhƣ thỏa mãn hai yêu cầu (7.5a) 2/(7.5b) nêu Nếu dùng tiêu chuẩn E[Y – f(X)]2 để tìm hàm hồi quy f(X) Y theo X f(X) gọi hàm hồi quy bình phƣơng trung bình lý thuyết Y theo X Nếu hàm hồi quy Y theo X hàm tuyến tính, nghĩa E(Y/X) = A + BX ta có hồi quy tuyến tính Y theo X (đƣơng nhiên hồi quy X theo Y hồi quy tuyến tính: E(X/Y) = C + DY) Các số B, A (hoặc D, C) gọi hệ số hồi quy tuyến tính Nếu hàm hồi quy hàm tuyến tính có hồi quy phi tuyến 49 ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI Về mặt lý thuyết, ngƣời ta chứng minh đƣợc là, hệ số tƣơng quan mẫu r gần 1 có hồi quy tuyến tính Chú ý r gần  tƣơng quan tuyến tính X Y mạnh Về mặt hình học, biểu diễn điểm Mi(xi, yi) với (xi,yi), i = 1,2, …,n mẫu thống kê hai chiều lên mặt phẳng toạ độ OXY đƣợc tập hợp điểm gọi trƣờng tƣơng quan (hay đám mây quan sát) Có trƣờng hợp sau:  Các điểm Mi nằm rải rác mặt phẳng tọa độ, coi X, Y tƣơng quan (hình a)  Các điểm Mi nằm xung quanh đƣờng cong đó, coi X, Y có tƣơng quan hàm số (hình b)  Các điểm Mi nằm xung quanh đoạn thẳng, coi X, Y có tƣơng quan tuyến tính (hình c, d) Y Y X b) Tƣơng quan hàm bậc hai (r gần 0) X a) Không tƣơng quan (r gần 0) Y Y X X d) Tƣơng quan tuyến tính (r < 0, gần  1) c) Tƣơng quan tuyến tính (r > 0, gần 1) 3.2 Hàm hồi quy tuyến tính mẫu Giả sử có hồi quy tuyến tính Y theo X, nghĩa là: E(Y/X) = A + BX, A, B chƣa biết Với mẫu thống kê (x1,y1); (x2,y2); …; (xn,yn) hàm số Y = f(X) = a + bX thỏa mãn: n n  [ y  (a  bx )]   [ y  ( A  Bx )] i 1 i i i 1 i i , AR, BR (Theo tiêu chuẩn 7.5a) gọi hàm hồi quy tuyến tính mẫu (hay hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm) Y theo X Các số a, b gọi hệ số hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X Để xác định a, b ta đặt: (A,B) = n  [y i 1 50 i  (A  B)x i ]2 Bài giảng Toán Thống kê Khi (a,b) giá trị nhỏ (A,B) Theo phƣơng pháp tìm cực trị hàm số hai biến số học toán cao cấp (a,b) nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính: n n  na  b x  yi   i   i 1 i 1  n n n a x  b x  xiyi   i i   i 1 i 1 i 1 Giải hệ (7.5) đƣợc: b= hay: n  x i y i    x i   y i  b= n  x 2i    x i  xy  x y  x  x đó: xy  n ; n  x y  n.x y  x  n x  i i 2 i ; a= y i  b x i (7.7) n a = y a x  xiyi ; x  i 1 = (7.6) n (7.7a) n  xi ; y  i 1 n n  yi ; x2  i 1 n n  x 2i ; y  i 1 n n y i 1 i Chú ý tính tổng x, x , y, y , xy mẫu có tần số phải lấy tích tần số giá trị tƣơng ứng biến 2 Chú thích 1: Hoàn toàn tƣơng tự, ta có công thức tính hệ số hồi quy tuyến tính thực nghiệm X = c + dY X theo Y: d= hay: d= n  x i y i    x i   y i  n  y   yi  i xy  x y  y  y 2 ; c = x d y =  x y  n.x y ;  y  n y  i i i c= x i  d  yi n (7.8) (7.8a) Chú thích 2: Xét ý nghĩa hình học phƣơng pháp xác định hệ số hồi quy: Đặt: i = yi – (a + bxi) (7.9) Thì i độ lệch giá trị thực nghiệm yi giá trị tƣơng ứng đƣờng Y y = a + bx thẳng hồi quy y = a + bx Ngƣời ta gọi i yi sai số hay phần dƣ thứ i i a + bx i i biểu thị sai số mô hình tuyến tính biểu thị mối quan hệ X Y Nhƣ phƣơng pháp tìm hàm hồi quy tuyến tính mẫu tìm đƣờng thẳng y = X a + bx cho tổng tất độ lệch i xi nhỏ Nói cách khác đƣờng thẳng “gần” điểm Mi(xi, yi) Thí dụ: Tìm hàm hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X hàm hồi quy tuyến tính mẫu X theo Y từ thí dụ mục 2.2 Ở tính đƣợc: n = 10; x = 1064; x2 = 113438; y = 459; y2 = 21215; xy = 49014 51 ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI Từ đó, hệ số hồi quy tuyến tính Y theo X là: 10.49014  1064.459 459  0,772.1064 = 0,772; a= =  36,241 10.113438  1064 10 Vậy, phƣơng trình đƣờng hồi quy tuyến tính thực nghiệm Y theo X là: Y = 0,772X – 36,241 Các hệ số hồi quy tuyến tính X theo Y là: b= 10.49014  1064.459 1064  1,2008.459 = 1,2008; d = = 51,2833 10.21215  459 10 Vậy, phƣơng trình đƣờng hồi quy tuyến tính thực nghiệm X theo Y là: X = 1,201Y – 51,283 d= 3.3 