Tài liệu lý thuyết và bài tập chuyên đề giới hạn do thầy Lư Sĩ Pháp biên soạn, tài liệu gồm 78 trang tóm tắt lý thuyết chuyên đề giới hạn và tuyển chọn bài tập tự luận, trắc nghiệm giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục có đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh học tốt chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4.
Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 GIỚI HẠN LỜI NĨI ĐẦU Q đọc giả, quý thầy cô em học sinh thân mến! Nhằm giúp em học sinh có tài liệu tự học mơn Tốn, tơi biên soạn giải tốn trọng tâm lớp 11 Nội dung tài liệu bám sát chương trình chuẩn chương trình nâng cao mơn Tốn Bộ Giáo dục Đào tạo quy định NỘI DUNG Tóm tắt lý thuyết cần nắm học Bài tập có hướng dẫn giải tập tự luyện Phần tập trắc nghiệm đủ dạng có đáp án Một số đề ôn kiểm tra Cuốn tài liệu xây dựng cịn có khiếm khuyết Rất mong nhận góp ý, đóng góp quý đồng nghiệp em học sinh để lần sau tập hồn chỉnh Mọi góp ý xin gọi số 0355.334.679 – 0916 620 899 Email: lsp02071980@gmail.com Chân thành cảm ơn Lư Sĩ Pháp MỤC LỤC §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 01 - 19 §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 20 – 40 §3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 41 – 56 ÔN TẬP CHƯƠNG IV 57 – 79 MỘT SỐ ĐỀ ÔN KIỂM TRA 80 – 88 Tài liệu học tập Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG IV GIỚI HẠN §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A KIẾN THỨC CẤN NẮM Giới hạn hữu hạn dãy số lim un = un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở n →+∞ lim = a ⇔ lim (vn − a) = n →+∞ n →+∞ ( ) Dãy số (un) có giới hạn dãy số un có giới hạn Giới hạn vơ cực lim un = +∞ un lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng n →+∞ trở Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ n → +∞ Dãy số ( un ) gọi có giới hạn −∞ n → +∞ lim(−un ) = +∞ Nhận xét: lim un = +∞ ⇔ lim (−un ) = −∞ ; lim un = −∞ ⇔ lim (−un ) = +∞ n →+∞ n →+∞ n →+∞ n →+∞ Lưu ý: Thay cho viết lim un = a, lim un = ±∞ , ta viết lim un = a, lim un = ±∞ n →+∞ n →+∞ Các giới hạn đặc biệt 1 a) lim k = ; lim = ; n n n b) lim q = , q < ; c) lim c = c ; lim lim n k = +∞ , với k nguyên dương lim q n = +∞ q > c = 0, nk lim(c un) = climun, với c số, k ∈ ℕ* n = q > qn Định lí giới hạn hữu hạn Định lí Nếu lim un = L lim = M , thì: d) lim lim(un + ) = lim un + lim = L + M lim(un − ) = lim un − lim = L − M lim un = lim un lim = L M lim(c.un ) = c.L ( với c số) lim un L = (nếu M ≠ ) M Định lí Giả sử lim un = L Nếu un ≥ với n L ≥ lim un = L lim un = L lim un = L Nếu lim un = +∞ lim =0 un Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực a) Quy tắc Nếu lim un = ±∞ lim = ±∞ lim ( un ) cho bảng: Chương IV Giới hạn 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 lim un GV Lư Sĩ Pháp lim ( un ) lim +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ b) Quy tắc Nếu lim un = ±∞ lim = L ≠ lim ( un ) cho bảng: lim un Dấu L lim ( un ) +∞ +∞ −∞ −∞ + − + − +∞ −∞ −∞ +∞ u c) Quy tắc Nếu lim un = L ≠ lim = > < lim n cho bảng: Dấu L Dấu u lim n + + +∞ + − −∞ + − −∞ − − +∞ u Chú ý Nếu lim un = L > 0,lim = ±∞ lim n = Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân lùi vô hạn cấp số nhân có cơng bội q thỏa mãn q < Cơng thức tính tổng S cấp số nhân lùi vô hạn (un) u u S = u1 + u2 + u3 + + un + = ; q < hay S = u1 + u1q + u1q + + u1q n −1 + = ; q < 1− q 1− q Định lí kẹp giới hạn dãy số Cho ba dãy số (un), (vn) ,(wn) số thực L Nếu un ≤ ≤ wn với n lim un = lim wn = L dãy số (vn) có giới hạn lim = L Lưu ý a) Dãy số tăng bị chặn có giới hạn b) Dãy số giảm bị chặn có giới hạn c) Nếu limun = a limun + = a n 1 d) Số e: e = lim + n →+∞ n Phương pháp tìm giới hạn dãy số - Vận dụng nội dung định nghĩa - Tìm giới hạn dãy số ta thường đưa giới hạn dạng đặc biệt áp dụng định lí giới hạn định lí giới hạn vơ cực: + Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu tử chứa lũy thừa n, chia tử mẫu cho nk, với k số mũ cao + Nếu biểu thức có chứa n dấu căn, nhân tử số mẫu số với biểu thức liên hợp 10 Phương pháp tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn - Nhận dạng xem dãy số cho có phải cấp số nhân lùi vơ hạn khơng Sau áp dụng cơng thức tính tổng biết Chương IV Giới hạn 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập - Tốn 11 GV Lư Sĩ Pháp Cách tìm cấp số nhân lùi vô hạn biết số điều kiện: Dùng cơng thức tính tổng để tìm cơng bội số hạng đầu Cách viết số thập phân vơ hạn tuần hồn dạng phân số hữu tỉ: Khai triển số cho dạng tổng số nhân lùi vơ hạn tính tổng B BÀI TẬP n +1 với n Chứng minh lim un = n2 HD Giải 1 + n +1 n +1 n n = Do đó, v nhỏ số dương bé tùy Đặt = Ta có lim = lim = lim n n n ý kể từ số hạng trở (1) Mặt khác, theo giả thiết ta có un ≤ ≤ (2) Bài 1.1 Biết dãy số (un) thỏa mãn un ≤ Từ (1) (2) suy un nhỏ số dương bé tùy ý kể từ số hạng trở đi, nghĩa lim un = 3n + − sin π n 3n HD Giải π π n 3n + − sin sin n = lim + n Ta có lim − n 3n Bài 1.2 Bằng định nghĩa tính giới hạn lim sin Mặt khác, ta lại có π n n ≤ = lim = lim = nên nhỏ số dương bé n 3n 3n 3n 3n 3 tùy ý kể từ số hạng trở sin Từ suy π 3n n nhỏ số dương bé tùy ý kể từ số hạng trở π π n sin n = lim + n Nghĩa lim n n = Vậy lim − n =1 3 3n Bài 1.3 Cho biết dãy số (un) thỏa mãn un > n2 với n Chứng minh lim un = +∞ sin 3n + − sin π HD Giải lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng Vì lim n = +∞ (giới hạn đặt biệt), nên trở Mặt khác, theo giả thiết un > n2 với n, nên un lớn số dương tùy ý, kể từ số hạng trở Vậy lim un = +∞ n2 Bài 1.4 Biết dãy số (un) thỏa mãn un − < Chương IV Giới hạn với n Chứng minh lim un = n3 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp HD Giải Ta có lim 1 = nên nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Mặt n n khác, ta có un − < 1 = với n n n Từ suy un − nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở đi, nghĩ lim(un – 1) = Do limun = Bài 1.5 Cho dãy số (un) xác định un = 2n + n+2 100 b) Chứng minh với n > 2007 số hạng dãy số (un) nằm khoảng (1,998; 2,001) HD Giải 2n + −3 3 a) Ta có un − = Khi un − < ⇔ < ⇔ n > 298 −2 = = n+2 n+2 n+2 100 n + 100 a) Tìm số n cho un − < 3 < n + 2009 3 ⇔ un − < ⇔ 2− < un < + ⇔ 1,998 < un < 2, 001 2009 2009 2009 Bài 1.6 Tính giới hạn sau 6n − 4n − n − 3n + n − 2n3 − 2n + a) lim b) lim c) lim d) lim 3n + + 2n − n3 2n + HD Giải 1 1 n6 − 4− − 6− n 6n − n − n − = lim n n =2 n =2 b) lim a) lim = lim = lim 2 3n + + 2n 3+ +2 n3+ n n2 n b) Khi n > 2007 ⇔ n + > 2009 ⇔ c) lim 3n + n − = 2n + d) lim 2n − 2n + = lim − 4n3 Bài 1.7 Tính giới hạn sau: n + cos n 3n + 5.4 n (−2)n + 3n a) lim n b) c) lim lim + n n n +1 n +1 +2 (−2) + 3 n HD Giải n n 3 n + 5 4 +5 3n + 5.4 n a) lim n = lim = lim n = n n 2 +2 1 1+ 4n 1 + 4 2 (−2)n + 3n b) lim = n +1 n +1 (−2) + Chương IV Giới hạn + n n3 = − 1 −4 n 2− (−1)n d) lim + n 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp n + cos n n +1 cos n c) lim + n = lim + lim n = n n n 1 (−1)n d) lim + n = lim + lim − = 2 Bài 1.8 Tính giới hạn 3n + + n − 2n a) lim b) lim (n + 1)(3 − 2n)2 9n − n + c) lim 4n − n3 + HD Giải d) lim 4n + + n 2n + 1 1 +n 3+ + n n n n = lim =0 1 − 2n2 −2 n2 4− − + (n + 1)(3 − 2n)2 4n3 − 8n − 3n + n n n =4 b) lim = lim = lim n3 + n3 + 1+ n 3n + + n a) lim = lim − 2n n 3+ 1 + 9n − n + 9n 9n c) lim = lim = 4n − 4n − 4 + +1 4n + + n n d) lim = lim = 2n + 2+ n Bài 1.9 Tính giới hạn sau 3n − ( c) lim ( a) lim a) lim ( = lim ) n + n +1 − n ) n2 + n − n2 − n +n− ( n − ) = lim n +1 n + n + n2 − = lim ( n + n2 + − n2 Chương IV Giới hạn ) n ( d) lim n ( b) lim ( n − n − n ) = lim c) lim b) lim n2 − n − n ( n2 − − n2 + HD Giải n + n − n −1 2 )( ) n2 + n + n2 − ) ) n2 + n + n2 − 1 n 1 + n = 1 1+ + 1− n n n2 − n − n )( n2 − n + n ) = lim −n =− n − + 1 n 1+ n + n2 + − n n = lim = lim = 1 n + n2 + + n2 1+ + +1 n n n2 − n + n 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập d ) lim n ( Toán 11 ) n − − n + = lim 2 = lim n ( n2 + n + − n + a) +∞ ) n + 3n − n + ( n + 2n − n HD Giải c) +1 n =1 1+ n + 2n + n d) lim = lim = lim n + 2n − n n + 2n − n Bài 1.11 Tính giới hạn sau c) lim n 3n + − 2n + d) lim ( ) b) lim b) a) lim n2 − + n2 + n2 − + n2 + −3n =− 2 1− + 1+ n n n2 + − n + 3n + c) lim )( n2 − − n2 + n Bài 1.10 Tính giới hạn sau: a) lim ( GV Lư Sĩ Pháp n −1 − n ) b) lim ) ( )( ( ) 4n + − 2n + d) lim HD Giải n3 − 2n − n n + 2n − n ) n + 3n − n n + 3n + n a) lim n + 3n − n + = lim + 2 n + 3n + n 3n = lim + = lim + 2 = n + + 1 1+ +1 n n 3 n − 2n − n n3 − 2n + n n3 − 2n + n b) lim n3 − 2n − n = lim n3 − 2n + n n3 − 2n2 + n ( ) ) ( = lim ( −2n c) lim n ( ) ( ) n − − n = lim Chương IV Giới hạn 2 n (n −1− n) n −1 + n ) ) n − 4n + 4n + n n − 2n + n ( −2 = lim = − lim 1− 4 + + 1− +1 n n n n n − + 1 n =− =− 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 Câu 89 Tính P = lim− x →3 x −3 − 6x − x2 A P = −∞ GV Lư Sĩ Pháp B P = C P = D P = − Câu 90 Trong bốn giới hạn đây, giới hạn −1? 2n + n3 n2 + n A lim B lim C lim − 3n n +3 −2 n − n Câu 91 Tính tổng S = + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 + + (0,9)n −1 + A S = 10 B S = x + x2 −1 −1 Câu 92 Tính M = lim+ x −1 x →1 A M = C S = 10 D lim n − n3 2n3 + D S = 11 C M = +∞ B M = D M = 2 Câu 93 Tìm số hạng tổng quát cấp số nhân lùi vơ hạn có tổng cơng bội q = 3 A un = 2 n −1 2 B un = 3 x − x + 4x + Câu 94 Tính I = lim x →+∞ x4 − x + A I = B I = Câu 95 Biết lim x →0 n −1 2 C un = 3 n +1 C I = 3 D un = 2 n +1 D I = −1 x +1 −1 = a, với a ∈ ℤ Tính S = a + a − x + 16 A S = − B S = Câu 96 Tính J = lim x →+∞ C S = −4 ) ( B J = A T = 17 3x + x + − x A J = Câu 97 Tính T = lim D S = − n +1 + n n3 + n − n C J = D J = C T = B T = D T = +∞ x + x − + 3x + a a = , với a, b ∈ ℤ tối giản Mệnh đề ? x →+∞ b x2 + 4x − + 2x − b A a + ab = 12 B a + b = C ab − b = 10 D b − a = n 1 (−1) Câu 99 Tính tổng S cấp số nhân vô hạn − , , − , n , 1 A S = − B S = C S = − D S = −1 Câu 100 Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn 2,131131131 dạng phân số ? 129 2129 212 219 A B C D 999 999 999 999 Câu 98 Biết lim Chương IV Giới hạn 74 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 x + − 8x + GV Lư Sĩ Pháp a với a, b ∈ ℤ Mệnh đề ? − x − 7x − b A 2a − b = B a + b = 20 C a − 2b = 17 D a.b = −84 Câu 102 Đồn trường tổ chức trị chơi lớn, tên đồng chí trạm trưởng mã hóa số 1234 Biết chữ số số giá trị biểu thức A, O, H , T , N ,U với: 3n + x4 + 2x2 + x −1 A = lim O = lim H = lim+ x →−1 x →2 x + n−2 x −1 4n + cos n x + 4x + x − N = lim + n U = lim T = lim x →+∞ x →−∞ n x2 + x + − x x3 + Câu 101 Biết lim x →1 ( = ) Hãy cho biết tên đồng chí trạm trưởng này, bẳng cách thay chữ số chữ kí hiệu biểu thức tương ứng B TUAN C TOAN D THOA A HUAN n2 − n n cos n Câu 103 Tính Q = lim + n 2n − 1 B Q = − C Q = D Q = A Q = 2 Câu 104 Trong bốn giới hạn đây, giới hạn −1 ? x2 −1 x3 − x2 + 2x2 + x −1 2x + B C D lim A lim lim lim x →+∞ x − x x →+∞ x + x x →−∞ x − x x →−∞ x + 39 Câu 105 Biết