Kẻ đường thẳng ∆ vuông góc với AB tại H và đường tròn C nhận AB làm đường kính... Tìm tập hợp tâm các đường tròn tiếp xúc với Ox và tiếp xúc ngoài với đường tròn C... Câu 4 5 điểm: Cho
Trang 1SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 1995-1996
Môn thi: Toán 12 (vòng1) Ngày thi:23-12-1995 Thời gian làm bài:180 phút
Bài I
Xét đường cong:
3 2
y mx= −nx −mx n+ (C)
Tìm các cặp số (m; n) sao cho trong các giao điểm của (C) với trục hoành có hai giao điểm cách nhau 1995 đơn vị và khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến trục hoành là 2000 đơn vị
Bài II
Với những giá trị nào của m thì trong khoảng 0;
2
π
ta luôn có:
Bài III
Cho hai dãy số ( )a và n ( )b trong đó với mọi i = 1, 2, 3… ta luôn có: n
3 1
4
i
a
a+ = −a và b i = a i
Chứng minh rằng: có ít nhất một giá trị của a sao cho dãy i ( )b có giới hạn khác 0 n
Bài IV
Cho hình Elíp x22 y22 1
a +b = với tâm O và các tiêu điểm F F Qua O, 1, 2 F vẽ các đường1
song song MOM', MF1N' Tính tỉ số:
1 1
'
OM OM
F N F N
Trang 2Năm học 1996-1997
Môn thi: Toán 12 (vòng1) Ngày thi:21-12-1996 Thời gian làm bài:180 phút
Bài I
Cho dãy ( )x xác định bởi điều kiện: n
x1 = a ; 1 2 3
4
x + −x + =x ; ( n = 1; 2; 3…)
Tìm giá trị của a sao cho: x1996 = x1997
Bài II
Hàm số f(x) được xác định bằng hệ thức:
2 (1 ) 2 ( ) sin
f − +x f x = x
Chứng minh rằng: sinf(x) 2
2 p
Bài III
Cho phương trình:
os2x+ m+3 os2 =8sin 2 os 2 sin +m+4
Hãy xác định giá trị của m sao cho với mọi giá trị của α thì phương trình có nghiệm
Bài IV
Trên mặt phẳng toạ độ vuông góc Oxy, cho các điểm A(-1; 0); B(2; 0);
H(-2; 0); và M(-1; -0,6) Kẻ đường thẳng ( )∆ vuông góc với AB tại H và đường tròn (C)
nhận AB làm đường kính
Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn tiếp xúc với ( )∆ và tiếp xúc trong với (C) sao cho điểm
M nằm ở bên ngoài đường tròn (I)
Trang 3Năm học 1997-1998
Môn thi: Toán 12 (vòng1) Ngày thi:25-12-1997 Thời gian làm bài:180 phút
Câu 1 (5 điểm):
Cho hàm số ( ) 22
x
e
f x
e e
= +
1 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn ln 2;ln 5
S = f + f + f + + f + f
Câu 2 (5 điểm):
Tìm a để phương trình sau có đúng 3 nghiệm:
x x
− −
Câu 3 (5 điểm):
Cho 1, , ,2 3 4
Chứng minh rằng:
c otgx c otgx c otgx c otgx
c otgx c otgx c otgx c otgx 3
+
Câu 4 (5 điểm):
Trong hệ toạ độ trực chuẩn xOy cho đường thẳng (d) có phương trình: 3 17
y= x+
1 Tìm điểm M(a; b) với ,a b Z∈ sao cho khoảng cách từ M tới (d) nhỏ nhất và độ dài đoạn
OM ngắn nhất
2 Cho đường tròn (C) tâm M(-2; 0) tiếp xúc với Oy
Tìm tập hợp tâm các đường tròn tiếp xúc với Ox và tiếp xúc ngoài với đường tròn (C)
Trang 4Năm học 1998-1999
Môn thi: Toán 12 Ngày thi:9-12-1998 Thời gian làm bài:180 phút
Câu 1 (5 điểm):
Cho họ đường cong (Cm): y x= −3 3x2+mx+ −4 m ( m là tham số)
Đường thẳng (d): y=3-x cắt một đường cong bất kỳ (C) của họ (Cm) tại 3 điểm phân biệt A,
I, B (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tyuến tại B của (C) lần lượt cắt đường cong tại điểm thứ hai là M và N Tìm m để tứ giác AMBN là hình thoi
Câu 2 (5 điểm):
Giải hệ phương trình:
sinx
siny
5
;
4
x y
e
y
x y π
π
−
Câu 3 (5 điểm):
Chứng minh bất đẳng thức:
2
1 cos4a 1+ cos8a 1+ cos12a
Với a∀ làm vế trái có nghĩa
Có thể thay số 2 ở vế phải bằng một số vô tỷ để có một bất đẳng thức đúng và mạnh hơn không?
