Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 24 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU----------------------------------------------------------------------------------------------2 Phần 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT------------------------------------------------------------------------3 I- TÍCHPHÂN RIEMANN-----------------------------------------------------------------------3 1.1- Đònh nghóa-----------------------------------------------------------------------------------3 1.2-Tiêu chuẩn khả tích Riemann-------------------------------------------------------------3 II- TÍCHPHÂN LEBESGUE--------------------------------------------------------------------4 2.1- Tíchphân Lebesgue-----------------------------------------------------------------------4 2.1.1-Tích phân của hàm đơn giản không âm-------------------------------------------4 2.1.2- Tíchphân của hàm đo được không âm-------------------------------------------4 2.1.3- Tíchphân của hàm đo được bất kỳ------------------------------------------------4 2.2- Tính chất của tíchphân Lebesgue-------------------------------------------------------5 2.2.1- Một số tính chất đơn giản-----------------------------------------------------------5 2.2.2- Một số tính chất sơ cấp của tích phân---------------------------------------------5 2.2.2.1- Tính cộng tính---------------------------------------------------------------5 2.2.2.2- Tính bảo toàn thứ tự--------------------------------------------------------5 2.2.2.3- Tính tuyến tính--------------------------------------------------------------5 2.2.2.4- Tính khả tích-----------------------------------------------------------------5 2.3- Qua giới hạn dưới dấu tích phân---------------------------------------------------------6 2.4- So sánh tíchphân Riemann và tíchphân Lebesgue-----------------------------------6 2.5- Tíchphân Lebesgue xem như hàm tập--------------------------------------------------6 2.6-Độ đo tích-Đònh lý Fubini------------------------------------------------------------------7 Phần 2. BÀI TẬP------------------------------------------------------------------------------------------8 KẾT LUẬN------------------------------------------------------------------------------------------------23 TÀI LIỆU THAM KHẢO--------------------------------------------------------------------------------24 Tiểu luận: Hệ thống bài tậpTíchphân Lebesgue. 