Dự báo theo phƣơng trình hồi quy Khi lập đƣợc phƣơng trình hồi quy tuyến tính Y theo X: Y = a + bX dùng phƣơng trình để dự báo giá trị y0 ứng với giá trị x0 giá trị xi quan sát: a + bx0 = y0 (7.10) Chú ý dự báo xác x0 gần giá trix; sai số dự báo lớn x0 xa giá trịx Thí dụ: Thí nghiệm lƣợng phân bón X (g/m2) suất loại trồng Y (kg/m2) đƣợc kết quả: X Y 25 0,35 35 0,37 45 0,38 55 0,37 65 0,40 75 0,42 85 0,45 95 0,43 105 0,46 115 0,48 a) Tính hệ số tƣơng quan X Y b) Tìm phƣơng trình đƣờng hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X Dự báo suất bón phân với 50 g/m2 Giải: Ta có: n = 10; x = 700; x2 = 57250; y = 4,11; y2 = 1,7065; xy = 299,25 Từ đó: a) Hệ số tƣơng quan X Y là: r= 10.299,25  700.4,11 10.57250  700 2  10.1,7065  4,11 2     = 0,967 b) Các hệ số hồi quy tuyến tính Y theo X là: b= 10.299,25  700.4,11 10.57250  700  = 0,0014; a= 4,11  0,0014.700 = 0,313 10 Vây, phƣơng trình hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X là: Y = 0,0014X + 0,313 Nếu x0 = 50 y0 = 0,0014.50 + 0,313 = 0,383 Vậy, bón 50g/m2 suất 0,313 kg/m2 Chú thích: Cách tốt để tính hệ số tƣơng quan mẫu tìm phƣơng trình đƣờng hồi quy tuyến tính từ bảng thống kê hai hai lối vào chuyển thành bảng có tần số Thí dụ: Cho mẫu thống kê biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y): 52 Bài giảng Toán Thống kê X 1 Y 12,5 13,5 14,5 5 3 a) Tính hệ số tƣơng quan mẫu X Y b) Kiểm định giả thuyết H0:  = 0, đối thuyết H1:   mức 0,05 c) Nếu có hồi quy tuyến tính, tìm phƣơng trình đƣờng hồi quy tuyến Y theo X X theo Y Giải: Đƣa mẫu dạng: X 2 5 8 1 Y 14,5 14,5 13,5 13,5 12,5 13,5 12,5 ni 3 Ta có: n = + + … + = 20; x = 1 + 2.2 + … + 3.8 = 91; x2 = (1)2 + 2.22 + … + 3.82 = 563; y = 14.5 + 2.14.5 + … + 3.12,5 = 268; y2 = 14.52 + 2.14.52 + … + 3.12,52 = 3599; xy = 1.14,5 + 2.2.14,5 + … + 3.8.12,5 = 1197,5 Từ đó: a) Hệ số tƣơng quan mẫu là: r= 20.1197,5  91.268 20.563  91  20.3588  268  b) Lƣợng thống kê thực nghiệm: ZT = 0,643 = 0,643 18   0,643  = 3,562 Tra bảng Student đƣợc: t(0,025; 18) = 2,101 Vậy, chấp nhận H1:  = b) Các hệ số hồi quy tuyến tính Y theo X là: 268  91  20.1197,5  91.268   0,147 b= = 0,147; a= = 14,069 20  20  20.563  91 Phƣơng trình đƣờng hồi quy tuyến tính Y theo X là: Y = 14,069  0,147X ; Các hệ số hồi quy tuyến tính X theo Y là: 91  268  20.1197,5  91.268   2,808 d= = 2,808; c= = 42,177 20  20  20.3599  268 Phƣơng trình đƣờng hồi quy tuyến tính Y theo X là: X = 42,177  2,808Y 53 ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI BÀI TẬP CHƢƠNG (14)Theo d i tiền vốn X tiền lãi Y (đơn vị triệu đồng) 10 trại gà ta đƣợc bảng số liệu: X Y 50 7,0 52 7,2 50 7,2 54 7,6 56 7,4 51 6,9 58 7,5 69 7,8 64 8,0 55 7,4 Biết X, Y đại lƣợng ngẫu nhiên phân phối chuẩn a) Với độ tin cậy 0,95, tìm khoảng tin cậy E(Y) b) Tính hệ số tƣơng quan mẫu X Y c) Tìm phƣơng trình đƣờng hồi qui tuyến tính thực nghiệm Y theo X Đs: a) y = 7,4; s2 = 0,1178; [7,15; 7,65]; b) r = 0,918; b) Y = 0,068X + 3,647 (6)Theo d i vi lƣợng A đất trồng (Xmg/kg đất) suất loại rau (Y tấn/ha) ta có kết sau: X Y 16 10 17 9,3 18 8,7 19 9,7 20 21 8,1 22 23 8,2 24 7,7 25 7,6 26 7,9 27 7,8 a) Tính hệ số tƣơng quan mẫu r X Y b) Tìm hàm hồi qui tuyến tính thực nghiệm Y theo X Đs: a) r =  0,875; b) Y =  0,199X + 12,785 (5)Ngƣời ta xét 10 mảnh ruộng đƣợc kết sau tỉ lệ hạt suất lúa: Mảnh số % hạt (X%) NS (X tấn/ha) a) b) c) d) 83 80 90 7,5 83 5,5 85 5,3 95 5,6 90 6,8 85 6,9 93 7,3 10 88 6,5 Tính hệ số tƣơng quan mẫu hai tiêu Với mức 0,05 coi hệ số tƣơng quan đƣợc không? Tìm hàm hồi qui tuyến tính mẫu chúng Giả sử X, Y biến chuẩn Hãy tìm ƣớc lƣợng khoảng y với P = 0,95 Đs: a) r = 0,644; b) ZT = 3,381< t0,025; =2,306  Chấp nhận H1:   0; c) Y = 0,152X  7,200; X = 2,735Y + 70,680; d) y = 6,04; s2 = 1,280; [5,23; 6,85] (1)Theo d i doanh thu X tiền lãi Y 10 cửa hàng kinh