GTLN _GTNN *phương pháp 1: Phương pháp dựa vào lũy thừa bậc chẵn. Biến đổi hàm số f(x) sao cho: * y = M – [g(x)] 2n , n ∈ Z + ⇒ y ≤ M Do đó y min = M ⇔ g(x) = 0 * y = m + [h(x)] 2n , n ∈ Z + ⇒ y ≥ M Do đó y max = m ⇔ h(x) = 0 Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) Bài 2: Tìm max và min của biểu thức S = x 6 + y 6 biết x 2 + y 2 = 1 Bài 3: Tìm min của biểu thức A =2x 2 + 2xy + y 2 – 2x + 2y + 1 * Phương pháp 2: Dựa vào tập giá trị của hàm Bài 4: Tìm max và min của biểu thức 1 13 2 2 + ++ x xx Giải: Đặt y = 2 2 x 3x 1 x 1 + + + . Hàm số xác định với mọi x. (Vì x 2 + 1 0 x≠ ∀ ) Gọi y 0 là một giá trị của hàm. Thì: Phương trình y 0 = 2 2 x 3x 1 x 1 + + + có nghiệm. y 0 . (x 2 + 1) = x 2 + 3x + 1 có nghiệm. (y 0 - 1).x 2 - 6x + y 0 - 1 = 0 có nghiệm. Nếu y 0 = 1 thì x = 0 thích hợp. Nếu y 0 ≠ 1; 2 0 ' 9 (y 1) 0∆ = − − ≥ 2 0 (y 1) 9− ≤ 0 y 1 3− ≤ 0 3 y 1 3− ≤ − ≤ Vậy: y min = - 2 và y max = 4. Khi ……… * Phương pháp 3: Dựa vào bất đẳng thức Bunhiacốpski Bài 5: CMR (ac + bd) 2 ≤ (a 2 + b 2 )( c 2 + d 2 )( Đẳng thức Bunhiacốpski) Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y = 26 ++− xx Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y = 3x(3 – 2x) * Phương pháp 4: Dựa vào bất đẳng thức Côsi: * Ghi nhớ: Ta có: a + b ab≥ (Với a, b là hai số không âm). Dấu bằng xãy ra khi a = b a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n n n aaaa . 321 ≥ (với: a 1 ; a 2 ; a 3 ; . . .; a n không âm). Dấu bằng xãy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = . . . = a n Vậy: • Nếu a.b = k (không đổi) thì: Min(a + b) = 2 k (khi và chỉ khi a = b). • Nếu a + b = k (không đổi) thì: Max(a.b) = 4 2 k (khi và chỉ khi a = b). • Kết quả trên còn được mở rộng với n số không âm. Bài 8: Cho x > 0; y> 0 thỏa mãn đẳng thức 2 111 =+ yx . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = yx + . Hướng dẫn: Vì: x > 0; y > 0 nên 0;0;0 1 ;0 1 >>>> yx yx . VẬn dụng bất đẳng thức Cosi đối với 2 số dương yx 1 ; 1 . ta có: +≤ yxyx 11 2 11 . 1 . Suy ra: 4 4 11 ≥⇒≤ xy xy Vận dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương yx; ta được: A = 4422 =≥≥+ yxyx (Dấu “=” xãy ra ⇔ x = y = 4 ). Vậy: MinA = 4 (khi và chỉ khi x = y = 4). * Lưu ý phương pháp giải: Trong bất đẳng thức trên ta đã vận dụng bất đẳng thức Cosi theo hai chiều ngược nhau. Lần thứ nhất ta “làm trội” yx 1 . 1 bằng cách vận dụng 2 ba ab + ≤ để vận dụng giả thiết 2 111 =+ yx , từ đó được 4≥xy . Lần thứ hai ta “làm giảm” tổng ( yx + ) bằng cách vận dụng bất đẩng thức Cô_si theo chiều a + b ab2≥ để dùng kết quả 4≥xy . Biện pháp 1: Đôi khi để tìm cực trị của một biểu thức ta cần phải tìm cực trị của bình phương của biểu thức đó. Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = xx 3753 −+− . Giải. Cách 1: Biểu thức A được cho dưới dạng tổng của hai căn thức . Hai biểu thức lấy căn có tổng không đổi là 2. Vì vậy nếu bình phương biểu thức A thì ta có được hạng tử cộng là hai lần tích của hai căn thức. Đến đây có thể vậm dụng bất đẳng thức Cô_si. ĐKXĐ: 3 7 3 5 ≤≤ x . A 2 = (3x – 5) + (7 – 3x) + 2 )7).(53( xx −− = 2 + 2 )37).(53( xx −− A 2 ≤ 2 + (3x – 5) + (7 – 3x) = 4( Dấu “=” xãy ra ⇔ 3x – 5 = 7 – 3x ⇔ x = 2). Vậy: maxA 2 = 4 ⇒ maxA = 2( khi và chỉ khi x =2). Cách 2: Theo BĐT Bunhiacopski ta có: ( ) 2 2 2 2 2 ab cd (a c )(b d )+ ≤ + + . Dấu “=” xãy ra khi ad = bc. ĐKXĐ: 3 7 3 5 ≤≤ x . Ta có: A = ( ) ( ) 2 2 2 2 1. 3x 5 1. 7 3x 1 1 3x 5 7 3x 2− + − ≤ + − + − = ⇒ maxA = 2. Khi: 3x 5 7 3x x 2− = − ⇔ = Biện pháp 2: Nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác không. * Phương pháp 3: Bài 1: a) CMR: a 0, b 0, thì : a b a b∀ ≥ ≥ + ≤ + . Dấu “=” xãy ra khi nào? b) CMR: a 0, b 0 và a b. Thì : a b a b∀ ≥ ≥ ≥ − ≥ − . Dấu “=” xãy ra khi nào? Áp dụng: 1. Tìm GTNN của biểu thức: A = xx 3753 −+− . Điều kiện xác định của biểu thức A là: 3 7 3 5 ≤≤ x Ta có: A = 3x 5 7 3x 3x 5 7 3x 2− + − ≥ − + − = . Dấu “=” xãy ra. Khi 3x - 5 = 0 Hoặc 7 - 3x = 0 5 x 3 ⇔ = hoặc 7 x 3 = Vậy: A max = 2 5 x 3 ⇔ = hoặc 7 x 3 = 2. Tìm GTLN của biểu thức: B 3x 5 3x 7= − − − Điều kiện xác định của biểu thức B là: 7 x 3 ≥ Ta có: B = 3x 5 3x 7 3x 5 7 3x 2− − − ≤ − + − = Dấu “=” xãy ra. Khi 3x - 5 = 3x - 7(vô lí) Hoặc 3x - 7 = 0 <=> 7 x 3 = Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x x 5 9− Bài 2: Tìm GTNN của biểu thức: a) A = x 2 x 3− − b) ( ) 2 2 B (x 2007) x 1= − + − c) 2 2 2 2 C x 2y 6x 4y 11 x 3y 2x 6y 4= + − + + + + + + + Bài 3: Tìm GTLN của biểu thức: a) D x 2 x= + − b) 2 E 2 x x= − − c) 2 F 1 6x x 7= + − − Bài 4: Cho x, y dương, a) CMR: 1 1 4 x y x y + ≥ + . Dấu “=” trong BĐT xãy ra khi nào? b) Áp dụng: Cho tam giác ABC có 3 cạnh là a, b, c và chu vi 2p = a + b + c Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c + + ≥ + + ÷ − − − c) Dấu “=” trong BDDT trên xãy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì? . nghiệm. Nếu y 0 = 1 thì x = 0 thích hợp. Nếu y 0 ≠ 1; 2 0 ' 9 (y 1) 0∆ = − − ≥ 2 0 (y 1) 9 ≤ 0 y 1 3− ≤ 0 3 y 1 3− ≤ − ≤ Vậy: y min = - 2 và y max. một biểu thức ta cần phải tìm cực trị của bình phương của biểu thức đó. Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = xx 3753 −+− . Giải. Cách 1: Biểu