1 Lời nói đầu Lý thuyết độ đo và tíchphân là một phần quan trọng trong lý thuyết hàm số biến số thực. Cùng với giải tích hàm, độ đo và tíchphân đã là nền tảng cho kiến thức toán học của người nghiên cứu toán. Khái niệm tíchphân Riemann được biết trong giáo trình giải tích toán học chỉ áp dụng được cho những hàm liên tục hoặc có không “quá nhiều” điểm gián đoạn, bởi vì Lebesgue đã chứng minh được rằng một hàm f xác đònh trên một đoạn ∆ đóng và bò chặn của k ¡ là khả tích Riemann khi và chỉ khi f bò chặn và liên tục hầu khắp nơi trên ∆ . Đối với hàm đo được thì chúng có thể gián đoạn khắp nơi trên miền xác đònh ( hay tổng quát hơn, những hàm xác đònh trên một tập hợp trừu tượng, do đó khái niệm liên tục hoàn toàn không có nghóa gì cả) thì phép xây dựng tíchphân theo Riemann không thể áp dụng được. Tuy nhiên, đối với những hàm số như vậy thì lại tồn tại một khái niệm tíchphân khác, hoàn hảo và mềm dẻo hơn nhiều. Đó là tíchphân Lebesgue. Tìm hiểu về tíchphân Lebesgue ta sẽ hiểu ý tưởng chính của phép xây dựng tíchphân Lebesgue là ở chổ ta không nhóm những điểm gần nhau trên trục Ox mà lại nhóm những điểm tại đó giá trò của hàm gần nhau. Điều này cho phép ta mở rộng khái niệm tíchphân ra một lớp hàm rất tổng quát. Nội dung của tiểu luận này không có ý đònh tìm hiểu sâu các khía cạnh về lý thuyết của tíchphân Lebesgue mà chỉ dừng lại ở việc Hệ thống các bài tập về tíchphân Lebesgue trên cơ sở nắm vững các kiến thức cơ bản về tíchphân Lebesgue. Nội dung của tiểu luận gồm hai phầnPhần 1. Tóm tắt lý thuyết cơ bản về tíchphântíchphân Lebesgue; Phần 2. Bài tập về tíchphântíchphân Lebesgue. Với thời gian thực hiện đề tài tương đối ngắn, khả năng chọn lọc và hệ thống bài tập còn hạn chế. Do vậy, tiểu luận này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót rất mong nhận được những góp ý từ bạn đọc và sự chỉ bảo của quý thầy cô giáo. Em xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn Kính đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành tiểu luận này. Quy Nhơn, tháng 12 năm 2008. Võ Ngọc Sỹ Tiểu luận: Hệ thống bài tậpTíchphân Lebesgue. 2 Phần 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I- TÍCHPHÂN RIEMANN 1.1- Đònh nghóa Cho ∆ là đoạn trong k ¡ và f là một hàm số xác đònh trên ∆ . Gọi T là phép chia đoạn ∆ thành các đoạn con 1 ∆ , 2 ∆ , . . . , n ∆ chỉ có chung biên. Gọi i ∆ là độ dài của i ∆ và T λ = 1, i i n Max = ∆ : đường kính của phép chia T. Đặt: M i = ( ) i x Sup f x ∈∆ và m i = inf ( ) i x f x ∈∆ 1 n T i i i S M = = ∆ ∑ : Tổng đacbu trên của f theo T. 1 n T i i i S m = = ∆ ∑ : Tổng đacbu dưới của f theo T. Nếu 0 0 lim lim T T T T S S I λ λ → → = = thì ta nói hàm số f khả tích Riemann trên ∆ và tíchphân Riemann của hàm số f trên ∆ là số I và ký hiệu là: I = ( )f x dx ∆ ∫ . * Mệnh đề 1 Cho f là hàm số xác đònh trên ∆ k ⊂ ¡ . Gọi i i i M m ω = − là dao động của f trên i ∆ . Khi đó f khả tích Riemann trên ∆ khi và chỉ khi 0 1 lim 0 T n i i i λ ω → = ∆ = ∑ . 