tổng cấp số nhân lùi vô hạn , tổng ba số hạng Tìm số 25 hạng đầu cơng bội cấp số 2 B u1 = 1, q = C u1 = 2, q = D u1 = 1, q = A u1 = 1, q = 2 5 Câu 106 Trong khẳng định đây, khẳng định sai ? A lim ax k = +∞, a < x →−∞ B Tổng cấp số nhân lùi vô hạn S = u1 , q < 1− q C lim f ( x ) + g( x ) = lim f ( x ) + lim g( x ) x → x0 x → x0 x → x0 D Hàm số đa thức liên tục toàn tập số thực ℝ Câu 107 Tính P = lim (0.99)n cos n ( ) A P = B P = x →0 A M = −4 x →5 A u10 = C P = x + 3x + − x B M = Câu 108 Tính M = lim Câu 109 Biết lim 10 11 10 C M = D P = D M = +∞ a x−4 − x+4 +2 a tối giản Tính u10 = a.bb − a = , với a, b ∈ ℤ x −5 b b B u10 = 27 C u10 = D u10 = 18 Câu 110 Tính I = lim A I = Chương IV Giới hạn 2n n n + 2n − B I = C I = 75 D I = 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Tốn 11 Câu 111 Tính K = lim n →+∞ A K = −42 (2 ( n + − 32 n −3 n +1 )( ) − − 9n − B K = −24 1 Câu 112 Tính K = lim 2n + n A K = B K = ) GV Lư Sĩ Pháp C K = 42 D K = 24 C K = D K = +∞ + 5x + x − a = , với a, b ∈ ℤ Mệnh đề ? x →0 x b A 2a + 3b = 30 B a − b = C ab + = 12 D 2a + b = 16 a a Câu 114 Biết số thập phân vô hạn tuần hoàn 235, 235235 = , ( tối giản) Tính P = 7a − b + 2b b b A P = 649979 B P = 649996 C P = 649987 D P = 648997 n 3n Câu 115 Tính N = lim + n π Câu 113 Biết lim B N = C N = D N = π x2 − x 1+ 2x −1 Câu 116 Cho C = lim ; A = lim ; N = lim x + x − x ; O = lim x →1 x →−∞ x →0 x →+∞ x x x −1 Tìm từ mã hóa chuổi số 30213? A CONAC B CANON C CONAN D CANOC Câu 117 Trong khẳng định đây, khẳng định sai ? A Hàm số y = tan x liên tục ℝ B Hàm số y = x + sin x liên tục ℝ A N = +∞ ( ) x + 3x + liên tục khoảng ( −∞; −2 ) ( −2; +∞ ) x+2 D Phương trình x − x + x − = có ba nghiệm nằm khoảng ( −2;5) C Hàm số y = Câu 118 Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn 0,313131…dưới dạng phân số ? 31 32 100 13 A B C D 99 99 99 99 3n − n Câu 119 Tính H = lim 2.4n + n 1 B H = − C H = −1 D H = A H = −2 2 −x − x + a Câu 120 Biết lim = với a, b ∈ ℤ Mệnh đề ? x →−3 b x + 3x A ab − = B a + b = C 3a + b = 10 D a − 2b = −1 Câu 121 Tính L = lim n n +1 + n B L = C L = D L = 2 ax x ≤ Câu 122 Cho hàm số y = f ( x) = Tìm giá trị a để hàm số liên tục ℝ x + x − x > A L = −2 Chương IV Giới hạn 76 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp B a = C a = 3 Câu 123 Giải phương trình + x + x + + x n + = , x < x 1 1 A x ∈ B x ∈ {1;2} C x ∈ ; 3 3 A a = a − x2 Tính lim f ( x) x →−∞ x B lim f ( x) = +∞ C lim f ( x ) = D a = 2 D x ∈ 3 Câu 124 Cho hàm số f ( x) = A lim f ( x) = +∞ x →−∞ x →−∞ x →−∞ D lim f ( x ) = −1 x →−∞ 3n + n + a a , ( tối giản) Tính S = b − a = 12n + b b A S = 11 + B S = 12 C S = 12 + D S = 11 m( x − 1) x = m −1 Câu 126 Cho hàm số f ( x) = Với giá trị tham số m hàm số x −9 x ≠ − x + f ( x) liên tục x = 9 A m = 18 B m = C m = −18 D m = − 13 13 Câu 125 Biết g lim Câu 127 Tính H = lim x →+∞ ( ) 3x + x + − x 3 B H = C H = A H = 6 Câu 128 Trong bốn giới hạn đây, giới hạn không tồn ? x x A lim cos x B lim C lim x →0 x →+∞ x →−1 x +1 ( x + 1) Câu 129 Cho phương trình =0 x D H = 2x +1 x →−∞ x + D lim (1) Trong mệnh đề đây, mệnh đề sai ? liên tục khoảng ( −∞; ) ( 0; +∞ ) x B Phương trình (1) vơ nghiệm C Phương trình (1) có nghiệm khoảng ( −1;1) A Hàm số f ( x ) = D Phương trình (1) khơng có nghiệm khoảng ( −1;1) ( ) a a x + − x = , với a, b ∈ ℤ tối giản Tính P = a.b b b A P = B P = C P = D P = 2 1 1 Câu 131 Tiính tổng S cấp số nhân , , , , n , 2 2 1 A S = B S = C S = n+1 D S = 2n 2 x − bx + c Câu 132 Biết lim = 7, (b, cℝ) Tính P = b − c x →7 x−7 A P = B P = C P = −7 D P = 14 Câu 130 Biết lim x x →+∞ Chương IV Giới hạn 77 