Trắc nghiệm VD VDC nguyên hàm, tích phân và ứng dụng đặng việt đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng MỤC LỤC NGUYÊN HÀM PHƯƠNG PHÁP NGUYÊM HÀM ĐỔI BIẾN SỐ PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN 10 NGUYÊN HÀM HÀM ẨN 14 TÍCH PHÂN 18 SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TÍCH PHÂN CƠ BẢN 26 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ 31 ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 31 ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 38 TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 38 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 38 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 43 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 45 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 46 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 47 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 49 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 1: 49 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 2: 50 TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 51 TÍCH PHÂN HÀM ẨN 58 GTLN, GTNN, BĐT - TÍCH PHÂN 65 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH 70 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VỚI HÀM SỐ 83 ỨNG DỤNG THỂ TÍCH Error! Bookmark not defined BÀI TỐN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH Error! Bookmark not defined BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG THỂ TÍCH Error! Bookmark not defined ỨNG DỤNG THỰC TẾ KHÁC Error! Bookmark not defined File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng NGUYÊN HÀM A – KIẾN THỨC CHUNG Định nghĩa Cho hàm số f x xác định K ( K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F x gọi      Kí hiệu:  f  x  dx  F  x   C    nguyên hàm hàm số f x K F ' x  f x với x  K Định lí: 1) Nếu F x nguyên hàm f x K với số C , hàm số G x  F x  C          nguyên hàm f x K    dạng F x   C , với C số Do F  x   C ,C   họ tất nguyên hàm f  x  K   2) Nếu F x nguyên hàm hàm số f x K nguyên hàm f x K có Tính chất nguyên hàm   f x dx  f x  f ' x dx  f x  C ; d      Nếu F(x) có đạo hàm thì:       f x  dx   f x  dx  d F (x )  F (x )  C  kf  x  dx  k  f x  dx với k số khác   f  x   g x  dx   f x  dx   g x  dx     Công thức đổi biến số: Cho y  f u u  g x Nếu  f (x )dx  F (x )  C  f g(x ) g '(x )dx   f (u)du  F (u )  C Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f x liên tục K có nguyên hàm K   Bảng nguyên hàm hàm số thường gặp  0dx  C  dx  x  C  x dx  x x  1  C   1  1  dx   C x  x dx  ln x  C  e dx  e  C x 16 17 18 x ax C ln a  cos xdx  sin x  C  a x dx   19 20 21   1  ax  b   ax  b dx   c ,   1  a  1 x2 xdx  C  dx  ax  b  a ln ax  b  c ax b ax b  e dx  a e  C a kx b kx b a dx  C  k ln a  cos ax  b  dx  a sin ax  b   C  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  sin xdx   co s x  C 22 11  cot x dx  ln | sin x | C 12  cos 13  x dx  tan x  C  dx   cot ax  b  C  sin2 ax  b a  27  1  tan ax  b   dx  a tan ax  b   C   1  cot x  dx  co t x  C   x x a dx a x dx 2 x  a2     x C a  x x x x x x a  x2 C x x a  x2  C  arccos a dx  x arccos a  a2  x  C a2  x  C  arctan a dx  x arctan a  ln a  arc cot a dx  x arc cot a  ln a x arccos  C a a a  x  a2   C  x x  a a ln x dx  dx  sin ax  b   a ln tan b  ln ax  b  dx   x  a  ln ax  b   x eC cos bx dx  e ax    arcsin a dx  x arcsin a   ln  x  x  a   C  arcsin    dx a x  ln C 2a a x x dx  28   cot2 ax  b dx   co t ax  b  C a 2  26 Bảng nguyên hàm mở rộng dx x  a  x  a arctg a  C a   dx   cot x  C sin x 14   