1.2-Tiêu chuẩn khả tích Riemann * Đònh lý 1(Lebesgue) Một hàm số f(x) bò chặn trên đoạn ∆ là khả tích Riemann khi và chỉ khi nó liên tục hầu khắp nơi trên đoạn ∆ (tức là tập các điểm gián đoạn của nó có độ đo 0) + Ghi chú. Độ đo nói ở đây là độ đo Lebesgue trong k ¡ 1.3- Tíchphân Riemann trên một tập hợp 1.3.1- Tập đo được theo nghóa Peano-Jordan Cho A k ∈ ¡ - không gian Euclide, A bò chặn và lấy một đoạn bất kỳ ∆ ⊃ A. Nếu hàm đặc trưng của A 1, ( ) 0, A x A x x A χ ∈ = ∉ khả tích (R ) trên đoạn ∆ thì tập A được, gọi là đo được theo nghóa Peano-Jordan, hay ngắn hơn, đo được (P.J.) và tíchphân ( ) ( ) A R x dx χ ∆ ∫ gọi là độ đo Peano-Jordan của tập A, ký hiệu là ( )A µ = ( ) ( ) A R x dx χ ∆ ∫ . + Nhận xét 1- Đònh nghóa trên không phụ thuộc vào đoạn ∆ , ∆ ⊃ A. 2- Điều kiện để ( ) ( ) A R x dx χ ∆ ∫ tồn tại là i) A bò chặn trên k ¡ và ( ) 0A µ δ = , với A δ = C A A∩ là biên của A. ii) f bò chặn trên A. iii) Tập các điểm trong của A mà f không liên tục tại các điểm ấy có độ đo (L) bằng 0. Tiểu luận: Hệ thống bài tậpTíchphân Lebesgue. 3 II- TÍCHPHÂN LEBESGUE 2.1- Tíchphân Lebesgue 2.1.1-Tích phân của hàm đơn giản không âm Cho không gian đo (X,F , µ ), A là tập đo được A ∈ F f là hàm số đơn giãn không âm trên A. Khi đó: f(x) = 1 ( ) i n i A i x α χ = ∑ , trong đó i A đo được, rời nhau, 1 n i i A A = = U và 0 i α ≤ ∈ ¡ . Tíchphân của hàm số f trên A theo độ đo µ được đònh nghóa và ký hiệu như sau A fd µ ∫ = 1 ( ) n i i i A α µ = ∑ . Đặt biệt, nếu µ là độ đo Lebesgue thì tíchphân trên là tíchphân Lebesgue. + Nhận xét. Đònh nghóa trên không phụ thuộc vào cách biểu diễn hàm f thành tổ hợp tuyến tính của hàm đặc trưng. * Một số tính chất đơn giản 1- Nếu f,g là hai hàm đơn giản trên A và f ≤ g trên A thì A fd µ ∫ ≤ A gd µ ∫ . 2- ( ) ( ) B A x d A B αχ µ αµ = ∩ ∫ 2.1.2- Tíchphân của hàm đo được không âm * Đònh nghóa. Cho f là hàm đo được không âm. Theo cấu trúc của hàm đo được thì tồn tại một dãy hàm đơn giản không âm trên tập A là { } : n n f f fZ trên A: A fd µ ∫ = lim n n A f d µ →∞ ∫ . * Nhận xét 1- Đònh nghóa trên không phụ thuộc vào dãy hàm đơn giản không âm n f fZ . 2- Hàm đo được không âm trên một tập A luôn tồn tại tíchphân trên tập đó. 3-Nếu độ đo µ là độ đo Lebesgue thì tíchphân trên gọi là tíchphân Lebesgue. 2.1.3- Tíchphân của hàm đo được bất kỳ Cho f là hàm đo được trên tập A theo độ đo µ . Đặt _ ( ) ( ( );0)f x Max f x= − . Vì ( ), ( )f x f x + − đo được và không âm trên A nên tồn tại A f d µ + ∫ và A f d µ − ∫ . Nếu A f d µ + ∫ - A f d µ − ∫ có nghóa thì A fd µ ∫ tồn tại và được đònh nghóa là A fd µ ∫ = A f d µ + ∫ - A f d µ − ∫ . Nếu độ đo µ là độ đo Lebesgue thì tíchphân trên gọi là tíchphân Lebesgue. *Đònh nghóa. Cho f là hàm số đo được trên A theo độ đo µ , f được gọi là khả tích trên A theo độ đo µ nếu tồn tại A fd µ ∫ là một số hữu hạn. Nếu độ đo µ là độ đo Lebesgue thì tíchphân trên gọi là tíchphân Lebesgue. 