Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 115 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
115
Dung lượng
3,07 MB
Nội dung
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 10 DẠNG TÍCH PHÂN HAY GẶP TRONG CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Trong các kì thi Đại Học – Cao Đẳng câu tích phân ln mặc định xuất đề thi mơn Tốn Tích phân khơng phải câu hỏi khó, tốn “nhẹ nhàng”, mang tính chất “cho điểm” Vì việc điểm trở nên “vô duyên” với bỏ chút thời gian đọc tài liệu Ở viết nhỏ cung cấp tới em dạng tích phân thường xuyên xuất kì thi Đại Học - Cao Đẳng ( đề thi khơng nằm ngồi dạng này) Với cách giải tổng quát cho dạng, ví dụ minh họa kèm, với lượng tập đa dạng, phong phú Mong sau đọc tài liệu, việc đứng trước tốn tích phân khơng cịn rào cản em Chúc em thành công ! Trong viết giới thiệu tới em phần: Trang I SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN …………………………… II CÁC CƠNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ…………………………… III LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN… –12– 26 IV 10 DẠNG TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 27 – 81 V ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN…………………………………………………… 82 – 93 VI CÁC LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ TÍCH PHÂN TRUY HỒI…… 94 – 102 - 106 VII DÙNG TÍCH PHÂN ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CHỨA Cnk …… 107 - 110 VIII KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN ĐẠI HỌC ………………111- 114 I SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN Trang GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 II CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ Điều kiện tiên để làm tốt phần tích phân phải nhớ hiểu cách vận dụng công thức nguyên hàm sau: (chỉ cần hiểu công thức biết cách suy luận cơng thức lại) 1 ax b x 1 x dx C ; ax b dx a C u 1 1) u du C ( 1) 1 du du 1 du u C ; C; 1 C u u u u dx ln x C du 2) ln u C x u dx ln ax b C ax b a x ax a dx C; eu du eu C u a a ln C 3) au du ln a e x dx e x C; eax b dx eaxb C a sin xdx cos x C 4) sin udu cos u C sin(ax b)dx cos(ax b) C a cos xdx sin x C 5) cos udu sin u C cos( ax b)dx sin( ax b) C a dx sin x cot x C du 6) cot u C dx sin u cot(ax b) C sin (ax b) a dx cos x tan x C du 7) tan u C dx cos2 u tan(ax b) C cos (ax b) a du ua a u 2a ln u a C du 1 ua 8) 2 du ln C u a 2a u a u a 2a u a dx xa ln C x a 2a xa Trang GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 III LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ I f ( x) dx g ( x) (*) Chú thích: Sơ đồ hiểu sau : Khi đứng trước tốn tích phân có dạng hữu tỉ trước tiên ta quan tâm tới bậc tử số mẫu số *) Nếu bậc tử số nhỏ bậc mẫu số, ta ý tới bậc mẫu số Cụ thể: ++) Nếu bậc mẫu số ta có ln cơng thức bảng nguyên hàm đưa đáp số ++) Nếu bậc mẫu số ta quan tâm tới hay “tính có nghiệm” phương trình mẫu +) Nếu tức ta phân tích mẫu thành tích dùng kĩ thuật tách ghép để tách thành hai biểu thức có mẫu bậc (quay trường hợp mẫu số có bậc ) +) Nếu tức ta phân tích mẫu thành đẳng thức dùng kĩ thuật tách ghép để đưa tích phân dạng biết +) Nếu tức ta khơng thể phân tích mẫu số thành tích đẳng thức -) Nếu tử số khác ta dùng phương pháp lượng giác hóa để chuyển dạng ( theo cách đổi biến sơ đồ trên) -) Nếu tử có dạng bậc ta chuyển bậc ( số hay số tự do) kĩ thuật vi phân cách trình bày sơ đồ quay trường hợp trước (tử số khác ) ++) Nếu bậc mẫu số lớn ta tìm cách giảm bậc phương pháp đổi biến kĩ thuật: Nhân, chia, tách ghép (đồng hệ số), vi phân… *) Nếu bậc tử số lớn bậc mẫu số ta chuyển sang TH2 (trường hợp 2) Trang GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 CHÚ Ý : Việc đồng hệ số