Câu 4 (5 điểm):
Cho 2 đường tròn thay đổi (C) và (C') luôn tiếp xúc với một đường thẳng lần lượt tại 2 điểm
A và A' cố định Tìm quỹ tích giao điểm M của (C) và (C') biết rằng chúng luôn cắt nhau dưới một góc α cho trước ( α là góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai đường tròn tại M )
Trang 5SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 1999-2000
Môn thi: Toán 12 Ngày thi:11-12-1999 Thời gian làm bài:180 phút
Câu 1 (5 điểm):
Cho hai hàm số ( )
1
x
f x
x
= + và ( ) arctgxg x =
1 Cmr: đồ thị của chúng tiếp xúc nhau
2 Giải bất phương trình: ( )f x ≥g x( )+x
Câu 2 (5 điểm):
Cho tam giác ABC thoả mãn:
2 3
4
=
Cmr: tam giác ABC đều
Câu 3 (5 điểm):
Tìm tham số a sao cho phương trình:
2 2
a
π
có ít nhất một nghiệm nguyên
Câu 4 (5 điểm):
Trong hệ toạ độ trực chuẩn Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: x2+y2 =4
1 Tìm tham số m để trên đường thẳng y=m có đúng 4 điểm sao cho qua mỗi điểm có 2 đường thẳng tạo với nhau góc 450 và chúng đều tiếp xúc với đường tròn (C)
2 Cho 2 điểm A(a;b), B(c;d) thuộc đường tròn (C) chứng minh:
4− −a b 3+ 4− −c d 3+ 4− −ac bd ≤3 6
Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Hµ Néi
Trang 6Kỳ thi chọn đội tuyển lớp 12 thành phố tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2000-2001.
Môn thi: Toán Ngày thi: 29 tháng 12 năm 2000 Thời gian làm bài: 180phút
Câu I (4 điểm):
Cho các số thực a1, a2, ,an ; b1, b2, , bn ; c1, c2, , cn thoả mãn điều kiện ai>0 và aici≥bi2, ∀i=1, 2, 3, , n
Chứng minh rằng: (a1+a2+ +an).(c1+c2+ +cn)≥(b1+b2+ +bn)2
Câu II (4 điểm):
Gọi N* là tập hợp tất cả các số nguyên dơng
Hãy tìm tất cả các hàm f : N*→ N* thoả mãn điều kiện:
+
−
= +
lẻ n nếu 1 2n
chẵn n nếu n
) n ( )) n (
Câu III (4 điểm):
Một hình lập phơng kích thớc 8x8x8 đợc chia thành lới các hình lập phơng đơn vị Ta gọi một cột của lới là một hình hộp chữ nhật với các cạnh nằm trên các đờng lới có kích thớc là: 1x8x8 hoặc 8x1x8 hoặc 8x8x1 Chứng minh rằng ta có thể đánh dấu 64 hình lập phơng
đơn vị sao cho trong 8 hình lập phơng đánh dấu tuỳ ý có 2 hình lập phơng cùng nằm trên một cột và trong bất kỳ một cột nào đều có 8 hình lập phơng đợc đánh dấu
Câu IV (4 điểm):
Cho P(x) là một đa thức bậc n với hệ số thực có n nghiệm thực phân biệt trong khoảng (1; ∞)
Giả sử Q(x)=(x2+1).P(x).P’(x)+x.{[P(x)]2+[P’(x)]2}, x∈R
Chứng minh rằng đa thức Q(x) có ít nhất 2n-1 nghiệm thực phân biệt
Câu V (4 điểm):
Cho tam giác ABC Giả sử P là một điểm di động trên đoạn thẳng AB, Q là một điểm
di động trên đoạn thẳng AC Gọi T là giao điểm của hai đoạn thẳng BQ và CP Hãy tìm vị trí của P và Q sao cho ∆PQT có diện tích lớn nhất
Trang 7
Năm học 2001-2002
Môn thi: Toán 12 Ngày thi: 8-12-2001 Thời gian làm bài:180 phút
Học sinh: Đỗ Ngọc Nam a1k4 thi đạt 6 điểm
Câu 1 (4 điểm):
Cho hàm số y x= 4−2m x2 2+n
Tìm các giá trị của tham số m và n để đồ thị có 3 điểm cực trị là các đỉnh của một tam giác đều ngoại tiếp một đường tròn có tâm là gốc toạ độ
Câu 2 (4 điểm):
Tìm tất cả các giá trị của a và b thoả mãn điều kiện: 1
2
a≥−
và a 1
b f sao cho biểu thức ( )
3
2a 1
P
b a b
+
=
− đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Câu 3 (4 điểm):
Giải bất phương trình: 2 log3 6
x
+
Câu 4 (4 điểm):
Tìm các giá trị của x, để với mọi giá trị của y luôn tồn tại giá trị của z thoả mãn:
3
y
c
Câu 5 (4 điểm):
Cho Elíp (E) có 2 tiêu điểm là F1 và F2 Hai điểm M và N trên (E) Chứng minh rằng: 4 đường thẳng MF1, MF2, NF1, NF2 cùng tiếp xúc với một đường tròn
Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Hµ Néi
Trang 8Kỳ thi chọn đội tuyển lớp 12 thành phố tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2001-2002.
