Hình học oxy tuyển chọn phân loại theo chủ đề mẫn ngọc quang

Tất học sinh thân yêu Tất học sinh thân u LÝ THUYẾT Hình vng có tính chất : 1) AB  AC  CD  DA 2) IA  IB  IC  ID  C D   90o AB 3)    DBC    45o 4) DAC 5) AC Vng góc BD Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD M điểm thuộc cạnh CD  M  C , D  Qua điểm A dựng đường thẳng d vng góc với AM , d cắt đường thẳng BC điểm M Biết trung điểm đoạn thẳng MN gốc tọa độ O, I giao điểm AO BC Tìm tọa độ điểm B hình vng biết A  6;  , O  0;0  I  3; 2  điểm N có hồnh độ âm Tất học sinh thân yêu Phương trình đường thẳng AB : x  y  26   22  AB  BC  B  B   ;     Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có A  4;6  Gọi M , N   450 , M  4;0  đường điểm nằm cạnh BC CD cho MAN thẳng MN có phương trình :11x  y  44  Tìm tọa độ điểm B, C , D B  0; 2  , C  8;  , D  4;10  Câu (Thpt – Chu Văn An – An Giang) Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy , cho hình vng ABCD có đỉnh C thuộc đường thẳng d : x  2y   , điểm M (1;1) thuộc cạnh BD biết hình chiếu vng góc điểm M cạnh AB AD nằm đường thẳng  : x  y   Tìm tọa độ đỉnh C Đáp số : C  2;  Câu ( THPT - Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có tâm I Trung điểm cạnh AB M (0;3) , trung điểm đoạn CI J (1;0) Tìm tọa độ đỉnh hình vng, biết đỉnh D thuộc đường thẳng  : x  y   Đáp số : A(2;3), B(2;3), C (2; 1), D (2; 1) Câu ( THPT – Hiền Đa – Phú Thọ ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có C  2; 2  Gọi điểm I , K trung điểm DA DC ; M  1; 1 giao BI AK Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình vng ABCD biết điểm B có hồnh độ dương Đáp số: A  2;0  , B 1;1 , D  1; 3 Câu ( THPT Lê Hồng Phong – Nam Định lần – 2016 ) – Quan hệ vuông góc Tất học sinh thân u Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có điểm B thuộc đường thẳng x  y  Điểm M M  3;0  trung điểm AD, điểm K  2; 2  thuộc cạnh DC cho KC  3KD Tìm tọa độ đỉnh hình vng  Vậy A  3;  , B 1;  , C 1; 2  , D  3; 2  Câu 7(1,0 điểm ) CHUYÊN HẠ LONG Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có A  4;6  Gọi M, N điểm nằm cạnh BC CD cho   450 , M  4;0  đường thẳng MN có phương trình 11x  y  44  Tìm tọa độ MAN điểm B, C, D B  0; 2  D  4;10  Câu – Chuyên Biên hòa : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD tâm I, G trọng tâm tam giác ABI, M trung điểm AI, đường thẳng qua G cắt ID E (7;-2) cho GE  2GM Viết phương trình AB biết A có tung độ dương AG : 3x  y  13   Vậy A 5; , Câu : CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – ĐÀ NẴNG 11 Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vng ABCD , điểm F ( ;3) trung điểm AD , điểm E trung điể AB , điểm K thuộc CD cho KD = 3KC Đường thẳng EK có phương trình 19x – 8y – 18 = Tìm tọa độ điểm C hình vng biết điểm E có hành độ nhỏ C (3,8) THANH CHƯƠNG – NGHỆ AN Tất học sinh thân yêu Câu 10 (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có tâm I Các 2  10 11   điểm G  ;  , E  3;   trọng tâm tam giác ABI tam giác ADC Xác 3  3  định tọa độ đỉnh hình vng ABCD , biết tung độ đỉnh A số nguyên A(1;4), B (7;6), C (9; 2), D(1; 4) Câu 11 : Đề – NHĨM HỌC SINH THẦY QUANG BABY Cho hình vuông ABCD tâm K , M điểm di động cạnh AB Trên cạnh AD lấy điểm E cho AM  AE , cạnh BC lấy điểm F cho BM  BF , phương trình EF : x   Gọi H chân đường vng góc kẻ từ M tới đường thẳng EF Tìm toạ độ đỉnh hình vng ABCD