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 Câu 133 Tính F = lim A F = ( ) GV Lư Sĩ Pháp n + 2n − n B F = −1 C F = D F = C lim un = D lim un = Tìm lim un 3n Câu 134 Biết un − ≤ A lim un = +∞ B lim un = 1− x − 1− x x →0 x 30 A Q = B Q = − C Q = D Q = 12 36 ( x + 3)3 − 27 + m = 29 Tìm m Câu 136 Biết lim x →0 x A m = −9 B m = C m = D m = 27 3− x neáu x ≠ Tìm tham số m để hàm số cho liên tục Câu 137 Cho hàm số f ( x ) = x + − m neáu x = x = A m = B m = C m = −1 D m = −4 Câu 135 Tính Q = lim Câu 138 Tính J = lim x − + x − 3x + x →−∞ A J = 2017 − x 9 −5 +5 C J = D J = 4 ( x + 2) ax + bx + c x +8 Câu 139 Biết lim , với a, b, c, d ∈ ℤ Tính S = a + b + c + d = lim x →−2 x + 11x + 18 x →−2 ( x + 2)( x + d ) B S = −2 C S = 12 D S = A S = Câu 140 Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn 2, 780780780 dạng phân số ? 96 999 278 926 A B C D 33 10000 333 333 x3 + x − x − x ≠ −1, x ≠ Câu 141 Cho hàm số y = f ( x) = −1 x = −1 Khẳng định đúng? 2 x = A Hàm số liên tục ℝ B Hàm số gián đoạn x = C Hàm số liên tục khoảng ( −2;3) D Hàm số gián đoạn x = −1; x = B J = ( ( ) ) Câu 142 Tính L = lim n − 2n + A L = −∞ D L = +∞ 10 (1 − b a ) a 3x − − x − x − a Câu 143 Biết lim = , v i t ố i gi ả n Tính S = a , b ∈ ℤ x →1 b b 1− b x − 3x + A S = B S = 10 C S = −10 D S = B L = C L = Chương IV Giới hạn 78 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Tốn 11 Câu 144 Tính M = lim− x →3 A M = − x −3 − 6x − x2 B M = ( GV Lư Sĩ Pháp ) C M = D M = −∞ C N = D N = Câu 145 Tính N = lim n2 n − n2 + A N = B N = −∞ ĐÁP ÁN C 21 A 41 C 61 D 81 A 101 A 121 B 141 B D 22 B 42 C 62 D 82 C 102 B 122 D 142 D D 23 D 43 C 63 B 83 A 103 A 123 C 143 B C 24 C 44 D 64 D 84 D 104 A 124 B 144 D D 25 D 45 C 65 B 85 B 105 D 125 D 145 B Chương IV Giới hạn A 26 C 46 A 66 C 86 A 106 A 126 B 146 A 27 B 47 A 67 B 87 A 107 A 127 B 147 B 28 D 48 C 68 D 88 D 108 C 128 A 148 B 29 C 49 B 69 A 89 A 109 A 129 C 149 10 B 30 A 50 A 70 A 90 C 110 C 130 D 150 11 D 31 D 51 B 71 A 91 C 111 D 131 A 151 79 12 A 32 C 52 C 72 B 92 D 112 D 132 B 152 13 D 33 B 53 C 73 A 93 B 113 D 133 A 153 14 D 34 A 54 D 74 C 94 A 114 D 134 B 154 15 C 35 A 55 A 75 A 95 D 115 C 135 B 155 16 C 36 B 56 C 76 C 96 C 116 A 136 C 156 17 B 37 C 57 A 77 B 97 D 117 A 137 D 157 18 C 38 B 58 B 78 C 98 B 118 A 138 B 158 19 C 39 D 59 B 79 C 99 C 119 B 139 C 159 0916620899 – 0355334679 20 A 40 D 60 A 80 B 100 B 120 D 140 D 160 Tài liệu học tập Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp MỘT SỐ ĐỀ ÔN KIỂM TRA ĐỀ I Phần trắc nghiệm Câu 1: lim x →+∞ ( ) x + − x − C −∞ B +∞ A Câu 2: Khẳng định ? A lim un giới hạn hàm số điểm x n →+∞ C lim un giới hạn bên D −3 B lim un giới hạn hàm số vô cực n →+∞ D lim un giới hạn dãy số n →+∞ n →+∞ Câu 3: Khẳng định sai ? A lim [ f ( x) + g ( x) ] = lim f ( x) + lim g ( x) x → x0 x → x0 x → x0 B lim ax = +∞, a < k x →−∞ C Hàm số đa thức liên tục toàn tập số thực ℝ u D Tổng cấp số nhân lùi vô hạn S = , q < 1− q ( −1) + .Khi giá trị S 1 Câu 4: Gọi S = − + + 3n 1 A B C n +1 Câu 5: Kết lim n − 2n − 3n D +∞ − C Câu 6: Trong hàm số sau đây, hàm số liên tục x = 2x − A f ( x) = B f ( x) = − x x − 6x + x − 3x + x2 − 5x + x ≠ x > C f ( x) = x − D f ( x) = x − − x x = x ≤ 3 x + A D B −∞ 3x + x Câu 7: Tính lim x →0 2x 3 A − B 2 C Không tồn ( D ) Câu 8: Cho a b số thực khác Tính tổng a + b , biết lim ax + b − x − x + = x →+∞ A B C Câu 9: Tìm từ mã hóa chuỗi số 4271 biết x3 − x2 − x2 − ; H = lim ; Y = lim x →+∞ x + x x →1 x − x →−∞ − x B HUYT C TUYH D −5 T = lim+ ( − 3x ) ;U = lim x →1 A THUY Câu 10: lim+ x→0 D THUC 2x + x 5x − x Chương IV Giới hạn 80 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập A Toán 11 B + ∞ GV Lư Sĩ Pháp C − ∞ D −1 II Phần tự luận Bài Tính giới hạn sau: a ) I = lim 3.5n + 2n +1 2 n − 5n c) K = lim x →−∞ x + 3x − x →−1 x + x − x − b) J = lim 16 x + x − 1− x d ) H = lim x →0 6x + − 4x + x2 − x2 + x < −2 Bài Cho hàm số y= f ( x ) = x + x m2 x + x − x ≥ −2 Tìm tham số m để hàm số liên tục x0 = −2 ĐỀ I Phần trắc nghiệm Câu 1: Mệnh đề sau mệnh đề ? A Hàm số f ( x ) liên tục x0 ⇔ lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 B lim f ( x ) g ( x ) = lim f ( x ) lim g ( x ) x → x0 x → x0 x → x0 C lim x k = −∞ x →−∞ D Hàm số hữu tỉ liên tục tập xác định x+3 −2 x →1 x − x + A −∞ B +∞ Câu 3: Khẳng định ? A lim+ f ( x) giới hạn dãy số Câu 2: Tính lim C Không tồn D x → x0 B lim+ f ( x) giới hạn hàm số vô cực x → x0 C lim+ f ( x) giới hạn bên phải hàm số điểm x x → x0 D lim+ f ( x) giới hạn bên trái hàm số điểm x x → x0 Câu 4: Tìm từ mã hóa chuỗi số 6243, biết 5x + x3 − x x x2 + ; N = lim ; I = lim ; H = lim x→6 x →−∞ x − x→0 x →+∞ x −5 x −1 + 2x − A NHIM B HINH C MINA D MINH 3x − Câu 5: lim+ x→2 x − A −1 B − ∞ C + ∞ D M = lim Câu 6: Tính lim x →+∞ A ( Câu 7: lim ) x + 3x + − x B C D 2n + 3n9 n + 2n + Chương IV Giới hạn 81 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 A +∞ GV Lư Sĩ Pháp C B −∞ − D ( ) Câu 8: Cho a b số thực khác Tính tích ab , biết lim ax + b − x − x + = x →+∞ A B C D Câu 9: Hàm số sau liên tục x0 = ? x ≥ 2 x − B f ( x) = x − x + x − x < x2 − x + x ≠ D f ( x) = x − 7 x = A f ( x) = x − C f ( x) = x2 − 2x − x −1 Câu 10: Tính tổng S = + 0,9 + (0,9) + (0,9)3 + + (0,9) n−1 + A S = 11 B S = D S = C S = 10 10 II Phần tự luận Bài Tính giới hạn sau: a ) M = lim 2n − 32 n 2.9 n + 6n −1 c) P = lim x →−∞ x4 + x2 − x →−1 x − x + x + b) N = lim 1+ x d ) Q = lim x →0 x2 − 5x + x + − 27 x + 27 x2 − x2 + x > Bài Cho hàm số y= f ( x ) = x − x m2 x − x + x ≤ Tìm tham số m để hàm số liên tục x0 = ĐỀ I Phần trắc nghiệm Câu 1: Đồn trường tổ chức trị chơi lớn, tên đồng chí trạm trưởng mã hóa số 1234 Biết chữ số số giá trị biểu thức A, O, H , T , N ,U với: 3n + x4 + 2x2 + x −1 A = lim O = lim H = lim+ x →−1 x →2 x + n−2 x −1 4n + cos n x + 4x + x − T = lim N = lim + n U = lim x →−∞ x →+∞ n x + x +1 − x x3 + ( ) Hãy cho biết tên đồng chí trạm trưởng này, bẳng cách thay chữ số chữ kí hiệu biểu thức tương ứng A TUAN B TOAN C THOA D HUAN Câu 2: Trong bốn giới hạn đây, giới hạn 0? 2x + A lim− x →1 x −1 1− x3 B lim x →+∞ x + x 2n + C lim 3.2 n − 3n ( 2n + 1)( n − 3) D lim n − 2n3 Câu 3: Tính tổng S = + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 + + (0,9)n −1 + A S = 10 Chương IV Giới hạn B S = 10 C S = 82 D S = 11 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Câu 4: lim x →+∞ A Câu 5: lim x →0 ( Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp ) x + x + − x C D B − C D −4 C −∞ D B x2 +1 −1 − x + 16 A 1 Câu 6: lim+ − x →2 x −4 x−2 A B 32 Câu 7: Trong khẳng định đây, khẳng định sai ? x + 3x + A Hàm số y = liên tục khoảng ( −∞; −2 ) ( −2; +∞ ) x+2 B Hàm số y = tan x liên tục ℝ C Phương trình x − 3x + 5x − = có ba nghiệm nằm khoảng ( −2;5) D Hàm số y = x + sin x liên tục ℝ Câu 8: Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn 2,780780780 dạng phân số 926 999 278 278 A B C D 333 10000 3333 333 Câu 9: Hàm số liên tục x = 1? 