doanh mĩ phẩm tháng Hà Nội ta có kết sau (Đơn vị triệu đồng/tháng): X Y ni 32 4,2 34 4,4 36 4,6 38 5,0 a) Tính hệ số tƣơng quan mẫu Y b) Lập hàm hồi qui tuyến tính thực nghiệm Y theo X Đs: a) r = 0,979; b) Y = 0,129 X+ 0,04 (4)Theo d i 10 nông trại ta đƣợc số liệu sau: X Y 11,3 13,2 12,9 15,6 13,6 17,2 16,8 18,8 18,8 20,2 22,0 21,9 22,2 22,4 23,7 23,0 26,6 24,4 Y tổng sản phẩm nông nghiệp, X tổng tài sản cố định (triệu đồng) a) Tìm hệ số tƣơng quan mẫu X Y 54 27,5 24,6 Bài giảng Toán Thống kê b) Tìm đƣờng hồi qui tuyến tính thực nghiệm Y theo X X theo Y c) Nếu tổng sản phẩm 28 dự kiến tổng tài sản cố định bao nhiêu? a) r = 0,982; b) Y = 0,656X + 7.304; X = 1,468Y  10,019; c) 31,085 (2)(15)Để nghiên cứu ảnh hƣởng lƣợng phân bón X (tạ/ha) suất lúa Y (tấn/ha), ngƣời ta thí nghiệm 10 ruộng Sau thu hoạch ta có kết sau: X Y 1,2 1,4 3,9 4,1 4,3 1,5 1,6 a) Tính hệ số tƣơng quan mẫu X Y b) Tìm hàm hồi qui tuyến tính thực nghiệm Y theo X Đs: a) r = 0,749; b) Y = 0,667X + 3,038 (16)Theo d i số tiền chi cho quảng cáo X (triệu đồng) tiền bán hàng Y (100 triệu đồng) 12 hãng sản xuất đƣợc bảng sau: X Y 3,8 2,5 3,9 3,6 4,5 4,4 4,9 4,2 5,6 5,2 2,5 4,8 5,1 a) Tìm hệ số tƣơng quan mẫu X Y b) Kiểm định giả thuyết H0:   với đối thuyết H1:   mức ý nghĩa 0,05 c) Tìm hàm hồi qui tuyến tính thực nghiệm Y theo X d) Nếu chi cho quảng cáo lên tới 5,5 triệu đồng dự kiến bán đƣợc tiền hàng? Đs: a) r = 0,647; b) ZT = 2,683< t0,025; 10 =2,228  Chấp nhận H1; c) Y = 0,332X + 3,366; d) 5,192 (19)Theo d i ảnh hƣởng chất độc X nƣớc uống (đơn vị: 10 mg/m3) đến tăng trọng Y loài động vật (đơn vị: kg), sau tháng có bảng sau X Y 15 14 10 11 12 11 14 10 16 18 20 22 24 a) Tìm hệ số tƣơng quan mẫu X Y b) Tìm đƣờng hồi qui tuyến tính thực nghiệm Y theo X c) Khi lƣợng chất độc tăng lên đơn vị mức tăng trọng động vật giảm bao nhiêu? d) Dự đoán xem lƣợng chất độc lên đến động vật không tăng trọng Đs: a) r =  0,993 b) Y = 0,70X + 19,20; c) 0,70kg; d) 27,43 mg/m3 H.dẫn: c) số giảm cân/đơn vị độc chất = Y(X+1) – Y(X); d) Tìm X Y = (8)Theo d i suất cỏ (tấn/ha) hai vụ 10 địa điểm đƣợc kết quả: Địa điểm Vụ X Vụ Y 8 10 11 12 13 14 16 16 18 18 20 20 22 22 24 10 24 28 Giả sử X Y phân phối chuẩn N(X, X2) N(Y, Y2) 55 ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI a) b) c) d) Hãy ƣớc lƣợng X với độ tin cậy 0,95 Tính hệ số tƣơng quan X Y Tìm phƣơng trình đƣờng hồi qui tuyến tính Y theo X So sánh cặp x y với đối thiết phía Kết có thay đổi không tiến hành so sánh độc lập? (mức ý nghĩa 0,05) Đs: a) x = 15,0; sx2 = 36,6667; [11,27; 21,73]; b) r = 0,997; c) Y = 1,203X  1,546 d) d =  1,5; s = 1,833; ZT =  3,503; Chấp nhận H1: x < y Nếu so sánh độc lập: x = 15,0; sx2 = 36,6667; y = 16,5; sy2 = 53,3889; s2 = 45,0278; ZT = 0,4998  Chấp nhận H0: x =y 10 (20)Theo d i dƣ lƣợng Y (mg/kg) loại thuốc bảo vệ thực vật rau sau X ngày phun có bảng số liệu sau: X Y 12 11,9 11,5 11,3 10,5 9,3 8,1 7,2 6,1 10 5,1 a) Tính hệ số tƣơng quan mẫu r X Y b) Tìm hàm hồi qui tuyến tính thực nghiệm Y theo X Hãy dự đoán xem sau ngày không dƣ lƣợng thuốc bảo vệ thực vật rau? Đs: a) r =  0,975; 56 b) Y =  0,818X + 13,80; Sau 17 ngày (tìm X Y =0) Bài giảng Toán Thống kê CÁC BẢNG SỐ t2 x 2 e dt Bảng1: Giá trị hàm phân phối chuẩn tắc: Φ(x)  2π  x 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,0 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,01 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,02 0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,03 0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,04 0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,05 0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,06 0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,07 0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,08 0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844 