dựa theo cách phân tích sau: f ( x) m ( ax b) (cx dx e) n A1 ( ax b ) A2 (ax b) Am m ( ax b ) B1 x C1 (cx dx e) B2 x C2 2 (cx dx e) Bn x Cn (cx2 dx e)n Sau quy đồng bỏ mẫu, dùng tính chất “hai đa thức hệ số tương ứng chúng nhau” từ tìm Ai , B j , C j (i 1, m; j 1, n) dùng cách chọn x để tìm Ai , B j , C j Các ví dụ minh họa Ví dụ Tính tích phân I Giải: 1) Với k dx với : x 2x k 1) k 2) k 3) k : 2 2 4dx (2 x 3) (2 x 1) 2x 15 I dx dx ln 2 ln x 8x (2 x 1)(2 x 3) x 2x 2x x2 2x 0 dx 2) Với k : I 3) Với k : I 2 dx dx 2 x x ( x 1) x 1 dx dx x x ( x 1)2 3dt Đặt x tan t với t ; dx 3.(1 tan t )dt x : t : cos t 2 Khi I 3.(1 tan t )dt 3 3 dt t 3.(tan t 1) 18 Ví dụ Tính tích phân sau: dx 1) I1 2) dx I2 4x 2x x 1 5) I 4x dx x2 x 2 6) I 1 3) I 3x dx 4x x Trang dx x 6x 7) I x 1 x 3 dx 2x 4) I dx x 2x 2 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 2 3 Giải: 1) I1 dx ln x ln 4x 1 1 2) I 0 (2 x 3) 2( x 1) dx ( x 1)(2 x 3) 1 dx dx 1 x x 1 ( x 1)(2 x 3) 1 x 1 dx ln 1 x x 2x 1 ln ln 1 1 dx dx 1 2 x x ( x 3) x 12 3) I3 4) I dx dx x x ( x 1) dt Đặt x tan t với t ; dx (1 tan t )dt x : t : cos t 2 Khi I 5) I (1 tan t )dt tan t dt t 1 4x ( x 1) 3( x 2) dx dx dx ln x 3ln x ln 2 x x2 ( x 1)( x 2) x x 1 0 Chú ý: Việc phân tích x x 3( x 2) có ta tìm hệ số a , b thỏa mãn: a b a x a ( x 1) b( x 2) x ( a b) x a 2b a 2b 5 b 3 2 x 1 3x dx 6) I dx dx 2 4x 4x (2 x 1) 2(2 x 1) 2(2x 1) 1 1 3 7 ln x ln 4(2 x 1) 4 2 x 2 (2 x 2) x 3 dx dx 2 dx dx 7) I A B (*) x 2x x 2x 1 x x x 2x 1 1 1 2 +) Tính A +) Tính B (2 x 2) d ( x x 4) dx 1 x x 1 x x ln x x 1 ln (1) dx dx 1 x x 1 ( x 1)2 3dt Đặt x tan t với t ; dx 3.(1 tan t )dt x : 1 t : cos t 2 B 3.(1 tan t )dt 3 dt t (2) Thay (1) (2) vào (*) ta được: I ln tan t 3 Trang GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 Ví dụ Tính tích phân sau: 2 x3 x x 1) I1 dx 2x 1 1 2) I 2 ( x 1) dx ( D – 2013) x2 4) I 5) I http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 x x3 x x dx x2 2x 3) I3 x3 x x dx 4x2 x 2x x dx x2 2x Giải: 2 x3 x3 x x 10 1) I1 dx x ln dx x ln x 2x 1 2x 1 1 1 2) I 1 x x3 x x x5 2( x 1) ( x 3) dx x dx x 1 dx 2 x 2x x 2x ( x 1)( x 3) 0 1 x3 dx x2 1 x ln x ln x ln ln x x 0 3) I3 2 x3 x x 6x 3(2 x 1) 1 dx x dx x dx x dx 2 2 4x x 4x x (2 x 1) x (2 x 1) 1 x2 11 ln x ln 2(2 x 1) 2 ( x 1)2 dx ( D – 2013) x2 4) I 1 I4 1 1 x2 1 2x 2x 2x d ( x 1) x ln( x 1) ln dx dx dx dx dx 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 0 0 0 (2 x 2) 2 2x2 x 1 x 5) I5 dx dx dx 2 4 x x x x x 2x 0 0 2 2 3 d ( x x 4) dx x ln( x x 4) 6I ln 6I (*) dx 6 x 2x x 2x 2 0 0 Tính I dx dx x x ( x 1)2 dt 3(1 tan t )dt dx Đặt x tan t (với t ; ) x : t : cos t 2 2 ( x 1) 3(1 tan t ) I 6 3(1 tan t )dt 3 3 dt t 3(1 tan t ) 18 3 (2*) Thay (2*) vào (*) ta được: I5 ln Trang GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Ví dụ Tính tích phân sau: 4) I 1 x7 2) I dx (3 x )2 (B – 2012) 1 2x dx ( x x)( x x 3) 5) I5 x dx (1 x )3 Giải: 1) I1 8) I8 x3 dx x4 3x2 3) I3 dx x 1 x 2014 1 x2 dx x( x 3x 2) 6) I 9) I9 (B – 2012) Đặt t x dt xdx hay xdx x : t : I1 x 1 2 x x3 x x dx 7) I x3 1) I1 dx x 3x2 dx x x5 x dx (1 x)8 1 dt 1 x xdx t.dt 2(t 1) (t 2) dt dt x x 2 t 3t 2 (t 1)(t 2) t t 1 1 ln t ln t ln ln 2 0 dt 8 x dx x3 dx dt x : t : Đặt t x t x4 3t 1 x x 3 t Khi I dx x dx dt dt 0 (3 2x )2 (3 x )2 3 t 16 1 t x7 2) I dx (3 x ) 3 1 1 ln dt ln t 16 t t 16 t 16 1 3) I3 x2 dx x( x x 2) Khi I3 dt x :1 t :1 2 ( x 1) t 1 xdx dt x ( x x 2) t (t 3t 2) Lúc ta phân tích hệ số Cụ thể: Đặt t x dt xdx xdx t 1 thành tổng phân thức có mẫu bậc phương pháp đồng t (t 3t 2) t 1 t 1 A B C t (t 3t 2) t (t 1)(t 2) t t t t A(t 1)(t 2) Bt (t 2) Ct (t 1) (*) Việc tìm A, B, C làm theo cách : A A B C Cách 1: (*) t ( A