2x − A f ( x ) = B f ( x ) = − x x − 6x + x − 5x + x − 3x + x > x ≠ C f ( x ) = x − D f ( x ) = x − 3 x + x ≤ x = − x Câu 10: Khẳng định sai? A lim ax k = +∞, a < x →−∞ B Tổng cấp số nhân lùi vô hạn S = u1 , q < 1− q C lim f ( x ) + g( x ) = lim f ( x ) + lim g( x ) x → x0 x → x0 x → x0 D Hàm số đa thức liên tục toàn tập số thực ℝ II Tự luận Bài Tìm giới hạn sau: (2n + 1)(4 − 5n)2 a) lim 8n3 + c) lim x →1 3x + − x + x3 − Chương IV Giới hạn b) lim ( d) lim x3 − 3x − x −1 x →+∞ x →1 x + 5x + − x 83 ) 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp x − 5x − x − x ≠ Bài Cho hàm số f ( x ) = x − 13 x + x − 2mx + mx − x = 17 Tìm giá trị tham số m để hàm số f ( x ) liên tục x = ĐỀ I Phần trắc nghiệm Câu 1: Tính tổng S = + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 + + (0,9)n −1 + A S = 11 B S = Câu 2: Hàm số liên tục x = 1? x − 5x + x > A f ( x ) = x − 3 x + x ≤ C S = 10 B f ( x ) = D S = 10 2x − x − 6x + x − 3x + x ≠ C f ( x ) = − x D f ( x ) = x − − x x = Câu 3: Đồn trường tổ chức trị chơi lớn, tên đồng chí trạm trưởng mã hóa số 1234 Biết chữ số số giá trị biểu thức A, O, H , T , N ,U với: 3n + x4 + 2x2 + x −1 A = lim O = lim H = lim+ x →− x → n−2 x −1 x+2 x + 4x + x − 4n + cos n T = lim N = lim + n U = lim x →−∞ x →+∞ 3 n x + x +1 − x x +2 ( ) Hãy cho biết tên đồng chí trạm trưởng này, bẳng cách thay chữ số chữ kí hiệu biểu thức tương ứng A TOAN B TUAN C HUAN D THOA Câu 4: lim x →0 x2 +1 −1 − x + 16 B − C −4 Câu 5: Trong bốn giới hạn đây, giới hạn 0? A D ( 2n + 1)( n − 3) D lim x + 2n + 1− x3 A lim B C lim lim x →+∞ x + x x →1− x − 3.2n − 3n n − 2n3 Câu 6: Khẳng định sai ? x + 3x + A Hàm số y = liên tục khoảng ( −∞; −2 ) ( −2; +∞ ) x+2 B Hàm số y = tan x liên tục ℝ C Phương trình x − 3x + 5x − = có ba nghiệm nằm khoảng ( −2;5) D Hàm số y = x + sin x liên tục ℝ Câu 7: Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn 2,780780780 dạng phân số 926 999 278 278 A B C D 333 10000 3333 333 Chương IV Giới hạn 84 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Câu 8: lim x →+∞ ( Toán 11 ) x + x + − x A GV Lư Sĩ Pháp B C Câu 9: Khẳng định sai ? A Tổng cấp số nhân lùi vô hạn S = D u1 , q < 1− q B lim ax k = +∞, a < x →−∞ C Hàm số đa thức liên tục toàn tập số thực ℝ D lim f ( x ) + g( x ) = lim f ( x ) + lim g( x ) x → x0 x → x0 x → x0 1 Câu 10: lim+ − x →2 x −4 x−2 A B 32 D −∞ C II Tự luận Bài Tìm giới hạn sau: 3n +1 − n −1 a) lim + 3n − ( d) lim ( b) lim x − + x + x x →−∞ ) 2x + − 2x2 + 9x −1 3 x + 3x − x − x x →2 x →+∞ x + 3x − x − x + 3x − x − x ≠ x x − − Bài Cho hàm số f ( x ) = 3mx + mx + x = 11 Tìm giá trị tham số m để hàm số f ( x ) liên tục x = c) lim ) ĐỀ I Phần trắc nghiệm Câu 1: lim x →+∞ A ( ) x + x + − x B C D Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) xác định đoạn [ a; b ] Khẳng định đúng? A Nếu f ( a ) f ( b ) < phương trình f ( x ) = có nghiệm thuộc khoảng ( a; b ) B Nếu hàm số f ( x ) = liên tục đoạn [ a; b ] f ( a ) f ( b ) > phương trình f ( x ) = khơng có nghiệm thuộc khoảng ( a; b ) C Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] f ( a ) f ( b ) < phương trình f ( x ) = có nghiệm thuộc khoảng ( a; b ) D Nếu phương trình f ( x ) = có nghiệm thuộc khoảng ( a; b ) hàm số f ( x ) = phải liên tục khoảng ( a; b ) Câu 3: Mệnh đề đúng? Chương IV Giới hạn 85 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 A lim f ( x) = L ⇔ lim− f ( x) = M , lim+ f ( x) = L B x → x0 x → x0 x → x0 lim f ( x ) = L ⇔ lim− f ( x) = lim+ f ( x) = L x → x0 x → x0 C lim f ( x) = L ⇔ lim− f ( x) = lim+ f ( x) = M x → x0 GV Lư Sĩ Pháp x → x0 x → x0 D lim f ( x) = L ⇔ lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x) x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 1 (−1) n Câu 4: Tính tổng cấp số nhân vơ hạn − , , − , , n , 1 A – B − C − D n+2 n +1 + +1 a a Câu 5: Biết lim phân số tối giản) Tính P = a − b = (Với n 5.7 − b b A P = 44 B P = C P = 12 D P = 51 m Câu 6: Cho số thập phân: 0,3211111… biểu diễn