tan2 x dx  tan x  C 15  sin ax  b  dx   a cos ax  b   C 23  tan ax  b  dx   ln cos ax  b   C a 24  cot ax  b  dx  ln sin ax  b   C a 1 dx  tan ax  b  C 25  a cos ax  b  tan x dx   ln | cos x | C 10 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng a  x dx  ax ax  b C a cos bx  b sin bx  a  b2 C x a2  x a2 x e ax a sin bx  b cos bx   arcsin eC ax sin bx dx  C 2 a a2  b2 B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Tìm giá trị thực a để F  x   A a  B a  ax  nguyên hàm hàm số f  x   2x  C a  4 4x   x  1 D a  5 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu Cho F  x    ax  bx  c  x  nguyên hàm hàm số f  x   1  khoảng  ;   Tính S  a  b  c 2  A S  B S  Câu Câu Câu Câu Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Cho F  x    ax2  bx  c  10 x  x  2x 1 C S  6 D S  2 20 x  30 x  2x  nguyên hàm hàm số f  x   2x  3  khoảng  ;   Tính P  abc 2  A P  B P  C P  D P  8 sin x  cos x Biết  dx  a ln sin x  cos x  C Với a số nguyên Tìm a? sin x  cos x A a  B a  C a  D a  x tan  Tìm nguyên hàm của:  biết nguyên hàm x   2x   tan  1   1 A B C tan x  D cot x    cos x sin x 1 Biết  dx    C Với a số nguyên Tìm a? a  5x    25 x  20 x   A a  B a  100 C a  D a  25 a 1 x Câu Biết  dx  ln x   C , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b? 2x  5x  b A S  B S  C S  D S  a   dx  tan  x    C , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b? Câu Biết  b  sin x 4  A S  B S  C S  D S     F x f x F 8 Câu Cho f  x   8sin  x   Một nguyên hàm     thỏa   là:  12      A x  2sin  x    B x  2sin  x    6 6       C x  2sin  x    D x  2sin  x    6 6   5x  8x  1 Câu 10 Biết F ( x ) nguyên hàm  dx với  x  F    26 Giá trị nhỏ  2 x 1  x  F ( x ) là: A 24 B 20 C 25 D 26 f x  1 x F x f x F 1 Câu 11 Cho   Một nguyên hàm     thỏa   là:  x  x   x  A x  x  B   x  x  C x   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  x2   x  C1 x  C   x  x  C x   Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  x2  x  C1 x   D  x2 x   C2 x    Câu 12 Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   1 F     ln Tập nghiệm S e 3 x phương trình 3F  x   ln  x  3  là: A S  2 Câu 13 B S  2; 2 C S  1; 2 D S  2;1 (NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU TIỀN GIANG) Biết F  x  nguyên hàm hàm số , thỏa mãn F  3  F 1  , giá trị F    F   x2 A 2ln  B ln  C ln  D ln x Câu 14 (Chuyên Vinh Lần 3) Biết x e nguyên hàm f   x  khoảng  ;   f  x  Gọi F  x  nguyên hàm f   x  e x thỏa mãn F    , giá trị F  1 5e 7e B C D 2 2 Câu 15 (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho hàm số F  x  nguyên hàm hàm số A f  x  2cos x 1 khoảng  0;   Biết giá trị lớn F  x  khoảng  0;   sin x Chọn mệnh đề mệnh đề sau  2      A F    3  B F  C F        6 3  5  D F    3   Câu 16 (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   e x  x  x  Hàm số F  x  x  có điểm cực trị? A B C D x Câu 17 (Cụm trường chuyên lần1) Biết F  x    ax  bx  c  e nguyên hàm hàm số f  x    x  x   e  x  Giá trị biểu thức f  F    bằng: 1 B 3e C 20e2 D 9e e Câu 18 (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hai hàm số F  x   x  ax  b e x , f  x   x  x  e x A     Biết a, b số thực để F  x  nguyên hàm f  x  Tính S  a  b A S  6 B S  12 C S  D S  Câu 19 (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho F  x  nguyên hàm 2x 1 khoảng  0;   thỏa mãn F 1  Giá trị biểu thức x  2x  x S  F 1  F    F     F  2019  hàm số f  x   A 2019 2020 B 2019.2021 2020 C 2018 2020 D  2019 2020 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 20 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (Chuyên