0,09 0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212 0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238 0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264 0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289 0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315 0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340 0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365 0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222 0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236 0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306 0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726 0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756 0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761 0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918 0,9938 0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920 0,9940 0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922 0,9941 0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925 0,9943 0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927 0,9945 0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929 0,9946 0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931 0,9948 0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932 0,9949 0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934 0,9951 0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936 0,9952 2,6 2,7 2,8 2,9 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 0,9987 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9987 0,9991 0,9993 0,9995 0,9997 0,9987 0,9991 0,9994 0,9995 0,9997 0,9988 0,9991 0,9994 0,9996 0,9997 0,9988 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9989 0,9992 0,9995 0,9996 0,9997 0,9990 0,9993 0,9995 0,9996 0,9997 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 Số u(/2) thỏa mãn P(|U| > u/2) =   P(|U| ≤ u/2) = –  với U~N(0,1) đƣợc tìm nhƣ sau: Tìm số – /2 bảng, dóng theo hàng cột đƣợc u(/2) = số cột x + số hàng x 57 ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI Bảng 2: Phân vị Student: P(|T| > t/2, n) =   0,99 0,95 0,9 0,5 0,2 0,02 0,01 0,005 0,0157 0,0141 0,0136 0,0133 0,0132 0,0787 0,0708 0,0681 0,0667 0,0659 0,1584 0,1421 0,1366 0,1338 0,1322 1,0000 0,8165 0,7649 0,7407 0,7267 3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 6,314 12,706 25,452 2,920 4,303 6,205 2,353 3,182 4,177 2,132 2,776 3,495 2,015 2,571 3,163 31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 63,657 9,925 5,841 4,604 4,032 127,321 14,089 7,453 5,598 4,773 10 0,0131 0,0130 0,0129 0,0129 0,0129 0,0654 0,0650 0,0647 0,0645 0,0643 0,1311 0,1303 0,1297 0,1293 0,1289 0,7176 0,7111 0,7064 0,7027 0,6998 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,969 2,841 2,752 2,685 2,634 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 4,317 4,029 3,833 3,690 3,581 11 12 13 14 15 0,0128 0,0128 0,0128 0,0128 0,0127 0,0642 0,0640 0,0639 0,0638 0,0638 0,1286 0,1283 0,1281 0,1280 0,1278 0,6974 0,6955 0,6938 0,6924 0,6912 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,593 2,560 2,533 2,510 2,490 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 3,497 3,428 3,372 3,326 3,286 16 17 18 19 20 0,0127 0,0127 0,0127 0,0127 0,0127 0,0637 0,0636 0,0636 0,0635 0,0635 0,1277 0,1276 0,1274 0,1274 0,1273 0,6901 0,6892 0,6884 0,6876 0,6870 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,473 2,458 2,445 2,433 2,423 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 3,252 3,222 3,197 3,174 3,153 21 22 23 24 25 0,0127 0,0127 0,0127 0,0127 0,0127 0,0635 0,0634 0,0634 0,0634 0,0633 0,1272 0,1271 0,1271 0,1270 0,1269 0,6864 0,6858 0,6853 0,6848 0,6844 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,414 2,405 2,398 2,391 2,385 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 