B C )t (3 A B C )t A 3 A B C B A 1 C Trang GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 +) Chọn t 1 (*) có dạng: 2 B B Cách 2: +) Chọn t (*) có dạng: 1 A A +) Chọn t 2 (*) có dạng: 3 2C C Vậy I3 dt 2t t 2(t 2) 2 ln 11.ln ln t ln(t 1) ln(t 2) 4 1 2 2x 2x 2x dx dx dx 2 ( x x)( x x 3) x( x 2)( x 1)( x 3) ( x 3x)( x2 3x 2) 1 4) I Cách 1: (đổi biến) Đặt t x x dt (2 x 3) dx x :1 t : 10 10 10 dt 1 t Khi I dt ln t (t 2) t t t2 10 15 ln 12 Cách 2: (tách ghép sử dụng kĩ thuật vi phân) 2 2 ( x x 2) ( x x) (2 x 3) (2 x 3)dx (2 x 3)dx I4 dx 2 x 3x 21 ( x 3x )( x 3x 2) x 3x 2 d ( x 3x) d ( x 3x 2) x 3x ln x 3x x x x 3x 1 5) I5 1 15 ln 12 x 2 x 1 dx x x2 4x Chia tử mẫu biểu thức tích phân cho x ta được: 1 dx x I5 dx 1 1 2 x x 2 x 4 x x x x x 1 1 x2 1 dt 1 dx x Cách 1: (đổi biến) Đặt t x x : 2 1 t : 2 x t x 2 x 2 2 2 2 dt dt dt 1 Khi I5 t 36 (t 2) 4t t 4t (t 2) 2 2 Cách 2: (tách ghép sử dụng kĩ thuật vi phân – dành cho có kĩ phân tích tốt) 1 1 2 1 1 d x 1 dx 1 x x I5 2 36 1 1 2 2 x 2 x 4 x x 2 x x x x Trang GV: THANH TÙNG 6) I 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 dx dx 3 x x x (1 x ) Cách 1: (đổi biến) dt x :1 t :1 2 4 4 (t 1) t 1 (t 1) t xdx dt Khi I dt dt dt 1 t t (t 1) 1 t t (t 1) x (1 x ) 1 t (t 1) 1 t (t 1) Đặt t x dt xdx xdx 4 1 1 1 t 1 dt ln ln t t t 1 2 t t 1 8 Cách 2: (Dùng kĩ thuật tách ghép) 2 (1 x ) x 1 x (1 x ) x 1 dx dx dx 3 dx 3 x (1 x ) x x(1 x ) x x(1 x ) x x x2 1 1 I6 2 5 d (1 x ) 1 ln x ln(1 x ) ln ln ln dx x x 1 x 2 8 2x 1 1 1 1 x 1 2x 1 1 1 1 7) I dx dx dx 3 3 2 (1 x) (1 x ) (1 x ) (1 x ) 2(1 2x ) 4(1 2x ) 18 8) I8 dx x 1 x 2014 Đặt t x 2014 dt 2014 x 2013 dx x2013 dx x 2013dx Khi I8 2014 2014 1 x 2014 x 1 22014 dt x :1 t : 2014 2014 dt (t 1)t 2014 1 2014 1 dt t 1 t t 1 ln 2014 t 9) I9 1 22014 2015ln ln(1 22014 ) 2014 x dx (1 x) Đặt t x dt dx x : 1 t :1 1 Khi I9 2 (1 t )2 dt 2t t 1 33 1 1 1 t 1 t dt 1 t8 t t dt 7t 3t 5t 4480 Ví dụ Tính tích phân sau: 1) I1 x2 dx x3 ln 2) I Giải: 1) I1 x2 1 dx x3 tdt xdx Đặt t x t x 2 cận t : x t 1 2 I1 x2 x 1.xdx dx 1 x4 x3 t.tdt (t 1)2 t2 dt (1 t )2 Trang e x 1dx GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 Đặt t tan u dt http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 du (1 tan u )du cận u : cos u 2 tan u.(1 tan u )du tan u sin u du cos udu sin udu 2 2 (1 tan u ) tan u cos u 0 I1 cos 2u 4 3 1 3 du u sin 2u 24 2 0 3t dt e x dx cận t : Đặt t e x t e x x e t ln 2) I e x 1dx e x 1dx ln I2 ln 1 1 e x 1.e x dx t.3t dt t dt 3 dt x 3 e t 1 t 1 t 1 0 0 Ta dùng phương pháp đồng hệ số: 1 A Bt C A.(t t 1) ( Bt C )(t 1) t (t 1)(t t 1) t t t A B 1 ( A B ) t ( A B C )t A C A B C A ; B ; C 3 A C 1 ( Có thể chọn t t ba pt ẩn A, B, C giải tìm A, B, C (máy tính giúp ) ) Vậy ta có: 1 t 1 t2 t 3(t 1) 3(t t 1) t t t (2t 1) 1 1 1 d (t t 1) dt t2 3 I2 dt dt dt 2 t 1 t t 1 t 1 t t 1 t 1 t t 1 t t 1 0 0 0 1 3t ln(t 1) ln(t t 1) J ln J 0 3(1 tan u ) dt du du cos t Đặt t tan u 2 2 t (1 tan u ) J 3(1 tan u ) du 2 3(1 tan u ) Thay (2*) vào (*) ta : I ln t : cận u : 3 du u (2*) 6 3 Trang 10 dt dt 2 t t 2 t 2 (*) với J 6 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Khi I1 t tan t cot t dt t cot t tan t dt 6 cos t sin t cot t tan t dt t tan t cot t dt dt dt I1 2 sin t cos t 6 6 d sin t d cos t sin t I1 ln I1 ln I1 sin t cos t cos t 6 6 Vậy I1 ln I1 I1 ln I1 ln (*) 2 x sin x x cos x.