Vinh Lần 3)Biết F  x  nguyên hàm hàm số f  x   hàm số y  F  x  có điểm cực trị? A Vô số điểm B C A Vô số điểm C x  cos x Hỏi đồ thị x2 D Câu 21 (Chuyên Vinh Lần 3) Biết F  x  nguyên hàm hàm số f  x   cos x  x  Hỏi đồ thị hàm số y  F  x  có điểm cực trị? B D PHƯƠNG PHÁP NGUYÊM HÀM ĐỔI BIẾN SỐ A – KIẾN THỨC CHUNG Đổi biến dạng Nếu hàm số f(x) liên tục đặt x   t Trong  t với đạo hàm (  ' t hàm    số liên tục) ta :  f (x )dx   f  t   ' t dt   g(t )dt  G (t )  C 1.1 Phương pháp chung     Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt   ' t  dt Bước 3: Biểu thị : f (x )dx  f  t    ' t  dt  g (t )dt    Bước 1: Chọn t=  x Trong  x hàm số mà ta chọn thích hợp    Bước 4: Khi : I   f (x )dx   g(t )dt  G (t )  C 1.2 Các dấu hiệu đổi biến thường gặp Dấu hiệu Hàm số mẫu số có      t  x Hàm số : f x ;  x   Hàm f x    Hàm f x  Cách chọn t mẫu số a s inx+b.cosx c.s inx+d.cosx+e  x  a x  b   x  x t  tan ; cos     Với : x  a  x  b  Đặt : t  x  a  x  b Với x  a  x  b  Đặt : t  x  a  x  b Đổi biến dạng Nếu :  f (x )dx  F (x )  C với u   t hàm số có đạo hàm :   f (u )du  F ((t ))  C 2.1 Phương pháp chung   Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx   ' t  dt Bước 3: Biến đổi : f (x )dx  f  t    ' t  dt  g t  dt    Bước 1: Chọn x   t ,  t hàm số mà ta chọn thích hợp    Bước 4: Khi tính :  f (x )dx   g(t )dt  G (t )  C 2.2 Các dấu hiệu đổi biến thường gặp File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dấu hiệu Cách chọn    Đặt x  a sint ; với t    ;  x  a cost ;  2 với t   0;   a2  x2 a    ; với t    ;  \ x  sint cost  2   với t  0;   \   2 Đặt x  x a Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng a     Đặt x  a tant ; với t    ;  x  a cot t  2 a2  x   với t  0;  a x a x a x a x x  a b  x  Đặt x  acos2t Đặt x  a  (b – a )sin 2t    Đặt x  atant ; với t    ;  a x  2 B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM tan x   Câu Cho F(x) nguyên hàm f  x   , biết F    , F    Tính 4 cos x  a cos x     F F ? 3 4 A  B  C  D  2 2017 Câu (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho b  x  1  x  1 d x    x  12019 a  x  1c  C với a , b , c số nguyên Giá trị a  b  c A 4.2018 Câu D 5.2018 B 2.2018 C 3.2018  x  3 dx Giả sử    C ( C số) x  x  1 x   x  3  g  x Tính tổng nghiệm phương trình g  x   Câu  f  x f   x   3x  x  Giá trị lớn hàm số B 18 A 16 Câu D 3  2;1 thỏa mãn f  0  A 1 B C Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn   đoạn  2;1 D 18 C 16 Hàm số nguyên hàm hàm số f  x   A F  x   ln x   x  C y  f  x 1  x2  khoảng  ;  ?  B F  x   ln   x2  C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C F  x    x  C D F  x   Câu 2x  x2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Biết F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x)  sin x  cos x  sin x   F (0)  Tính F   2    2 8   2 8    8   8 A F    B F    C F    D F    3 3 2 2 2 2 cos x  C Với a số nguyên Tìm a? Câu Biết   cos x  sin x  sin xdx   a A a  B a  12 C a  D a  14 2 x Câu Tìm R   dx ? x 2 x tan 2t 1  sin 2t  x  ln  C với t  arctan   A R    sin 2t  2 tan 2t 1  sin 2t  x  ln  C với t  arctan   B R    sin 2t  2 tan 2t 1  sin 2t  x  ln  C với t  arctan   C R  2  sin 2t  2 tan 2t 1  sin 2t  x  ln  C với t  arctan   D R   sin 2t  2  1  a 1 b x x dx     Câu có dạng x   x  x   C , a, b    x2  x  hai số hữu tỉ Giá trị b, a bằng: A 2; B 1; C a, b   D 1; 2 a b Câu 10   x  1 e x 5 x  e7 x 3  cos x dx có dạng e x 1  sin x  C , a, b hai số hữu tỉ Giá trị a, b bằng: A 3; B 1; C 3; D 6;     Câu 11 Tìm I   e x  3x    x    x 1 ex x 1   dx ?   