dạng phân số tối giản Tính m – n n A −611 B 27901 C 611 D −27901 x + − x2 + x + x Câu 7: lim x →0 A −∞ B D − C –1 Câu 8: Hàm số liên tục x0 = 1? A f ( x) = x2 − 5x + x > B f ( x) = x − 3 x + x ≤ 2x x −1 x2 − x + x +1 x ≤ x ≠ C f ( x) = x − D f ( x) = 2x x > x −1 x=1 Câu 9: Tên học sinh mã hóa số 9876 Biết chữ số số giá trị biểu thức H, O, A, N, G với: x2 − H = lim ( x + 3) ; A = lim ; N = lim x + 63 x − x − ; x →1 x →1 x − x →+∞ n n +1 + 6.17 G = lim n +1 ;O = lim x + 16 x − x x →+∞ 17 + 10n Tên học sinh là: A OANH B HOAN C HANG D HONG ( ( ) ) Câu 10: Tìm tất giá trị m cho lim x →+∞ A −2 < m < B m < −2 ( ) x + 2017 x − 2018 − m x = +∞ C m > − D − < m < II Phần tự luận Bài Tính giới hạn sau: a ) A = lim c) C = lim x →3 3n + 2.5n +1 5n − x + − 3x − 2x + − x + x2 + − Bài Cho hàm số y= f ( x ) = x − mx − 6mx + Tìm tham số m để hàm số liên tục x0 = Chương IV Giới hạn b) B = lim x→2 d ) D = lim x→0 x > 2− x+2 x3 − 3x − + x − + 3x x2 x ≤ 86 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp ĐỀ I Phần trắc nghiệm x + x − 15 x →3 x + − Câu 1: Giới hạn lim A 24 Câu 2: lim x →−∞ A + ∞ B 48 ( C ) 24 D x + x − x − − x B − ∞ n+2 C D n +1 − +1 a a phân số tối giản) Tính P = a − b = (Với n 5.7 − b b A P = 51 B P = 44 C P = 37 D P = 12 Câu 4: Tên học sinh mã hóa số 5678 Biết chữ số số giá trị biểu thức H , O, A, N , G với Câu 3: Biết lim 3x − ; N = lim x→2 x →1 x − x →+∞ Tên học sinh A HANG B HONG H = lim ( x + 3) ; O = lim ( ) x + 14 x − x − ; G = lim C HOAN 2n + 8.5n +1 ; A = lim x →+∞ 5n +1 + 3n ( D OANH x + − x − 3x − −a b (Với a, b số nguyên tố) Tính P = a + b + c = x2 − c A P = 31 B P = 112 C P = 88 D P = 43 Câu 6: Tìm phân số phát sinh số thập phân vô hạn tuần b biết a = −3.104104104 104 2893 −3101 −2893 A B C D 999 999 999 999 2 Câu 5: Biết lim x→2 Câu 7: Cho hàm số y = f ( x) liên tục [ a; b ] f ( a ) f (b) < Khi phương trình f ( x) = có A Ít nghiệm thuộc ( a; b ) C Ít nghiệm thuộc ( a; b ) B Ít nghiệm thuộc [ a; b ] D Ln có nghiệm ℝ Câu 8: Trong hàm số đây, hàm số liên tục x = 1? 2x − A f ( x) = B f ( x) = − x x − 6x + x2 − 5x + x − 3x + x > x ≠ C f ( x) = x − D f ( x) = x − 3 x + x ≤ x = − x ( −1) , 1 Câu 9: Tổng cấp số nhân vô hạn , − , , , 2.2n −1 A B C 3 Câu 10: Cho hàm số y = f ( x) Khẳng định đúng? n +1 D A Nếu f ( a ) f (b) > hàm số liên tục ( a; b ) B Nếu f ( a ) f (b) < hàm số liên tục ( a; b ) C Nếu hàm số liên tục [ a; b ] f ( a ) f (b) < D Nếu hàm số liên tục [ a; b ] f ( a ) f (b) < phương trình f ( x) = có nghiệm II Phần Tự luận Chương IV Giới hạn 87 ) x3 − − x 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Bài Tính giới hạn sau: 3n + 5.7 n a ) A = lim n +1 −3 c) C = lim x →−2 x − 2x + x+4− x +6 2x −1 −1 Bài Cho hàm số y = f ( x) = x + x − mx + 2mx − Tìm tham số m để hàm số liên tục x0 = Chương IV Giới hạn Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp b) B = lim x →1 x3 − x + 1− − x d ) D = lim x →−∞ x > ( x − x + + 27 x + x + ) x ≤ 88 0916620899 – 0355334679 ... 20 – 40 §3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 41 – 56 ÔN TẬP CHƯƠNG IV 57 – 79 MỘT SỐ ĐỀ ÔN KIỂM TRA 80 – 88 Tài liệu học tập Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG IV GIỚI HẠN §1 GIỚI HẠN CỦA... −1 + Chương IV Giới hạn 14 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 39 Câu Tổng cấp số nhân lùi vô hạn , tổng ba số hạng Tìm số hạng 25 đầu cơng... 3; q = 4 u1 > Bài 1.25 Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân lùi vô hạn, biết số hạng thứ hai Chương IV Giới hạn 11 12 0916620899 – 0355334679 Tài liệu học tập Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp tổng cấp số