3,135 3,119 3,104 3,091 3,078 26 27 28 29 30 0,0127 0,0127 0,0126 0,0126 0,0126 0,0633 0,0633 0,0633 0,0633 0,0632 0,1269 0,1268 0,1268 0,1268 0,1267 0,6840 0,6837 0,6834 0,6830 0,6828 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,379 2,373 2,368 2,364 2,360 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 3,067 3,057 3,047 3,038 3,030  0,0125 0,0627 0,1257 0,6745 1,282 0,95 0,9 0,5 0,2  0,99 1,645 0,1 1,960 0,05 2,241 0,025 2,326 0,02 2,576 0,01 2,807 0,005 n 0,1 0,05 0,025 Số t(/2; n) thỏa mãn: P(|T| > t/2; n) =   P(|T| ≤ t/2; n) = – , với T~t(n) nằm giao cột , dòng n 58 Bài giảng Toán Thống kê Bảng 3: Phân vị bình phƣơng: n  0,99 0,98 0,975 0,95 0,9 0,1 0,05 0,025 0,02 2,706 4,605 6,251 7,779 9,236 5,024 7,378 9,348 11,14 12,83 3 14,44 5,412 7,824 9,837 11,66 13,38 8 15,03 6,635 9,210 11,34 13,27 15,08 16,81 16,01 17,53 19,02 20,48 3 21,92 16,62 18,16 19,67 21,16 22,61 18,47 20,09 21,66 23,20 24,72 0,000 0,020 0,115 0,297 0,554 0,000 0,040 0,185 0,429 0,752 0,001 0,051 0,216 0,484 0,831 0,004 0,103 0,352 0,711 1,145 0,016 0,211 0,584 1,064 1,610 10 0,872 1,239 1,646 2,088 2,558 1,134 1,564 2,033 2,532 3,059 1,237 1,690 2,180 2,700 3,247 1,635 2,167 2,733 3,325 3,940 2,204 2,833 3,490 4,168 4,865 11 12 13 14 15 3,053 3,571 4,107 4,660 5,229 3,609 4,178 4,765 5,368 5,985 3,816 4,404 5,009 5,629 6,262 4,575 5,226 5,892 6,571 7,261 5,578 6,304 7,042 7,790 8,547 16 17 18 19 20 5,812 6,408 7,015 7,633 8,260 6,614 7,255 7,906 8,567 9,237 6,908 7,564 8,231 8,907 9,591 21 22 23 24 25 8,897 9,542 10,19 10,85 11,52 12,19 12,87 13,56 14,25 14,95 15,65 9,915 10,60 11,29 11,99 12,69 13,40 14,12 14,84 15,57 16,30 17,04 7,962 8,672 9,390 10,11 10,85 10,28 11,59 10,98 12,33 11,68 13,09 12,40 13,84 13,12 14,61 13,84 15,37 14,57 16,15 15,30 16,92 16,04 17,70 8 16,79 18,49 17,53 19,28 16,36 17,07 17,78 18,50 9 36 19,23 37 19,96 38 20,69 39 21,42 40 22,16 17,78 18,52 19,27 20,02 20,78 18,29 19,04 19,80 20,56 21,33 21,54 22,30 23,06 23,83 22,10 22,87 23,65 24,43 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 P(χ > χ α;n )=α 3,841 5,991 7,815 9,488 11,07 10,64 12,59 12,01 14,06 13,36 15,50 7 14,68 16,91 15,98 18,30 7 17,27 19,67 0,01 18,54 19,81 21,06 22,30 9,312 23,54 10,08 24,76 10,86 25,98 11,65 27,20 12,44 28,41 13,24 29,61 21,02 22,36 23,68 24,99 26,29 23,33 24,73 26,11 27,48 28,84 24,05 25,47 26,87 28,25 29,63 26,21 27,68 29,14 30,57 32,00 27,58 28,86 30,14 31,41 32,67 30,19 31,52 32,85 34,17 35,47 30,99 32,34 33,68 35,02 36,34 33,40 34,80 36,19 37,56 38,93 14,04 14,84 15,65 16,47 17,29 18,11 18,93 19,76 20,59 21,43 30,81 32,00 33,19 34,38 35,56 36,74 37,91 39,08 40,25 41,42 33,92 35,17 36,41 37,65 38,88 40,11 41,33 42,55 43,77 44,98 36,78 38,07 39,36 40,64 41,92 43,19 44,46 45,72 46,97 48,23 37,65 38,96 40,27 41,56 42,85 44,14 45,41 46,69 47,96 49,22 40,28 41,63 42,98 44,31 45,64 46,96 48,27 49,58 50,89 52,19 20,07 20,86 21,66 22,46 23,26 22,27 23,11 23,95 24,79 25,64 42,58 43,74 44,90 46,05 47,21 46,19 47,40 48,60 49,80 2 50,99 49,48 50,72 51,96 53,20 54,43 50,48 51,74 52,99 54,24 55,48 53,48 54,77 56,06 57,34 58,61 24,07 24,88 25,69 26,50 26,49 27,34 28,19 29,05 48,36 49,51 50,66 51,80 52,19 53,38 54,57 55,75 55,66 56,89 58,12 59,34 56,73 57,96 59,20 60,43 59,89 61,16 62,42 63,69 Số 2(; n) thỏa mãn P (2 > 2(; n)) =   P(2 ≤ 2(, n) = –  nằm cột , dòng n 59 ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI Bảng 4: Phân vị Fisher – Snedecor mức 0,05 (P(F > F(0,05; n; m)) = 0,05 n m 60 10 11 12 13 14 15 16 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845 8.812 8.786 8.763 8.745 8.729 8.715 8.703 8.692 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041 5.999 5.964 5.936 5.912 5.891 5.873 5.858 5.844 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818 4.772 4.735 4.704 