Môn thi: Toán Ngày thi: 29 tháng 12 năm 2000 Thời gian làm bài: 180phút
Cõu 1 (4 điểm)
Chứng minh rằng khụng tồn tại 19 số nguyờn dương phõn biệt a1; a2; ;a19 thỏa món đồng thời cỏc điều kiện sau:
S(a1) = S(a2) = = S(a19), ở đú S(n) là tổng cỏc chữ số của số nguyờn dương n trong hệ biểu diễn thập phõn
Và a1 + a2 + + a19 = 2001
Cõu 2 (4 điểm)
Chứng minh rằng: ( 2 2)
2 2
x
π
π π
−
+
Cõu 3 (4 điểm)
Tớnh limxn biết dóy xn được xỏc định như sau:
1 2 2
2 1
1
1 2
Cõu 4 (4 điểm)
Hai người tham gia một trũ chơi với luật chơi như sau: Họ lần lượt viết trờn cựng một bảng , mỗi lần chỉ viết một số là ước nguyờn dương lớn hơn 1 của 100! (nhưng khụng được viết lặp lại) Người thua cuộc là người mà sau lượt đi của mỡnh thỡ tất cả cỏc số trờn bảng là nguyờn tốt cựng nhau Hỏi ai là người chiến thắng trong trũ chơi trờn?
Cõu 5 (4 điểm)
Cho tam giỏc nhọn khụng cõn A1BC nội tiếp trong đường trũn (C) Gọi H1 là trực tõm của tam giỏc A1BC
1) Dựng điểm A2 khỏc A1 nằm trờn cung lớn BC của đường trũn (C) sao cho trực tõm H2 của tam giỏc A2BC nằm trờn đường trũn đường kớnh A1H1
2) Đường thẳng H1H2 cắt A2B, A2C lần lượt tại M, N Cmr: A1M = A1N (?)
Năm học 2002-2003
Mụn thi: Toỏn 12 Ngày thi: 7-12-2002 Thời gian làm bài:180 phỳt
Bài I (4 điểm)
Cho hàm số y=
2 x
3 x ) m 1 2 1 (
+
+
− + +
Tìm giá trị của tham số m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tiếp xúc với đờng tròn có tâm I(0; 1) và có bán kính lớn nhất
Bài II (4 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, chứng minh bất đẳng thức
Trang 9tg5A+ tg5B+ tg5C ≥ 9 (tgA+tgB+tgC)
Bài III (4 điểm)
Tìm quỹ tích điểm M(x; y) có toạ độ thoả mãn hệ:
−
=
−
= +
+
y sin x.
3 3 y 7 cos y cos
x 1 4 x
x5 3
Bài IV (4 điểm)
Tìm tham số a (a≥ 0) để bất phơng trình a3x4+6a2x2-x+9a+3 ≤ 0
nghiệm đúng với ∀x ∈[2008; 2009]
Bài V (4 điểm)
Trong hệ toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phơng trình: xy=k2 (k≠0) Một đờng tròn (C) tâm J cắt (H) tại 4 điểm A1, A2 , A3 , A4 Chứng minh:
1 Nếu J thuộc A1A3 thì O thuộc A2A4
2 Các trực tâm của 4 tam giác A1A2A3 , A1A2A4 , A1A3A4 , A2A3A4 cùng nằm trên một đờng tròn
Kỳ thi chọn đội tuyển lớp 12 thành phố tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2002-2003.
