Toán cao cấp và các dạng bài tập

(NB) Nội dung cuốn bài tập này bám sát Đề cương chi tiết và nội dung lý thuyết môn học Toán cao cấp của trường Đại học Tài chính Marketing, cũng như các dạng bài trong ngân hàng câu hỏi thi hết học phần môn Toán cao cấp. Trước phần bài tập của mỗi chương, nêu các yêu cầu đối với sinh viên để các em nắm được các nội dung cũng như các kĩ năng cần rèn luyện. Mời các em cùng tham khảo.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - MARKETING KHOA CƠ BẢN Bộ Mơn Tốn – Thống kê BÀI TẬP TỐN CAO CẤP (Lưu hành nội bộ) TP Hồ Chí Minh 2015 LỜI GIỚI THIỆU Các bạn có tay sách “Bài tập Toán cao cấp” dành cho sinh viên hệ Đại học quy, trường Đại học Tài – Marketing Từ năm học 2015 -2016, để thống nội dung học tập, đánh giá kết giảng dạy mơn Tốn Cao Cấp, Bộ mơn Tốn – Thống kê, Khoa Cơ Bản, cho biên soạn sách Cuốn tập giảng viên Bộ mơn Tốn - Thống kê biên soạn, sở tài liệu sử dụng giảng dạy trường Đại học Tài – Marketing nhiều năm qua Hội đồng thẩm định giáo trình Nhà trường thơng qua Nội dung tập bám sát Đề cương chi tiết nội dung lý thuyết mơn học Tốn cao cấp trường Đại học Tài – Marketing, dạng ngân hàng câu hỏi thi hết học phần mơn Tốn cao cấp Trước phần tập chương, nêu yêu cầu sinh viên để em nắm nội dung kĩ cần rèn luyện Các tập xếp từ kiểm tra kiến thức bản, đến tập tổng hợp, có số tập nâng cao (có đánh dấu *) để sinh viên tham khảo thêm Phần cuối sách, chúng tơi có biên soạn số đề tổng hợp để sinh viên tham khảo thử sức, tự đánh giá trình độ Hy vọng, sách tài liệu bổ ích giúp sinh viên trường Đại học Tài – Marketing học tốt mơn Tốn cao cấp thi kết thúc học phần đạt kết cao! Lần biên soạn Bài tập nên chắn không tránh khỏi sai sót Rất mong nhận góp ý sinh viên thầy cô giáo, để lần xuất sau hoàn thiện hơn! Mọi ý kiến góp ý xin gửi địa chỉ: Bộ mơn Tốn – Thống kê, Khoa Cơ Bản, trường Đại học Tài – Marketing Chúng tơi xin chân thành cảm ơn trân trọng giới thiệu sách bạn! TP Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng năm 2015 Bộ mơn Tốn – Thống kê MỤC LỤC Lời giới thiệu Chương Ma trận – Định thức A Yêu cầu sinh viên B Bài tập Chương Hệ phương trình tuyến tính 20 A Yêu cầu sinh viên 20 B Bài tập 20 Chương Không gian vectơ 30 A Yêu cầu sinh viên 30 B Bài tập 30 Chương Phép tính vi phân hàm biến 42 A Yêu cầu sinh viên 42 B Bài tập 42 Chương Tích phân 55 A Yêu cầu sinh viên 55 B Bài tập 55 Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến 66 A Yêu cầu sinh viên 66 B Bài tập 66 Chương Phương trình vi phân 76 A Yêu cầu sinh viên 76 B Bài tập 76 Một số đề luyện tập 82 Tài liệu tham khảo 96 Chương MA TRẬN – ĐỊNH THỨC A Yêu cầu sinh viên Nắm vững khái niệm ma trận dạng ma trận đặc biệt; biết thực phép cộng hai ma trận cấp phép nhân ma trận với số thực Chú ý tới phép biến đổi sơ cấp ma trận Nắm vững định nghĩa, cách tính định thức ma trận vng số tính chất định thức Nắm vững khái niệm ma trận nghịch đảo hai phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Nắm khái niệm hạng ma trận, phương pháp tìm hạng ma trận Biết vận dụng kiến thức ma trận, định thức để giải số mơ hình kinh tế B Bài tập Bài 1: Thực phép tính ma trận sau: Tính 5A  3B  2C , biết :  2 1 3  5       A   1  , B    C     3 2   2  1       Tính AB, BA biết:  1  2  A    B       3    Tính AB, BA biết:  3   6 A   4  B     5  1 2     Đáp số:  11    1) 5A  3B  2C   11   27 15     1 8 10   15 19    ; BA   2) AB   2  10     22 15     5   29 55 27      3) AB   10  ; BA   17 36 19   7   14 