2.2- Tính chất của tíchphân Lebesgue Tiểu luận: Hệ thống bài tậpTíchphân Lebesgue. 4 2.2.1- Một số tính chất đơn giản * Mệnh đề 2 1- Nếu f đo được trên A và µ (A) = 0 thì A fd µ ∫ = 0. 2- Nếu µ (A)< +∞ , f đo được và bò chặn trên A thì f khả tích trên A. 2.2.2- Một số tính chất sơ cấp của tíchphân 2.2.2.1- Tính cộng tính * Mệnh đề 3. Cho A, B đo được, rời nhau. Khi đó A B fd µ ∪ ∫ = A fd µ ∫ + B fd µ ∫ nếu một trong hai vế của có nghóa. + Hệ quả 1- Cho E là tập con đo được của A. Nếu tồn tại A fd µ ∫ thì tồn tại E fd µ ∫ . Đặt biệt, nếu f khả tích trên A thì f khả tích trên E. 2- Nếu µ (B) = 0 thì A B fd µ ∪ ∫ = A fd µ ∫ . 2.2.2.2- Tính bảo toàn thứ tự * Mệnh đề 4. Cho f, g là các hàm đo được trên A. Nếu f : g trên A thì A fd µ ∫ = A gd µ ∫ khi một trong hai vế có nghóa. + Nhận xét. Nếu f đo được trên A’ ⊂ A và µ (A\A’) = 0 thì A fd µ ∫ = 'A fd µ ∫ . * Mệnh đề 5. Cho f, g là hai hàm số đo được trên A. Nếu f ≤ g hầu khắp nơi trên A thì A fd µ ∫ ≤ A gd µ ∫ . Đặt biệt nếu f ≥ 0 hầu khắp nơi trong tập A thì A fd µ ∫ ≥ 0. + Hệ quả 1- Nếu f khả tích trên A thì f hữu hạn hầu khắp nơi trên A. 2- Nếu f không âm và đo được trên A thì A fd µ ∫ = 0 ⇒ f(x) = 0 hầu khắp nơi trên A. 2.2.2.3 – Tính tuyến tính * Mệnh đề 6. Giả sử f, g đo được trên A, c ∈ ¡ . Khi đó, ta có 1- A cfd µ ∫ = A c fd µ ∫ . 2- ( ) A f g d µ + ∫ = A fd µ ∫ + A gd µ ∫ , nếu vế phải có nghóa. 2.2.2.4– Tính khả tích * Mệnh đề 7. Cho f đo được trên tập A, nếu A fd µ ∫ có nghóa thì A A fd f d µ µ ≤ ∫ ∫ . Đặt biệt, f khả tích trên A f khả tích trên A. + Chú ý - Đối với tíchphân Riemann, f khả tích trên A thì không suy ra được f khả tích trên A. - Để xét tính khả tích Lebesgue hàm số f ta đưa về xét tính khả tích của f . Tiểu luận: Hệ thống bài tậpTíchphân Lebesgue. 5 * Mệnh đề 8. Giả sử f, g đo được trên A. Khi đó 1- Nếu f, g khả tích trên A thì f ± g khả tích trên A. 2- Nếu f khả tích trên A và g bò chặn hầu khắp nơi trên A thì f.g khả tích trên A. 3- Nếu f ≤ g hầu khắp nơi trên A và g khả tích trên A thì f cũng khả tích trên A. 2.3- Qua giới hạn dưới dấu tíchphân Ta tập trung giải quyết vấn đề làVới điều kiện nào ta có lim lim n n n n A A f f →∞ →∞ = ∫ ∫ . 2.3.1- Đònh lý 2 (Đònh lý Levi). Nếu 0 n f f≤ Z thì n A A f f→ ∫ ∫ . 2.3.2- Đònh lý 3 (Về sự hội tụ đơn điệu). Nếu n f fZ và f 1 khả tích trên A thì lim n n A A f f →∞ = ∫ ∫ . + Hệ quả 1- Nếu 0 n g ≥ trên A thì 1 1 n n n n A A g g ∞ ∞ = = = ∑ ∑ ∫ ∫ . 