Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Giải toán trên máy tính CầM TAY Đề thi chính thức Khối 12 BTTHPT - Năm học 2008-2009 Thi gian lam bai: 150 phỳt Ngy thi: 17/12/2008 - thi gm 5 trang Điểm toàn bài thi Các giám khảo (Họ, tên và chữ ký) Số phách (Do Chủ tịch Hội đồng thi ghi) Bằng số Bằng chữ GK1 GK2 Qui nh: Hc sinh trỡnh by vn tt cỏch gii, cụng thc ỏp dng, kt qu tớnh toỏn vo ụ trng lin k bi toỏn. Cỏc kt qu tớnh gn ỳng, nu khụng cú ch nh c th, c ngm nh chớnh xỏc ti 4 ch s phn thp phõn sau du phy Bi 1 (5 im). Tớnh gn ỳng nghim (, phỳt, giõy) ca phng trỡnh 2 2sin 2 5cos 3.x x+ = Túm tt cỏch gii: Kt qu: Bi 2 (5 im). Tớnh gn ỳng giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s: ( ) 5 2 3 4f x x x= ++ . Túm tt cỏch gii: Kt qu: MTCT12BTTHPT - Trang 1 Bài 3: (5 điểm) Đồ thị của hàm số 2 a 2 x bx c y x d ++ = + đi qua các điểm A(1; 3), B(2; −4), C(3; 5), D(4; 7). Tính giá trị của , , ,a b c d và tính gần đúng giá trị của ,m n để đường thẳng y mx n= + là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm trên đồ thị có hoành độ bằng 0 2x = − . Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 4 (5 điểm). Cho tam giác ABC có các đỉnh ( 5; 2), (1; 2), (6; 7)A B C− − . a) Tính diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. b) Tính gần đúng (độ, phút, giây) các góc của tam giác ABC. Tóm tắt cách giải: Kết quả: MTCT12BTTHPT - Trang 2 Bài 5 (5 điểm). Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình 2 9 5 3 2 0 2 2log 3 x x y x − × + = − = Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 6 (5 điểm). Tính giá trị của a , b và c nếu đường tròn 2 2 0x y ax by c+ +++ = đi qua 3 điểm ( ) ( ) 3; 4 , 6; 5 , (5; 7)A B C− − . Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua điểm ( ) 5; 4M − Tóm tắt cách giải: Kết quả: MTCT12BTTHPT - Trang 3 Bài 7 (5 điểm). Tính gần đúng diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp S.ABCD biết rằng đáy ABCD là hình chữ nhật có các cạnh AB = 8 dm và AD = 7 dm, cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc · 0 52SCA = . Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 8 (5 điểm). Gọi 1 x và 2 x là hai nghiệm của phương trình 2 8 5 0x x− − = . Xét dãy số: ( ) 1 2 1 2 5 n n n n n u x x x x n= + − ∈ N . Tính giá trị của 5 8 9 10 11 , , , ,u u u u u Tóm tắt cách giải: Kết quả: MTCT12BTTHPT - Trang 4 Bài 9 (5 điểm). Tính gần đúng các nghiệm của phương trình: 4 2 2 3 4 3 3 3 3 0x x x− +++ = . Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 10 (5 điểm). Tính gần đúng tọa độ hai giao điểm của đường tròn có phương trình 2 2 10 5 30 0x y x y+ + − − = và đường thẳng đi qua hai điểm ( ) ( ) 4; 6 , 5; 2A B− − . Tóm tắt cách giải: Kết quả: Hết MTCT12BTTHPT - Trang 5 Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Giải toán trên máy tính CầM TAY Đề thi chính thức Khối 12 BTTHPT - Năm học 2008-2009 P N V THANG IM Bi 1: ( ) 2 5 1 os2x 2sin 2 5cos 3 2sin 2 3 2 c x x x ++ = + = 4 5 1 4sin 2 5 os2x 1 sin 2 os2x 41 41 41 x c x c + = + = cos2 os sin 2 sin cosxc x + = vi 5 1 cos ; cos 41 41 = = ( ) 0 os 2 cos 180 2 c x x k = = + 0 0 0 0 1 2 59 50'15" 180 ; 21 10'40" 180x k x k ++ Bi 2: ( ) 5 2 3 4f x x x= ++ cú tp xỏc nh l: 4 5 ; 3 2 D = 1 3 3 5 2 2 3 4 '( ) 5 2 2 3 4 2 3 4 5 2 x x f x x x x x + = + = ++ 29 '( ) 0 3 5 2 2 3 4 30 29 30 f x x x x x= = + = = Dựng chc nng CALC tớnh: 29 5 4 4.377975179; 3.391164992; 2.768874621 30 2 3 f f f ữ ữ ữ . Vy: 4 5 4 5 ; ; 3 2 3 2 29 4 ( ) 4.377975179; inf( ) 2.768874621 30 3 Max f x f M x f = = ữ ữ . Bi 3: Thay ta cỏc im ln lt vo biu thc hm s v bin i ta c h phng trỡnh: 3 6 4 2 4 16 9 3 5 30 16 4 7 56 a b c d a b c d a b c d a b c d ++ = +++ = ++ = ++ = Gii h ta c: 78 124 80 88 ; ; ; 23 23 23 23 a b c d= = = = Biu thc hm s l: 2 78 124 80 46 88 x x y x = MTCT12BTTHPT - Trang 6 Dùng chức năng CALC tính được 0 8 ( 2) 3 y y= − = − . Tính đạo hàm của hàm số tại điểm 0 2x = − ta được 1.7407m ≈ Tiếp tuyến đi qua điểm 0 8 2; 3 M − − ÷ nên 8 2 0.8147 3 n m= − + ≈ . Bài 4: ( 5; 2), (1; 2), (6; 7)A B C− − a) ( ) ( ) ( ) 6; 4 , 11; 5 , 5; 9AB AC BC= − = = uuur uuur uuur 2 13; 146; 106AB AC BC⇒ = = = Ta có diện tích tam giác ABC là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 sin , os , 2 4 S AB AC AB AC S AB AC AB AC c AB AC = ⇒ = × − ÷ uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur . ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 6 4 11 5 6 11 4 5 2 2 S AB AC AB AC ⇒ = × − × = ++ − × − × uuur uuur Bấm máy ta được 37S = (đvdt) Ta có công thức: 2 13 146 106 6.0613 ( ) 4 4 4 37 abc abc S R cm R S × × = ⇒ = = ≈ × Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: 6.0613 ( )R cm≈ b) Đặt , ,a BC b AC c AB= = = , ta có: µ 2 2 2 2 2 2 -1 0 cos cos 58 8'2" 2 2 b c a b c a A A bc bc + − + − = ⇒ = ≈ ÷ Tương tự: µ 0 85 21'52"B ≈ và 0 36 30'5"C ≈ Bài 5: 2 9 5 3 2 0 (1) 2 2log 3 (2) x x y x − × + = − = Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm là: 0x > Đặt 3 0 x u = > phương trình (1) trở thành: 2 5 2 0u u− + = Giải phương trình ta được: 1 2 4.561552813; 0.4384471872u u≈ ≈ Suy ra: 1 3 1 2 3 2 log 1.381436482; log 0.750506728x u x u= ≈ = ≈ − (loại) Thay x 1 vào phương trình (2): 2 1 2 3 2log 3.932338458 y x= + ≈ Suy ra: ( ) 2 2 1 log 3 2log 1.9753875y x= + ≈ Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất: ( ) ( ; ) 1.3814; 1.9754x y ≈ Bài 6: Tính giá trị của a , b và c nếu đường tròn 2 2 0x y ax by c+ +++ = đi qua 3 điểm ( ) ( ) 3; 4 , 6; 5 , (5; 7)A B C− − . Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua điểm ( ) 5; 4M − Ta có hệ phương trình: MTCT12BTTHPT - Trang 7 3 4 25 6 5 61 5 7 74 a b c a b c a b c − ++ = − − + = − ++ = − Giải hệ phương trình ta được: 61 17 390 ; ; 11 11 11 a b c= − = − = − . Vậy phương trình đường tròn là: 2 2 61 17 390 0 11 11 11 x y x y+ − − − = Tâm đường tròn là: 61 17 ; 22 22 I ÷ và bán kính của đường tròn: 2 2 61 17 390 10585 22 22 11 242 R = ++ = ÷ ÷ Đường thẳng :d y ax b= + đi qua điểm M(-5; 4) nên 4 5b a = + , phương trình của đường thẳng d trở thành: 5 4 0ax y a− ++ = Để d là tiếp tuyến của đường tròn (C) thì: ( ) 2 2 61 17 5 4 10585 22 22 ,( ) 5 171 71 22 1 242 1 a a d I d R a a a − ++ = ⇔ = ⇔ + = ++ ( ) ( ) 2 2 2 171 71 21170 1 8071 24282 16129 0a a a a⇔ + = + ⇔ + − = Bấm máy giải phương trình bậc hai theo a ta được: 1 2 3.568549559; 0.5600004322a a≈ − ≈ , suy ra: 1 2 13.8427; 6.8b b≈ − ≈ . Vậy: 1 2 1 2 3.5685 0.56 ; 13.8427 6.8 a a b b ≈ − − ≈ ≈ − ≈ Bài 7: Ta có: 0 2 2 0 tan52 8 7 tan 52 13.60596618h SA AC= = = + ≈ SHIFT STO A Theo định lí 3 đường vuông góc, ta có: tam giác SBC vuông tại B vat tam giác SDC vuông tại C. ( ) 2 2 2 2 1 7 8 7 8 8 7 7 8 274.4916 2 tp S h h h h= × ++++++ ≈ (đvdt) Thể tích của hình chóp: 1 ( ) 253.9780 3 V dt ABCD h= × ≈ (đvtt) Bài 8: ( ) 1 2 1 2 5 n n n n n u x x x x n= + − ∈ N Ta có hai nghiệm của phương trình 2 8 5 0x x− − = là 1 2 4 21; 4 21x x= − = + 5 8 9 10 62193 ; 27487101 ; 262438593 ; 2119756749 ;u u u u= = = = 11 18856184457u = MTCT12BTTHPT - Trang 8 Bài 9: Dùng chức năng SOLVE với giá trị đầu của X = 1, ta tìm được một nghiệm của phương trình là 1 0.708709924x ≈ − . Giá trị này được lưu trong biến nhớ X. Dùng sơ đồ Hooc-ne để chia đa thức bậc 4 2 2 3 4 3 3 3 3x x x− +++ cho ( ) 1 x x− ta được các hệ số của đa thức thương chia hết là: 2 3 SHIFT STO A ALPHA B ALPHA = ALPHA A ALPHA X ALPHA C ALPHA = ALPHA B ALPHA X - 4 3 ALPHA D ALPHA = ALPHA C ALPHA X + 3 Dùng chức năng giải phương trình bậc ba với các hệ số là các biến nhớ A, B, C, D, ta tìm được thêm một nghiệm thực nữa là 2 1.38268577x ≈ − , hai nghiệm còn lại là nghiệm ảo. Bài 10: Phương trình đường thẳng qua hai điểm A và B là: 8 22 9 9 y x= − + Tọa độ giao điểm của đường tròn và đường thẳng AB là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 2 8 22 10 5 30 0 9 9 8 22 145 818 2936 0 9 9 x y x y y x y x x x ++ − − = = − + ⇔ = − + + − = Giải hệ phương trình ta được hai giao điểm của đường thẳng và đường tròn có tọa độ gần đúng là: ( ) ( ) 2.4901; 0.2310 , 8.1315; 9.6724M N − . MTCT12BTTHPT - Trang 9 . d + + = + + + = + + = + + = Gii h ta c: 78 124 80 88 ; ; ; 23 23 23 23 a b c d= = = = Biu thc hm s l: 2 78 124 80 46 88 x x y x = MTCT12BTTHPT. 71 22 1 242 1 a a d I d R a a a − + + = ⇔ = ⇔ + = + + ( ) ( ) 2 2 2 171 71 21170 1 8071 24282 1 6129 0a a a a⇔ + = + ⇔ + − = Bấm máy giải phương trình bậc