25 11      Bài 2: 2 1   Cho A    Tính f  A   A2 – 5A  3I3  1     3 1 3    Đáp số : f  A    6 3 5   3    Bài 3: Cho ma trận:  2   1   1   , C   A , B    2  1  1   Có thể thành lập tích ma trận ma trận Tính AB , ABC n Tính  AB , C với n  Tìm ma trận chuyển vị A tính ATC Đáp số: 1) AB, BC, CB, CA;  1 3   1 4  , ABC    ; 2 0 2 2 2) AB    11 15  ;  10   3) (AB)3    0  2     T T 4) A   1  , A C   1   2  5     Bài 4:  2    Cho ma trận A   8  Tìm ma trận X cho  2    3A  2X  I3  1 9    Đáp số : X   6 4 12   3 7    Bài 5: Tính định thức sau: 2 3 1 3 0 4 3 4 d 0 c b a 1 1 1 1 1 1 4 x a y e g h 0 b z k 0 0 u c d f l v 1 1 2 2 m 3 3 2 3 m 3 1 5 Đáp số: 1) 5 ; 2) 10 ; 3) 160 ; 4) abcd ; 5) xyzuv ; 6) 394 ; 7) 29m  145 ; 8) 3429m  551 Bài 6: Chứng tỏ định thức sau không ab c 1 b  c a ca b ab a  b bc b2  c2 ca c2  a x p ax  bp y q ay  bq z r az  br a  b b  c c  a  a b c b c a c a b cb ba ac 1 Hướng dẫn : 1) Lấy cột cộng cột 2; 2) Từ cột 3, ta tách làm hai ma trận có cột ; 3) Lấy cột cộng lần cột 1; 4) Lấy cột cộng cột cột Bài 7: Chứng minh rằng: a a2 b b   b  a  c  a  c  b  c c2 Hướng dẫn : Biến đổi sơ cấp dùng qui tắc đường chéo MỘT SỐ ĐỀ LUYỆN TẬP ĐỀ SỐ 01 Câu (2 điểm) Cho hai ma trận sau: 0 2 1 3 A   1  ; B    1 1 4 5     1) Tính AB, BA, 4A+5B 2) Tìm X cho AX  B Câu (2 điểm) Giải hệ phương trình sau:  x1  4x 2x  3x    x1  7x 3x1  x     3x 5x 2x 2x  22  12  34  Câu (2 điểm) 1) Tính giới hạn sau:     1 x 1 x   lim  x 1   1  x    2) Tính tích phân sau: 82    x dx sin x Câu (2 điểm) 1) Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng  cos x 1 x2 dx 2) Khảo sát cực trị hàm số: f (x, y)   4x  3y với ràng buộc x  y2  Câu (2 điểm) 1) Giải phương trình vi phân: y//  3y/  e3x  3x  2) g(x)  Cho hàm số f có f (6)  1, f / (6)  2 d  x f (3x)  Tính g(2) dx  83 ĐỀ SỐ 02 Câu (2 điểm) Cho hai ma trận sau: 1 3  1 1   A   2  ; B    3 1  3      1) Tính AB, BA, 3A+4B 2) Tìm X cho XA  B Câu (2 điểm) Định a để hệ phương trình sau vơ nghiệm 2x  y  2a   11  ax  5y   x  2y  a   Câu (2 điểm)   x2 lim   x 0   5x   x  1) Tính giới hạn sau:  2) Tính tích phân sau:  x dx Câu (2 điểm) 1) Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng:   84 sin 2x x5  dx 2) Khảo sát cực trị hàm số: x y f (x, y)  xy  (47  x  y)     2013 3 4 Câu (2 điểm) 1) Giải phương trình vi phân: y//  y  2sin x  4cos x 2) Khai triển Maclorent hàm số sau đến x : f (x)  x 1 x 1 85 ĐỀ SỐ 03 Câu (2 điểm) Cho hai ma trận sau: 1 0 2 1   A   2  ; B    1 1  2     1) Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A, có 2) Tìm ma trận X ma trận Y cho: A(X  Y)  B  T T (X  Y)A  B Câu (2 điểm) Giải hệ phương trình tuyến tính:  2x  x1  x   2x   2x1  4x 2x1  4x  3x  x3  6x  2x  x4  x4  2x  2x  2x  x5  4x  2x Câu (2 điểm) 1) Tính giới hạn sau: 2) Tính tích phân sau: Câu (2 điểm) 86 lim x   x x x x2  sin x dx  cos x     0 0 1) Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng:   (x  1) 2x  dx 2) Khảo sát cực trị hàm số: f (x, y)  2x  2y2  12x  8y  2012 Câu (2 điểm) 1) Giải phương trình vi phân: y//  4y /  2x  2) Khai triển Maclorent hàm số sau tới x : f (x)  x 4 87 ĐỀ SỐ 04 Câu (2 điểm) Cho hai ma trận sau:  2  3  A   1 1  ; B     1 1  3      1) Tính AB, BA, 3A-4B 2) Tìm X cho AX  B Câu (2 điểm) Định a để hệ phương trình sau có nghiệm: 2x  y  2a   11  ax  5y   x  2y  a   Câu (2 điểm)  3x  4x  x 1) Tính giới hạn sau: lim   x     2) Tính tích phân sau:  x sin x dx  4cos x Câu (2 điểm) 1) Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng   sin x dx 88 2) Khảo sát cực trị hàm số: 3 f (x, y)  9x y  x  0,03y Câu (2 điểm) 1) Giải phương trình vi phân: y//  6y /  9y  2x  x  2) Khai triển Maclorent hàm số sau đến x : f (x)  x  3x  2 89 ĐỀ SỐ 05 Câu (2 điểm) Cho vec tơ sau: x   5,9, m  , u   4, 4,3 , v   7, 2,1 , w   4,1,6  1) S  u, v, w có sở hay không? 