(1 cos2 x) x sin x x(sin x cos x cos x) 2) I dx dx x cos xdx A B (*) dx cos x cos x cos x 0 0 x sin x dx cos x Đặt x t dx dt x : t : +) Tính A t sin t dt t sin t dt sin t dt t.sin t dt sin t dt A 0 cos2 t 0 cos t 0 cos2 t 0 cos2 t cos t Khi A Vậy A sin t dt 0 cos t Đặt cos t tan u sin tdt Suy A du (1 cot u )du sin tdt (1 cot u )du t : u : cos u 4 (1 cos2 u )du cos2 u 2 (1) du u 4 u x du dx Đặt dv cos xdx v sin x +) Tính B x cos xdx Khi B x sin x sin xdx cos x 2 (2) Thay (1) , (2) vào (*) ta được: I 2 3) I x sin x cos x dx 2 2 Đặt x 2 t dx dt x : 2 t : 2 0 2 Khi I 2 t sin 2 t dt 2 2 t sin t dt 2 2 sin t dt 2 t.sin t dt 0 cos 2 t 0 cos t 0 cos t 0 cos t 2 d cos t 2 2 I 2 ln cos t I I I x sin x dx cos x 2 cos t Vậy I I I Trang 101 3 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 a T Bài toán 4: Hàm số f ( x) liên tục tuần hồn với chu kì T, : f ( x) dx f ( x) dx (*) a nT Từ ta suy T T f ( x) dx n f ( x) dx (2*) Chứng minh: (Trong thi muốn sử dụng tính chất em cần chứng minh sau) a T Ta có: a T T f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx a a f ( x) dx (1) T a T Xét tích phân: Đặt x t T dx dt x : T a T t : a f ( x) dx T a T Khi T a 0 a T f ( x) dx f (t T ) dt f (t )dt f ( x )dx f ( x )dx a a T Thay (2) vào (1) ta được: a a a f ( x )dx (2) T T f ( x) dx f ( x) dx (*) Chú ý: f ( x ) có chu kì T f ( x T ) f ( x) VÍ DỤ MINH HỌA 2014 2014 Tính tích phân sau: 1) I1 2) I cos xdx cos x dx cos x 0 Giải: 2014 1) I1 Xét hàm f ( x) cos x với x cos xdx Ta có: f ( x ) cos 2( x ) cos 2x f ( x ) aT Do áp dụng tính chất a 2014 I1 T f ( x) dx f ( x) dx (*) (trong em phải Chứng minh ) ta được: 2 cos xdx cos xdx 3 2014 cos 2xdx cos 2xdx 2 1 cos 2xdx 2013 cos xdx cos xdx cos xdx cos 2xdx 0 0 2014 cos xdx 2014 sin x dx 2014 sin xdx 2014 cos x 4028 0 nT Chú ý: Cách trình bày vừa cách ta chứng minh 2014 2) I cos x dx cos x Hướng dẫn: 0 T f ( x) dx n f ( x) dx x 2sin cos x tan x f ( x) x cos x 2 cos 2 Trang 102 (2*) f ( x 2 ) f ( x) GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 TÍCH PHÂN TRUY HỒI Ở phần em tìm hiểu dạng tích phân truy hồi I n f ( x, n) dx với câu hỏi hay gặp là: Thiết lập công thức truy hồi I n g ( I n k ) với k 1; n Chứng minh công thức truy hồi cho trước Sau thiết lập công thức truy hồi yêu cầu tính I n ứng với vài giá trị n tính giới hạn hàm số dãy số có liên quan với I n CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Xét tích phân I n sin n xdx với n * Tìm mối liên hệ I n I n Tính I n Tính I I Xét dãy số (un ) cho un (n 1) I n I n1 Tìm lim un n Giải: Tìm mối liên hệ I n I n +) Ta có: I n sin n xdx sin n x.(1 cos x )dx sinn xdx sin n x.cos2 xdx I n sin n x.cos xdx (1) 0 0 +) Tính sin n x.cos xdx sin n x.cos x.cos xdx 0 du sin xdx u cos x Đặt sin n 1 x n n n dv sin x cos x v sin x.cos xdx sin x.d sin x n 1 I I cos x.sin n 1 x 2 n Suy sin n x.cos xdx sin xdx n n (2) n 1 n 1 n 1 n 1 0 I n I n2 I n I n n I n I n n 1 n 1 n 1 n2 n 1 Ta có I n I n I n I n Khi : n 1 n2 Thay (2) vào (1) ta được: I n I n Tính I5 I 4 8 I I I1 15 sin xdx 15 cos x 15 0 2 5 15 15 cos x 15 15 I6 I I2 sin xdx dx x sin x 6 24 24 48 96 0 Trang 103 GV: THANH TÙNG Tính I n 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 1 sin cos I xdx x 2 cos 1 x I sin xdx sin dx x x 2 0 0 Ta có: +) Với n chẵn hay n 2k (k * ) Áp dụng (*) ta được: Với I n n2 I n (*) n 1 I2 I4 I I 2k I I 2k k 2k Nhân theo vế đẳng thức ta được: 4.6 2k 4.6 2k 3.5 (2k 1) I2 I2k I 2k I 2k 3.5 (2k 1) 3.5 (2k 1) 4.6 k +) Với n lẻ hay n 2k (k * ) Áp dụng (*) ta được: I1 I I I 2k I I k 3 2k 2 k 1 Nhân theo vế đẳng thức ta được: 3.5 (2k 1) 3.5 (2k 1) 2.4 (2k 2) I1 I k 1 I k 1 I k 1 2.4 (2k 2) 2.4 (2k 2) 3.5 (2k 1) Xét dãy số (un ) cho un ( n 1) I n I n 1 Tìm lim un n n2 I n I n 1 ( n 2).In 1 I n un 1 n 1 Vậy un 1 un nên un un 1 u1 I1 I 2.1 lim un lim n n 2 Ta có: un ( n 1) I n I n 1 ( n 1) Chú ý: I n sin n xdx cosn xdx (xem lại Bài toán lớp tích phân đặc biệt) 0 n Ví dụ Xét tích phân I n 1 x dx với n * Tính I n Giải: n Tính I n 1 x dx u (1 x )n du n.