biết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABH x  y  x  y  15  tung độ điểm A điểm H dương A  0;5 , B  4; 3 , C  4; 7  , D  8;1 Câu 12 – Đề 11 (ĐỀ THI NHĨM HỌC SINH THẦY QUANG BABY) Cho hình vng ABCD , vẽ hai đường trịn  C1  có đường kính AD  C2  có bán kính AD tâm D Lấy điểm P thuộc  C2  cho AP có phương trình x  y   Đường thẳng DP cắt  C1  N biết AN có phương trình x  y   Tìm đỉnh hình vng biết điểm E  9;  thuộc đường thẳng CD Vậy A 1;  , B  3;8 , C  9;6  , D  7;0  Câu 13 – Đề 19 (Nhóm Học Sinh Thầy Quang Baby) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có A  4;6  Goi M , N điểm nằm cạnh BC   450 , N  5;8 đường thẳng MN có phương trình 38x  y  182  CD cho MAN Tìm tọa độ điểm B, C, D B  0; 2  Tất học sinh thân yêu Bài 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Điểm E(7;3) điểm nằm cạnh BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE cắt đường chéo BD điểm N  N  B  Đường thẳng AN có phương trình 7x +11y + = Tìm tọa độ đỉnhA, B, C,D hình vng ABCD , biết A có tung độ dương, C có tọa độ nguyên nằm đường thẳng x  y  23  (Đề thi thử THPT Hàn Thuyên Bắc Ninh 2016 Lần 1) Câu 18 ( Đề 22 – thầy Quang Baby) : Cho hình vng ABCD, A(1;4), vẽ hai đường trịn (C1) có đường kính AD (C2) có bán kính AD tâm D Lấy điểm P nằm đường tròn (C2), AP có phương trình x + y – = Đường thẳng DP cắt đường tròn (C1) N, AN có phương trình 3x – 5y + 17 = Tìm đỉnh hình vng biết xC > 0, điểm E(7; -2) thuộc đường thẳng BC Bài 19: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB, AD lấy hai điểm E, F cho AE = AF Gọi H hình chiếu vng góc A DE Biết   14   H  ;   , F  ; 2  , C thuộc đường thẳng d : x  y   , D thuộc đường thẳng  3 5  d ' : x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình vng (Đề thi thử THPT Thuận Thành Bắc Ninh 2016 Lần 2) Bài 20 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh C  4; 3 M điểm nằm cạnh AB ( M không trùng với A B) Gọi E, F hình chiếu vng góc A, C lên DM I  2;3 giao điểm CE BF Tìm toạ độ đỉnh cịn lại hình vng ABCD biết đỉnh B nằm đường thẳng d có phương trình x  y  10  Tất học sinh thân yêu (Đề thi thử THPT Yên Thế 2016 Lần 3) Kết luận: A  8;1 , B  0;5 , D  4; 7  Bài 21 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD có K điểm đối xứng với A qua B Trên cạnh BC, CD lấy điểm M N thỏa mãn BM  DN Phương trình đường thẳng MK : x  y  , điểm N  1; 5  Viết phương trình cạnh AB biết điểm A thuộc trục hoành điểm M có hồnh độ dương (Đề thi thử THPT Offine Thầy Nguyễn Đại Dương sienghoc.com Lần 7) Bài 22 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M, N điểm nằm cạnh AB, CD thỏa mãn AM  DN Đường thẳng qua M vng góc BN cắt cạnh AC E Biết E  10;3 , phương trình MN : x  y   , điểm C thuộc d : x  y   Viết phương trình đường thẳng AB (Đề thi thử THPT Offine Thầy Nguyễn Đại Dương sienghoc.com Lần 8) Bài 24:Cho hình vng ABCD có tâm I gọi M điểm đối xứng D qua C Gọi H,K chân đường cao hạ từ D, C lên AM Giả sử K(1;1), đỉnh B thuộc đt: 5x+3y10=0 pt đt HI: 3x+y+1=0 Tìm đọa độ đỉnh B Tất học sinh thân yêu Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD M điểm thuộc cạnh CD  M  C , D  Qua điểm A dựng đường thẳng d vng góc với AM , d cắt đường thẳng BC điểm N Biết trung điểm đoạn thẳng MN gốc tọa độ O, I giao điểm AO BC Tìm tọa độ điểm B hình vng biết A  6;  , O  0;0  I  3; 2  điểm N có hồnh độ âm Ta có:   MAD  ( Cùng phụ BAM ) NAB  AB  AD    BAN ABN ADM có:  DAM    ADM  ABN  ABN  ADM  AM  AN O trung điểm MN  AO  MN Mà MAN vng  OA  ON Tất học sinh thân yêu Phương trình đường thẳng MN   AI  : 3x  y  OA  ON  N  4; 6  ( Thỏa mãn ) N  4;6  ( Loại xA  )  N (4; 6)  Phương trình đường thẳng BC : x  y  26  Phương trình đường thẳng AB : x  y  26   22  AB  BC  B  B   ;     Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có A  4;6  Gọi M , N   450 , M  4;0  đường điểm nằm cạnh BC CD cho MAN thẳng MN có phương trình :11x  y  44  Tìm tọa độ điểm B, C , D Bài giải Đường thẳng vng góc với AM A cắt CD E   BAD   900  EAD   BAM  ( Phụ góc MAD  )  EAM  AD  AB ADE AMB   ADE  ABM  AM  AE   BAM   EAD   NAE   450  AN đường phân giác MAE   AN  ME Mà MAN Mà AE  AM  Phương trình đường thẳng AE : x  y  34  Tất học sinh thân yêu  E 10; 2  AE  AM    E  2;14  Với E 10; 2  , phương trình đường thẳng AN : x  y  22  AN  MN  N  N  0; 22   D 12;  , B  0; 2  , C  8; 6  (loại xét điều kiện D,N phía AM) Với E  2;14  , phương trình đường thẳng AN : x  y  46   16 22  AN  MN  N  N   ;   B  0; 2  , C  8;  , D  4;10   3  Câu (Thpt – Chu Văn An – An Giang) Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy , cho hình vng ABCD có đỉnh C thuộc đường thẳng d : x  2y   , điểm M (1;1) thuộc cạnh BD biết hình chiếu vng góc điểm M cạnh AB AD nằm đường thẳng  : x  y   Tìm tọa độ đỉnh C Đáp số : C  2;  Bài giải Gọi H , K hình chiếu vng góc M AB, AD Gọi KM  BC  N , CM  HK  I 10 Tất học sinh thân yêu +) Phương trình đường thẳng AB qua H vng góc với HM x – y + = Phương trình đường thẳng AC qua K vng góc với KM 2x + y – = A giao điểm AB AC  A(0;3) Vậy A(0;3) Câu 117 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x  y  Gọi A điểm thuộc đường thẳng y – = B, C tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ A đến (C) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt (C) D, AD cắt (C) E Tìm tọa độ A biết BE cắt AC I(1;2) B +) IC tiếp tuyến đường tròn (C) nên IC =IE.IB (1)   BDA   EAI  Mặt khác: EBA E O A  IA2 =IE.IB (2) +) Từ (1) (2)  IC = IA I D Do IBA  IAE Nghĩa I trung điểm AC C +) Gọi A(a;3) thuộc đường thẳng y – = Vì I trung điểm AC nên C(2 – a;1) Lại có OC =1  2  a 1   a=2  A(2;3) Vậy A(2;3) Câu 118 Trên nửa đường trịn tâm I đường kính AB, C thuộc AI, M thuộc nửa đường tròn Kẻ tiếp tuyến Ax  AB By  AB Qua M kẻ đường thẳng vng góc với MC cắt Ax P, cắt By Q Đường thẳng AM cắt PC D(2;1), đường thẳng MD cắt CQ E, đường DE cắt MI N Tìm tọa 316 Tất học sinh thân yêu độ điểm N biết E thuộc đường thẳng d: x + y – = phương trình đường thẳng MI: x – 2y + = P   PMC   180o +) Ta có: PAC M  tứ giác PACM nội tiếp   MPC  (góc nội tiếp chắn cung MC ) Do đó: MAC +) Tương tự ta có : E D Q   MBC  (tứ giác CBQM nội tiếp) MQC Khi ta có: A C B I   MQC   MAC   MBC   90o  PCQ   90o MPC   DME   180o Từ đó: DCE Nên tứ giác DMEC nội tiếp   MCD   MAP   MBA  Vì vậy: MED Mà hai góc vị trí đồng vị  DE // AB I trung điểm AB  N trung điểm DE +) Gọi E( a; – a) nằm đường thẳng d  a2 6a ;    Vì N trung điểm DE nên N  Lại có N thuộc MI  a2 6a     a =  N(2;2) 2 Vậy N(2;2) Câu 119 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O(0;0) 317 Tất học sinh thân u Đường trịn qua B tiếp xúc với AC A cắt đường tròn qua C tiếp xúc với AB A điểm   ;  khác A Biết phương trình đường thẳng AB x – y – = Tìm tọa độ đỉnh A,  29 29  D B, C A O2 O1 N M D O B C  +) Vì