LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 MỤC LỤC PHẦN I KHỐI ĐA DIỆN KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHĨP • Khối lăng trụ (chóp) phần khơng gian giới hạn hình lăng trụ (chóp) kể hình lăng trụ (chóp) Khối chóp cụt phần khơng gian giới hạn hình chóp cụt kể hình chóp cụt • Điểm khơng thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) gọi điểm ngồi khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) Điểm thuộc khối lăng trụ khơng thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) gọi điểm khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 2.1 Khái niệm hình đa diện • Hình đa diện (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất:  Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung  Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác • Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 2.2 Khái niệm khối đa diện • Khối đa diện phần khơng gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện • Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm gọi miền ngồi khối đa diện • Mỗi hình đa diện chia điểm lại không gian thành hai miền không giao miền miền ngồi hình đa diện, có miền ngồi chứa hồn tồn đường thẳng HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU 3.1 Phép dời hình khơng gian Trong khơng gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M' xác định gọi phép biến hình khơng gian Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm tùy ý * Một số phép dời hình khơng gian: ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 3.1.1 Phép tịnh tiến theo vectơ r v Nội dung Là phép biến hình biến điểm thành M' 3.1.2 Hình vẽ M cho uuuuur r MM ' = v Phép đối xứng qua mặt phẳng (P ) Nội dung Là phép biến hình biến điểm thuộc (P ) thành nó, biến điểm M khơng thuộc (P ) Hình vẽ (P ) thành điểm M ' cho mặt phẳng trung trực MM ' Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng biến hình (H) thành (P ) (P ) ( ) H gọi mặt phẳng đối xứng 3.1.3 Phép đối xứng qua tâm O Nội dung Là phép biến hình biến điểm nó, biến điểm điểm M' cho O M xứng O khác trung điểm Nếu phép đối xứng tâm thành Hình vẽ O O O thành thành MM ' biến hình (H) gọi tâm đối (H) ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 3.1.4 Phép đối xứng qua đường thẳng Nội dung Là phép biến hình biến điểm thuộc đường thẳng điểm ∆ ∆ thành điểm đường trung trực Nếu phép đối xứng trục (H) thành đối xứng (phép đối xứng trục ∆ ) Hình vẽ thành nó, biến khơng thuộc M cho ∆ ∆ ∆ ∆ MM ' M' biến hình gọi trục (H) * Nhận xét: • Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình • Phép dời hình biến đa diện thành đa diện , biến đỉnh, H H' ( ) cạnh, mặt (H) ( ) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng ( H ') 3.2 Hai hình Hai hình đa diện gọi có phép dời hình biến hình thành hình PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nội dung Hình vẽ ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN Nếu khối đa diện khối đa diện (H ) (H) (H ) , (H ) LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 hợp hai cho (H ) khơng có chung điểm ta (H) nói chia khối đa diện thành hai khối đa diện (H ) ( H ) , hay lắp ghép hai khối đa diện (H ) với để khối đa diện (H ) (H) KHỐI ĐA DIỆN LỒI 5.1 Khối đa diện lồi Một khối đa diện gọi khối đa diện lồi với hai điểm B AB điểm đoạn thuộc khối Khối đa diện lồi A Khối đa diện không lồi 5.2 Khối đa diện 5.2.1 Định nghĩa • Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: n  Các mặt đa giác cạnh p  Mỗi đỉnh đỉnh chung cạnh • Khối đa diện gọi khối đa diện loại { n, p} 5.2.2 Định lí ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 Chỉ có loại khối đa diện Đó loại { 3;3} , loại { 4;3} , loại { 3;4} , loại { 5;3} , loại { 3;5} Tùy theo số mặt chúng, khối đa diện có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt 5.2.3 Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Khối đa diện Số Loại Số MPĐX Số Số cạn đỉnh mặt h Tứ diện { 3;3} Khối lập phương 12 { 4;3} Bát diện 12 { 3;4} Mười hai mặt 20 30 12 { 5;3} 15 Hai mươi mặt 12 30 20 { 3;5} 15 Chú ý: Giả sử khối đa diện loại M { n, p} có Đ đỉnh, C cạnh mặt Khi đó: pĐ = 2C = nM 5.3 Một số kết quan trọng khối đa diện lồi 5.3.1 Kết Cho khối tứ diện Khi đó: ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 • Các trọng tâm mặt đỉnh khối tứ diện đều; • Các trung điểm cạnh đỉnh khối bát diện (khối tám mặt đều) 5.3.2 Kết Tâm mặt khối lập phương đỉnh khối bát diện 5.3.3 Kết Tâm mặt khối bát diện đỉnh khối lập phương 5.3.4 Kết Hai đỉnh khối bát diện gọi hai đỉnh đối diện chúng không thuộc cạnh khối Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi đường chéo khối bát diện Khi đó: • Ba đường chéo cắt trung điểm đường • Ba đường chéo đơi vng góc với nhau; • Ba đường chéo THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 6.1 Thể tích khối chóp Nội dung V = Hình vẽ S h đáy Sđáy : Diện tích mặt đáy • h : Độ dài chiều cao khối chóp • VS.ABCD = d S ( S,( ABCD ) ) ABCD 6.2 Thể tích khối lăng trụ Nội dung Hình vẽ V = Sđáy.h S đáy • : Diện tích mặt đáy • h : Chiều cao khối chóp Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cạnh bên ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 6.3 Thể tích khối hộp chữ nhật Nội dung Hình vẽ V = abc 6.4 Thể tích khối lập phương Nội dung Hình vẽ V = a3 6.5 Tỉ số thể tích Nội dung VS A′B ′C ′ VS ABC = Hình vẽ SA′ SB ′ SC ′ SA SB SC S V = ( h B + B ′ + BB ′ B’ A’ Thể tích hình chóp cụt ABC A′B ′C ′ C’ ) A B C Với B, B ′, h diện tích hai đáy chiều cao 6.6 Một số ý độ dài đường đặc biệt • Đường chéo hình vng cạnh a a • Đường chéo hình lập phương cạnh a : a • Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a,b,c : a2 + b2 + c2 a • Đường cao tam giác cạnh a là: ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 CÁC CƠNG THỨC HÌNH PHẲNG 7.1 Hệ thức lượng tam giác D ABC A AH 7.1.1 Cho vuông , đường cao 2 • AB + AC = BC • AB = BH BC • AC = CH BC • AH BC = AB AC • AH = BH HC 1 = + 2 AB AC • AH • AB = BC sinC = BC cosB = AC tanC = AC cot B 7.1.2 Cho D ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c độ dài trung tuyến ma , mb , mc R bán kính đường tròn ngoại tiếp ; bán kính đường tròn p r nội tiếp nửa chu vi • Định lí hàm số cosin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA; b2 = c2 + a2 − 2ca.cosB; c2 = a2 + b2 − 2ab.cosC • Định lí hàm số sin: a b c = = = 2R sin A sin B sinC • Độ dài trung tuyến: b2 + c2 a2 c2 + a2 b2 a2 + b2 c2 2 ma = − ; mb = − ; mc = − 4 7.2 Các cơng thức tính diện tích 7.2.1 Tam giác 1 S = a.ha = bh b = ch 2 c • 1 S = bc sin A = ca.sin B = absinC 2 • abc 4R • • S = pr S= • ( )( )( S = p p−a p−b p−c ST&BS: PHẠM LÊ DUY ) Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN • ∆ABC vuông A: S = • ∆ABC đều, cạnh • S =a AB AC BC AH = 2 a : AH = 7.2.2 Hình vng ( a: LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 a a2 S= , cạnh hình vng) 7.2.3 Hình chữ nhật a, b S = ab • ( : hai kích thước) 7.2.4 Hình bình hành · = AB AD.sin BAD S = ỏy ì cao 7.2.5 Hỡnh thoi · S = AB AD.sin BAD = AC.BD • 7.2.6 Hình thang • S= a +b h ( ) ( a, b : h hai đáy, : chiều cao) 7.2.7 Tứ giác có hai đường chéo vng góc • S= AC & BD AC BD MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP THƯỜNG GẶP Nội dung Hình vẽ A SABC Cho hình chóp với mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC ) , ( SAC ) vng góc với đơi một, diện tích tam giác SAB, SBC , SAC S1,S2,S3 Khi đó: VS ABC = 2S1.S2 S3 S C B ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 10 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN cosϕ = LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 A1A2 + B1B2 + C 1C A12 + B12 + C 12 A22 + B22 + C 22 3.3.2 Góc đường thẳng mặt phẳng Nội dung Cho đường thẳng (∆) : x − x0 a = y − y0 = Hình vẽ z − z0 b c ( α ) : Ax + By + Cz + D = mặt phẳng Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (∆) & (α ) ta có cơng thức: Aa + Bb + Cc sinϕ = A2 + B + C a2 + b2 + c2 3.3.3 Góc hai đường thẳng Nội dung Cho hai đường thẳng : x − x0 y − y0 z − z0 (∆1) : = = a b c x − x0′ y − y0′ z − z0′ (∆2) : = = a' b' c' Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (∆1) & (∆ 2) cosϕ = Hình vẽ ta có cơng thức: aa' + bb' + cc' a2 + b2 + c2 a'2 + b'2 + c'2 3.4 Khoảng cách 3.4.