2- Nếu 0 n g ≥ trên A và 1 n n A g ∞ = < ∞ ∑ ∫ thì 1 n n g ∞ = < ∞ ∑ hầu khắp nơi trên A và hàm số 1 ( ) ( ) n n g x g x ∞ = = ∑ khả tích trên A. * Bổ đề Fatou. Nếu 0 n f ≥ trên A thì lim lim n n n n A A f f →∞ →∞ ≤ ∫ ∫ . + Chú ý. Nếu n f g≥ và g khả tích trên A thì bổ đề Fatou cũng đúng. 2.3.3- Đònh lý 5 (Hội tụ chặn) Nếu n f g≤ , g khả tích và n f f→ (hầu khắp nơi hay theo độ đo) trên A thì n A A f f→ ∫ ∫ . + Hệ quả. Nếu n f K≤ (K – hằng số), n f f→ (hầu khắp nơi hay theo độ đo) trên A và ( )A µ < ∞ thì n A A f f→ ∫ ∫ . 2.4- So sánh tíchphân Riemann và tíchphân Lebesgue Đònh lý 6 Trong không gian k ¡ , nếu một hàm số f(x) là khả tích Riemann trên một đoạn k ∆ ⊂ ¡ thì nó cũng khả tích Lebesgue và hai tíchphân Riemann và Lebesgue bằng nhau ( ) ( )R f L f ∆ ∆ = ∫ ∫ 2.5- Tíchphân Lebesgue xem như hàm tập Trên không gian đo (X, F, µ ) ta cho hàm f xác đònh và có tíchphân trên X. Lúc đó ta xây dựng được hàm tập hợp λ : F → ¡ ( ) A A A fd λ µ = ∫ a Hàm tập λ được gọi là tíchphân bất đònh của f . Tiểu luận: Hệ thống bài tậpTíchphân Lebesgue. 6 Đònh lý 7. Hàm tập hợp λ là σ - cộng tính, nghóa là nếu có A n ∈ A, các A n đôi một rời nhau và 1 n n A A ∞ = = U thì 1 n n A A f f ∞ = = ∑ ∫ ∫ . * Nhận xét 1- Nếu 0 n f ≥ và đo được trên X thì hàm tập λ là một độ đo trên σ - đại số F. 2- Nếu 1 n n A f ∞ = < ∞ ∑ ∫ thì hàm F khả tích trên A. Đònh lý 8 (Tính liên tục tuyệt đối của tích phân) Nếu f là hàm khả tích trên A thì với mọi ε >0 tồn tại δ >0 sao cho E fd µ ε < ∫ , với mọi tập E đo được chứa trong A mà ( )E µ δ < . 2.6- Độ đo tích - Đònh lý Fubini 2.6.1- Độ đo tích Giả sử M là một σ -đại số tập hợp gồm các tập con nào đó của X, và N là một σ -đại số tập hợp gồm các tập con nào đó của Y. Và µ là một độ đo trên M , γ là một độ đo trên N . Tập M x N :={(a;b): a ∈ M; b ∈ N } gọi là tập hình chữ nhật. Tập M x N nói chung không phải là một σ -đại số trong XxY. Khi đó tồn tại σ -đại số trong XxY chứa M x N , ký hiệu là M x σ N . * Bổ đề. Cho Q ∈ M x σ N , gọi Q (x) ={y ∈ Y: (x; y) ∈ Q}, x ∈ X, Q (y) ={x ∈ X: (x; y) ∈ Q}, y ∈ Y. Khi đó ta có 1- γ ( Q (x) ) đo được theo độ đo µ trên X. 2- µ ( Q (x) ) đo được theo độ đo γ trên Y. 3- ( ) ( ) ( ( x y X X Q d Q d γ µ µ γ = ∫ ∫ . * Đònh nghóa. λ (Q)= ( ) ( ) ( ) ( ) x y X X Q d Q d γ µ µ γ = ∫ ∫ là một độ đo trên M x N gọi là độ đo tích của hai độ đo µ và γ , ký hiệu là λ = µ x γ . +Nhận xét. Nếu Q = AxB, A ∈ M, B ∈ N, ( ) , , x B x A Q x A ∈ = ∅ ∉ và ( ) , , y A x B Q x B ∈ = ∅ ∉ thì λ (Q)= ( ) ( ) ( ). ( ) X X B d A d A B γ µ µ γ µ γ = = ∫ ∫ . 