4.678 4.655 4.636 4.619 4.604 10 4.757 4.347 4.066 3.863 3.708 4.534 4.120 3.838 3.633 3.478 4.387 3.972 3.687 3.482 3.326 4.284 3.866 3.581 3.374 3.217 4.207 3.787 3.500 3.293 3.135 4.147 3.726 3.438 3.230 3.072 4.099 3.677 3.388 3.179 3.020 4.060 3.637 3.347 3.137 2.978 4.027 3.603 3.313 3.102 2.943 4.000 3.575 3.284 3.073 2.913 3.976 3.550 3.259 3.048 2.887 3.956 3.529 3.237 3.025 2.865 3.938 3.511 3.218 3.006 2.845 3.922 3.494 3.202 2.989 2.828 11 12 13 14 15 3.587 3.490 3.411 3.344 3.287 3.357 3.259 3.179 3.112 3.056 3.204 3.106 3.025 2.958 2.901 3.095 2.996 2.915 2.848 2.790 3.012 2.913 2.832 2.764 2.707 2.948 2.849 2.767 2.699 2.641 2.896 2.796 2.714 2.646 2.588 2.854 2.753 2.671 2.602 2.544 2.818 2.717 2.635 2.565 2.507 2.788 2.687 2.604 2.534 2.475 2.761 2.660 2.577 2.507 2.448 2.739 2.637 2.554 2.484 2.424 2.719 2.617 2.533 2.463 2.403 2.701 2.599 2.515 2.445 2.385 16 17 18 19 20 3.239 3.197 3.160 3.127 3.098 3.007 2.965 2.928 2.895 2.866 2.852 2.810 2.773 2.740 2.711 2.741 2.699 2.661 2.628 2.599 2.657 2.614 2.577 2.544 2.514 2.591 2.548 2.510 2.477 2.447 2.538 2.494 2.456 2.423 2.393 2.494 2.450 2.412 2.378 2.348 2.456 2.413 2.374 2.340 2.310 2.425 2.381 2.342 2.308 2.278 2.397 2.353 2.314 2.280 2.250 2.373 2.329 2.290 2.256 2.225 2.352 2.308 2.269 2.234 2.203 2.333 2.289 2.250 2.215 2.184 21 22 23 24 25 3.072 3.049 3.028 3.009 2.991 2.840 2.817 2.796 2.776 2.759 2.685 2.661 2.640 2.621 2.603 2.573 2.549 2.528 2.508 2.490 2.488 2.464 2.442 2.423 2.405 2.420 2.397 2.375 2.355 2.337 2.366 2.342 2.320 2.300 2.282 2.321 2.297 2.275 2.255 2.236 2.283 2.259 2.236 2.216 2.198 2.250 2.226 2.204 2.183 2.165 2.222 2.198 2.175 2.155 2.136 2.197 2.173 2.150 2.130 2.111 2.176 2.151 2.128 2.108 2.089 2.156 2.131 2.109 2.088 2.069 26 27 28 29 30 2.975 2.960 2.947 2.934 2.922 2.743 2.728 2.714 2.701 2.690 2.587 2.572 2.558 2.545 2.534 2.474 2.459 2.445 2.432 2.421 2.388 2.373 2.359 2.346 2.334 2.321 2.305 2.291 2.278 2.266 2.265 2.250 2.236 2.223 2.211 2.220 2.204 2.190 2.177 2.165 2.181 2.166 2.151 2.138 2.126 2.148 2.132 2.118 2.104 2.092 2.119 2.103 2.089 2.075 2.063 2.094 2.078 2.064 2.050 2.037 2.072 2.056 2.041 2.027 2.015 2.052 2.036 2.021 2.007 1.995 31 32 33 34 35 2.911 2.901 2.892 2.883 2.874 2.679 2.668 2.659 2.650 2.641 2.523 2.512 2.503 2.494 2.485 2.409 2.399 2.389 2.380 2.372 2.323 2.313 2.303 2.294 2.285 2.255 2.244 2.235 2.225 2.217 2.199 2.189 2.179 2.170 2.161 2.153 2.142 2.133 2.123 2.114 2.114 2.103 2.093 2.084 2.075 2.080 2.070 2.060 2.050 2.041 2.051 2.040 2.030 2.021 2.012 2.026 2.015 2.004 1.995 1.986 2.003 1.992 1.982 1.972 1.963 1.983 1.972 1.961 1.952 1.942 36 37 38 39 40 2.866 2.859 2.852 2.845 2.839 2.634 2.626 2.619 2.612 2.606 2.477 2.470 2.463 2.456 2.449 2.364 2.356 2.349 2.342 2.336 2.277 2.270 2.262 2.255 2.249 2.209 2.201 2.194 2.187 2.180 2.153 2.145 2.138 2.131 2.124 2.106 2.098 2.091 2.084 2.077 2.067 2.059 2.051 2.044 2.038 2.033 2.025 2.017 2.010 2.003 2.003 1.995 1.988 1.981 1.974 1.977 1.969 1.962 1.954 1.948 1.954 1.946 1.939 1.931 1.924 1.934 1.926 1.918 1.911 1.904 Bài giảng Toán Thống kê Bảng 4: Phân vị Fisher – Snedecor mức 0,05 (Tiếp theo) (P(F > F(0,05; n; m)) = 0,05 n m 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 8.683 8.675 8.667 8.660 8.654 8.648 8.643 8.639 8.634 8.630 8.626 8.623 8.620 8.617 5.832 5.821 5.811 5.803 5.795 5.787 5.781 5.774 5.769 5.763 5.759 5.754 5.750 5.746 4.590 4.579 4.568 4.558 4.549 4.541 4.534 4.527 4.521 4.515 4.510 4.505 4.500 4.496 10 3.908 3.480 3.187 2.974 2.812 3.896 3.467 3.173 2.960 2.798 3.884 3.455 3.161 2.948 2.785 3.874 3.445 3.150 2.936 2.774 3.865 3.435 3.140 2.926 2.764 3.856 3.426 3.131 2.917 2.754 3.849 3.418 3.123 2.908 2.745 3.841 3.410 3.115 2.900 2.737 3.835 3.404 3.108 2.893 2.730 3.829 3.397 3.102 2.886 2.723 3.823 3.391 3.095 2.880 2.716 3.818 3.386 3.090 2.874 2.710 3.813 3.381 3.084 2.869 2.705 3.808 3.376 3.079 2.864 2.700 11 12 13 14 15 2.685 2.583 2.499 2.428 2.368 2.671 2.568 2.484 2.413 2.353 2.658 2.555 2.471 2.400 2.340 2.646 2.544 2.459 2.388 2.328 2.636 2.533 2.448 2.377 2.316 2.626 2.523 2.438 2.367 2.306 2.617 2.514 2.429 2.357 2.297 2.609 2.505 2.420 2.349 2.288 2.601 2.498 2.412 2.341 2.280 2.594 2.491 2.405 2.333 2.272 2.588 2.484 2.398 2.326 2.265 2.582 2.478 2.392 2.320 2.259 2.576 2.472 2.386 2.314 2.253 2.570 2.466 2.380 2.308 2.247 16 17 18 19 20 2.317 2.272 2.233 2.198 2.167 2.302 2.257 2.217 2.182 2.151 2.288 2.243 2.203 2.168 2.137 2.276 2.230 2.191 2.155 2.124 2.264 2.219 2.179 2.144 2.112 2.254 2.208 2.168 2.133 2.102 2.244 2.199 2.159 2.123 2.092 2.235 2.190 2.150 2.114 2.082 2.227 2.181 2.141 2.106 2.074 2.220 2.174 2.134 2.098 2.066 2.212 2.167 2.126 2.090 2.059 2.206 2.160 2.119 2.084 2.052 2.200 2.154 2.113 2.077 2.045 2.194 2.148 2.107 2.071 2.039 21 22 23 24 25 2.139 2.114 2.091 2.070 2.051 2.123 2.098 2.075 2.054 2.035 2.109 2.084 2.061 2.040 2.021 2.096 2.071 2.048 2.027 2.007 2.084 2.059 2.036 2.015 1.995 2.073 2.048 2.025 2.003 1.984 2.063 2.038 2.014 1.993 1.974 2.054 2.028 2.005 1.984 1.964 2.045 2.020 1.996 1.975 1.955 2.037 2.012 1.988 1.967 1.947 2.030 2.004 1.981 1.959 1.939 2.023 1.997 1.973 1.952 1.932 2.016 1.990 1.967 1.945 1.926 2.010 1.984 1.961 1.939 1.919 26 27 28 29 30 2.034 2.018 2.003 1.989 1.976 2.018 2.002 1.987 1.973 1.960 2.003 1.987 1.972 1.958 1.945 1.990 1.974 1.959 1.945 1.932 1.978 1.961 1.946 1.932 1.919 1.966 1.950 1.935 1.921 1.908 1.956 1.940 1.924 1.910 1.897 1.946 1.930 1.915 1.901 1.887 1.938 1.921 1.906 1.891 1.878 1.929 1.913 1.897 1.883 1.870 1.921 1.905 1.889 1.875 1.862 1.914 1.898 1.882 1.868 1.854 1.907 1.891 1.875 1.861 1.847 1.901 1.884 1.869 1.854 1.841 31 32 33 34 35 1.965 1.953 1.943 1.933 1.924 1.948 1.937 1.926 1.917 1.907 1.933 1.922 1.911 1.902 1.892 1.920 1.908 1.898 1.888 1.878 1.907 1.896 1.885 1.875 1.866 1.896 1.884 1.873 1.863 1.854 1.885 1.873 1.863 1.853 1.843 1.875 1.864 1.853 1.843 1.833 1.866 1.854 1.844 1.833 1.824 1.857 1.846 1.835 1.825 1.815 1.849 1.838 1.827 1.817 1.807 1.842 1.830 1.819 1.809 1.799 1.835 1.823 1.812 1.802 1.792 1.828 1.817 1.806 1.795 1.786 36 37 38 39 40 1.915 1.907 1.899 1.892 1.885 1.899 1.890 1.883 1.875 1.868 1.883 1.875 1.867 1.860 1.853 1.870 1.861 1.853 1.846 1.839 1.857 1.848 1.841 1.833 1.826 1.845 1.837 1.829 1.821 1.814 1.834 1.826 1.818 1.810 1.803 1.824 1.816 1.808 1.800 1.793 1.815 1.806 1.798 1.791 1.783 1.806 1.798 1.790 1.782 1.775 1.798 1.789 1.781 1.774 1.766 1.790 1.782 1.774 1.766 1.759 1.783 1.775 1.766 1.759 1.751 1.776 1.768 1.760 1.752 1.744 61 [...]... 13,8788, s = 3,7254 11 ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI Chương 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ Khái niệm về bài toán ƣớc lƣợng tham số Giả sử khi nghiên cứu biến ngẫu nhiên X tồn tại trong một tập hợp chính nào đó, chúng ta đã biết quy luật phân phối xác suất của X, tuy nhiên còn tham số  nào đó của X chƣa xác định đƣợc giá trị, ta phải tiến hành xác định giá trị của  bằng một mẫu thống kê (x1, x2,…,xn) của X Bài toán... Xi ~ N   0 ,   n i 1 n  X  0 n   X  0  2 ~ N(0, 1)   n Chọn thống kê Z thì với  đã cho, nếu đối thuyết là: a1) H1:   0 thì tìm số u/2 từ bảng chuẩn sao cho: P(| Z | > u/2) =  Vậy có miền bác bỏ giả thuyết H0 là: W = {|Z| > u/2}  (–,–u/2)  (u/2, )  Thống kê Z = 23 ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI a2) H1:  > 0 thì tìm số u từ bảng chuẩn sao cho: Vậy có miền bác bỏ giả thuyết... Chấp nhận H0 c) Chú thích: Việc tiến hành kiểm định hai phía hay một phía là tuỳ thuộc vào giá trị trung bình mẫux tính đƣợc và số 0 đã cho:  Nếux  0 thì