Chứng minh rằng phương trình nếu cĩ nghiệm thì các nghiệm ấy khơng thể là số hữu tỉ.. Vẽ đường trịn tâm M tiếp xúc với AB tại H.. aChứng minh ba điểm M, C, D cùng nằm trên tiếp tuyến của
Trang 1Sở Giáo dục - Đào tạo
TP.Hồ Chí Minh
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9-THCS CẤP THÀNH PHỐ
Năm học 2006 – 2007 MÔN TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1 : (3 đ)Thu gọn các biểu thức:
a)A = 6 + 2 5 − 29 − 12 5
b) B = 8 + 8 + 20 + 40
c)
) 11 6 )(
6 3
12 2
6
4 1 6
15
−
−
−
+ +
=
C
Câu 2 : (3 đ)
a) Chứng minh : ( x + y + z )2 ≤ 3 ( x2 + y2 + z2) , ∀ x , y , z ∈ R
1 ,
4
1 ,
4
1 ,
1 ≥ − ≥ − ≥ −
= +
x
Chứng minh : 4 x + + 1 4 y + + 1 4 z + ≤ 1 21
Dấu bằng xảy ra khi x, y, z bằng bao nhiêu?
Câu 3 : (4 đ)
Giải hệ phương trình và phương trình:
a)
= +
= +
= +
13
36 x z
zx
5
18 y
yz
5
12 y x
xy
z
b)
2 2
2
8 4
Câu 4 : (2 đ) Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 cĩ các hệ số a , , b c là các số nguyên lẻ Chứng minh rằng phương trình nếu cĩ nghiệm thì các nghiệm ấy khơng thể là số hữu tỉ
Câu 5 : (4 đ)
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB bằng 2R Gọi M là một điểm chuyển động trên nửa đường trịn (O) ( M khác A và B) Vẽ đường trịn tâm M tiếp xúc với AB tại H Từ A và
B vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường trịn tâm M lần lượt tại C và D
a)Chứng minh ba điểm M, C, D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường trịn (O) tại M b)Chứng minh tổng AC + BD khơng đổi Tính tích số AC.BD theo CD
c)Giả sử CD cắt AB tại K Chứng minh OA2 = OB2 = OH.OK
Câu 6 : (4 đ)
Trang 2Tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn (O) cĩ ACB = 45o Đường tròn đường kính AB cắt AC và BC lần lượt tại M và N Chứng minh MN vuông góc OC và MN = 2
AB
.