2) Định m để x tổ hợp tuyến tính u, v, w Câu (2 điểm) Tìm sở số chiều cho khơng gian nghiệm hệ phương trình sau: 2x1  4x x   5x  2x  x  3x   x1  2x  x3  2x  2x  x3  x4  x4  x4  x4      0 0 Câu (2 điểm)    4x x 0    arctan x  1) Tính giới hạn: lim  2) Tính tích phân:  (x  1) 90 dx x2  x 1     Câu (2 điểm) 1) Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng sau:   xdx  x3  x5 2) Khảo sát cực trị hàm số sau: f (x, y)  x  y  81  2012 xy Câu (2 điểm) 1) Giải phương trình vi phân sau: y/  y tan x  2esin x ; y(0)  2) Khai triển Maclorent hàm số sau đến x : f (x)  x  x  91 ĐỀ SỐ 06 Câu (2 điểm) Trong không gian , xét hệ vectơ: S  u1  1,1,1 ,u  1,1,2  ,u  1,2,3 1) Chứng minh S sở 2) Tìm tọa độ x   6,9,14  sở S Câu (2 điểm) Giải hệ phương trình sau phương pháp ma trận nghịch đảo:  x1  x   x1  2x 2x  4x   3x  3x  5x  2   6 Câu (2 điểm)  2x   cos x  1) Cho hàm số f (x)   x m  x  x  a) Xác định m để f liên tục x  b) Tìm f / (0) ứng với m vừa tìm câu a 2) Tính tích phân:  92 x  2x  2 dx Câu (2 điểm) 1) Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng sau: e x dx 1 sin x 2) Khảo sát cực trị hàm số sau: f (x, y)  xe y  x  2y2  4y  2012 Câu (2 điểm) 1) Giải phương trình vi phân sau: y//  2y/  y  ex (1  x) 2) Cho hàm số f (x)  x sin x Tính f (5) (0) 93 ĐỀ SỐ 07 Câu (2 điểm) Giải hệ phương trình tuyến tính sau hai phương pháp:  7x1  2x   5x1  3x 10x  11x   3x  2x  5x  15  15  36 Câu (2 điểm) Định a để ma trận sau khả nghịch tìm ma trận nghịch đảo nó: 1 0 A   a  0 1   Câu (2 điểm)  x2 1) Tính giới hạn sau: lim   x  x    2) Tính tích phân:  3x  x dx x  2x  Câu (2 điểm) 1) Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng sau:  dx x 1 2) Khảo sát cực trị hàm số sau: f (x, y)  x 0,4 y0,8 với ràng buộc 5x  2y  240 94 Câu (2 điểm) 1) Giải phương trình vi phân sau: y//  4y/  4y  4e2x 2) Tìm tập xác định tính đạo hàm hàm số sau: y x(x  1) x2 95 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Đức Bằng, Nguyễn Tuấn Duy, Tài liệu ơn tập tốn cao cấp,( lưu hành nội bộ), Đại học Tài - Marketing, 2013 Đỗ Cơng Khanh, Nguyễn Minh Hằng, Ngơ Thu Lương, Tốn cao cấp, NXB Đại học uốc Gia TP Hồ Chí Minh, 2006 Nguyễn Huy Hồng, Bài Tập Tốn Cao Cấp, NXB Đại học Kinh tế uốc Dân, 2008 Lê Văn Hốt, Toán Cao Cấp,( lưu hành nội bộ), Đại học Kinh tế TP Hồ Chí Minh, 1997 Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Công Tâm, Đặng Đức Trọng, Đinh Ngọc Thanh, Giáo trình giải tích hàm biến, NXB Đại học uốc Gia TP Hồ Chí Minh, 2002 6.Trần Minh Thuyết, Giáo trình tốn cao cấp, NXB tài chính, 2008 Lê Đình Thúy, Tốn Cao Cấp cho nhà kinh tế, NXB Đại học Kinh tế uốc Dân, 2010 96 ... Các bạn có tay sách Bài tập Toán cao cấp dành cho sinh viên hệ Đại học quy, trường Đại học Tài – Marketing Từ năm học 2015 -2016, để thống nội dung học tập, đánh giá kết giảng dạy mơn Tốn Cao. .. qua Nội dung tập bám sát Đề cương chi tiết nội dung lý thuyết mơn học Tốn cao cấp trường Đại học Tài – Marketing, dạng ngân hàng câu hỏi thi hết học phần mơn Tốn cao cấp Trước phần tập chương,... B Bài tập Chương Hệ phương trình tuyến tính 20 A Yêu cầu sinh viên 20 B Bài tập 20 Chương Không gian vectơ 30 A Yêu cầu sinh viên 30 B Bài tập