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nội dung Hình vẽ ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 49 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 Cho mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = điểm M 0(x0;y0; z0) Khoảng cách từ điểm (α ) tính : d(M 0; ∆) = M0 đến mặt phẳng Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C 3.4.2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Nội dung Hình vẽ Cho đường thẳng (∆) qua điểm r M 0(x0;y0;z0) có VTCP u = (a;b;c) Khi khoảng cách từ điểm M1 đến (∆) tính công thức: uuuuuur r M M ;u   d(M 1, ∆) = r u 3.4.3 Khoảng cách đường thẳng chéo Nội dung Hình vẽ Định lý: ( Oxyz ) Trong không gian cho hai đường thẳng chéo : r (∆ 1) co VT CP u = (a;b;c) va qua M 0(x0;y0;z0) ur (∆ 2) co VTCP u' = (a';b';c' ) va qua M 0' (x0' ;y0' ;z0' ) (∆1) va ( ∆2 ) Khi khoảng cách tính cơng thức r uu r uuuuuur u, u ' M M '   0 d(∆1, ∆ 2) = r uu r u;u '   3.5 Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP 3.5.1 Dạng ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 50 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN d qua x = x + a t o  (d) : y = yo + a2t z = z + a t o  điểm M 0(x0;y0;z0) LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 có VTCP r a = (a1;a2;a3) (t ∈ R) 3.5.2 Dạng uuur d qua hai điểm A, B : Một VTCP d AB 3.5.3 Dạng d qua điểm M 0(x0;y0;z0) song song với đường thẳng ∆ cho trước: Vì d / / ∆ nên VTCP ∆ VTCP d 3.5.4 Dạng P d qua điểm M 0(x0;y0;z0) vng góc với mặt phẳng ( ) cho trước: Vì ( ) d⊥ P nên VTPT 3.5.5 Dạng (P ) VTCP d d giao tuyến hai mặt phẳng • Cách 1: Tìm điểm VTCP ( P) , ( Q) :  (P )  (Q)   Tìm toạ độ điểm A ∈ d : cách giải hệ phương trình  (với việc chọn giá trị cho ẩn) r r r d : a = nP , nQ   Tìm VTCP • Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , viết phương trình đường thẳng qua hai điểm 3.5.6 Dạng d qua điểm M 0(x0;y0;z0) vng góc với hai đường thẳng d1,d2 : r r r a = ad ,ad  d ⊥ d1, d ⊥ d2  2 d Vì nên VTCP là: 3.5.7 Dạng d qua điểm M 0(x0;y0;z0) , vng góc cắt đường thẳng ∆ • Cách 1: ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 51 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 M0 Gọi H hình chiếu vng góc đường thẳng ∆ Thì H ∈ ∆  uuuuur r M 0H ⊥ u∆ Khi đường thẳng d đường thẳng qua M 0, H • Cách 2: ( P ) mặt phẳng qua A vng góc với d ; ( Q ) mặt Gọi phẳng qua A chứa d Khi 3.5.8 Dạng ( ) ( ) d =  P ∩ Q d qua điểm M 0(x0;y0;z0) cắt hai đường thẳng d1,d2 : • Cách 1: M ∈ d1, M ∈ d2 M , M 1, M Gọi Từ điều kiện thẳng hàng ta tìm M 1, M Từ suy phương trình đường thẳng d • Cách 2: Gọi ( P ) = (M ,d ) , ( Q ) = (M ,d ) Khi r r r a = nP , nQ  VTCP d chọn 3.5.9 Dạng ( ) ( ) d= P ∩ Q Do đó, ( P ) cắt hai đường thẳng d ,d A = d ∩ (P ), B = d ∩ (P ) Tìm giao điểm d nằm mặt phẳng 1 : Khi d đường thẳng AB 3.5.10 Dạng 10 Viết phương trình mặt phẳng (P ) ( ) Q d, chứa ∆ mặt phẳng chứa ∆ d2 ( ) ( ) d= P ∩ Q Khi 3.5.11 Dạng 11 d đường vng góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau: • Cách 1: MN ⊥ d1  MN ⊥ d2 M ∈ d1, M ∈ d2 Gọi Từ điều kiện  , ta tìm M , N Khi đó, d đường thẳng MN • Cách 2: ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 52 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN  Vì d ⊥ d1 d ⊥ d2 LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 nên