(1 x2 )n 1 (2 x) dx Đặt dv dx v x Trang 104 I n 1 n I n Tìm lim GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 1 Suy I n x (1 x )n 2n x 1 x2 n 1 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 dx 2n 1 (1 x ) 1 x2 n 1 1 1 n 1 n dx n 1 x2 dx 1 x2 dx n In1 In 0 1 n 1 n dx n 1 x2 dx 1 x2 dx n In1 In 0 0 2n Vậy I n 2n I n 1 I n I n I n 1 (*) 2n 2n 2n n 2n 2n 4.6.8 2n Từ (*) ta có: I n I n 1 I n I1 (1) I1 2n 2n 2n 2n n 5.7.9.(2n 1) 2n 1 (1 x ) 1 x2 n 1 1 x3 Mặt khác: I1 1 x dx x (2) 0 Thay (2) vào (1) ta được: I n Ta có: I n 2.4.6.8 2n 3.5.7.9.(2n 1) I 2n 2( n 1) 2n I 2n , suy lim n 1 lim I n 1 I n 1 I n n 1 1 n n In 2n 2( n 1) 2n In 2n Ví dụ Xét tích phân I n tan n xdx với n * Chứng minh rằng: I n In n 1 Tính I5 I Giải: Chứng minh rằng: I n In n 1 Ta có: I n tan n xdx tan n x tan n x tan n x dx tan n x 1 tan x tan n x dx 0 tan n x tan n 1 x n n dx tan xdx tan xd tan x I In In n cos x n 1 n 1 0 I n (đpcm) n 1 Tính I I Vậy I n 4 d cos x sin x I tan xdx dx ln cos x ln 0 cos x cos x Ta có: 4 I tan xdx 1 dx tan x x 0 0 cos2 x Trang 105 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 In n 1 1 1 1 I I3 I1 ln ln Ta có: I I I 13 5 15 Áp dụng công thức truy hồi I n Ví dụ en 1 e nx dx * , với Chứng minh rằng: I I n 1 n n 1 ex n 1 Xét tích phân I n Xét tích phân I n (3 x)n e x dx , với n * Chứng minh rằng: I n 3n nI n 1 Giải: en 1 enx dx * , với n Chứng minh rằng: I I n1 n 1 ex n 1 Xét tích phân I n 1 e enx dx e( n 1) x dx Ta có I n I n1 x x 1 e 1 e 0 hay I n e ( n 1) x e x 1 dx ex e ( n 1) x e( n 1) x dx n 1 en 1 n 1 n 1 1 I n1 (đpcm) n 1 Xét tích phân I n (3 x)n e x dx , với n * Chứng minh rằng: I n 3n nI n 1 n 1 u (3 x)n du n(3 x) dx Đặt x x v e dv e dx 3 Khi I n (3 x) n e x n (3 x )n 1 e x dx 3n nIn 1 0 n Vậy I n 3 nI n 1 (đpcm) Ví dụ Cho I n x x n dx với n * Biết (un ) dãy số cho un du nx n 1dx u x n Giải: Đặt dv xdx v xdx (1 x) x In tính lim un I n 1 Khi : 1 2 2 n n 1 I n (1 x ) x x n. (1 x ) x x dx n x xn1 dx x xn dx n I n 1 I n 3 0 2n n I n 1 I n (2n 3) I n 2nI n1 I n I n 1 2n 2n 2n I 2n Suy I n 1 lim un lim I n 1 lim 1 In n 2n 2n I n 1 n Vậy I n Trang 106 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 VII DÙNG TÍCH PHÂN ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Cnk PHƯƠNG PHÁP GIẢI: n Bước : Khai triển (1 x )n Cnk x k Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn xn k 0 Bước : Lấy tích phân hai vế với cận thích hợp : (1 x )n dx Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnn xn dx b ( Nếu hệ số đẳng thức cần chứng minh có chứa bk a k ta chọn cận tích phân ) a DẤU HIỆU NHẬN BIẾT : Các hệ số đẳng thức cần chứng minh có dạng phân số, đồng thời mẫu số thường tăng giảm đơn vị CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Với n Chứng minh rằng: 20 12 203 123 20n 1 12n 1 n 21n 1 13n 1 1) 8Cn0 Cn Cn Cn n 1 n 1 n 1 n 1 4 1 2) 4Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n 1 n 1 1 2n1 3) Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n 1 n 1 62 1 63 6n1 n 7n 1 2n1 4) 5Cn0 Cn Cn Cn n 1 n 1 Giải: 202 122 203 123 20n1 12n1 n 21n1 13n 1 Cn Cn Cn n 1 n 1 n 2 n n +) Ta có: (1 x ) Cn Cn x Cn x Cn x 1) 8Cn0 20 +) Suy ra: 20 (1 x) n dx 12 n Cn1 x Cn2 x2 Cnn xn dx 12 n 1 20 (1 x) n 1 n 1 C 21 12 n 1 13 n 1 Hay 8Cn0 20 x2 x3 x n 1 Cn0 x Cn1 Cn2 Cnn n 12 8Cn0 202 122 203 123 20n 1 12n 1 n Cn Cn Cn n 1 20 12 203 123 20n 1 12n 1 n 21n 1 13n 1 Cn Cn Cn (đpcm) n 1 n 1 Trang 107 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 42 43 4n 1 n 5n1 Cn Cn Cn n 1 n 1 +) Ta có: (1 x ) n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n 2) 4Cn0 +) Suy ra: (1 x) n dx Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnn xn dx n 