PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 1 trang) KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2009-2010 Ngày thi : 03 tháng 2 năm 2010 Môn thi : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1 : (1,5đ) Phân tích thành nhân tử : x 3 – 19x -30 Câu 2 : (1,5đ) Chứng minh : n 3 - n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n . Câu 3 : (1,5đ) cho ABC ∆ vuông tại B,BH ⊥ AC (H ∈ AC),M là trung điểm của BH .Gọi K là điểm đối xứng của C qua B Chứng minh rằng: AM ⊥ KH. Câu 4 : (1,5đ) Cho ABC∆ vuông tại A. Chứng minh : · 2 ABC AC tg AB BC = + Câu 5 : (1,5đ) Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ay bx a b x y ax by − = + + − + Câu 6 : (2đ) Chứng minh rằng : nếu abc = 1 thì 1 1 1 1 a b c ab a bc b ca c + + = + + + + + + Câu 7 : (2đ) Cho (O;R) và (O’;r) ,(R > r) ngoài nhau .Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB. ( ( ) ( ) ; , ',A O R B O r∈ ∈ ).Chứng minh rằng : 2AB Rr> Câu 8 : (1,5đ) Chứng minh rằng 9n + 2 và 12n + 3 ( n N∈ ) là hai số nguyên tố cùng nhau. Câu 9 : (1,5đ) Rút gọn biểu thức P = 5 3 29 12 5− − − Câu 10 : (2đ) Chứng minh rằng số có dạng n 6 – n 4 + 2n 3 + 2n 2 với n ∈ N và n>1 không phải là số chính phương. Câu 11 : (2đ ) Cho ABC∆ ( AB AC≠ ).vẽ phân giác AD ( D BC∈ ).Ở miền ngoài tam giác vẽ tia Cx sao cho · · BCx BAD= và tia Cx cắt tia AD tại I. Chứng minh : AI.AD.DC = AC 2 .DB Câu 12 : (1,5đ) Tìm số tự nhiên a biết a + 15 và a – 74 là các số chính phương. ----------- HẾT ---------- HỌ VÀ TÊN THÍ SINH : .Số báo danh Chữ ký giám thị 1 : . Chữ ký giám thị 2 . PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2009-2010 Ngày thi : 03 tháng 2 năm 2010 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn : TOÁN Câu 1 : (1,5đ) Phân tích thành nhân tử : x 3 – 19x -30 x 3 – 19x -30 = x 3 – 9x –10x –30 = x(x 2 – 9) – 10(x+3) = x(x-3)(x+3)-10(x+3) 0,75đ =(x+3)(x 2 –3x-10) = (x+3)(x+2)(x–5) 0,75đ Câu 2 : (1,5đ) Chứng minh : n 3 - n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n . A= n 3 - n = (n–1)n(n+1) 0,5đ Chứng minh A M 2 và A M 3 0,5đ => A M 6 0,5đ Câu 3 : (1,5đ) Cho ABC∆ vuông tại B,BH ⊥ AC (H ∈ AC),M là trung điểm của BH .Gọi K là điểm đối xứng của C qua B Chứng minh rằng: AM ⊥ KH. Gọi N là trung điểm của HC,chứng minh MN ⊥ AB 0,5đ Chứng minh M là trực tâm ABN∆ =>AM ⊥ BN 0,5đ Chứng minh KH//BN=>AM ⊥ KH 0,5đ Câu 4 : (1,5đ) Cho ABC ∆ vuông tại A. Chứng minh : · 2 ABC AC tg AB BC = + Vẽ phân giác BD => AD AB AD CD CD BC AB BC = ⇒ = 0,5đ => AD AD CD AC AB AB BC AB BC + = = + + (1) 0,5đ · · 2 ABC AD tg tg ABD AB = = (2) Từ(1) (2) => · 2 ABC AC tg AB BC = + 0,5đ N M K H B A C D A C B Câu 5 : (1,5đ) Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ay bx a b x y ax by − = + + − + Vế phải : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b x y ax by a x a y b x b y a x abxy b y + + − + = + + + − − − 0,75đ 0,75đ0,75 Câu 6 : (2đ) Chứng minh rằng : nếu abc = 1 thì 1 1 1 1 a b c ab a bc b ca c + + = + + + + + + Ta có: abc = 1=> 1 a bc = 0,5đ => 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c b c bc ab a bc b ca c bc b b c c bc bc bc + + = + + + + + + + + + + + + + + 0,5đ 1 1 1 1 1 1 1 b c bc bc b c c bc b = + + + + + + + + 1 1 1 1 b c bc b bc bc b bc b bc b = + + + + + + + + 0,5đ 1 1 1 1 b bc bc b bc b bc b = + + + + + + + + = 1 1 1 b bc bc b + + = + + 0,5đ Câu 7 : (2đ) Cho (O;R) và (O’;r) (R>r) ngoài nhau .Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB. ( ( ) ( ) ; , ',A O R B O r∈ ∈ ).Chứng minh rằng : 2AB Rr> Vẽ O’C//AB =>ABO’C là hình chữ nhật => AB = O’C 0,5đ => 2 2 ' 'O C OO OC= − => ( ) 2 2 ' 'O C OO R r= − − => ( ) 2 2 'AB OO R r= − − 0,5đ OO’> R+r => OO’ 2 >(R+r) 2 => ( ) ( ) 2 2 AB R r R r> + − − 0,5đ => 4 2AB Rr AB Rr> ⇔ > 0,5đ Câu 8 : (1,5đ) Chứng minh rằng 9n + 2 và 12n + 3 ( n N∈ ) là hai số nguyên tố cùng nhau. Gọi d là ước chung lớn nhất của 9n + 2 và 12n + 3 ; d N∈ => (9n 2) d (36n 8) d (12n 3) d (36n 9) d + + ⇒ + + M M M M 0,5đ 0,5đ => 9n + 2 và 12n + 3 ( n N ∈ ) là hai số nguyên tố cùng nhau 0,5đ B A C O O' ( ) ( ) 36 9 36 8 1 1n n d d d ⇒ + − + ⇒ ⇔ = M M ( ) 2 2 2 2 2 2a y b x abxy ay bx = + − = − Câu 9 : (1,5đ) Rút gọn biểu thức P = 5 3 29 12 5− − − ( ) 2 29 12 5 2 5 3− = − 5 3 2 5 3 5 6 2 5P⇒ = − − + = − − 0,75đ ( ) 2 6 2 5 5 1− = − 5 5 1P⇒ = − + 0,5đ ⇒ P = 1 0,25đ Câu 10 : (2đ) Chứng minh rằng số có dạng n 6 – n 4 + 2n 3 + 2n 2 với n ∈ N và n>1 khơng phải là số chính phương. n 6 – n 4 + 2n 3 +2n 2 = n 2 .( n 4 – n 2 + 2n +2 ) = n 2 .[ n 2 (n-1)(n+1) + 2(n+1) ] 0,5đ = n 2 [ (n+1)(n 3 – n 2 + 2) ] = n 2 (n+1).[ (n 3 +1) – (n 2 -1) ] = n 2 ( n+1 ) 2 .( n 2 –2n+2) 0,5đ Với n ∈ N, n >1 thì n 2 -2n+2 = (n - 1) 2 + 1 > ( n – 1 ) 2 và n 2 – 2n + 2 = n 2 – 2(n - 1) < n 2 Vậy ( n – 1) 2 < n 2 – 2n + 2 < n 2 ⇒ n 2 – 2n + 2 khơng phải là một số chính phương. 0,75đ => n 6 – n 4 + 2n 3 + 2n 2 với n ∈ N và n>1 khơng phải là số chính phương. 0,25đ Câu 11 : (2đ ) Cho ABC ∆ ( AB AC ≠ ).vẽ phân giác AD ( D BC ∈ ).Ở miền ngồi tam giác vẽ tia Cx sao cho · · BCx BAD= và tia Cx cắt tia AD tại I. Chứng minh : AI.AD.DC = AC 2 .DB AC AB DC DB = (doAD là phân giác cuả Â) ⇒ DB.AC = AB.DC (1) 0,75đ Chứng minh ∆ ADB ~ ∆ ACI ⇒ AI AB AC AD = ⇒ AD.AI = AB.AC (2) 0,75đ chia từng vế cuả (2) cho(1)ta được: DCAB ACAB ACDB AIAD . . . . = ⇒ AD.AI.DC =AC 2 .DB 0,5đ Câu 12 : (1,5đ) Tìm số tự nhiên a biết a + 15 và a – 74 là các số chính phương. Vì a + 15 và a – 74 là các số chính phương Đặt a + 15 = 2 m , a – 74 = 2 n với m, n ∈ N. 0,25đ ⇒ m 2 – n 2 = 89 ⇔ (m – n)(m + n) = 89 0,25đ Vì 89 là số ngun tố và m – n < m + n nên m n 1 m n 89 − = + = ⇔ m 45 n 44 = = 0,75đ a +15 = 45 2 ⇒ a = 2010 0,25đ ----------- HẾT ---------- Chú ý: Nếu HS giải đúng bằng cách khác thì giám khảo phân bước tương ứng để cho điểm. D I A B C . ĐÀ LẠT ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 1 trang) KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2009-2010 Ngày thi : 03 tháng 2 năm 2010 Môn thi : TOÁN Thời gian làm. . PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2009-2010 Ngày thi : 03 tháng 2 năm 2010 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH
