GOC TRONG KHONG GIAN ver 2018

Chun đề KHOẢNG CÁCH – GĨC khơng gian CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề: KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN Chủ đề: GĨC TRONG KHƠNG GIAN I PHƢƠNG PHÁP Phƣơng pháp 1: Hình học túy Kỹ Cách dựng Góc hai đ-ờng thẳng I Trình bày Gi ;   góc   α +) 00    900  / /  +)    1 ;    0  1   d Δ2 +) Với   chéo +) 1     1 ;    900 I  2     ;     d;      I d : d / / Góc đ-ờng thẳng mặt phẳng Gi d; P    góc d  P  d A α d' H I P Xét d   P   I , ta thực chiếu vuông +) 00    900 d / /  P  +)   00   d   P  +)   900  d   P  góc đường thẳng d lên mặt phẳng  P  đường thẳng d   d;  P     d; d  Cụ thể: +) Chiếu vuông góc A  A  d  xuống  P  điểm H , rõ AH   P      +)  d; P AIH Góc hai mặt ph¼ng P Gọi d I Trình bày: Do AH   P   HI hình chiếu  AI P  AI ; P  AIH    P  ; Q      góc  P  Q  α Δ d' Q Xét  P   Q    , chọn điểm I  cho:  I  d   P  ; I  d   Q       P  ; Q    d; d  d    d      +) 00    900  P  / /  Q  +)   00    P   Q  +)   900   P   Q  Lu ý: Cho đa giác H nằm mp   cã diÖn tÝch l¯ S v¯ H' l hình chiếu vuông góc H lên mp   Khi ®ã diƯn tÝch S' cđa H' tính công thức: H H' Giỏo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế -1 Chun đề KHOẢNG CÁCH – GĨC khơng gian S'  S.cos  víi     ;    CLB Giáo viên trẻ TP Huế  Phƣơng pháp 2: Tọa độ hóa Bước 1: Chọn hệ trục hợp lí Xác định tọa độ điểm, vec tơ đặc trưng liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng cần tính Bước 2: Ta có dạng sau: Dạng 1: Góc hai vectơ     Phương pháp: Cho vectơ a(a1 ; a2 ; a3 ), b(b1 ; b2 ; b3 ) Gọi   ( a , b ) , 00    1800  a1b1  a2 b2  a3 b3 a.b Lúc đó: cos     a.b ( a1 )2  ( a2 )2  ( a3 )2 (b1 )2  (b2 )2  (b3 )2   Nhận xét: a  b  a1b1  a2b2  a3b3  Dạng 2: Góc hai đƣờng thẳng Phương pháp: Cho đường thẳng:   có vectơ phương a( a1 ; a2 ; a3 )   có vectơ phương b(b1 ; b2 ; b3 ) Gọi   (1 , 2 ) , 00    900  a.b a1b1  a2 b2  a3 b3 Lúc đó: cos     a.b ( a1 )2  ( a2 )2  ( a3 )2 (b1 )2  (b2 )2  (b3 )2   Nhận xét: 1  2  a  b  a1b1  a2 b2  a3b3  Dạng 3: Góc hai mặt phẳng Phương pháp: Cho mặt phẳng:  Mp ( ) có vectơ pháp n1 ( a1 ; a2 ; a3 )  Mp (  ) có vectơ pháp n2 (b1 ; b2 ; b3 ) Gọi   ( ), (  )  , 00    900   n1 n2 a1b1  a2 b2  a3 b3 Lúc đó: cos     n1 n2 ( a1 )2  ( a2 )2  ( a3 )2 (b1 )2  (b2 )2  (b3 )2   Nhận xét: ( )  (  )  n1  n2  a1b1  a2 b2  a3b3  Dạng 4: Góc đƣờng thẳng mặt phẳng Phương pháp:  Đường thẳng  có vectơ phương a( a1 ; a2 ; a3 )  Mặt phẳng ( ) có vectơ pháp tuyến n( A; B; C) Gọi     , ( ), , Lúc đó: Nhận xét: 00    900  a.n a1 A  a2 B  a3C sin     a n1 ( a1 )2  ( a2 )2  ( a3 )2 ( A)2  ( B)2  (C )2   / /( )   ( )  n.a   Aa1  Ba2  Ca3  Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế -2 Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GÓC không gian CLB Giáo viên trẻ TP Huế II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA Một số toán giải phương pháp hình học túy Câu 1: Cho hình lập phương ABCD.ABCD Tính góc hai đường thẳng AC B ' D A 300 B 450 C 600 D 900 Lời giải D C Ta có:         A B AC.DB '  AC DB  DD '  AC DB  AA '      AC.DB  AC.AA '      C' D'  Chọn đáp án D B' A' Cách khác: Chỉ rõ AC   BDDB  AC  BD Câu 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   ACD  , khẳng định sau đúng? A cos   B cos   C cos   D cos   Lời giải  HB  AC  góc hai mặt phẳng Gọi H trung điểm AC    HD  AC  ABC   ACD  góc hai đường thẳng HD HB Ta có: HB  HD  3a , BD  a  Xét tam giác BHD : cos BHD A H C D HB2  HD2  BD2  HB.HD B  Chọn đáp án A Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a Gọi  góc hai mặt phẳng SBC  SAB , khẳng định sau đúng? A cos   B cos   C cos   D cos   Lời giải  HA  SB  góc hai mặt Gọi H trung điểm SB    HC  SB phẳng SBC  SAB  góc hai đường thẳng HA 3a , AC  2a HA2  HC  AC Xét tam giác AHC : cos  AHC   HA.HC 2 Suy ra: sin    Chọn đáp án A S H HC Ta có: HC  HA  Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… D A Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế C B -3 Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GĨC khơng gian CLB Giáo viên trẻ TP Huế Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  a Hình chiếu a vng góc H S mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC SH  Gọi M , N trung điểm cạnh BC SC Gọi  góc đường thẳng MN với mặt đáy  ABCD  Khẳng định sau đúng? A tan   B tan   C tan   Lời giải:   Ta có MN  SB Do  MN ,  ABCD    SB,  ABCD   D tan  S Do SH   ABCD  nên    MN ,  ABCD    SB,  ABCD    SB, HB   SBH  N BD 2a Ta có BD  AB  AD  2a ; BH   3   SH  Tam giác SHB , có tan SBH BH  Chọn đáp án B 2 D A H B C M Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a Gọi  góc hai mặt phẳng SBC  SAD  , khẳng định sau đúng? A sin   B sin   C sin   Lời giải Gọi H , K trung điểm BC , AD BC / / AD  SBC   SAD   Sx / / AD Do 2 D sin   S Mặt khác x SH  BC SH  Sx   góc hai mặt phẳng SBC  SAD   SK  AD SK  Sx góc hai đường thẳng SH SK Ta có: SH  SK  D 3a , HK  a  Xét tam giác SHK : cos HSK C K H SH  SK  HK 2  Vậy sin   2SH.SK 3 2 A B  Chọn đáp án C Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB  a, cạnh bên SA vng góc với đáy SA  a Gọi M trung điểm BC G trọng tâm tam giác SAC Gọi α số đo   góc hai vectơ AM BG , khẳng định sau đúng? A cos α  30 10 B cos α  30 10 C cos α   30 15 D cos α   30 15 Lời giải Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế -4 Chun đề KHOẢNG CÁCH – GĨC khơng gian CLB Giáo viên trẻ TP Huế      Phân tích vectơ AM , BG theo cácvectơ AB, AC , AS với   450 AB  a, AC  a , BAC a2 a a   , AM.BG   , BG  2     AM.BG 30  cos AM , BG  cos    AM.BG 10  Chọn đáp án A Ta có: AM    Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB  1, BC  Mặt bên SAC tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi α số đo góc hai mặt phẳng SAB SBC  , khẳng định sau đúng? A cos α  65 65 B cos α  65 10 C cos α  Lời giải Cho hệ trục tọa độ Bxyz xác định sau: B  0;0;0  , C   ; ; 3 A  0;1;0  , S   2       Ta có BA   0;1;0  , BS       nSAB  3;0;    nSBC   0; 3;       3; 0; , D cos α  65 65 z S  ; ; 3 3;1;  2   BC  3;0;0  1;0;0  ,     x B C M   Suy cos   cos nSAB , nSBC     65 20  A 15 13  65 65 y  Chọn đáp án A Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , độ dài cạnh bên 2a Xét  lớn tỉ số SM bao điểm M thay đổi cạnh SA  M  S, M  A  Khi số đo góc BMD SA nhiêu? A B C D Lời giải 2 2   MB  MD  BD   BD Ta có cos BMD 2.MB.BD MB2  lớn  cos BMD  nhỏ  MB nhỏ BMD  M chân đường vng góc B cạnh SA SM SM.SA SO2  OM  SA     SA SA2 SA2   MOB  Cách khác: Gọi O tâm hình vng ABCD  BMD Xét tam giác vng MOB có: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế -5 Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GÓC không gian CLB Giáo viên trẻ TP Huế OB  max  OM  OM  SA  BMO OM  Chọn đáp án B Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  2a, cạnh bên SA  tan BMO vng góc với đáy SA  2a Gọi M , N trung điểm cạnh SA, CD α số đo góc đường thẳng MN mặt phẳng SBD  , khẳng định sau đúng? A sin α  224 21 B sin α  14 42 C sin α  14 21 Lời giải Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ z Khi ta có: A  0; 0;  , S  0; 0; 2a  , B  a; 0;  , D  0; 2a;  ,  a   M  0; 0; a  , N  ; 2a;   BS   a; 0; 2a  , BD   a; 2a;0  , 2    2 nSBC  4a ;  2a ;  2a  2a2  2;1;1  2a2 n'  14 21 D sin α  S 2a M    a  a a  MN   ; 2a;  a   1; 4;    u 2    n' u 14  sin         Chọn đáp án C 21 21 n' u P 2a O A D x y N a C B Câu 10: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh AB, CD α số đo góc hai đường thẳng AN , CM , khẳng định sau đúng? A cos α  B cos α  D cos α  C cos α  Lời giải Gọi P trung điểm DM  NP / /CM     AN , CM  AN , NP  ANP    A  M Giả sử độ dài cạnh tứ diện P   3  2  cos ANP  NP  CM  , AN  , AP  4  Chọn đáp án A D B N C Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M trung điểm SC  số đo góc hai đường thẳng AC , BM Khẳng định sau đúng? A cos   B cos   C cos   D cos   Lời giải Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế -6 Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GĨC khơng gian CLB Giáo viên trẻ TP Huế Gọi I trung điểm AB , SAB cân S , SAB   ABCD  S  SI   ABCD  Gọi N trung điểm SA  MN / / AC     AC , BM  MN , BM  BMN    N  M MN  MB2  BN  MN.MB  Chọn đáp án A A Vậy cos BMN  D I B C Câu 12: Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a Gọi E, F trung điểm BC AD Gọi α số đo góc hai mặt phẳng  BEF   ADDA  , khẳng định sau đúng? A cos α  B cos α  C cos α  D cos α  Lời giải Cách 1: Gọi M trung điểm AD Ta có EM   AAD ' D  Từ M kẻ MH vng góc FD H C D F  MH  FD Lúc ta có  Suy góc hai mặt phẳng ( BEF )  EH  FD    ( ADDA) MHE B A H α C' MH a a2 , EM  a; MH   EH  a2  a  cos   5 EH D' M E MH  Chọn đáp án A  EH Cách 2: Ta có BEDF có hình chiếu lên ( AADD) hình bình a B'  cos   F A hành AMD’F SAMDF  a2 (nửa hình vng) Mặt khác BEDF hình thoi có hai đường chéo EF  a , BD  a A' D B a2  SBEDF  a 2.a  2 C A' M D' a SAMDF a   Theo cơng thức hình chiếu ta có cos   SBEDF a C' B' E Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng C , D, AD  3a, BC  CD  4a, cạnh bên SA vng góc với đáy SA  3a Gọi M điểm nằm cạnh AD cho AM  a N trung điểm CD Gọi α số đo góc hai đường thẳng SM BN , khẳng định sau đúng? A cos α  B cos α  C cos α  D cos α  Lời giải Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế -7 Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GĨC khơng gian CLB Giáo viên trẻ TP Huế    Gọi E điểm trẻn cạnh BC cho CE  3a Khi AD, AE, AS S đơi vng góc      Khi đó: SM  SA  AM  AD  AS ,        BN  BE  EA  AD  DC  AD  AE   SM.BN  AD2  4a2 , SM  SA2  AM  2a , B N BN  BC  CN  5a   SM.BN   4a2 Do đó: cos   cos SM ; BN    SM.BN 2a.2a 5  Chọn đáp án A Câu 14: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC  E C  D M A có đáy ABC tam giác vuông A, AB  2a , AC  a , AA   2a Gọi D điểm đối xứng với B qua A M trung điểm đoạn thẳng AD Tính số đo góc hai đường thẳng AB CM A 300 B 600 C 900 Lời giải   AB.C M Dùng phương pháp vectơ tính cos  AB, C M   AB.C M   AB, CM  30    D 450 B   Chọn đáp án A C A B' C' M A' D Câu 15: Cho hình lập phương ABCD.ABCD Xét  P  mặt phẳng thay đổi ln chứa đường thẳng CD Tính giá trị nhỏ số đo góc mặt phẳng  P  mặt phẳng  BDDB  A 600 B 300 C 450 D 00 Lời giải Giả sử hình lập phương có cạnh Chọn hệ tọa độ cho A  0; 0;  , D 1;0;0  , B  0;1;0  , A '  0;0;1   C 1;1;0  , B '  0;1;1 , D ' 1;0;1  CD '   0;  1;1 Ta có: AC   BB ' D ' D  nên mặt phẳng  BDD ' B '  có VTPT   n1  AC  1;1;0   Gọi n2   a; b; c  với a2  b2  c  VTPT  P     n2 CD '   b  c   c  b   Gọi  góc hai mặt phẳng  P  mặt phẳng  BDD ' B '  , 00    900 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế -8 Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GÓC không gian CLB Giáo viên trẻ TP Huế   n1 n2 ab ab Ta có: cos       n1 n2 a2  b2  c 2 a  4b 1 1 3 a  2b     2a2  4b2  2a2  4b2  cos      600 Vậy   600 2 2    Chọn đáp án A Câu 16: Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a, AC  BD  b, AD  BC  c Gọi α số đo góc hai Mà a  b    đường thẳng AB CD , khẳng định sau đúng? A cos α  b2  c a2 B cos α  b2  c 2a C cos α   a2 b2  c  D cos α  a2 b2  c Lời giải Gọi M , N , P trung điểm AC , CB, AD  MN  AB, MP  CD     MN ; MP  ; MN  AB2  AC  BC 2a2  2b2  c  4 2 2 2 NA  ND  AD a  b  c2 NP   AN  a a AB  ; MP  CD  2 2 2 2 a  2b  c ; DN  AN  a2 a2 a2  b2  c   MN  MP  PN b2  c 4  cos   cos NMP    a a 2.MN.PM a2 2  Chọn đáp án A   1350 , AA  Hình chiếu vng góc Câu 17: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AB  1, AC  , CAB 2 điểm A mặt phẳng  ABC  trung điểm H BC Tính số đo góc đường thẳng AH mặt phẳng  ABBA  A 300 B 600 C 450 D 900 Lời giải Gọi L chân đường cao C  tam giác ABC Kẻ HK  AB K  Lúc đó: AH , ABBA  AKH   B C  A  AB    2 BC   AB2  AC 2  ABA.C .cos C   BC   AB2  AC 2 BC 2 1 AH       AH  4 AH  AA2  AH    2    C L.AB  HK  CL  AB.AC.sin CAB  Ta có AB.AC.sin CAB 2 AB Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… B' H C' K A' Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế -9 Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GĨC khơng gian CLB Giáo viên trẻ TP Huế AH    300    AKH Xét tam giác AHK có tan AKH  HK 3  Chọn đáp án A   600 , cạnh bên SA vng góc với đáy Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thoi cạnh a, BAD Biết góc hai mặt phẳng SBC  SCD  600 Tính độ dài đoạn thẳng SA A 6a 6a B C 3a D 3a Lời giải a  Kẻ OH  SC , H  SC   SBC  , SCD   BH , DH Ta có AB  a , OB  OD        1200 ( BH  BC  BH)  BDO   600  BDH  OH  OB.cot 600  a  SA  a  Chọn đáp án A Câu 19: Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh Xét điểm M thay đổi cạnh AB Số đo góc hai đường thẳng AC DM đạt giá trị lớn độ dài đoạn thẳng AM bao nhiêu? A B C D Lời giải Gọi AM  x   x  1  DM  x2  1, AC '    DM.AC '    Ta có cos  DM , AC '   cos DM , AC '  DM.AC '          Mặt khác DM  AM  AD  xAB  AD ; AC '  AB  AD  AA '   Do đó, ta có DM.AC '  x  x 1 1 x DM , AC '    Khi cos    x  1 x2  x2   Xét hàm số f  x   1 x x  A'  D' C' B' A D M B C  DM , AC '  lớn  cos  DM , AC '  nhỏ  f  x  0;1 Để góc  x1 đạt giá trị nhỏ đoạn 0;1 Ta có f '  x    x  1  0, x  0;1 nên f  x  đạt giá trị nhỏ đoạn 0;1 x  hay AM   Chọn đáp án A Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế - 10 Chun đề KHOẢNG CÁCH – GĨC khơng gian CLB Giáo viên trẻ TP Huế Câu 20: Cho tứ diện ABCD có AB  CD  Gọi M , N trung điểm cạnh AC , BD Biết MN  3, tính số đo góc hợp hai đường thẳng AC BD A 300 B 600 C 900 Lời giải  ME / / AB Gọi E trung điểm BC     AB, CD    ME, EN   EN / /CD D 450   ME  NE    333 1  cos MEN Xét tam giác MNE có  2 3   MN    120 Vậy AB, CD  ME, EN  180  120  60  MEN      Chọn đáp án A Câu 21: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có tất cạnh a Gọi α số đo góc hợp hai mặt phẳng  ABC   BCCB  , khẳng định sau đúng? A cos α  B cos α  C cos α  D cos α  10 10 Lời giải Gọi M , N trung điểm AC , BC Ta có BM đường cao tam giác cân BAC  AN  BC  AN   BCCB  Ta có   AN  BB A' C' B' Suy hình chiếu tam giác BAC lên  BCCB BNC Diện tích tam giác 1 SBAC  BM.AC  2 SBNC  SBBC  SBBN   a 2 a a     a  2 2 A C M 1 a2 a2  a2   2 N a B a Ta lại có SBNC  SBAC cos   cos    a 67  Chọn đáp án A   BSC   CSA   900 , SA  1, SB  2, SC  x, x  Gọi M, N, P Câu 22: Cho hình chóp S.ABC có ASB trung điểm cạnh AB, BC, CA Tính giá trị x biết hai mặt phẳng (SMN) (SMP) vng góc với A B C D Lời giải Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế - 11 Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GĨC khơng gian Đưa hình chóp vào hệ trục tọa độ (Oxyz) CLB Giáo viên trẻ TP Huế với SA  Oz ,SB  Ox,SC  Oz Ta có tọa độ điểm  1  x   x 1 S  0;0;0  , M  1;0;  , N  1; ;0  ; P  0; ;  2    2    a  2.SM   2; 0;1     nSMN    a1 ; a2     x; 2; x       a2  2.SN   2; x;    a  2.SM   2; 0;1     nSMP    a3 ; a4     x; 2; x       a  SP  0; x ;1       SMN   SMP   nSMN  nSMP    x2   x2   x   Chọn đáp án A Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy 13a Gọi E điểm cạnh CD cho EC  2ED Gọi α số đo góc hợp hai mặt 13 phẳng SBE   ABCD  , khẳng định sau đúng? SA  A cos α  B cos α  C cos α  D cos α  Lời giải Trong  ABCD  kẻ AM  BE M Do SA   ABCD  nên SM  BE   Góc SBE ABCD góc SMA     4a2 a 13 2a  BE  CE2  BC   a2  3 2S a2 3a 1 a2   SABE  AB.BC  , mà SABE  AM.BE  AM  BE a 13 2 13 Xét tam giác SAM vuông A : Ta có CE  SM  SA2  AM  AM 16a2 9a2 5a Vậy cos      13 13 SM 13  Chọn đáp án A Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a Gọi M trung điểm cạnh SC Gọi α số đo góc hợp hai đường thẳng AM SB, khẳng định sau đúng? A cos α  10 B cos α  C cos α  D cos α  15 Lời giải Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế - 12 Chun đề KHOẢNG CÁCH – GĨC khơng gian CLB Giáo viên trẻ TP Huế Gọi N trung điểm BC Ta có SB / / MN   AM ,SB   AM , MN  S Tam giác SAC vng S nên ta có AM  AN  a2  a2 a a  , MN  2 a M Trong tam giác MAO ta có a a 5a   D A   AM  MN  AN  4  cos AMN 2.AM.MN 10 a a B N C a 2  Chọn đáp án A Một số toán giải phương pháp tọa độ Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  2a, AD  3a, SA vuông góc với đáy SA  a Tính cos với  góc hai đường thẳng SB CD A cos   2 B cos   10 C cos   11 D cos   Lời giải Chọn hệ trục hình vẽ Ta có: A  0;0;0  , S  0;0; a  , z D  3a;0;0  , B  0; 2a;0  , C  3a; 2a;0    Ta có: CD   0; 2a;0  ; SB   0; 2a; a    CD.SB Lúc đó: cos      CD SB S a D x 3a A 2a y B C  Chọn đáp án D Câu 26: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên  góc hai đường thẳng SC AD A cos   B cos   C cos   2a Tính cos với D cos   2 Lời giải Gọi O tâm đáy Ta có: SO  SA2  AO2  2a Chọn hệ trục hình vẽ  a a  Ta có: O  0;0;0  , S  0;0; 2a  , A   ; ;  ,  2  a a  a a   a a  B ; ;  , C  ;  ;  , D   ;  ;   2  2  2  z S a D C x O B A y    a a  Ta có: AD   0; a;0  ; SC   ;  ; 2a  2    SC.AD Lúc đó: cos      SC AD D a C O x B A y Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế - 13 Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GĨC khơng gian CLB Giáo viên trẻ TP Huế  Chọn đáp án C   600 , SA vng góc với đáy Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , ABD SA  2a Tính cos , với  góc hai đường thẳng AC SB A cos   15 10 B cos   15 C cos   15 15 D cos   Lời giải Gọi O tâm đáy Do ABCD hình thoi cạnh a ,   600  ABD tam giác cạnh a ABD   3a ; Ta có: AH  AD cos HAD a DH  AD2  AH  Ta có: A  0;0;0  , S  0;0; 2a  ,  3a 3a   3a 3a  B  a;0;  , C  ; ;0  , O ; ;   2   4        3a 3a   ;  ; SB   a; 0; 2a  Ta có: AC   ;  2      AC.SB 15 Ta có: cos      10 AC SB 15 15 z S x B A O a H C y D x C B a O D 30 y H A  Chọn đáp án A Câu 28: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A, AB  a, AA  2a Tính cos , với  góc hai mặt phẳng  ABC   ABC  A cos   B cos   C cos   D cos   Lời giải Chọn hệ trục hình vẽ Ta có: A  0;0;0  , A  0;0; 2a  , B  0; a;0  , C  a;0;  , B  0; a; 2a  , C  a;0; 2a    Ta có: AB   0; a; 2a  ; AC   a;0; 2a      AB, AC  2a2 ; 2a2 ; a2   Mặt phẳng  ABC có      n1   AB, AC  2a2 ; 2a2 ; a2    z A B   C 2a vectơ pháp tuyến  x a C' A' a B' y   n1 n2   Mặt phẳng  ABC  có vectơ pháp tuyến n2  AA   0;0; 2a  Suy ra: cos      n1 n2  Chọn đáp án C   600 , SA vng góc với đáy Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , ABD SA  2a Tính sin  , với  góc hai đường thẳng AD SC A sin   15 10 B sin   Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 133 14 C sin   133 28 D sin   Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế 15 20 - 14 Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GĨC khơng gian CLB Giáo viên trẻ TP Huế Lời giải Gọi O tâm đáy Do ABCD hình thoi cạnh a ,   600  ABD tam giác cạnh a ABD z S   3a ; Ta có: AH  AD cos HAD a DH  AD2  AH  Ta có: A  0;0;0  , S  0;0; 2a  , B  a;0;  ,  3a 3a   3a 3a  C ; ;0  , O ; ;   2   4        a 3a    3a 3a  ;  ; SC   ; ; 2 