A I  x  ln e x x    C   B I  x  ln e x x    C   C I  ln e x x    C  D I  ln e x x    C x Câu 12 Tìm nguyên hàm hàm số f  x   ln 1  x   2017 x x ln  e.x  e   1   ? A ln  x  1  1008ln ln  x  1  1 B ln  x  1  2016 ln ln  x  1  1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng ln  x  1  2016 ln  ln  x  1  1 D ln  x  1  1008ln  ln  x  1  1 C Câu 13 (Chuyên KHTN) Cho hàm số f ( x) liên tục  có  f ( x) dx   f ( x)dx  Tính  f ( x  1)dx 1 A 11 x  1  2ln x  x  ln x B Câu 14 Tìm G   x  x ln x  C D dx ? 1 1 B G    C C x x  ln x x x  ln x 1 1 C G    C D G   C x x  ln x x x  ln x  ln x Câu 15 Hàm số sau nguyên hàm h  x   1 n ? x ln x x n  ln n x A G   1 ln x  ln x n  ln n x  2016 n n 1 C  ln x  ln x n  ln n x  2016 n n  1 ln x  ln x n  ln n x  2016 n n 1 D  ln x  ln x n  ln n x  2016 n n Câu 16 (Quỳnh Lưu Lần 1) Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   x F     ln 2e e 1 Tập nghiệm S phương trình F  x   ln e x   là: B A  A S  3 B S  2;3 Câu 17 Khi tính nguyên hàm  C S  2;3  x  1 x  1  dx người ta đặt t  g  x  (một hàm biểu diễn theo biến x) nguyên hàm trở thành  2dt Biết g    , giá trị g    g 1 là: 3 1 2 B C 2 Câu 18 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn A  f  x  D S  3; 3 23  2;1 thỏa mãn f  0  D f   x   3x  x  Giá trị lớn hàm số y  f  x  đoạn  2;1 A 42 B 15 C 42 D 15 Câu 19 (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hàm số F  x  nguyên 2cos x  khoảng  0;   Biết giá trị lớn F  x  sin x Chọn mệnh đề mệnh đề sau hàm hàm số f  x   khoảng  0;   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A    Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng   f  t   dt    f  t  dt   f  x  dx (2) (Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào I       biến số tích phân)  (1) + (2)  2I     f  x   f  x   dx     2  2cos 2xdx     1  cos 2x dx        2  2cos2 xdx   cos x dx   cos xdx  2sin x           1  1  I 2 Chọn D π Câu 51 Cho hàm số f  x  liên tục  f   x   f  x   tan x Tính  f  x  dx  π A  π 1 B C  π π π D  Lời giải Chọn D  π Cách 1: Ta có    2 π  tan xdx  π π π  π π    tan x  x  d x   1       π  1   cos2 x    4  π  3 f   x   f  x   dx  π Đặt t   x  dt  dx , đổi cận x   π π π π π t , x t 4 4 π π  3 f   x   f  x  dx   3 f  t   f  t   dt   3 f  x   f   x  dx  π  π Suy ra, π π  π π π π π  f  x  dx   f   x  dx     3 f  x   f  x   dx     f  x  dx  π  π  π  π π Vậy π  f  x  dx    π Cách 2: ( Trắc nghiệm) Chọn f  x   f   x   tan x (Thỏa mãn giả thiết) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 26 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A π π π   f  x  dx   tan x dx    cos Khi  π  π  π Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng    1 dx   x  Câu 52 Cho hàm số f  x liên tục đoạn   ln 2;ln 2 thỏa mãn f  x   f   x   e 1 x ln  f  x  dx  a ln  b ln  a; b Tính P  a  b Biết  ln A P  B P  2 C P  1 D P  Lời giải Chọn A ln  f  x  dx Gọi I   ln Đặt t  x  dt  dx Đổi cận: Với x   ln  t  ln ; Với x  ln  t   ln  ln ln ln  f  t  dt   f  t  dt   f   x  dx Ta I    ln ln ln Khi ta có: 2I   ln ln ln ln  f  x  dx   f   x  dx    ln  ln  f  x   f   x   dx   ln dx  ln e   x ln Xét dx Đặt u  e x  e  ln  x d u  e x d x Đổi cận: Với x   ln u  ; x  ln  u  ln dx  x   ln e  Ta ln ln ex du dx    x x u u  1  ln   ln e  e   ln   1    du   ln u  ln u    ln2 u 1   ln  u  Vậy ta có a  , b   a  b  2 Câu 53 Xét hàm số f  x liên tục  0;1 thỏa mãn điều kiện f  x   f 1  x   x  x Tính tích phân I   f  x dx A I   15 B I  C I  15 75 D I  25 Lời giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức) Với f  x   f 1  x   x  x ta có A  2; B  Suy ra:  1 f  