2.6.2- Đònh lý Fubini Cho µ là một độ đo σ hữu hạn trong một σ đại sốâ M trong khômg gian X, γ là một độ đo σ hữu hạn trong một σ đại số N trong không gian Y, f(x;y) là một hàm đo được theo độ đo tích λ = µ x γ . Nếu f(x;y) là hàm không âm hoặc khả tích trên tập AxB ∈ MxN thì ta có ( ; ) ( ( ; ) ) AxB A A f x y d f x y d d λ µ γ = ∫ ∫ ∫ Và khi f(x;y) khả tích trên AxB thì, với hầu hết mọi y ∈ B, hàm số f(x;y) xem như hàm số một biến x khả tích trên A; đồng thời với hầu hết x ∈ A, hàm số f(x;y) xem như hàm số một biến y khả tích trên B. Tiểu luận: Hệ thống bài tậpTíchphân Lebesgue. 7 Phần 2. BÀI TẬP 2.1 Nếu f khả tích trên A thì với mọi số ε >0, { } ( : ( ) )x A f x µ ε ∈ ≥ < ∞ . Giải. Sử dụng phương pháp phản chứng. Giả sử tồn tại 0 ε >0 sao cho { } 0 ( : ( ) )x A f x µ ε ∈ ≥ = ∞ . Đặt { } 0 : ( )A x A f x ε ε = ∈ ≥ . Khi đó 0 0 0 0 0 ( ) A A A f d f d d A ε ε ε µ µ ε µ ε µ ≥ ≥ = = ∞ ∫ ∫ ∫ . Suy ra f không khả tích (L), do đó f không khả tích (L). Điều này trái với giả thiết. Vậy, nếu f khả tích trên A thì với mọi số ε >0, { } ( : ( ) )x A f x µ ε ∈ ≥ < ∞ . 2.2 Nếu f là hàm đo được, g là hàm khả tích và , α β là hai số thực sao cho ( )f x α β ≤ ≤ hầu khắp nơi thì có một số thực : γ α γ β ≤ ≤ sao cho f g d g d µ γ µ = ∫ ∫ .(Đònh lý giá trò trung bình). Giải. * Nếu g d µ ∫ =0 thì g d µ ∫ =0 0g = hầu khắp nơi trên A f 0g = hầu khắp nơi trên A f g d µ ∫ =0. Khi đó, ta chọn γ bất kỳ sao cho: α γ β ≤ ≤ , ta có f g d g d µ γ µ = ∫ ∫ (đpcm). * Nếu g d µ ∫ ≠ 0 thì, Vì ( )f x α β ≤ ≤ nên g g f g α β ≤ ≤ . Suy ra g d g f d g d α µ µ β µ ≤ ≤ ∫ ∫ ∫ g d g f d g d α µ µ β µ ≤ ≤ ∫ ∫ ∫ g f d g d µ α β µ ≤ ≤ ∫ ∫ . Chọn g f d g d µ γ µ = ∫ ∫ ta có điều phải chứng minh. 2.3 Cho n tập con đo được 1 A ; 2 A ,…, n A của một tập đo được X có ( )X µ < ∞ .Nếu mỗi x ∈ X thuộc ít nhất q trong số các tập 1 A ; 2 A ,…, n A thì ít nhất một trong các tập này có độ đo ( ) q X n µ ≥ . Giải. Đặt f(x) = 1 ( ), i A n x x X χ ∞ = ∈ ∑ . Khi đó f đo được và f(x) ≥ q với x X∀ ∈ . Tiểu luận: Hệ thống bài tậpTíchphân Lebesgue. 8 Suy ra ( ) ( ) X f x d q X µ µ ≥ ∫ , hay 1 ( ) ( ) n i i A q X µ µ = ≥ ∑ . (1) Giả sử các A i , i= 1, n đều có độ đo < q n thì ta có 1 ( ) ( ) n i i A q X µ µ = < ∑ , mâu thuẩn với (1). Suy ra điều phải chứng minh. 2.4 Cho f(x) là hàm đo được, không âm trên A và cho hàm chặt cụt ở N của f(x) như sau ( ), ( ) ( ) 0 , ( ) N f x f x N f x f x N ≤ = > Nếu f(x) hữu hạn hầu khắp nơi thì lim ( ) ( ) N N A A f x d f x d µ µ →∞ = ∫ ∫ . Giải. * Ta có f N (x) tăng trên A. Thật vậy, với x A∀ ∈ , ta có - Nếu f(x) ≤ N thì f N (x)=f(x)= f N+1 (x). - Nếu f(x) ≤ N+1, f(x) > N thì f N (x) = 0 < N+1= f N+1 (x). - Nếu f(x) > N thì f N (x) = f N+1 (x) = 0. Do f hữu hạn hầu khắp nơi trên A nên tồn tại B ⊂ A: ( ) 0, ( ) , \ .B f x x A B µ = < +∞ ∀ ∈ Vì ( )f x < +∞ nên tồn tại n ∈ ¥ : f(x) ≤ n. Khi đó với mọi N > n, ta có f N (x)= f(x). Suy ra lim N→∞ f N (x)= f(x). Vậy f N (x)Z f(x) trên A\B. Hơn nữa, 0 ( ) n f x≤ đo đựoc trên A ( vì f(x) đo được trên A) nên theo đònh lý Levi , ta có \ \ lim ( ) ( ) N N A B A B f x f x →∞ = ∫ ∫ . Vì \ \ \ \ ( ) ( ) ( ) ( ); ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ); ( ( ) 0) A A B B A B N N N N A A B B A B f x f x f x f x Do B f x f x f x f x Do B µ µ = + = = = + = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ nên \ \ lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) N N N N A A B A B A f x d f x d f x d f x d µ µ µ µ →∞ →∞ = = = ∫ ∫ ∫ ∫ (đpcm). 2.5 Nếu f n ≥ 0(n=1,2,…) và 0 n A f d µ → ∫ thì f n → 0 theo độ đo trên A. Giải. Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng. Giả sử n A f µ → 0 . Khi đó tồn tại 0 ε >0 sao cho { } 0 : n n x A f µ ε →∞ ∈ ≥ → 0 . Do đó tồn tại { } 0 0 0 0 0 : ; : : : n n n n n x A f δ µ ε δ > ∃ ∈ ∀ > ∈ ≥ ≥¥ . Suy ra có một dãy con { } { } n k n f f⊂ thoã { } 0 : n k x A f µ ε δ ∈ ≥ ≥ với mọi k n . Ta có 0 0 0 0 ( ) n n k n k k A A A f d d d A µ ε µ ε µ ε µ δε ≥ ≥ = ≥ ∫ ∫ ∫ . Tiểu luận: Hệ thống bài tậpTíchphân Lebesgue. 9 Suy ra k n A f d µ µ → 0 n A A f d µ µ ⇒ → ∫ 0 A ∫ . Điều này trái với giả thiết hay ta có điều phải chứng minh. 2.6 Cho A có độ đo hữu hạn và (f n ) n ∈ ¥ là một dãy hàm đo được trên A. Chứng minh rằng 0 0 1 n n n A f d f f µ µ → ⇔ → + ∫ . Giải. ⇒P Giả sử 0 1 n n A f d f µ → + ∫ khi đó theo bài tập 2.5 ta có 0 1 n n f f → + . Suy ra, với 0 : : 0 1 1 n n n f x A f ε ε µ ε →∞ ∀ > ∈ ≥ → + + . Vì hàm số f(t) = 1 t t + tăng trên [0; +∞ ] nên 1 1 n n n f f f ε ε ε ≥ ⇔ ≥ + + . Do vậy, { } : : 1 1 n n n f x A x A f f ε µ µ ε ε ∈ ≥ = ∈ ≥ + + . Suy ra { } : 0 n n x A f µ ε →∞ ∈ ≥ → , hay 0 n f µ → . ⇐P Giả sử 0 n f µ → . Suy ra 0 n f µ → . Khi đó { } : 0 n n x A f µ ε →∞ ∈ ≥ → . Vì { } : : 1 1 n n n f x A x A f f ε ε ε ∈ ≥ ⊂ ∈ ≥ + + nên { } : : 0 1 1 n n n n f x A x A f f ε µ µ ε ε →∞ ∈ ≥ ≤ ∈ ≥ → + + . Suy ra 0 1 n n n f f →∞ → + . Vì 1 1 n n f f ≤ + và ( )A µ < ∞ nên theo đònh lý Levi ta suy ra 0. 0. 1 n n n A A f d d f µ µ →∞ → = + ∫ ∫ 2.7 Cho f là một hàm số khả tích trên tập A theo độ đo µ và A n = { } : ( )x A f x n∈ ≥ . Chứng minh [ ] lim . ( ) 0 n n n A µ →∞ = Giải. Ta có . ( ) n n A µ = n A nd µ ∫ ≤ n A f d µ ∫ ≤ A f d µ ∫ := N (Vì f là một hàm số khả tích trên A). Suy ra ( ) n N A n µ ≤ , với mọi n>0. Do đó lim ( ) 0 n n A µ →∞ = . (1) Mặt khác, vì f là một hàm số khả tích trên A nên theo Đònh lý 8 (Tính liên tục tuyệt đối của tích phân) 0, 0 ε δ ∀ > ∃ > , ( )B A B µ δ ∀ ⊂ < , ta có B f d µ ε < ∫ . (2) Từ (1) suy ra với 0 0 0, :n n n δ > ∃ ∀ > ta có ( ) n A µ δ < . Tiểu luận: Hệ thống bài tậpTíchphân Lebesgue. 10