1 (1 x) n 1 x2 x3 x n 1 Cn0 x Cn1 Cn2 Cnn n 1 n 1 1 42 43 4n 1 n 4Cn0 Cn1 Cn2 Cn n 1 n 1 Hay 4Cn0 42 43 4n1 n 5n1 (đpcm) Cn Cn Cn n 1 n 1 1 2n 1 Cnn 3) Cn0 Cn1 Cn2 n 1 n 1 +) Ta có: (1 x )n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n +) Suy ra: n 2 n n (1 x) dx Cn Cn x Cn x Cn x dx 0 1 (1 x)n 1 x2 x3 x n 1 Cn0 x Cn1 Cn2 Cnn n 1 n 1 2n 1 1 1 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n 1 n 1 1 2n 1 Cnn (đpcm) Hay Cn0 Cn1 Cn2 n 1 n 1 1 63 6n 1 n 7n 1 2n 1 Cn Cn Cn n 1 n 1 n 2 n n +) Ta có: (1 x ) Cn Cn x Cn x Cn x 4) 5Cn0 +) Suy ra: n 2 n n (1 x) dx Cn Cn x Cn x Cn x dx 1 n 1 (1 x) n 1 n 1 2 n 1 Hay 5Cn0 n 1 x2 x3 xn 1 Cn0 x Cn1 Cn2 Cnn n 1 62 1 63 6n 1 n 5C Cn Cn Cn n 1 n 1 63 6n 1 n 7n 1 2n 1 Cn Cn Cn (đpcm) n 1 n 1 Trang 108 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Ví dụ ( B – 2003) Cho n số nguyên dương Tính tổng: Cn0 22 1 23 2n1 n Cn Cn Cn n 1 Giải: +) Ta có: (1 x ) n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n 2 +) Suy ra: (1 x)n dx Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnn xn dx 1 n 1 (1 x) n 1 x2 x3 x n1 Cn0 x Cn1 Cn2 Cnn n 1 3n1 2n1 22 1 23 2n1 n Cn Cn Cn Cn0 n 1 n 1 Vậy Cn0 2 1 23 2n 1 n 3n 1 2n 1 Cn Cn Cn n 1 n 1 Ví dụ :Với n Chứng minh rằng: 1 (1)n n 1) Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cn n 1 n 1 2n 1 1 1 2) C21n C23n C25n C22nn1 (A – 2007) 2n 2n 1 1 4n 3) C20n C22n C24n C22nn 2n 2n Giải: 1 (1)n n 1) Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cn n 1 n 1 n 2 3 +) Ta có: (1 x ) Cn Cn x Cn x Cn x ( 1) n Cnn x n 1 +) Suy ra: (1 x)n dx Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cn3 x3 ( 1)n Cnn xn dx 0 n 1 (1 x) n 1 x2 x3 x4 x n1 Cn0 x Cn1 Cn2 Cn3 ( 1)n Cnn n 1 1 1 (1)n n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cn n 1 n 1 1 (1)n n Hay Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cn (đpcm) n 1 n 1 Trang 109 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 1 22 n C2 n C2n C2n C22nn1 (A – 2007) 2n 2n (1 x )2 n C20n C21n x C22n x C23n x3 C22nn 1 x2 n 1 C22nn x n (1) +) Ta có: 2n 2 3 n 1 n 1 C22nn x n (2) (1 x) C2 n C2 n x C2 n x C2 n x C2 n x 2) +) Lấy (1) – (2) ta được: (1 x)2 n (1 x)2 n C21n x C23n x3 C25n x C22nn 1 x2 n 1 (1 x)2 n (1 x )2n C21n x C23n x3 C25n x5 C22nn1 x2 n1 1 (1 x ) n (1 x )2 n +) Suy ra: dx C21n x C23n x3 C25n x5 C22nn 1 x2 n 1 dx 0 1 (1 x )2 n 1 (1 x )2 n 1 x2 x4 x6 x 2n C21n C23n C25n C22nn 1 2n 2n Hay 22 n 1 1 C2 n C2 n C2 n C22nn 1 2n 2n 1 22 n (đpcm) C2 n C2n C2n C22nn1 2n 2n 1 1 4n C22nn 3) C20n C22n C24n 2n 2n 2n 2 +) Ta có: (1 x ) C2 n C2 n x C2 n x C22nn x2 n +) Suy ra: 1 2n (1 x) dx C 1 2n C21n x C22n x2 C22nn x2 n dx 1 n 1 (1 x) 2n x2 x3 x2 n 1 C20n x C21n C22n C22nn 2n 1 1 2 n 1 2 2C20n C22n C24n C22nn 2n 2n 1 1 4n Hay C20n C22n C24n (đpcm) C22nn 2n 2n Trang 110 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 VIII KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN ĐẠI HỌC Qua phần tìm hiểu trên, em nhận thấy tích phân ta có tay hai cơng cụ để giải ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN vài kĩ thuật để làm cho hai công cụ phát huy tác dụng như: Tách tích phân (dùng phương pháp đồng hệ số, thêm bớt…), kĩ thuật nhân, chia dấu tích phân, kĩ thuật vi phân, dùng công thức để biến đổi (công thức lượng giác, đẳng thức…), sử dụng tích phân liên kết ( quan sát để tìm tích phân liên kết, sử dụng cận để đổi biến, sử dụng đẳng thức tính chẵn lẻ hàm số…) Vì tổng kết lại sau : Khi đứng trước toán tích phân em có hướng : TH1: Nếu dấu tích phân có : +) Hướng tư 1: Đặt t ( cho tất đề thi Đại Học – Cao Đẳng từ 2002 – 2013) Nếu không ổn chuyển sang: +) Hướng tư thứ 2: Với tích phân I f ( ax bx c ) dx mà ax bx c ta