a  Ta có: AD   ; 2   2        AD.SC Ta có: cos      14 AD SC  sin    cos2   x B A O a H C y D x C B a O D 30 y H A 133 (do    900 ) 14  Chọn đáp án B   600 , SA vng góc với đáy Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , ABD SA  2a Tính cos , với  góc hai mặt phẳng SBC  SDC  A cos   19 B cos   10 19 C cos   15 15 D cos   Lời giải Gọi O tâm đáy Do ABCD hình thoi cạnh a ,   600  ABD tam giác cạnh a ABD z S   3a ; DH  AD2  AH  a Ta có: AH  AD cos HAD 2 Ta có: A  0;0;0  , S  0;0; 2a  ,  3a 3a   3a 3a  B  a;0;  , C  ; ;0  , O ; ;   2   4        3a 3a   ; 2a  ; SB   a; 0; 2a  Ta có: SC   ;  2       3a   SB, SC    3a2 ; a2 ;       Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 15 15 B A O H x a C y D x C B a O D 30 A y H Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế - 15 Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GĨC khơng gian CLB Giáo viên trẻ TP Huế   a 3a       3a 3a  3a  ; 2a  ; SC   ; ; 2a   SD , SC    0; 2a2 ;  Ta có: SD   ;  Mặt phẳng SBC  có    2   2              3a  vectơ pháp tuyến n1  SB, SC    3a2 ; a ;  Mặt phẳng SDC  có vectơ pháp tuyến        n1 n2       3a  n2  SD , SC   0; 2a ;   Suy ra: cos           n1 n2 19   Chọn đáp án A III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUẬN Câu 31: Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD tam giác cạnh 4, đường thẳng AB vng góc với mặt phẳng  BCD  AB  Gọi M , N trung điểm cạnh BC , CD, tính số đo góc hợp hai đường thẳng AM BN A 450 B 300 C 600 D 900   600 Mặt bên SAB tam giác cân Câu 32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi ABC đỉnh S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tính số đo góc hai đường thẳng AM CD A 900 B 600 C 300 D 450   600 , cạnh bên SA vuông Câu 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 6a, BAD góc với đáy SA  3a Tính số đo góc hai mặt phẳng SBC  SCD  A 900 B 600 C 300 D 450 Câu 34: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a Hình chiếu vng góc A mặt phẳng  ABC  trung điểm H AB Gọi M , N trung điểm AA, BC Biết AH  2a α số đo góc đường thẳng MN mặt phẳng  ACH  , khẳng định sau đúng? 77 22 5 B cos α  C cos α  D cos α  11 11 5 Câu 35: Cho hình lập phương ABCD.ABCD Gọi M N trung điểm BC CD Tính số đo góc hai đường thẳng AM BN A 900 B 600 C 300 D 450   600 , mặt bên SAB tam giác Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, ABC A cos α  nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi α góc đường thẳng SB mặt phẳng SCD  , tính cos α 10 B C D 4 Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC  a Xét góc α thay đổi số đo góc A đường thẳng SB mặt phẳng đáy Tính cosα cho thể tích hình chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ A cos α  B cos α  Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… C cos α  D cos α  Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế - 16 Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GĨC khơng gian CLB Giáo viên trẻ TP Huế Câu 38: Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a Xét M , N hai điểm thay đổi cạnh BD , BA cho BM  BN Gọi M , N góc tạo đường thẳng MN đường thẳng BD, BA Tính giá trị biểu thức P  cos2 α  cos2 β B C D 2 Câu 39: Cho hình hộp ABCD.