Môn thi: Toán Ngày thi: 28 tháng 12 năm 2000 Thời gian làm bài: 180phút
Cõu 1 (4 điểm)
Giả sử n là số tự nhiờn khỏc 0 sao cho 2n và 5n bắt đầu cựng bằng chữ số a Hóy tỡm chữ số a
Cõu 2 (4 điểm)
Giải hệ phương trỡnh sau:
3 3 cos cos cos
2 3 sin sin sin
2
Cõu 3 (4 điểm)
Trang 10Chứng minh rằng không tồn tại đa thức f(x) có bậc 4 thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: 1) f(x) có các hệ số hữu tỉ
2) min f x( ) = − 2
¡
Câu 4 (4 điểm)
Trong không gian cho đường gấp khúc L có độ dài m Gọi a, b, c là độ dài các hình chiếu của L lên ba mặt phẳng tọa độ
1) Chứng minh rằng: a + b + c≤m 6
2) Tồn tại hay không đường gấp khúc đóng L sao cho a + b + c = m 6
Câu 5 (4 điểm)
Hãy tìm số tự nhiên k lớn nhất sao cho với mọi cách tô đen 2002 ô của một tờ giấy kẻ ô vuông
vô hạn thì luôn chọn ra được k ô đen đôi một không có điểm chung
Năm học 2003-2004
Môn thi: Toán 12 Ngày thi: 5-12-2003 Thời gian làm bài:180 phút
Câu 1 (4 điểm):
Giải và biện luận theo tham số a số nghiệm của phương trình:
(n+2)x n+ −2003(n+3)x n+ +a n+ =0( với n là số tự nhiên lẻ )
Câu 2 (4 điểm):
Cho đường cong (C) có phương trình y= − +x4 4x2 −3.Tìm m và n để đường thẳng
y mx n= + cắt đường cong (C) tại 4 điểm phân biệt A, B , C, D ( theo thứ tự ) sao cho
1
2
AB CD= = BC
Câu 3 (4 điểm):
Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi R và R' lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có độ dài 3 cạnh là GA, GB, GC Cmr:
Nếu có 9R'= 2R(sinA+sinB+sinC) thì tam giác ABC đều
Câu 4 (4 điểm):
Giải các phương trình sau:
1 2cosx+sin19x-5 2 sin 21= x−3 2 sin10x
2.32x5−40x3+10x− 3 0=
Câu 5 (4 điểm):
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P): y2 =2px ( p>0 ), tiêu điểm là F Từ một điểm
I kẻ 2 đường thẳng tiếp xúc với (P) tại M và N
Trang 111 Cmr: FIM∆ đồng dạng với FIN∆
2 Một đường thẳng (d) tuỳ ý tiếp xúc với (P) tại T và cắt IM, IN tại Q và Q'
Cmr: FQ.FQ'
FT không phụ thuộc vị trí của (d).
Năm học 2004-2005
Môn thi: Toán 12 Ngày thi: 3-12-2004 Thời gian làm bài:180 phút
Bài 1 (4 điểm):
5
4 − x +
3 )
Hẵy tìm tất cả cac giá trị của tham số m để tồn tại 4 đường thẳng khác nhau, cùng song song với trục tung và mỗi đường trong chúng đều cắt (C) và (C’) tại hai điểm sao cho tiếp tuyến tương ứng của (C)và (C’) tại hai điểm đó song song với nhau
Bài 2 (4điểm):
Cho bất phương trình: x 2x−x2 <x2 −ax2x +a2x 2x−x2
1.Giải bpt khi a=-1
2.Tìm a để bpt có nghiệm x>1
Bài 3 (4điểm):
Giải phương trình: cos sin ( ) 3 9 4 ( )
2 2
2 3
2 2
x x
x
+
= +
Bài 4 (4điểm):
Một tứ giác có độ dài ba cạnh bằng 1 và diện tích bằng
4
3 3
.Hãy tính độ dài cạnh còn lại
và độ lớn các góc của tư giác
Bài 5 (4điểm):
Cho tứ diện ABCD DA=a, DB=b, DC=c đôi một vuông góc với nhau.Một điểm M tuỳ ý thuộc khối tứ diện
1.Gọi các góc tạo bởi tia DM với DA, DB, DC là α , β , γ
Trang 12Cmr: sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 2
2.Gọi S A,S B,S C,S D lần lượt là diện tớch cỏc mặt đối diện với đỉnh A, B, C, D của khối tư diện Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q=MA.S A +MB.S B +MC.S C +MD.S D
sở giáo Dục & Đào tạo hà nội
kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp 12
Năm học 2005-2006
Môn thi: Toán Ngày thi: 01 - 12 - 2005 Thời gian làm bài: 180 phút
Bài I (4 điểm)
3
5 m ( x
Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m
Bài II (4 điểm)
Gọi A, B, C là 3 góc của tam giác ABC, chứng minh bất đẳng thức:
4
A 3 C sin 4
C 3 B sin 4
B 3 A
Bài III (4 điểm)
Giải hệ phơng trình:
= +
−
= +
+ +
−
− +
−
−
−
2004
0 ) y 2005 x
12 1 )(
y x 1(
1 y x
2
y 1 x
1 y
x
2
Bài IV (4 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn bán kính R Gọi diện tích tứ giác là S v độà dài các cạnh là AB=a, BC=b, CD=c, DA=d
1 Chứng minh đẳng thức: (4RS)2=(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)
2 Chứng minh rằng nếu 4(SR)4 = (abcd)3 thì tứ giác là hình vuông
Bài V (4 điểm)
Hình chóp S.ABC có các cạnh bên đôi một vuông góc và SA=a, SB=b, SC=c Gọi A’, B’, C’ là các điểm di động lần lợt thuộc các cạnh SA, SB, SC nhng luôn thỏa mãn SA.SA’=SB.SB’=SC.SC’ Gọi H là trực tâm của tam giác A’B’C’ và I là giao điểm của SH với mặt phẳng (ABC)
1 Chứng minh mặt phẳng (A’B’C’) song song với một mặt phẳng cố định và H thuộc một đờng thẳng cố định
Trang 132 TÝnh IA2+IB2+IC2 theo a, b, c.
hÕt
Năm học 2006-2007
Môn thi: Toán 12 Ngày thi:15-11-2006 Thời gian làm bài:180 phút
Học sinh: Trần Huy Chung lớp a2k6 thi đạt 10 điểm
Câu 1 (5 điểm):
Gọi ( )C là đồ thị của hàm số m y x= 4−6m x2 2+4mx+6m4 ( m là tham số)
1 Tìm các giá trị của m để ( )C có 3 điểm cực trị A, B, C m
2 Chứng minh rằng tam giác ABC có trọng tâm cố định khi tham số m thay đổi
Câu 2 (3 điểm):
Giải các phương trình sau:
1 15x5+11x3+28= 1 3− x
2 (4x−1 1) +x2 =2x2+2x+1
Câu 3 (3 điểm):
Tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp thoả mãn hệ thức: bc 3=R2(b c+ −) a Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều
Câu 4 (4 điểm):
Tìm các giá trị của tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm:
3
4
π
Câu 5 (5 điểm):
Trang 14Cho tứ diện đều ABCD cú cạnh bằng 1 Cỏc điển M, N lần lượt chuyển động trờn cỏc đoạn
AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) luụn vuụng gúc với mặt phẳng (ABC) Đặt AM=x, AN=y
1 Cmr: mặt phẳng (DMN) luụn chứa một đường phẳng cố định và
x + y = 3xy
2 Xỏc định vị trớ của M, N để diện tớch toàn phần tứ diện ADMN đạt giỏ trị nhỏ nhất và lớn nhất.Tớnh cỏc giỏ trị đú
Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội
Kỳ thi chọn đội tuyển Học Sinh Giỏi lớp 12 thành phố
năm học 2006-2007
Môn thi: Toán Ngày thi: 28 tháng 11 năm 2006 Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I (4 điểm)
Giải hệ phơng trình sau:
= +
− +
= +
+ +
0 y x
y x y
2 y x
y x x
2 2
2 2
Câu II (4 điểm)
Cho α, β∈ R Chứng minh rằng nếu tập hợp
Aα , β = {cos( n πα ) + cos( n πβ ) 0 ≤ n ∈ Z}
là hữu hạn thì α và β là các số hữu tỷ
Câu III (4 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phơng trình :
2x4 + 1 = y2
Câu IV (4 điểm)
Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý nằm ở miền trong của tam giác đó Chứng minh rằng:
min{MA,MB,MC}+MA+MB+MC<AB+BC+CA
Câu V (4 điểm)
Cho dãy số thực (xn) với n ∈ N* thỏa mãn các điều kiện sau:
