Một số bài toán hay về đồ thị hàm số nguyễn minh tuấn

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN MỘT SỐ BÀI TỐN ĐỒ THỊ HAY Câu Cho hàm số f  x  có đồ thị hình vẽ bên Số tiệm cận đứng đồ thị x2   hàm số y  bao  x  1  f  x   1 nhiêu? A C Nguyễn Minh Tuấn y O B D x y Câu Cho hàm số f  x  có đồ thị hình vẽ đồng thời f  x    f  x   x  x   x   *  11 Biết hàm 2 số f  x   ax  bx  c ; g  x   mx  nx  p f  x   g  x   Tìm giá trị nhỏ hàm số g  x  x O C 2 D 4 A  1 B  Câu Biết đồ thị hàm số bậc : y  f  x  y cho hình vẽ bên Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y  g  x    f   x    f  x  f   x  trục Ox A C B D 4 x O y Câu Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số f ' x  y  f   x  hình vẽ bên Xét hàm số g  x   f  x   x  4x  3m  với m số thực Để g  x   x    ;  điều kiện m A m  f C m  f          f D m  f   B m  Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học  B O 13 x A Chinh phục olympic tốn | MỘT SỐ BÀI TỐN ĐỒ THỊ HAY y Câu Cho hàm số f  x  liên tục xác có đồ thị f '  x  định hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số y  f  x2  x  ? A 10 B 11 C 12 D 13 x O  y Câu Cho hình vẽ đồ thị hàm số xc y  x a ; y  x b ; y  x c có đồ thị hình bên Khi tìm tổng giá trị nhỏ 2m xb giá trị lớn biểu thức T 3a2   2b  a  c  a2  5c  ac A 31 B 32 C 33 D 34 Câu Hình vẽ bên đồ thị hai hàm số y  log a x y  f  x  Đồ thị chúng đối xứng với qua thẳng y  x  Tính f  log a 2018  a 2018 B f  log a 2018   1  2018a a C f  log a 2018   1  2018 D f  log a 2018   1  2018a Câu Cho hàm số bậc ba m 0, xa  O x y đường y  log a x x O A f  log a 2018   1  g  x   f  mx  nx  p   m , n , p   y  x  y  f x y f  x  g x có đồ thị hình dưới, đường nét liền đồ thị hàm f  x  , đồ thị hàm nét đứt đồ trục đối xứng hàm g  x  Giá trị biểu thức f x thị hàm g  x  , đường x   P   n  m   m  p  p  2n  bao nhiêu? A C 12 | Chinh phục olympic toán B 24 D 16 O 2  x Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu Cho  a   b   a hàm số f x y  g x  có đạo hàm f  x  1 y  0;   n   Biết đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ Khẳng định sau với x   a  1; b  1 A g  x   C g  x   f f   y  f x b 1 m b 1   B g  x   f  a 1 m  a O n x b D 10  g  x   m Câu 10 Cho hàm số f  x  có đạo hàm \b hàm số g  x  có đạo hàm y y  f x Biết đồ thị hai hàm số y  f '  x  , y  g '  x  hình vẽ Đặt h  x   f  x   g  x  S    h  x  b    h  b  x 2    2h c    h c  y  g  x  O a b c x với a,b,c số thực biết Khẳng định với x  là? A S   h  c  ; h  a  c   B S  h  c  C S   h  c  ; h  a  b   D S   h  a  ; h  c   Câu 11 Cho hàm số f  x  có đạo hàm x  2 y xác định tập số thực có đồ thị hình vẽ Tính tổng tất giá trị nguyên tham số m   20; 20  để hàm số y  f  x  m  có điểm cực trị? A 210 B 212 C 211 D 209 Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học O x 2 Chinh phục olympic tốn | MỘT SỐ BÀI TỐN ĐỒ THỊ HAY Câu 12 Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  , y  h  x  Đồ thị hàm số y  f   x  , , y  g  x  , y  h  x  có đồ thị hình vẽ y  g ' x  y 10 y  f ' x  dưới, đường đậm đồ thị hàm số y  f   x  Hàm số 3  k  x   f  x    g  5x    h  x   2  O 34 x Đồng biến khoảng đây? y  h ' x   15  A   ;    1  B   ;  4  3  C  ;  8  3  D  ;   8  Câu 13 Cho hàm số f  x  , g  x  có đồ thị hình vẽ bên Biết x  1, x  điểm cực trị hàm số f  x  , g  x  đồng thời f    g   , f 6   g 1   f  5x  16   g  5x     *  Gọi M,m giá trị nhỏ biểu thức S  f  x   f  x   g  x     g  x   g  x  Tính tổng P  M  m ? y g x f x O 27 23 B C 4 Câu 14 Cho hàm số y  f  x  liên tục A đoạn  2;  có đồ thị đoạn  2;  hình vẽ Hỏi phương trình f x  f x   f x  2  có nghiệm thực đoạn  2; 3 ? A C x D 11 y  f x y 1 2 O x 1 B D 4 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN LỜI GIẢI y Câu Cho hàm số f  x  có đồ thị hình vẽ bên Số tiệm cận đứng đồ thị hàm x2   số y  bao nhiêu?  x  1  f  x   1 A C B D 4 O x Lời giải Hàm số có dạng f  x    k.x p  x  x1  y q 1 ; x1  6; p  1; q  x2   x2   q  q 1 f x  k.x p  x  x1  x   k.x p   x  x1  x   Trường hợp TCĐ p    p  đó: y x2   x2   q 1 q 1 p  2 f x  k.x  x  x1  x   k  x  x1  x2   Suy có TCĐ x  x1 Câu Cho hàm số f  x  có đồ thị hình vẽ y đồng thời f  x    f  x   x  x   x   *  Biết hàm số f  x   ax  bx  c ; g  x   mx  nx  p 11 f  x   g  x   Tìm giá trị nhỏ hàm số g  x  C 2 A  D 4 Từ  *  ta thay x   f    f   x O B  1 Lời giải a  b  Ta có x   y  1  c  1   x  2, y  11  f  x   x  x  c  1 Mặt khác x  x   g  x    m  x    n  x  1  p  mx  2mx  m  nx  n  p m  m  1    2  n  1  n   g  x   x  x ; g '  x   x  1; g '  x    x   p  1  n  p   Vậy giá trị nhỏ g  x    Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỒ THỊ HAY Câu Biết đồ thị hàm số bậc : y  f  x  y cho hình vẽ bên Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y  g  x    f   x    f  x  f   x  trục Ox A C B D 4 O x Lời giải Số giao điểm đồ thị hàm số y  g  x    f   x    f  x  f   x  trục Ox số nghiệm phương trình:  f   x    f  x  f   x     f   x    f  x  f   x  2 Giả sử đồ thị hàm số y  f  x   ax  bx  cx  dx  e ,  a , b , c , d , e  ; a  0, b   cắt trục hoành Ox điểm phân biệt x , x , x , x Đặt A  x  x1 , B  x  x2 , C  x  x3 , D  x  x ta có: f  x   a  x  x1  x  x2  x  x3  x  x   a.ABCD  TH1: Nếu x  xi với i  1, 2, 3, g  xi    f   xi    Do x  xi , i  1, 2, 3, nghiệm phương trình g  x    TH2: Nếu x  xi với i  1, 2, 3, ta viết lại 1 1 1 f   x   a  BCD  ACD  ABD  ABC   f  x        A B C D 1  1 1 1  f   x   f   x        f  x       D   A B C D A B C 1  1 1 1   f  x        f  x       D   A B C D A B C 1  1 1 1  Suy ra, f   x  f  x   f  x        f  x       D   A B C D A B C 1   Khi g  x    f   x    f   x  f  x   f  x        x  xi  i  1, 2, 3,  D  A B C Từ suy phương trình g  x   vô nghiệm Vậy đồ thị hàm số y  g  x  khơng cắt trục hồnh | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN y Câu Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f x hình vẽ bên Xét hàm f ' x  số g  x   f  x   x  4x  3m  với m số thực Để g  x   x    ;  điều kiện m 2 A m  f B m  f 3 2 C m  f    D m  f   3        13 B x O A Lời giải Ta có g  x    g  x   f  x   x  4x  3m    3m  f  x   x  4x  Đặt h  x   f  x   x  x  Ta có h  x   f   x   6x        h   f    6.5    h  f   6.5     Suy h    f          h    f    6.1   h  1   f   1   6.1       Từ ta có bảng biến thiên x h   h     h 0 h h Từ bảng biến thiên ta có 3m  h  5 m Câu Cho hàm số f  x  liên tục xác định f  5  5 y có đồ thị f '  x  hình vẽ Tìm số điểm y  f  x2  x  ? cực trị hàm số A 10 B 11 C 12 D 13 O  x Lời giải Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỒ THỊ HAY Ta có y '   x   f '  x  x  , x  x  m có nghiệm m   Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm f '  x  cắt trục hồnh điểm điểm có hồnh độ nhỏ 1  có tiệm cận Khi ứng với giao điểm có hồnh độ lớn  điểm 4 khơng xác định y '  có nghiệm Từ dễ dàng suy hàm y  f  x  x  có 11 cực trị! Câu Cho hình vẽ đồ thị hàm số y xc y  x a ; y  x b ; y  x c có đồ thị hình bên Khi tìm tổng giá trị nhỏ 2m xb giá trị lớn biểu thức T 3a2   2b  a  c  A 31 C 33 m 0, a2  5c  ac B 32 D 34 O xa  x Hướng dẫn Nhận thấy x   , ta có  c  2 b  c log    b log    c  b  log    a  0.5  a log   1  ac  b Đến thay vào biểu thức ta hàm biến đặt ẩn đưa khảo sát hàm biến! y Câu Hình vẽ bên đồ thị hai hàm y  log a x số y  log a x y  f  x  Đồ thị chúng đối xứng với qua thẳng y  x  Tính f  log a 2018  đường a 2018 B f  log a 2018   1  2018a a C f  log a 2018   1  2018 D f  log a 2018   1  2018a O x A f  log a 2018   1  y  x  y  f x Lời giải Gọi  b ; c   C  : y  log a x ;  e ; f   C  : y  f  x  Ta có hệ điều kiện c  f    b  e    b  c   f  e  b   f     b  c  e  f c   e  1  b  e    c  f     e   log a   f     f   a  e 1  f  1  a  e 1  f  x   1  a  e 1 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Vậy f  log a 2018  1  a log a 2018  1  Câu Cho hàm số bậc g  x   f  mx  nx  p   m , n , p  ba  2018a f  x  y g x có đồ thị hình dưới, đường nét liền đồ thị hàm f  x  , đồ thị hàm nét đứt đồ thị hàm g  x  , trục đối xứng hàm g  x  Giá trị biểu thức P   n  m   m  p  p  2n  bao f x đường x   nhiêu? A C 12 O 2  B 24 D 16 2 Lời giải Ta có f  x   ax  bx  cx  d  f '  x   3ax  2bx  c Hàm số đạt cực trị x  0; x  đồ thị qua điểm  1;  ,  0;  nên ta có  f '    a     f '    b  3   f  x   x  3x     f  1  c   f 0  d   Ta có g  x    mx  nx  p    mx  nx  p   Hệ số tự p  p  Đồ thị hàm số g  x  qua điểm  0;  nên p  p    p  Đồ thị hàm số g  x   f  mx  nx  p  có trục đối xứng x   nên đồ thị hàm số y  mx  nx  p có n     m  n 2m Đồ thị hàm số g  x  qua điểm  2;  nên trục đối xứng x   m  n  g  2    g  x    m     m       m  n    Do đồ thị có hướng quay lên nên ta suy m   m  n  p  Câu Cho  a   b   a hàm số y  g  x    0;   Biết đồ thị hàm số f x f   x  1  có đạo hàm y  f  x  hình vẽ Khẳng định sau với x   a  1; b   Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic toán | x MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỒ THỊ HAY y y  f x n m a O A g  x   f  b 1  m B g  x   f  a 1 n  x b C g  x   f  b 1  m D 10  g  x   Lời giải Ta có x   a  1; b  1   x     a ; b  , dựa vào đồ thị ta có 1 m  f  x  1  n    n f  x  1 m     Mặt khác  a   b   a dựa vào đồ thị ta thấy f  x  đồng biến  a  1; b  1 nên ta có f   a   f x  f   b   g x  f  Câu 10 Cho hàm số f  x  có đạo hàm \b hàm số g  x  có đạo hàm b 1 m  y Biết y  f x đồ thị hai hàm số y  f '  x  , y  g '  x  hình vẽ Đặt h  x   f  x   g  x  S    h  x  b    h  b  x    h  c     h  c   2 với a,b,c số thực biết Khẳng định với x  là? y  g  x  O a b c x A S   h  c  ; h  a  c   B S  h  c  C S   h  c  ; h  a  b   D S   h  a  ; h  c   Lời giải x  a Từ đồ thị cho ta suy h '  x   f '  x   g '  x  ; h '  x    f '  x   g '  x    x  c Lập bảng biến thiên ta có 10 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN x h ' x   a   c b + +  h c  h x h  a   Lại có S   h  b  x   h  c   h  b  x   h  x  b   h  c  Câu 11 Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định tập số thực có đồ thị hình vẽ Tính tổng tất giá trị nguyên tham số m   20; 20  để hàm số y  f  x  m  có điểm cực trị? x  2 y 3 O x 2 A 210 B 212 C 211 D 209 Lời giải Chúng ta tính nhanh theo cơng thức hàm số y  f  x  m  có điểm cực trị hàm số y  f  x  m  có điểm cực trị dương hàm số phải liên tục x0  Dựa vào đồ thị hàm số ta suy 1  m  m    m  20, 19, 18, , 3, 1, 0  2  m  m  2 Câu 12 Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  , y  h  x  Đồ thị hàm số y  f   x  , y  g  x  , y  h  x  có đồ thị hình vẽ dưới, đường đậm đồ 3  thị hàm số y  f   x  Hàm số k  x   f  x    g  5x    h  4x   đồng biến 2  khoảng ? Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | 11 MỘT SỐ BÀI TỐN ĐỒ THỊ HAY y  g ' x  y 10 y  f ' x  O 34 x y  h ' x   15  A   ;    1  B   ;  4  3  3  C  ;  D  ;   8  8  Lời giải 15  3   Ta cần giải bất phương trình k '  x   f '  x    g '  x    4h '  4x     2   Không thể giải trực tiếp bất phương trình Quan sát đồ thị hàm số y  f '  x  , y  g '  x  , y  h '  x  ta nhận thấy f '  x   10, x   3;  ; g '  x   5, x , h '  x   5, x   3;  Do f '  a   g '  b   4h '  c   10  2.5  4.5  0, a , c   3;  , b  3  x      x  Đối chiếu với đáp án ta chọn ý C Vì ta cần chọn    x   Câu 13 Cho hàm số f  x  , g  x  có đồ thị hình vẽ bên Biết x  1, x  điểm cực trị hàm số f  x  , g  x  đồng thời f    g   , f 6   g 1   f  5x  16   g  5x     *  Gọi M,m giá trị nhỏ biểu thức S  f  x   f  x   g  x     g  x   g  x  Tính tổng P  M  m ? y g x f x O A 27 B 23 12 | Chinh phục olympic toán x C D 11 Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Lần lượt thay x  2, x  vào  *  đồng thời kết hợp điều kiện ban đầu ta có hệ phương 2 f  2 f trình  2 f 2 f   1  g       g  1   f  1  g        g  1   f    , g  1    1  g    Từ giả thiết kết hợp đồ thị ta nhận thấy g  x  nghịch biến  1;  f  x  đồng biến  5  1; 6  g  x   1;  , f  x   1;  để đơn giản ta đặt u  f  x  , y  g  x   2 Ta có S  u2  2uy  y  u  y  f  u ; y  Coi hàm số theo ẩn u ta có 2y  35 5  Ta có f  1; y    y  y  y   y  y  2; f  ; y   y  y  2  f u '  u ; y   2u  y    u  5   f  ; y   f  1; y   0, y  1;  2  2y    2y     3 3  Xét y  1;   u   1;   1;  y   ;   u  2 2   2  2  2  3  5 Với y  1;    khảo sát hàm số f  u ; y  theo biến u  1;   2  2 35 23 5   f u  u ; y   f  1; y   y  y   ,và f u  u; y   f  ; y   y  y   4 2   5 3  Với y   ;    Lập bảng biến thiên cho hàm số f  u ; y  theo biến u  1;  ta có  2 2  2y  8y   2y    2y    f u  u; y   f  ;y    y  y  1  y  y    2     35 23 5  Và f u  u; y   f  ; y   y  y   4 2  23 23 27 Từ      max S  M  , S  m   P  M  m  1 4 y Câu 14 Cho hàm số y  f  x  liên tục y  f x đoạn  2;  có đồ thị đoạn  2;  hình vẽ Hỏi phương trình f x  f x   f  x    có nghiệm thực đoạn  2; 3 ? A C 1 2 B D O x 1 Lời giải Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic toán | 13 MỘT SỐ BÀI TỐN ĐỒ THỊ HAY Ta có đồ thị hàm y  f  x   hình vẽ ( phần trục Ox) y O Xét hàm số y  f  x    đoạn  0;  ta có y  Xét hàm số y  f  x  đoạn  2;  ta có x f x  2   , f x  f x    f  x   1 8  x   f  x     Suy VT  VP dấu “=” xảy  x   f  x   14 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học ...MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỒ THỊ HAY y Câu Cho hàm số f  x  liên tục xác có đồ thị f ''  x  định hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm... D 209 Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học O x 2 Chinh phục olympic toán | MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỒ THỊ HAY Câu 12 Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  , y  h  x  Đồ thị hàm số y  f   x  , , y...  mx  nx  p 11 f  x   g  x   Tìm giá trị nhỏ hàm số g  x  C 2 A  D 4 Từ  *  ta thay x   f    f   x O B  1 Lời giải a  b  Ta có x   y  1  c  1   x  2, y 