VTCP d là:  Lập phương trình mặt phẳng (P ) chứa d d1, r r r a = ad ,ad   2 cách: d  Lấy điểm A (P )  Một VTPT r r r nP = a,ad   1 là:  Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q ) chứa d d2 Khi ( ) ( ) d= P ∩ Q 3.5.12 Dạng 12 d hình chiếu đường thẳng ∆ lên mặt phẳng ( P) ta Lập phương ( Q ) chứa ∆ vng góc với mặt phẳng ( P ) cách: trình mặt phẳng • Lấy M ∈ ∆ r r r Q P nQ = a∆ , nP  ∆ • Vì chứa vng góc với nên d= P ∩ Q • Khi 3.5.13 Dạng 13 M d d : d qua điểm , vng góc với cắt • Cách 1: d MN ⊥ d1, Gọi N giao điểm d Từ điều kiện ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN • Cách 2: ( ) ( ) ( ) ( ) (P ) (Q ) Viết phương trình mặt phẳng d = ( P ) ∩ (Q ) Khi  Viết phương trình mặt phẳng d qua M vng góc với  d chứa M  3.6 Vị trí tương đối 3.6.1 Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét VTTĐ hai đường thẳng, ta sử dụng phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP điểm thuộc đường thẳng • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng 3.6.2 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 53 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 Để xét VTTĐ đường thẳng mặt phẳng, ta sử dụng phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP đường thẳng VTPT mặt phẳng • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt phẳng 3.6.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Để xét VTTĐ đường thẳng mặt cầu ta sử dụng phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng bán kính • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt cầu 3.7 Khoảng cách 3.7.1 Khoảng cách từ điểm • Cách 1: M đến đường thẳng d uuuuur M M ,ar    d(M ,d) = r r M a Cho đường thẳng d qua có VTCP a • Cách 2:  Tìm hình chiếu vng góc H M đường thẳng d  ( ) d M ,d = MH • Cách 3:  Gọi ( ) N x; y; z ∈ d Tính MN theo t (t tham số phương trình đường thẳng d)  Tìm t để MN nhỏ d ( M ,d ) = MH  Khi N ≡ H Do 3.7.2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo d1 d2 Biết r r a1 d2 M2 a2 VTCP , qua điểm có VTCP Chú ý: ST&BS: PHẠM LÊ DUY d1 qua điểm M1 có r r uuuuuur a1,a2  M 1M d(d1,d2) = r r a1,a2  Trang 54 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách d ( α ) chứa d2 song song với d1 với mặt phẳng 3.7.3 Khoảng cách hai đường thẳng song song Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng 3.7.4 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng (α) song song với khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng 3.8 Góc 3.8.1 Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP r r a1,a2 d1, d2 r r a1,a2 (α) r r a1.a2 r r cos( a1,a2 ) = r r a1 a2 Góc bù với góc là: 3.8.2 Góc đường thẳng mặt phẳng r α a = (a1;a2;a3) Cho đường thẳng d có VTCP mặt phẳng r n = (A;B ;C ) ( ) Góc đường thẳng d mặt phẳng α d với hình chiếu d' ( ) (α) ( góc đường thẳng ) sin d· , ( a ) = là: có VTPT Aa1 + Ba2 + Ca3 A2 + B + C a12 + a2 + a32 MẶT CẦU 4.1 Phương trình mặt cầu 4.1.1 Phương trình tắc Phương trình mặt cầu tâm bán kính là: R S I a;b;c , ( ) ( ) () (S) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R Phương trình ( 1) gọi phương trình tắc mặt cầu ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 55 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN Đặc biệt: Khi I ≡O LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 (C ) : x2 + y2 + z2 = R 4.1.2 Phương trình tổng quát Phương trình : với x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = phương trình mặt cầu ( S) có tâm a2 + b2 + c2 − d > ( bán ) kính I a;b;c , R = a +b +c −d 2 4.2 Giao mặt cầu mặt phẳng Cho mặt phẳng mặt cầu có phương trình : (α ) S ( ) (α ) : Ax + By + Cz + D = (S) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R Gọi d(I ;α ) khoảng cách từ tâm mặt cầu Cho mặt cầu ( ) đến mặt phẳng S S( I ; R) mặt phẳng ( P) ( α ) I ( P ) ⇒ d = IH = d I ,( P ) hình chiếu vng góc lên d>R d=R d