biến đổi dạng: m cos t *) m2 u đặt u m sin t ( u m cos t ) *) u m2 đặt u *) u m2 đặt u m tan t ( u m cot t ) *) u u đặt u sin t (u m ) sin t ( u cos t ) m x Với tích phân I f đặt x m cos 2t m x dx CHÚ Ý: Với tích phân có dạng dx x k dx x2 k ( x x k ) dx 2 (x x k ) x k ta không dùng tới phương pháp Cụ thể ta biến đổi: d ( x x2 k ) (x x k ) ln( x x k ) Nếu chưa ổn chuyển sang : +) Hướng tư thứ 3: Nhân với lượng liên hợp tương ứng quay hướng tư đầu TH2 : Nếu dấu tích phân có hàm lượng giác hàm mũ có dạng sin u eu mà u ax b ( nghĩa u không hàm bậc bậc không ) điều đặt t u Sau quay TH1 TH3 TH3: Nếu dấu tích phân xuất hai bốn hàm: log, đa thức ( kể phân thức), lượng giác mũ liên hệ với phép nhân theo : +) Hướng tư 1:Sử dụng tích phân phần theo thứ tự ưu tiên “u→dv” : “log → đa thức → lượng giác → mũ” b b b (nghĩa anh đứng trước thứ tự thầy nêu đặt u cịn anh đứng sau dv: udv uv a vdu ) a a ( Các em có cách nhớ “hài hước” theo thứ tự “u→dv” là: “nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” ) Nếu vấn chưa ổn chuyển sang: +) Hướng tư 2: Sử dụng kĩ thuật vi phân ( du u ' dx (**) ) đổi biến Nếu sử dụng (**) : +) theo chiều thuận (từ Trái Phải): em phải tính đạo ĐẠO HÀM +) theo chiều nghịch (từ Phải Trái): em phải tính NGUYÊN HÀM Các em nhớ theo cách sau : “đưa vào vi phân tính NGUN HÀM, đưa tính ĐẠO HÀM” Trang 111 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 TH4: Nếu dấu tích phân có dạng hữu tỉ: I http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 f ( x) g ( x) dx +) Hướng tư 1: Nếu bậc f ( x) lớn bậc g ( x ) Thì thực phép chia chuyển I dạng: r ( x) r ( x) I h ( x) dx I1 I2 Với I1 tính đơn giản tính I chuyển sang: dx h( x) dx g x g ( ) ( x) +) Hướng tư 2: Nếu bậc f ( x) nhỏ bậc g ( x) theo thứ tự: *) Hướng tư 2.1: Nếu f ( x) A dx A I A ln ax b g ( x) ax b a ax b ? k ax bx c ' l Ax B f ( x) Ax B I *) Hướng tư 2.2: Nếu biến đổi ax bx c ax2 bx c dx g ( x) ax bx c k d (ax bx c) dx l k ln ax bx c ax bx c ax bx c tính I3 l I dx cách chuyển sang Hướng tư 2.3: ax bx c *) Hướng tư 2.3: Nếu f ( x) A dx thì: I A g ( x) ax bx c ax bx c dx A A x x2 ln ? **) Khả 1: I A dx a( x2 x1 ) x x2 x x1 a( x2 x1 ) x x1 a ( x x1 )( x x2 ) **) Khả 2: I A dx A a( x x0 ) a( x x0 ) ? kdt k (1 tan t ) dt A dx dx **) Khả 3: I đặt x x0 k tan t cos t a ( x x0 )2 k ( x x )2 k k (1 tan t ) I A k (1 tan t ) A A( 1 1 ) dt dt 2 a 1 k (1 tan t ) ka 1 ka ? *) Hướng tư 2.4: Nếu g ( x ) có bậc lớn tìm cách đưa hướng tư 2.1, 2.2, 2.3 kĩ thuật: +) Đổi biến tách ghép, nhân, chia để giảm bậc +) Đồng hệ số theo thuật toán: f ( x) m ( ax b ) (cx dx e) n A1 (ax b) A2 ( ax b ) Am m ( ax b) B1 x C1 (cx dx e) B2 x C2 2 (cx dx e) Bn x Cn (cx2 dx e)n Sau quy đồng bỏ mẫu số dùng tính chất “hai đa thức hệ số tương ứng nhau” từ ta tìm Ai , B j , C j (i 1, m; j 1, n) dùng cách chọn x để tìm Ai , B j , C j Trang 112 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 TH5: Nếu dấu tích phân có dạng lượng giác: I f (sin x, cos x) dx thì: +) Hướng tư 1: Nếu I sin m x.cos n xdx ( m, n Z ) dựa vào tính chẵn, lẻ để đổi biến.Cụ thể: *) Nếu m, n khác tính chẵn lẻ em đặt t theo anh mang mũ chẵn Cụ thể : **) m chẵn, n lẻ đặt t sin x ** ) m lẻ, n chẵn đặt t cos x *) Nếu m, n tính chẵn lẻ Cụ thể : **) m, n lẻ đặt t sin x t cos x (kinh nghiệm nên đặt theo anh mang mũ lớn hơn) **) m, n chẵn đặt t tan x (hoặc t cot x ) dùng công thức hạ bậc, biến đổi lượng giác +) Hướng tư : Nếu I f (sin x).cos xdx đặt t sin x I f (cos x).sin xdx đặt t cos x h( x ) h( x), g ( x) chứa hàm lượng giác thì: g ( x) +) Hướng tư 3: Nếu f (sin x, cos x) *) Hướng tư 3.1 : Ý nghĩ tính g '( x) phân tích h( x) u.g ( x) l ( g ( x)) g '( x ) I udx r ( g ( x )) g '( x) dx I1 I tính I r ( g ( x)).g '( x)dx đổi biến: t g ( x) ( Hướng tư áp dụng với h( x), g ( x) chứa hàm khác loga, đa thức, mũ…) Nếu việc phân tích h( x) gặp khó khăn ta chuyển tới việc làm “thủ công” qua Hướng tư 3.2 *) Hướng tư 3.2: Nếu h( x), g ( x) hàm bậc theo sin x cos x dùng phương pháp đồng hệ số Cụ thể : h ( x) a sin x b cos x c sin x d cos x c cos x d sin x A B **) Khi đó: g ( x) c sin x d cos x c sin x d cos x c sin x d cos x c cos x d sin x d (c sin x d cos x) I A dx B dx A dx B A.x B ln c sin x d cos x ? c sin x d cos x c sin x d cos x **) h( x) a sin x b cos x e c sin x d cos x h c cos x d sin x A B C g ( x) c sin x d cos x h c sin x d cos x h c sin x d cos x h c sin x d cos x h dx hai cách: c sin x d cos x h Khi đó: I Ax B ln c sin x d cos x h C I3 ta tính I3 C1: Dùng công thức biến đổi lượng giác để chuyển công thức lượng giác bảng nguyên hàm Nếu không ổn chuyển sang : x 2dt 2t 1 t2 C2: Đặt t tan dx Sau quay TH4 sinx ; cos x 1 t2 1 t2 1 t2 Trang 113 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 *) Hướng tư 3.3: Nếu I Với trường hợp hay gặp : I http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 f (tan x) f (cot x ) dx (hoặc I dx ) đặt t tan x (hoặc t cot x ) 2 cos x sin x f (tan x).dx f (cot x).dx (hoặc I ) 2 2 a sin x b sin x cos x c cos x a sin x b sin x cos x c cos x dx f (tan x) f (t ) sau đặt tan biến đổi: I t x dt I dt dx 2 2 cos x 1 at bt c cos x ( a tan x b tan x c ) Sau quay TH4 *) Hướng tư 3.4: Nếu I dt (cos x sin x) dx f (sin x cos x;sin x cos x)dx đặt t sin x cos x t2 1 x x sin cos Sau quay TH4 TH6: Khi gặp tích phân chứa hàm log chứa hàm mũ ta có hướng sau : b *) Hướng tư 1: Nếu có dạng I a f (ln u ) dx đặt t ln u u ( đặt t g (ln u ) nghĩa đặt t hàm theo ln u ) Nếu dấu tích phân có mặt log a u em nên chuyển ln u công thức : log a u ln u ln a b *) Hướng tư 2: Nếu có dạng I f (e x ) dx đặt t e x ( t hàm theo e x ) a TH7: Nếu dấu tích phân có dấu trị tuyệt đối I f ( x) dx tìm cách phá trị tuyệt đối cách xét dấu f ( x ) đoạn ; Cụ thể: B1: Giải phương trình f ( x) xi ? chọn xi [ ; ] chuyển sang: B2: Lập bảng xét dấu: (Giả sử ta bảng xét dấu: B3: Ta dựa vào công thức f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx ( ) để tách : xi ) xi I f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx f ( x)dx f ( x)dx Sau chuyển sáu TH đầu xi xi TH8: Khi tốn u cầu tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể tạo quay hình phẳng qua trục Ox, Oy em cần nhớ kiến thức sau: Hình phẳng giới hạn đường : b b y f ( x) S f ( x) g ( x) dx (2*) S f ( x) dx a a (nếu y g ( x) ) y g ( x) b b V f ( x) g ( x) dx (3*) V f ( x) dx x a ; x b a a 0x 0x a Nếu không dựa vào hình vẽ cần phá trị tuyệt đối chuyển TH6 Trang 114 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Mặc dù cố gắng song với khả khoảng thời gian hạn chế, với lượng giải lớn nên viết khơng tránh khỏi sai xót Rất mong góp ý xây dựng từ phía bạn đọc, để viết hồn thiện Mọi ý kiến góp ý xin chuyển vào email: giaidaptoancap3@yahoo.com Các bạn tham khảo viết khác ghé qua trang: http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Hy vọng viết giúp ích nhiều cho bạn đọc CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU ! Trang 115 ... ln ) cos x.cos x 3 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 IV 10 DẠNG TÍCH PHÂN HAY GẶP TRONG CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG DẠNG 1: I1 ... 6 3 Trang 10 dt dt 2 t t 2 t 2 (*) với J 6 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Nhận xét: Trong toán đổi... 24) I 24 Trang 11 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Trước vào 10 dạng tích phân hay gặp kì thi Đại Học – Cao Đẳng em