x  dx  x  xdx  0 C asio  0, 05    75 Áp dụng kết “Cho A f  ax  b  B f  ax  c   g  x  (Với A  B ) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 27 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  x b   xc A.g    B.g    a   a  f  x  ” A2  B Ta  f  x   f 1  x   x  x  g  x   f  x   có: 2g  x   3g 1  x  22  32 x  x  1  x  x 5 x  x  1  x  x Suy ra: I   f  x  dx   5 C asio dx  0, 05    75 Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức) 1 0 Casio Từ f  x   f 1  x   x  x   f  x  dx  3 f 1  x  dx   x  xdx  0,       15 Đặt u   x  du  dx ; Với x   u  x   u  Suy 1 0 f 1  x  dx   f  u  du   f  x  dx thay vào    , ta được:  2 5 f  x  dx  4   f  x  dx  15 75 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG Câu 54 Cho f  x g  x  hai hàm số liên tục  1,1 f  x hàm số chẵn, g  x  hàm số lẻ Biết f  x  dx    g  x  dx  Mệnh đề sai? 0 A  f  x  dx  10 B 1 C  g  x  dx  14 1   f  x   g  x  dx  10 D 1   f  x   g  x  dx  10 1 Lời giải Nhớ tích chất sau để làm trắc nghiệm nhanh: Câu 55 Nếu hàm f  x CHẴN a  a a a a f  x  dx   f  x  dx Nếu hàm f  x LẺ  f  x  dx  Nếu chứng minh sau: 1  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx Đặt A  1      A1 A2 1 A1   f  x  dx Đặt t  x  dt  dx 1 Đổi cận: 1  A1   f  t    dt    f  t  dt   f   x  dx (Do tích phân xác định không phụ thuộc vào 0 biến số tích phân)   f  x  dx (Do f  x hàm chẵn  f  x  f  x ) Vậy A  1  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  10 (1) 1 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 28 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Đặt B   g  x  dx   g  x  dx   g  x  dx 1        B1 B2 t  x  dt  dx B1   g  x  dx Đặt 1 Đổi cận: 1  B1   g  t   dt    g  t  dt   g   x  dx (Do tích phân xác định khơng phụ thuộc vào 0 biến số tích phân)    g  x  dx (Do f  x hàm chẵn  g   x   g  x  ) Vậy B  1  g  x  dx    g  x  dx   g  x  dx  (2) 1 0 Từ (1) (2) Chọn B Câu 56 Cho hàm số y  f  x  hàm lẻ liên tục  4;4 biết  f   x  dx   f  2x  dx  2 Tính I   f  x  dx A I   10 B I  6 C I  Lời giải D I 10 Chọn B x2 Cách 1: Sử dụng công thức:  x1 f  ax  b  dx  a a x2  f  ax  d x tính chất hàm số lẻ đoạn  a; a Áp dụng, ta có: 4 2    f  2 x  dx    f  x  dx   f  x  dx  2 4 2  2 2 f   x  dx    f  x    f  x   Suy ra:   8  4  2  f  x  dx  với f  x a x1  2 4 f  x  dx   f  x  2 4 2 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  f  x  dx   f  x  d x  I      2  I  I  6 0 Cách 2: Xét tích phân  f   x  dx  2 x  t  dx  dt Đặt Đổi cận: x  2 t  2; x  t   2 2 f   x  dx    f  t  dt   f  t  dt  f  t  dt    f  x  dx  Do hàm số y  f  x  hàm số lẻ nên f  2 x    f  x   0 Do 2  f  2x  dx   f  2x  dx   f  x  dx  4 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 29 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  f  x  dx Xét Đặt 2x  t  d x  dt 2 Đổi cận: x  t  2; x  t   f  x  dx  f  t  dt  4 2   f  t  dt  8   f  x  dx  8 2 4 Do I   f  x  dx   f  x  d x   f  x  dx    6 0 Câu 57 (Sở Đà Nẵng 2019) Cho hàm số chẵn y  f  x  liên tục   1 f  2x dx  Giá trị  5x  f  x  dx bằng: A B D 16 C Lời giải Chọn D +) Ta có   1 f  2x  f  2x  f  2x  dx   dx (1) dx   x x 1  5x 1 1 f  2x dx : x 1  Đặt t   x  dt  dx Đổi cận: x  1  t  x   t  Khi 1 t f  2t  f  2t  f  2t  dt   I  dt    dt t  t 1 5t  1 1 0 Xét I   Vì y  f  x  hàm chẵn  nên f  2t   f  2t  , t   x 5t f  2t  f 2x d t  dx Thay vào (1) thu t  1 5x  0 Do I   1 x  1 f  x  f  2x  5x f  x    8 x dx   d x  d x 0 f  x  dx 0 5x  1  5x 0 1  f 2x  d 2x    0  f  t  dt  16 Câu 58 Cho f  x hàm số chẵn liên tục đoạn  1; 1  1 A I 1 B I  f x  x dx 1  e f  x  dx  Kết I  C I  Lời giải D I  Chọn A 1 f  x f  x f  x I d x  d x    ex 0  e x dx  I1  I  ex 1 1 f  x dx x 1  e Đặt x  t  dx  dt , đổi cận: x   t  , x  1  t  Xét I1   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 30 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng t e f  x f  x   d t dt   t  1 e  et 0 I1   x et f  t  e f x d t  0  et 0  e x dx Lại có f  x Suy ra: I   1 1 e dx   x et f  t  1 et 1 e  f t  dt  f  t  dt  f t  dt  dt   dx    1 e 1 e 2 f t  1 t t t 0 Câu 59 Cho y  f  x  hàm số chẵn liên tục  Biết 1 1  f  x  dx   f  x  dx  Giá trị f  x dx x 1 2 A 1 3 C Lời giải B D Chọn D Cách 1: Sử dụng tính chất hàm số chẵn a a f  x Ta có:  x dx   f  x  dx , với f  x hàm số chẵn liên tục  a; a b 1 a Áp dụng ta có: 2 f  x  3x  dx  0 f  x  dx  0 f  x  dx  1 f  x  dx    2 Cách 2: Do  2 1 f  x  dx   f  x  dx   21  f  x  dx 1  f  x  dx  2   f  x  dx   f  x  dx   f  x  d x  f  x dx  x 2  Mặt khác  f  x 3 x 2 1 dx   f  x 3x  dx y  f  x  hàm số chẵn, liên tục   f   x   f  x  x  f  x  x dx Đặt t   x  dx  dt 2  Xét I  f  x f  t  Suy I   x dx     t dt = 2  1 f x  x dx  2  f x f x  t x f  t  dt =  tf  t  dt =  xf  x  dx 1 1 0 1 3t 3x f  x  f  x d x  d x  d x  2 3x  0 3x  0 3x  0 x  dx  2   1 f  x dx  x 3x 1  f  x  dx  TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG “ Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn g  f  x    x g  t  hàm đơn điệu ( ln đồng biến nghịch biến)  Hãy tính tích phân I  b  f  x  dx “ a Cách giải: Đặt y  f  x   x  g  y   dx  g  y  dy File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 31 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  x  a  g  y   a  y    x  b  g  y   b  y   Đổi cận  Suy I  b  a   f  x  dx   f  x Câu 60 Cho hàm số yg  y dy liên tục  thỏa mãn f  x   f  x   x, x  B I  A I  C I  Tính I   f  x  dx D I  Lời giải Chọn D Đặt y  f  x   x  y  y  dx   3y  1 dy  x   y3  y   y  Đổi cận   x   y  y   y  Khi I   f  x  dx   y  y 0   dy   3 y   y dy   đáp án D Câu 61 Cho hàm số f  x liên tục  thỏa mãn f  x   f  x  f  x   x , x  Tính tích phân I   f  x  dx A I  B I  C I  D I  12 Lời giải Chọn B Đặt y  f  x   x  y  3y  y  dx   y  y  1 dy x  2y3 3y2  6y   y  x  2y3 3y2  6y   y 1 Đổi cận: với 1 Khi I   f  x  dx   y.6  y  y  1 dy    y  y  y  d y  0 Câu 62 Cho hàm số f  x liên tục  thỏa mãn x  f  x   f  x   , x  Tính I   f  x  dx 2 A I  B I  C I  D I  Lời giải Chọn A Đặt y  f  x   x   y  y   dx   3 y   dy Đổi cận: Với x  2 y3  2y 1  2  y 1; x 1y3  2y 1 1  y  TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG Khi đó: I   y  3 y   dy  b Bài toán: “ Cho f  x  f  a  b  x   k , I   a dx ba  k  f  x 2k Chứng minh: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 32 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng dt  dx  Đặt t  a  b  x   k x  a  t  b ; x  b  t  a f x     f t   b b dx  k  f  x  a Khi I   a b 2I   a b dx f  x  dx  k2 k a k  f  x  k f t  b b 1 dx f  x  dx ba     dx   b  a   I  k  f  x k a k  f  x k a k 2k Câu 63 Cho hàm số f  x liên tục nhận giá trị dương  0;1 Biết f  x  f 1 x  với x  0;1 dx 1 f  x Tính giá trí I   A B C D Lời giải Chọn B Ta có:  f  x   f  x  f 1  x   f  x   f  x 1 f  x  f 1  x   1 dx 1 f  x Xét I   Đặt t   x  x   t  dx  dt Đổi cận: x   t  ; x   t  1 f  x  dx dt dt dx Khi I        f 1  t   f 1  t   f 1  x   f  x  1 f  x  dx 1  f  x  dx Mặt khác    dx   dx  hay 2I 1 Vậy I   f  x   f  x   f (t ) 0 Câu 64 Cho hàm số f  x liên tục  , ta có f  x   f  0 f  2018  x   Giá trị tích 2018 phân I   dx 1 f  x A I  2018 B I  C I  1009 Lời giải D 4016 Chọn C 2018 ta có I   2018  dx   1009 1 f  x 2.1 Câu 65 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm, liên tục  f  x   x 0;5 Biết dx f  x  f   x  tính tích phân I   1 f x ,   A I  B I  C I  D I 10 Lời giải Chọn C Đặt x   t  dx  dt x  t  5; x  5 t  0 f  t  dt dt (do f   t   ) I    1 f  t 1 f t f t     File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 33 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  2I   dt   I  Câu 66 Cho hàm số y  f  x  liên tục  thỏa mãn f   x   f  x  Biết  xf  x  dx  Tính  f  x  dx tích phân A B C D 11 2 Lời giải Chọn A Đặt t   x  dt  dx x   t  ; x   t  3 3 Khi đó:   xf  x  dx     t  f   t  dt     x  f   x  dx     x  f  x  dx 3 Suy ra: 10   xf  x  dx     x  f  x  dx   f  x  dx  1 Câu 67 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục R f  x   x  [0; a] ( a  ) Biết a dx  f x   f  x  f  a  x   , tính tích phân I   A I  a C I  a B I  2a D I  a Lời giải: a dx (1) Đặt t  a  x  dt  dx Đổi cận: 1 f  x I  a a dt 1 dt   dx (2) (Tích phân xác định không phụ  1 f a  t  1 f a  t   f a  x a thuộc vào biến số tích phân)  I   a   1  0 1 f  x  1 f  a  x  dx   (1) + (2)  2I     f a  x  1  f  x   f  x f a  x  f  x   f a  x  dx    f a  x  f  x  f a  x  f  x a dx   dx  a  I  a Chọn A a  f  x f  a  x  dx ba   f x  0,  x  0; a   1 f  x c ,    Câu 68 Cho f  x hàm liên tục đoạn  0;a thỏa mãn  b , c hai số nguyên dương khoảng đây? A 11; 22  B  0;9 b phân số tối giản Khi b  c có giá trị thuộc c C  7;21 Lời giải D  2017; 2020  Chọn B Cách Đặt t  a  x  dt  dx Đổi cận x   t  a ; x  a  t  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 34 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng a a a a f  x  dx  dt dx dx dx Lúc I       1 f  x a 1 f a  t  f a  x  1 1 f  x f  x a f  x  dx a dx    1dx  a  f x  f x     0 a Suy I  I  I   Do I  a  b  1; c   b  c  Cách Chọn f  x   hàm thỏa giả thiết Dễ dàng tính I  a  b  1; c   b  c  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 35 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG Câu 69 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 1;4 , đồng biến đoạn 1;4 thỏa mãn đẳng thức x  2x f  x   f   x   , x 1;4 A I  1186 B I  1174 45 45 Biết f 1  , tính I  f  x  dx ? 1222 C I  D I  1201 45 45  Lời giải Chọn A Ta có x  2x f  x   f   x    Suy f   x  1 f  x  x  f  x  f   x  df  x dx   xdx  C   1 f  x  f   x 1 f  x   x , x 1;4 dx   xdx  C  32   x   1 3 32   f  x   x  C Mà f 1   C  Vậy f  x    2 1186 Vậy I   f  x  dx  45 2x f  x   x2 1   f  0  Câu 70 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  thỏa mãn f   x  e f  x Tích phân  x f  x  dx A B 15 C 45 D Lời giải Chọn C f Ta có f   x  e Suy ef Do ef 3  x   x2 1  2x  3 f  x  f   x  e f  x   x.e x 1 f  x 2  x  ex 1  C Mặt khác, f  0  nên C   x  ex 1  f  x   x2 1  f  x   x  Vậy  x f  x  dx   0 x x  d x   3 45   x  x    x  d  x  1    8 2 Câu 71 Cho hàm số f  x   x  4x  3x  x 1, x  Tính I   f  x  f   x  dx B 2 A C  D Lời giải Chọn D Đặt t  f  x   dt  f   x  dx Đổi cận: x   t  f  0  , x   t  f 1  2 t3 I t t  d     Khi 1 31 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 36 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 72 Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục khoảng  0;1 f  x   , x  0;1 Biết  3 f    b   1 f  a,  2 x  xf   x   f  x   , x  0;1 Tính tích phân  sin x.cos x  2sin 2x dx theo f  sin x   I  a b A I  a  b B I  b  a ab C I  b  a ab D I  a  b ab ab Lời giải Chọn D x  0;1 ta có: x  xf   x   f  x    x   f  x   xf   x   x2  4x  2xf  x  x2 f   x    x2  x  x  x  x xf  x   x f   x       f  x   f  x   f  x f x  Tính I     sin x.cos x  