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  1, AD  2, hình chiếu vng góc A điểm A mặt phẳng  ABCD  trung điểm H AD Biết AA hợp với đáy góc 600 Gọi α số đo góc hợp hai đường thẳng AC , BD, khẳng định sau đúng? A cos α  5 10 C cos α  D cos α  10   CAD   DAB   900 , AB  1, AC  2, AD  Gọi α số đo góc Câu 40: Cho tứ diện ABCD có BAC B cos α  hợp hai mặt phẳng  ABC   BCD  , khẳng định sau đúng? A cos α  B cos α  13 13 C cos α  D cos α  AB Câu 41: Cho tứ diện ABCD có CD  Gọi M , N trung điểm cạnh AC , BD Biết   8MN  5AB, tính góc hai vectơ AB CD A 900 B 450 C 600 D 1200 Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  1, AD  2, cạnh bên SA vng góc với đáy SA  Gọi α số đo góc hợp đường thẳng SB mặt phẳng SAC  , khẳng định sau đúng? 30 30 15 15 B sin α  C sin α  D sin α  15 6 Câu 43: Cho tứ diện ABCD có AB, AC , AD đơi vng góc với AB  AC  AD  Gọi   M , N trung điểm AB BC , α góc hai vectơ CM DN , khẳng định sau A sin α  đúng? 30 30 30 30 B cos α  C cos α   D cos α  15 15 30 30 Câu 44: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy tam giác cạnh 2, cạnh bên Tính góc hai mặt phẳng  ABC   ABC  A cos α   A 600 B 900 C 300 D 450 Câu 45: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh AD, BC Biết AB  CD  2, MN  , tính góc hai mặt phẳng  ABC   ABC  A 600 B 300 C 450 D 900 Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  1, AD  2, cạnh bên SA vng góc với đáy SA  Gọi α số đo góc hai mặt phẳng SAB  SBD  , khẳng định sau đúng? Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế - 17 Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GĨC khơng gian CLB Giáo viên trẻ TP Huế 145 29 B cos α  C cos α  D cos α  29 25 Câu 47: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, AB  1, BC  , mặt bên SAC tam A cos α  giácđều nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi α số đo góc hai mặt phẳng SAB  ABC  , khẳng định sau đúng? D tan α   Câu 48: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, ABC  60 , mặt bên SAB tam giácđều A tan α  B tan α  C tan α  nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi α số đo góc hai mặt phẳng SBC  SCD  , khẳng định sau đúng? A cos α  10 B cos α  Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… C cos α  D cos α  Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế - 18 ... CÁCH – GĨC khơng gian CLB Giáo viên trẻ TP Huế Gọi N trung điểm BC Ta có SB / / MN   AM ,SB   AM , MN  S Tam giác SAC vng S nên ta có AM  AN  a2  a2 a a  , MN  2 a M Trong tam giác... viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế -2 Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GÓC không gian CLB Giáo viên trẻ TP Huế II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA Một số toán giải phương pháp hình... BÁ BẢO…0935.785.115… D A Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế C B -3 Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GĨC khơng gian CLB Giáo viên trẻ TP Huế Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a,