AC tiếp tuyến  O1  nên  ABD  CAD  AB tiếp tuyến  O2  nên  ACD  BAD  ABD  CAD +) Gọi M, N trung điểm AB AC   DNA   tứ giác AMDN nội tiếp  DMB Mặt khác tứ giác AMON nội tiếp đường tròn đường kính OA Nên D thuộc đường trịn đường kính OA Do AD  OD +) Phương trình đường thẳng AD qua D vng góc với OD là: 5x – 2y + = A giao điểm AD AB  A(-1;-2) 318 Tất học sinh thân yêu 1 2 1 2 Lại có OM  AB nên M hình chiếu O lên AB  M  ;    B(2;1) 2 Phương trình đường trịn  O1  qua ba điểm A,B,D  x     y     O1 (2;-2) Phương trình đường thẳng AC qua A vng góc với O1 A x + = Tương tự ta có N(-1;0) nên C(-1;2) Vậy A(-1;-2) B(2;1) C(-1;2) Câu 120 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm I 2 4 3 3 8 5 4 5 trọng tâm G  ;  Gọi E(1;1) F  ;   hình chiếu vng góc B,C lên AI Tìm tọa độ điểm A 319 Tất học sinh thân yêu A +) Gọi M trung điểm BC H chân đường cao kẻ từ đỉnh A ABC K trung điểm AC D điểm đối xứng với A qua I +) Ta có MK đường trung bình BEC E  MK // BE I Lại có BE  AD  MK  AD K Mặt khác KE = KF H B MK đường trung trực EF ME=MF M F Phương trình đường thẳng AI qua hai điểm E F 3x + y – =  Gọi A(a;4-3a) Vì AM     M 1  9a      3a AG    a;   3a   1  ; 4   2  23   a 3a  ;  Vì ME = MF nên ta có phương trình: 2  2 a  3a   a   3a     1           5 2  5  a =  A(0;4) Vậy A(0;4) 8 3   Câu 121 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G  ;0  có đường trịn ngoại tiếp (C) tâm I Biết điểm M(0;1) N(4;1) điểm đối xứng I qua đường thẳng AB AC Đường thẳng BC qua điểm K(2;-1) Viết phương trình đường trịn 320 Tất học sinh thân yêu (C) +) Dễ thấy AM = AN (= AI) +) Gọi E, F trung điểm AB AC  E, F trung điểm IM IN Do BC // EF // MN A +) Phương trình đường thẳng BC qua K song song với MN là: y + = Gọi H trung điểm BC M N E F I  H(a;-1)   8 3   16  6a  ;2    Vì GA  HG    a;1   G 2 Và    2a     2a   (AM = AN) B C H Nên a = Do H(3;-1) A(2;2) +) Phương trình đường thẳng IH qua H vng góc với BC x – = Gọi I(3;t) ta có AI = AM = t  nên   t      t  Mặt khác A I nằm khác phía so với MN I(3;0) Đường trịn (C) có tâm I bán kính AI =  x  3 có phương trình là:  y2  Vậy phương trình đường trịn (C)  x  3  y  321 Tất học sinh thân yêu Câu 122 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A có đỉnh B, C nằm   1 2 Ox, D trung điểm cạnh BC, điểm E thuộc đoạn DC Gọi O1  2;  O2  7;8  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE tam giác ACE Tìm tọa độ điểm E D, biết hoành độ điểm E lớn hoành độ điểm D +)  O1 AE cân O1 nên  o  O ABC AO1 E  90o   AE  90  o   Tương tự ta có: O AE  90  ACB O2 o o    O AO2  180  ABC  ACB  90 A +) Vì O1O2 trung trực AE nên A,E đối o  xứng qua O1O2  O EO2  90 H Ta có: O1 D // AC, O2 D // AB O1 B D E o  O DO  90 C +) Tọa độ điểm D, E nghiệm hệ : y    x  3, y    15   52      o  x  6, y   2  x     y  17       2  4 Vì hồnh độ điểm E lớn hoành độ điểm D nên D(3;0) E(6;0) Phương trình đường thẳng O1O2 3x – 2y – =0 +) Phương trình đường thẳng AE qua E vng góc với O1O2 là: 2x + 3y -12 = 322 Tất học sinh thân yêu Vì H giao điểm AE O1O2 nên H(3;2) H trung điểm AE nên A(0;4)    1 2 +) Ta có O1 D   1;   // (2;-1) Đường thẳng AB qua A vng góc với O1 D có phương trình 2x – y + =0 B giao điểm Ox với AB nên B(-2;0) Mặt khác: D trung điểm BC nên C(8;0) Vậy A(0;4) B(-2;0) C(8;0) Câu 123 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm đoạn BC, G trọng tâm tam giác ABM D(7;-2) điểm nằm đoạn MC cho GA = GD Viết phương trình đường thẳng AB tam giác ABC biết đỉnh A có hồnh độ nhỏ phương trình đường thẳng AG 3x – y – 13 = +) AMB vuông cân M nên GA = GB B Lại có GA = GD nên GA = GB = GD Do G tâm đường trịn ngoại tiếp ABD +) MG cắt AB E  E trung điểm AB E 1  Mặt khác  ADB  BAG  EGA M G F D  tứ giác AGMD nội tiếp   AGD   AMD  90O  AG  AD A +) Vì G hình chiếu D lên AG  G(4;-1) Gọi A(a;3a-13) với a0) c2 c4 ;    I  c  Vì c>0 nên c=2  C(2;-1) I(0;-1) c  1 Lại có I nằm đường tròn (C) nên c  c     +) Vì E H giao điểm đường trịn đường kính AC với đường trịn (C) H có hồnh độ âm nên   H   ; 11   E(0;-3) 5 Phương trình đường thẳng AB x – y + = Phương trình đường thẳng BC x – 3y – = B giao điểm AB BC nên B(-4;-3)   +) Kiểm tra : BA.BC  16  (thỏa mãn tam giác ABC nhọn)   Vì AB  DC nên D(4;1) Vậy B(-4;-3) C(2;-3) D(4;1) 326 Tất học sinh thân yêu Câu 126 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD tâm I Gọi M trung điểm CD, H hình chiếu D lên AM N trung điểm AH Tìm tọa độ đỉnh B,D biết phương trình 2 5  9  đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN (C):  x     y    đỉnh D có hồnh độ ngun 2  2  nằm đường thẳng 2x – y = A B N H 5 9 2 2 +) Đường trịn (C) có tâm J  ;  bán kính R= I 10 Gọi E trung điểm HD E Vì NE đường trung bình MAD nên: D M C  NE / / AD / / IM    NE  AD  IM  Tứ giác IMEN hình bình hành Và NE  MD AD  MD Do E trực tâm  MND  ME  ND  IN  ND Do tứ giác IMDN tứ giác nội tiếp +) Vì D giao điểm (C) với đường thẳng 2x – y = D có hồnh độ ngun nên D(3;6) Lại có J trung điểm ID nên I(2;3) Mặt khác I trung điểm BD nên B(1;0) Vậy B(1;0) D(3;6) 327 Tất học sinh thân yêu Câu 127 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I có B(-3;4) Gọi D H điểm đối xứng với A qua I chân đường vng góc hạ từ A BC Giả sử E hình chiếu vng góc B lên AD Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác HEF biết phương trình đường thẳng AH 2x – y = phương trình đường thẳng CD x + 3y – = A +) Gọi N trung điểm AB Ta có  AHB   AEB  90o  tứ giác AEHB nội tiếp đường trịn tâm N đường kính AB  NH = NE  N nằm đường trung trực N HE O E   EHB   180o  BAD   EHB   180o  EMH +) Lại có:    EMH   BAD B H M C   BCD  (cùng chắn cung BD  ) Mặt khác BAD   BCD   EMH F D Mà hai góc vị trí so le  HE // CD  HE  AC +) Ta có MN đường trung bình ABC  MN // AC  MN  HE Mà N nằm trung trực HE  MN trung trực HE +) Tương tự ta có M nằm trung trực HF 328 Tất học sinh thân yêu  M tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác HEF +) Phương trình đường thẳng BC qua B vng góc với AH x + 2y – = C giao điểm CD BC  C(9;-2) H giao điểm AH BC  H(1;2) Lại có MH= 2 Phương trình đường trịn tâm M bán kính MH là:  x  3   y  1  2 Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF  x  3   y  1  329 Tất học sinh thân yêu 330 ... 1;  , B  3;8 , C  9;6  , D  7;0  Câu 13 – Đề 19 (Nhóm Học Sinh Thầy Quang Baby) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có A  4;6  Goi M , N điểm nằm cạnh BC   450 , N... //(1,4) vng góc (-4,1) => phương trình EK : -4x + y + 2a = a  2a 5a  17 16  04 Theo hình chuẩn hóa : d ( F , EK )  Theo đề ta lại có : d ( F , EK )   a  , nên EF  11 19  24  18 192  64...  , D  7;0  24 Tất học sinh thân yêu Câu 13 – Đề 19 (Nhóm Học Sinh Thầy Quang Baby) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có A  4;6  Goi M , N điểm nằm cạnh BC   450 , N