2sin 2x sin x.cos x  4sin x.cos x d x  dx  f  sin x  f  sin x   Đặt t  sin x  dt  cos xdx , đổi cận x    t  , x   t  Ta có I   2 t t  4t  d t f t  f t   3        3 f    2 1   2 3a  b      4b a ab f   2 liên tục, f  x  1 , f  0  thỏa f   x  x   x f  x   Tính Câu 73 Cho hàm số f f 3 2  3 A B C Lời giải D Chọn B Ta có f   x  x 1  2x f  x  1  f  x   f  x 1  f dx   3 1   2x x2 1 dx  f  0    f f  x f  x 1 f  x 1  2x x2   x2   f  x 1 1   1   f    Câu 74 Cho hàm số f  x liên tục   f  x  dx  , f  5  , f    Tính 2 I   x f   x  1 dx A B C D File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 37 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Lời giải Chọn A Đặt t  x   dt  xdx x   t  ; x   t  Khi I   t 1 f   t  dt 2 Đặt u  t   du  dt ; dv  f   t  dt, chọn v  f  t  I 1  t  1 f  t    f  t  d t   f    f      2 22 Câu 75 Cho hàm số f  x liên tục đoạn 1;4 thỏa mãn f  x      ln x Tính tích phân f x 1 x x I   f  x  dx B I  ln 2 A I   ln 2 C I  ln 2 Lời giải D I  2ln2 Chọn B Ta có  Xét K        dx f x 1 Đặt  f x 1  f x 1  ln x ln x   d x dx    dx  f  x  dx      x x x x 1   4 x 1  t x  x  t 1  dx  dt x  K   f  t  dt   f  x  dx 1 ln x ln x  ln 2 Xét M   dx   ln xd  ln x   x 1 4 Do  f  x  dx   f  x  dx  2ln 2  f  x  dx  ln 2  16 Câu 76 Cho hàm số f  x liên tục  thỏa mãn  cot x f  sin x  dx    phân  f  x  dx  Tính tích x f 4x dx x B I  A I  C I  D I  Lời giải Chọn D    Đặt I1  cot x f sin x dx  1, I    16  f  x  dx  x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 38 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Đặt t  sin x  dt  2sin x.cos xdx  sin x cot x d x  2t.cot xdx  x t   4 8 1 f  4x  f  4x  I1   cot x f  sin2 x  dx  f  t  dt  f  t  dt   d  4x    dx   x x t t  1 1 4 f  4x  Suy x Đặt dx  2I1  t  x  2tdt  dx x t 16 f I2    x  dx x  16 1 4 1 f t  f t  f 4x f  4x t d t  d t  d x  dx      t t 4x x 1 Suy  4 f 4x  1 dx  I  x 2 Khi đó, ta có: 1  f  4x  f  4x  f  4x  dx   dx   dx    x x x 2 1 Câu 77 Xét hàm số f  x liên tục  0;1 thỏa mãn điều kiện x f  x   f 1  x    x Tích phân I   f  x  dx bằng: A I   B I   C I   D I   20 16 Lời giải Chọn C Vì f  x liên tục  0;1 x f  x   f 1  x    x nên ta có 1 1 0 2 2   x f  x   f 1  x   dx    x dx   x f  x  dx   f 1  x  dx    x dx 1 0 1 tx Mà  x f  x  dx   f  x  d  x     f  t  dt  2I 0 1 u 1 x  f 1  x  dx  3 f 1  x  d 1  x   3 f  u  du  3I 0 Đồng thời  0   x  sin t  x d x     sin t cos tdt   cos t dt  0  1  cos 2t  dt    20 Do đó, 1  I  I   hay I   20 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 39 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 78 Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  ,   f   x  dx   f  x  dx  Tính tích phân I   f  x  dx 0 A I  B I  C I  D I  Lời giải Chọn B Đặt t  x t2  x dx  2tdt Đổi cận Suy    x   t  0; x   t  1 x dx   t f  t  dt   t f  t  dt  f 0 1 1 x x2 f  x   f   x  dx    x f   x  dx Mặt khác  x f  x  dx  2 2 0 Suy  1 Do   x f  x  d x  5 x2 1 3 f   x  dx      x f   x  dx  2 10 Ta tính   x  dx  2 1 1 Do   f   x   dx   x f   x  dx    x  dx   0 2 2   f  x   3x  dx  0  f   x   3x   f   x  3x  f  x   x  C Vì f 1  nên f  x  x 1 Vậy I   f  x  dx   x 3d x  0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 40 ... số có đạo hàm liên tục K:  u(x ).v '(x )dx  u(x ).v(x )   v(x ).u '(x )dx Hay  udv  uv   vdu    ( với du  u’ x dx , dv  v’ x dx ) 1.1 Phương pháp chung  Bước 1: Ta biến đổi tích...  thì: b b b b b b ' ' u ( x ) v ( x ) dx  u ( x ) v ( x )  v ( x ) u ( x ) dx Hay udv  uv  vdu a a a a a a   2.1 Phương pháp chung Bước 1: Viết f  x  dx dạng udv  uv 'dx cách chọn