tiến hành kiểm định hai phía  Nếux > 0 thì tiến hành kiểm định một phía với H1:  > 0 Thí dụ 1: Kết quả điều tra giá bán mặt hàng A tại 10 cửa hàng nhƣ sau (đơn vị nghìn đồng một... 14,72 + 14,82 + … + 15,22 = 2238,36 Từ đó: x = 149,6 = 14,96; 10 s2 = 10.2238,36  149,62 = 0,0382 10.9 Lƣợng thống kê: ZT = (14,96 – 14,8) 10 = 2,588 0,0382 Tra bảng Student đƣợc: t(0,05; 9) = 1,833 Vậy, Bác bỏ H0, chấp nhận H1: Có thể coi mặt hàng A là tăng giá 25 ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI Thí dụ 2: Kiểm tra ngẫu nhiên trọng lƣợng X (gam) của các gói mỳ ăn liền có trọng lƣợng quy định 75 gam đƣợc kết... tiến hành kiểm định hai phía - Nếu f > p0 thì tiến hành kiểm định một phía với H1: p > p0 Thí dụ: Theo báo cáo của phân xƣởng thì tỷ lệ sản phẩm loại một của phân xƣởng là 90% Kiểm tra ngẫu nhiên 200 sản phẩm do phân xƣởng đó sản suất thấy có 172 sản phẩm loại một 27 ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI Ở mức 0,05 hãy cho nhận xét về báo cáo tỷ lệ sản... ƣớc lƣợng điểm của xác suất p Do X ~ B(n,p) ≈ N(np, npq)  F  X  pq  ~ N  p,  , trong đó q = 1 – p n  n  17 ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI Fp Fp thì ~ N(0, 1) pq pq n n Do đó với xác suất P đã cho có thể tìm đƣợc phân vị chuẩn u/2 với  = 1  P đƣợc: Bởi vậy, chọn thống kê:      pq  | Fp|   =P P  u   = P  P| F  p |  u    pq  n 2   2   n   Lấy mẫu cụ thể với n cá thể,... ngƣời có nhóm máu O ở một tộc ngƣời là p Phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu ngƣời để với độ tin cậy 0,95 độ rộng của khoảng tin cậy của p không vƣợt quá 0,02 Đs: 9604 21 ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI Chương 6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ I GIẢ THUYẾT, ĐỐI THUYẾT 1.1 Giả thuyết, đối thuyết Giả thuyết là một mệnh đề (một câu khẳng định) về một vấn đề chƣa biết nào đó Khi nghiên cứu một (hoặc nhiều) biến ngẫu... - Bƣớc 2: Tính phƣơng sai chung s = nm2 - Bƣớc 3 Tính thống kê thực nghiệm: ZT = ( x  y) - Bƣớc 4: Đối thuyết H1: Tra bảng Student Chấp nhận H0 Kết luận Bác bỏ H0 x  y tb = t(/2; n+m–2) | Z T |  tb | ZT | > tb n.m ( n  m )s 2 (6.7) x > y x < y tb = t(; n+m–2) Z T  tb Z T  – tb Z T > tb Z T < – tb 29 ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI Chú thích: Nếu không có giả thuyết x = y thì phải bổ sung... trung bình mẫuu và phƣơng sai hiệu chỉnh s 2u - Bƣớc 3: Tính thống kê: ZT = u n s 2u - Bƣớc 4: Tra bảng và kết luận: Đối thuyết H1: x  y Tra bảng Student tb = t(/2; n – 1) Chấp nhận H0 | Z T |  tb Kết luận Bác bỏ H0 | Z T | > tb (6.8) x > y x < y tb = t(, n – 1) Z T  tb Z T  – tb Z T > tb Z T < – tb 31 ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI Chú ý: Nếu u  0 thì nên dùng H1: x  y, Nếu u >> 0 thì nên... 2 2   1   kiểm định một xác suất) Do đó:  p(1  p) p(1  p)   Do p – p = 0, nên:  F1 – F2  N p  p; n1 n 2   Thống kê Z = F1  F2 1 1  p(1  p)    n1 n 2  =  F1  F2  n1n 2  N(0, 1) p(1  p)(n1  n 2 ) Từ đó có quy tắc: 33 ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI Quy tắc 8 Quy tắc kiểm định giả thuyết H0: p1 = p2 với các đối thuyết H1 khác nhau, mức  - Bƣớc 1: Tính các tần suất cá thể ... giống xếp số liệu thành bảng hai dòng Chẳng hạn n giá trị thu đƣợc có k giá trị khác x1, x2, …, xk (trong xi < xi + 1) có ni giá trị xi xếp thành bảng: ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI X ni x1 n1 x2... 1 ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI Phân phối Student phân phối đối xứng (đƣờng cong mật độ xác suất đối xứng qua trục tung) Đồ thị hàm mật độ xác suất biến Student có dạng giống nhƣ đồ thị hàm mật độ... Lƣợng thống kê: ZT = (14,96 – 14,8) 10 = 2,588 0,0382 Tra bảng Student đƣợc: t(0,05; 9) = 1,833 Vậy, Bác bỏ H0, chấp nhận H1: Có thể coi mặt hàng A tăng giá 25 ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI Thí dụ